拉伸压缩与剪切
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FN
+
x
9
例2-1：作图示杆件的轴力图，并指出|FN|max
I
II
I
50kN
150kN
100kN
50kN
FN1 FN1=50kN
I
50kN
FN
+
II
-
100kN
II FN2
I 100kN FN2= -100kN
II
| FN |max=100kN
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷
轴力(图)的简便求法： 遇到向左的F， 轴力FN 增量为正；
第二章 拉伸、压缩与剪切
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念与实例 §2-2 轴向拉伸和压缩时的内力及应力 §2-3 材料拉伸和压缩时的力学性能 §2-4 轴向拉伸和压缩的强度计算 §2-5 轴向拉伸和压缩的变形 §2-6 轴向拉伸和压缩的应变能 §2-7 简单拉压超静定问题 §2-8 应力集中的概念 §2-9 剪切与挤压的实用计算
A
B
B
C
C
13
应力的概念：截面上某点的内力集度。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义 不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度 最大处开始。
全应力（总应力）： F
M
A
lim p
ΔF dF
ΔA0 ΔA dA
14
全应力分解为：
垂直于截面的应力称为“正应力”:
lim ΔFN dFN
3
思考：下列杆件是不是拉压杆？
F F q q
4
2．实例 (Engineering examples)
房屋支撑结构
由二力杆组成的桁架结构 5
6
§2-2 轴向拉伸或压缩时的内力和应力
一、内力——由于物体受外力作用而引起的弹性体内部各质 点间相互作用的力的改变量。
m F
F
m
根据可变形固体的连续性假设可知，物体内部相邻部分 之间的作用力是一个连续分布的内力系，我们所说的内力是 该内力系的合成（力或力偶）。
1
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
1．概念
C
简易桁架
F 1
FBC
FA
2
B
FBC C
FAB
B
1
FAB A
2
B FAB
B FBC
2
F
F
轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。
F
F
轴向压缩：轴向缩短，横向变粗。
外力特点：外力或其合力的作用线沿杆件轴线。 变形特点：轴向伸长或缩短为主要变形。
拉压杆：外力或其合力的作用线沿杆件轴线的杆件。
自左向右:
遇到向右的F ， 轴力FN 增量为负。
10
例2-2：作图示杆的轴力图。
O
5kN
8kN
4kN
1kN
FN
2kN +
–
5kN
+
1kN
x
3kN
11
例2-3：图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如 图，试画出杆的轴力图。
q(x)
解：x 坐标向右为正，坐标原点在自由
端。取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
L qHale Waihona Puke Baidu
q(x) FN(x)
x
O x
O x
FN
qL
FN (x)
x - kxdx - 1 kx2
0
2
–
FN
(x)max
-
1 2
k L2
k L2
2
12
二．应力 （Stress）
思考： AB杆、 A杆B材 料相同， 杆A截B面面积大于
相同重物，哪根杆危险？ 若 WC W，C哪根杆危险？
杆A，B挂
A
F A FF B
3000
50kN
4000
C 370
150kN 240
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
FN1 -50kN
1
FN1 A1
- 50103 N
(240mm) (240mm)
-0.87MPa（压）
21
F A
F
F
B
C
4000
3000
50kN 150kN
4）实验验证：如光弹试验
FN
A
18
5）公式的应用条件：
实验研究及数值计算表明，在集中载荷作用区附近和截 面发生剧烈变化的区域，横截面上的应力情况复杂，上述
公式不再正确。
6）圣维南原理
q
q
F
F F qA
• 思考：杆端作用均布力，横截面应力均匀分布； 杆端作用集中力，横截面应力均匀分布吗？
19
有
ΔA0 ΔA dA
p
M
位于截面内的应力称为“切应力”:
lim
ΔFS dFS
ΔA0 ΔA dA
应力特征 ：（1）必须明确截面及点的位置；
（2）是矢量；
（3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕)
15
1. 横截面上的应力
16
1）变形规律试验及平面假设：
变形前
ab cd
受载后 F
a´
b´
c´
d´
F
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
思考：取左段轴力向右，右段轴力为左，符号不是相反吗？
内力：相互作用力。 转化为外力计算。
8
2. 轴力的正负规定: (Sign convention for axial force)
FN
FN
FN
FN>0
FN FN<0
3．轴力图—— FN (x) 的图象表示。
①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
意 ②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定 义 危险截面位置，为强度计算提供依据。
设一等直杆在两端轴向拉力 F 的作用下处于平衡,欲求杆件横 截面 m-m 上的内力。
7
二、截面法 ·轴力·轴力图
内力的计算是分析构件强度、刚 F
度、稳定性等问题的基础。求内力 的一般方法是截面法。
F
轴力——轴向拉压杆的内力，用FN 表示。
m
F
m
m FN
m
轴力定义：合力作用线通过截面形心且
FN
m
F
沿杆轴线的内力。
限 元
F
结
果
12 3 x
12 3
应力均匀
h
x=h/4
x=h/2
x=h
圣维南原理：
当作用于弹性体表面某一小区域上的力系，被另一静力等效的力系代替 时，对该区域及其附近区域的应力和应变有显著的影响；而对远处的影响很 小，可以忽略不计。
影响区的轴向范围约离杆端1～2个杆的横向尺寸。
20
例2-3：试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面 上的最大工作应力。已知 F =50 kN。
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
实验观察
作出假设
理论分析
实验验证
17
2）拉伸应力：
F
FN
轴力引起的正应力 ——
： 在横截面上均布。
静力学求合力的概念
FN A dA dA A
A
3）危险截面及最大工作应力：
危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
max
max( FN (x) ) A( x)
m
符号规定：拉力为正，压力为负。 1. 截面法的基本步骤：
FN F
①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。
②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相
应的内力（力或力偶）代替。
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开
面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。
+
x
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例2-1：作图示杆件的轴力图，并指出|FN|max
I
II
I
50kN
150kN
100kN
50kN
FN1 FN1=50kN
I
50kN
FN
+
II
-
100kN
II FN2
I 100kN FN2= -100kN
II
| FN |max=100kN
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷
轴力(图)的简便求法： 遇到向左的F， 轴力FN 增量为正；
第二章 拉伸、压缩与剪切
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念与实例 §2-2 轴向拉伸和压缩时的内力及应力 §2-3 材料拉伸和压缩时的力学性能 §2-4 轴向拉伸和压缩的强度计算 §2-5 轴向拉伸和压缩的变形 §2-6 轴向拉伸和压缩的应变能 §2-7 简单拉压超静定问题 §2-8 应力集中的概念 §2-9 剪切与挤压的实用计算
A
B
B
C
C
13
应力的概念：截面上某点的内力集度。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义 不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度 最大处开始。
全应力（总应力）： F
M
A
lim p
ΔF dF
ΔA0 ΔA dA
14
全应力分解为：
垂直于截面的应力称为“正应力”:
lim ΔFN dFN
3
思考：下列杆件是不是拉压杆？
F F q q
4
2．实例 (Engineering examples)
房屋支撑结构
由二力杆组成的桁架结构 5
6
§2-2 轴向拉伸或压缩时的内力和应力
一、内力——由于物体受外力作用而引起的弹性体内部各质 点间相互作用的力的改变量。
m F
F
m
根据可变形固体的连续性假设可知，物体内部相邻部分 之间的作用力是一个连续分布的内力系，我们所说的内力是 该内力系的合成（力或力偶）。
1
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
1．概念
C
简易桁架
F 1
FBC
FA
2
B
FBC C
FAB
B
1
FAB A
2
B FAB
B FBC
2
F
F
轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。
F
F
轴向压缩：轴向缩短，横向变粗。
外力特点：外力或其合力的作用线沿杆件轴线。 变形特点：轴向伸长或缩短为主要变形。
拉压杆：外力或其合力的作用线沿杆件轴线的杆件。
自左向右:
遇到向右的F ， 轴力FN 增量为负。
10
例2-2：作图示杆的轴力图。
O
5kN
8kN
4kN
1kN
FN
2kN +
–
5kN
+
1kN
x
3kN
11
例2-3：图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如 图，试画出杆的轴力图。
q(x)
解：x 坐标向右为正，坐标原点在自由
端。取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
L qHale Waihona Puke Baidu
q(x) FN(x)
x
O x
O x
FN
qL
FN (x)
x - kxdx - 1 kx2
0
2
–
FN
(x)max
-
1 2
k L2
k L2
2
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二．应力 （Stress）
思考： AB杆、 A杆B材 料相同， 杆A截B面面积大于
相同重物，哪根杆危险？ 若 WC W，C哪根杆危险？
杆A，B挂
A
F A FF B
3000
50kN
4000
C 370
150kN 240
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
FN1 -50kN
1
FN1 A1
- 50103 N
(240mm) (240mm)
-0.87MPa（压）
21
F A
F
F
B
C
4000
3000
50kN 150kN
4）实验验证：如光弹试验
FN
A
18
5）公式的应用条件：
实验研究及数值计算表明，在集中载荷作用区附近和截 面发生剧烈变化的区域，横截面上的应力情况复杂，上述
公式不再正确。
6）圣维南原理
q
q
F
F F qA
• 思考：杆端作用均布力，横截面应力均匀分布； 杆端作用集中力，横截面应力均匀分布吗？
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有
ΔA0 ΔA dA
p
M
位于截面内的应力称为“切应力”:
lim
ΔFS dFS
ΔA0 ΔA dA
应力特征 ：（1）必须明确截面及点的位置；
（2）是矢量；
（3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕)
15
1. 横截面上的应力
16
1）变形规律试验及平面假设：
变形前
ab cd
受载后 F
a´
b´
c´
d´
F
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
思考：取左段轴力向右，右段轴力为左，符号不是相反吗？
内力：相互作用力。 转化为外力计算。
8
2. 轴力的正负规定: (Sign convention for axial force)
FN
FN
FN
FN>0
FN FN<0
3．轴力图—— FN (x) 的图象表示。
①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
意 ②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定 义 危险截面位置，为强度计算提供依据。
设一等直杆在两端轴向拉力 F 的作用下处于平衡,欲求杆件横 截面 m-m 上的内力。
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二、截面法 ·轴力·轴力图
内力的计算是分析构件强度、刚 F
度、稳定性等问题的基础。求内力 的一般方法是截面法。
F
轴力——轴向拉压杆的内力，用FN 表示。
m
F
m
m FN
m
轴力定义：合力作用线通过截面形心且
FN
m
F
沿杆轴线的内力。
限 元
F
结
果
12 3 x
12 3
应力均匀
h
x=h/4
x=h/2
x=h
圣维南原理：
当作用于弹性体表面某一小区域上的力系，被另一静力等效的力系代替 时，对该区域及其附近区域的应力和应变有显著的影响；而对远处的影响很 小，可以忽略不计。
影响区的轴向范围约离杆端1～2个杆的横向尺寸。
20
例2-3：试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面 上的最大工作应力。已知 F =50 kN。
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
实验观察
作出假设
理论分析
实验验证
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2）拉伸应力：
F
FN
轴力引起的正应力 ——
： 在横截面上均布。
静力学求合力的概念
FN A dA dA A
A
3）危险截面及最大工作应力：
危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
max
max( FN (x) ) A( x)
m
符号规定：拉力为正，压力为负。 1. 截面法的基本步骤：
FN F
①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。
②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相
应的内力（力或力偶）代替。
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开
面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。