切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段 通用版

切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段

一. 本周教学内容：

切线长定理、弦切角和圆有关的比例线段

1. 切线长的概念：在经过圆外一点的切线上这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。

3. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，一边和圆相切的角叫做弦切角。

4. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。

5. 弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。

6. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

7. 相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 9. 切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 二. 重点、难点：

重点是和圆有关的比例线段，难点是运用和圆有关的比例线段分析问题和解决问题。 易错点分析：

1. 要注意切线和切线长，这是两个不同的概念，前者是直线，后者是线段的长。

2. 注意弦切角与圆心角、圆周角的区别与联系，它们的空间位置不同，但在度数上有很密切的联系。另外弦切角的三个条件缺一不可。弦切角与切线有着密切的联系，做题时，遇到弦切角找到切点要连结半径，这样就有垂直的关系。

3. 相交弦定理、切割线定理及它们的推论，它们的结论都是线段的等积式，而不是比例式，它们可用来解关于计算和证明的题目。等积式中的各线段要记牢，不要记混。 【例题分析】

例1. 求证：圆外切四边形的两组对边的和相等。

A F

B G E

D H C

已知：四边形ABCD 为⊙O 的外切四边形，E 、F 、G 、H 分别为切点。求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC 证明： AE AF O E F 、为⊙的切线，且切点为、

∴====∴+++=++++=+AE AF BF BG DE DH CH CG

AF FB DH CH AE BG DE CG

AB CD AD BC

，同理，，即

例2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 、BF 为⊙O 的切线，CF 切⊙O 于D ，DE AB ⊥于E ，交BC 于G ，求证：DG ＝EG

F

分析：因为AC//DE//BF ，所以可考虑成比例的线段来证明线段相等。由于CA 、CD 是⊙O 的切线，DF 、FB 为⊙O 的切线，所以CA ＝CD ，FD ＝FB ，这就为证明DG ＝EG 提供了条件。 证明： AB 为⊙Ｏ的直径，且CA 、FB 为⊙O 的切线

∴⊥⊥⊥∴∴

==∴==

∴=∴=AC AB FB AB DE AB AC DE FB

BGE BCA GE AC BE AC BG

BC CDG CFB DG BF CD CF DF CF BG

CB

GE AC DF CF GE DF AC CF ，，又∽，且∽， ////∆∆∆∆ 又、、均为⊙的切线

，， AC CF BF O AC CD DF BF DG BF CD CF AC CF GE

DF

EG DG

∴==∴===∴=

例3. 如图，AB 为⊙O 的直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于E 点，AE 的延长线交BC 于D 点，(1)求证：CE CD CB 2

=⋅，(2)若AB ＝BC ＝2，求CE 、CD 的长。

分析：要证CE CD CB 2

=⋅，即要证∆∆CED CBE ∽ 证明：(1)连结BE BC 为⊙O 的切线

∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∴==⋅∴∠=︒==

===∴=-=-=⋅∴==-=-A CBE OA OE A AEO

OEA DEC CED CBE

CED CBE CE CD CB

CE

CE CD CB

BC O AB ABD OB OE AB BC OC CE OC OE CE CD CB

CD CE CB 又，，∽，即解：为⊙的切线，为直径，，由勾股定理 ∆∆2222

2901

2

125

51512

35

()()

例4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，若CD 切⊙O 于D ，BE 切⊙O 于B 交CD 于E ，且CE ＝2DE 。 求证：AC CD =

3

证明： ED 、EB 都是⊙O 的切线 ∴==∴=∴∠︒∴∠=︒

∴∠=︒=∴=∴==∴=∴=⋅∴=ED EB

CE DE CE EB EB EBA EBC C tgC EB

BC

BC BE

BC CE

CE CD BC CD

CD CD CB CA AC CD

2290903033

2233

3

32，是切线，＝，，，是切线，

例5. 如图，以直角坐标系的原点O 为圆心作圆，A 是x 轴上一点，AB 切⊙O 于B ，若AB ＝12，AD ＝8，求B 点的坐标。

x

解：连结OB ，过B 点作BC AE ⊥于C 点 AB 是切线，∴=⋅AB AD AE 2

∴==∴=⋅+∴=∴==∴=∴⊥∴∠=︒

⊥∴=⋅=⨯∴=

∴==⋅∴=∴AB AD DE DE OB OD OA AB OB BA OBA BC OA OB OC OA OC OC CA BC OC CA BC B 12812810513905132513144136013251360

1322

2

2，，，，是切线，，，，即，，，点坐标为，(8)()

说明：此例是圆的知识与直角坐标系结合的问题，其中涉及到切割线定理、相似三角形、点的坐标等知识。求点

B 的坐标，就需要求点B 到x 轴、y 轴的距离，即O

C 与BC 的长。这就需要用切割线定理及相似三角形所提供的对应边成比例来提供等量关系。

【考点解析】

例1. 如图，O 是已知线段AB 上一点，以OB 为半径的⊙O 交线段AB 于C ，以线段AO 为直径的半圆交⊙O 于点D ，过点B 作AB 的垂线与AD 的延长线交于点E 。 （1）求证：AE 切⊙O 于点D ；

（2）若AC ＝2且AC 、AD 的长是关于x 的方程x kx 2

450-+=的两根，求线段EB 的长； （3）当点O 位于线段AB 何处时，∆ODC 恰好是等边三角形？

分析：因为D 点在⊙O 上，所以欲证AE 切⊙O 于点D ，只要证明过D 点的半径与AE 垂直就可以了。连结OD ，因为OD 是⊙O 半径，∠ADO 是直径AO 所对的圆周角，所以∠=︒ADO 90，所以AE 切⊙O 于D 。再