分式函数求值域问题
关于判别式法求函数值域的局限性
关于判别式法求函数值域的局限性判别式法在求定义域为R的分式函数的值域时有重大作用，但是在许多情形下使用判别法求值域时会失效，应避免选用此法。
以下分别探讨几种情况，以供参考：一、定义域不是R时例1：求函数的值域。
错解：易求函数定义域为D={x| }由原函数得：（2y-1）x2-（5y+1）x+3y+2=0……①（1）当y=时，由①得：x=1D ∴y≠（2）当y≠时，△=（5y+1）2-4（2y-1）（3y+2）≥0∴（y+3）2≥0故y∈R且y≠∴所求函数值域为{ y |y∈R且y≠}此解法错在函数定义域并不是R。
正解：y=显然y≠，同时x≠1时y≠-3∴所求函数值域为{y|y∈R ，y≠且y≠-3}二、定义域有限制时例2：已知x∈[-5，-2]，求函数y=的值域。
错解：由原函数得x2-（y+2）x-（y+2）=0∵△≥0 ∴（y+2）2+4（y+2）≥0y≥-2或y≤-6∴函数值域为{ y |y≥-2或y≤-6}此解错在函数的定义域已经有限制了，不能用此方法。
正解：∵y=（x+1）+-4∴可令t=-（x+1）∵x∈[-5，-2] ∴t∈[1，4]令u =t+，t∈[1，4]时u为增函数∴u∈[2，]∴-u∈[]，而y=-u-4 ∴y∈[-，6]故所求函数值域为[-，6]。
三、定义域为R时例3：求函数的值域y=错解：令2x=t∴y=变形，有t2+（7-y）t+（8-2y）=0由定义域x∈R有△=（7-y）2-4（8-2y）=y2-6y+17≥0∴y∈R此解法错在x∈R并不等于换元后的t∈R。
正解：由上可知，令t=2x＞0y==（t+2）-+3令u= t+2＞2∴y=u-+3当u∈（2，+）时，y为增函数∴y＞2-1+3=4故所求函数值域为（4，+）。
四、在函数有根式时例4：求函数y=x+2+的值域。
错解：由原函数得2x2+（4-2y）x+y2-4y=0由△=(4-2y)2-4×2(y2-4y)=4(-y2+4y+4)≥0∴2-2≤y≤2+2此解法错在变形后没有注意到x的取值范围是[-2，2]。
函数求值域的方法
不同函数类型值域求解方法归纳题型一：二次函数的值域: 配方法(图象对称轴) 例1． 求6a )(2+-=x x x f 的值域解答：配方法：4a 64a 62a 6a )(2222-≥-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f 所以值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-，4a 62例2． 求6)(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：函数图像法：423216)(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f画出函数的图像可知，6)(2+-=x x x f 在21=x 时取到最小值423，而在1-=x 时取到最大值8，可得值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡8423，。
例3． 求6a )(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a 的取值有关，所以进行分类讨论： ① 当2a-≤时，对称轴在1-=x 的左侧，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，a 7)1(min +=-=f f , 此时值域为[]a 7a 7-+，.② 当0a2≤≤-时，对称轴在1-=x 与y 轴之间，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a 74a 62，. ③ 当2a0≤≤时，对称轴在y 轴与1=x 之间，所以根据图像可知，a 7)1(max +=-=f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,所以此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-a 74a 62，④ 当a 2≤时，对称轴在1=x 的右侧，所以根据图像可知，a 7)1(max +==f f ，a 7)1(min -=-=f f所以此时的值域为[]a 7a 7+-，题型二：指数、对数函数的值域: 采用换元法例4． 求()62log )(22+-=x x x f 的值域解答：复合形式用换元：令622+-=x x t，则由例1可知，[)+∞∈,5t根据单调性，可求出t 2log 的值域为[)+∞,5log 2例5． 求624)(1++=+x x x f 的值域解答：因为()224x x=，所以，采用换元法，令xt 2=，则()+∞∈,0t则原函数变为622++t t，可以根据二次函数值域的求法得到值域为()+∞,6题型三：分式函数的值域分式函数的值域方法：(1) 分离变量(常数)法;(2) 反函数法(中间变量有界法);(3) 数形结合(解析几何法：求斜率);(4) 判别式法（定义域无限制为R ）; 例6． 求函数132)(++=x x x f 的值域 解法一：分离变量法。
常见函数解析式定义域值域的求法总结
常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。
定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。
在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。
下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。
一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。
2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。
3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。
4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。
5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。
6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。
7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。
二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。
2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。
例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。
3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。
4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。
5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。
分式函数求值域问题
分式函数求值域问题的通用解法韩善豪我这里所讲的分式函数指的是一次除一次,二次除一次,一次除二次,二次除二次,具体来看是指一下四种形式： 一次除以一次dcx b ax y ++= 二次除以一次nmx c bx ax y +++=2 一次除以二次cbx ax n mx y +++=2 二次除以二次rnx mx c bx ax y ++++=22 下面我以一些具体的例子来说一说分式函数值域的具体求法;例1.求函数212-+=x x y 的值域; 解析：此题的标准解法叫分离常数 则该函数是由xy 5=向右平移两个单位,向上平移2个单位得到,显然值域为()()+∞⋃∞-,22, 说明：d cx b ax y ++=该函数可以称为是反比例型函数,其值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ;另外此函数的对称性和单调性规律也很简单,大家可以试着总结一下; 再随便举一个例子：231-+=x x y 其值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠31y y 例2.求函数xx x y 422++=的值域; 解析：此例子比较简单,分母上的一次只是x ,显然我们可以化简得24++=xx y 则可以用对号函数的单调性解决值域为(][)+∞⋃-∞-,62, 例3.求函数1422+++=x x x y 的值域; 解析：此题和例2其实一样,只不过分母稍复杂一点;令1),0(1-=≠+=t x t x t 代入上式得 所以值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,例4.求函数4212+++=x x x y 的值域;解析：此题为一次除以二次的形式,则根据例3当01≠+x 时,我们可以先求出y1的值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,,则此时⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈63,00,63y ,当01=+x 时,0=y ,综上进得到该函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈63,63y 例5.求函数113222++++=x x x x y 的值域; 解析：此题可以转化成例4来求;121)1(2123222222+++=+++++=++++=x x x x x x x x x x x x y 仍然是一次除以二次的情况 当0=x 时2=y当0≠x 时[)⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃∈+++=37,22,11112xx y 综上⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈37,1y 说明：分式函数求值域的问题,除了一次除以一次可以口算之外,其余的几种情况基本上都可以转化成对号函数来求;以上几个题目都是我随手编的几个题,只是想给大家展示一下分式求值域通用的规律;后面我会再给大家补充几道涉及到分式求值域的高考题以及高考模拟题;。
求含有分式的函数值域的几个妙招
方法集锦求函数值域问题比较常见,其中含有分式函数的值域问题较为复杂.要求含有分式的函数值域,我们需首先求出函数的定义域,尤其要考虑分式的分母不为0的情况,然后将函数式化简、变形.求含有分式的函数值域的关键在于对函数式进行合理的化简和变形.这里介绍三种求含有分式的函数值域的方法.一、采用反函数法我们知道，反函数的定义域就是原函数的值域.当含有分式的函数存在反函数时，我们可利用反函数法来解题，先求其反函数的定义域，这样便能快速求得原函数的值域.例1.求函数y=x+1x+2的值域.解：函数y=x+1x+2的反函数为x=2y-11-y，由题意知函数的定义域为y≠1，故函数y的值域为{}y|y≠1,y∈R.利用反函数法求函数值域的前提条件是原函数存在反函数.运用该方法求函数的值域较为直接、简单.二、运用判别式法判别式法一般适用于求解一元二次函数、不等式、方程问题.对于形如y=ax2+bx+cdx2+ex+f、y=bx+cdx2+ex+f的二次分式函数，可用判别式法求函数的值域.在解题时，需先将函数式化为关于x的一元二次方程，然后求出方程根的判别式，令其大于或等于0，解不等式即可求得函数的值域.例2.求函数y=2(x+1)(x-2)(x2-1)的值域.分析：可将原函数式化为关于x的一元二次方程，然后运用二次方程根的判别式来求出原函数的值域.解：y=2(x+1)(x-2)(x2-1)=2(x-2)(x-1)=2x2-3x+2则yx2-3yx+2y-2=0，由题意知y≠0，则由Δ≥0得(-3y)2-4y(2y-2)=y2+8y≥0，解得y≤-8或y>0.所以函数y=2(x+1)(x-2)(x2-1)的值域为{}y|y≤-8或y>0.三、分离常数法分离常数法主要适用于求形如f(x)=bx+cex+f、f(x)=ax2+bx+cdx2+ex+f的分式函数的值域.在解题时，我们需将分子配凑为分母的倍数，将函数中的整式和分式分离，然后利用基本不等式或配方法求最值.例3.求函数y=(x-1)2x2+1的值域.解：y=（x2+1)-2xx2+1=1-2xx2+1.①当x=0时，y=1.②当x≠0时，y=1-2x+1x.当x>0时，由基本不等式可得x+1x≥2,此时y∈[0,1)，当x<0时，由基本不等式可得x+1x≤-2,此时y∈(1,2]，综上可述，原函数值域为[0,2].解答本题，需首先将函数式变形，使整式与分式分离，然后利用基本不等式分别讨论当x>0和x<0时函数式的值域，进而求得函数的值域.求含有分式的函数值域的方法有很多，除了以上三种方法，还有换元法、一一映射法、单调性法等.对于求含有分式的函数值域问题，我们需重点关注函数的定义域和函数的解析式，需在确定函数的定义域和将函数式变形后选择合适的方法来解题.（作者单位：江西省赣州市兴国县兴国中学）48Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法
在求解分式函数的值域时，通常可以使用以下三种方法：
1. 构造法：通过对分式函数进行构造，确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 将分式函数表示为一个等式，将等式中的分母进行因式分解，找出分母的零点，得到不可取的值。
- 根据分式函数的定义域限制和函数的性质，确定分子函数和分母函数的值域范围。
- 根据值域范围的限制，求解分式函数的值域。
2. 导数法：对分式函数求导，利用导数的性质来确定值域范围。
具体步骤如下：
- 首先找到分式函数的定义域，并求出其导数。
- 根据导数的增减性分析函数的单调性，并确定函数的极值点。
- 根据函数的单调性和极值点，确定值域范围。
3. 图像法：通过绘制函数的图像，观察其图像特征来确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 绘制分式函数的图像，可以使用计算机软件、图
形计算器等工具。
- 观察图像的函数曲线，确定函数的最大值、最小值和区间。
- 根据图像的特征，确定函数的值域范围。
这三种方法可以根据具体情况选择使用，有时也可以结合使用以求得更准确和全面的值域范围。
在实际应用中，可以根据具体的分式函数和问题的要求来选择适合的方法。
求分式函数值域的几种方法
求分式函数值域的几种方法分式函数值域的求解是函数理论中的一个重要问题。
以下列举了几种常用的方法：1.观察法通过观察函数的分子和分母，以及它们的增减性，来确定整个函数的增减性。
例如，如果一个分式函数可以化简为一个常数加上一个分子，而这个分子的根的判别式小于0，那么这个函数就是一个单调递减的分式函数。
2.极限法如果一个函数在某一点处的极限为无穷大，那么这个函数的值域就是无穷大。
因此，可以通过求解函数在某一点处的极限来确定函数的值域。
3.反解法如果一个分式函数可以表示为一个简单函数的倒数，那么可以通过反解这个简单函数来求得这个分式函数的值域。
例如，如果一个分式函数可以表示为y=1/x，那么可以通过反解x=1/y来求得这个分式函数的值域。
4.判别式法对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的函数，可以利用判别式法进行求解。
通过求解一元二次方程的判别式来确定函数的值域。
5.换元法有时候，我们可以通过引入一个新的变量来简化函数的求解过程。
例如，如果一个函数可以化简为一个常数加上一个二次函数，那么我们可以引入一个新的变量来求解这个二次函数的值域。
6.反函数法对于形如y=f(x)的函数，如果存在一个反函数x=g(y)，那么我们可以利用反函数法来求解函数的值域。
通过求解反函数的定义域来确定原函数的值域。
7.比例法对于形如y=kx/(b+kx)的函数，我们可以利用比例法进行求解。
通过将原函数转化为一个比例函数来进行求解。
8.对数法对于形如y=logax/(logbx)的函数，我们可以利用对数法进行求解。
通过将原函数转化为一个对数函数来进行求解。
9.均值不等式法对于形如y=a/(b+cx)的函数，我们可以利用均值不等式法进行求解。
通过求解均值不等式来确定函数的值域。
10.构造函数法有时候，我们可以通过构造函数来求解函数的值域。
例如，如果一个函数可以化简为一个常数加上一个二次函数与一个指数函数的乘积，那么我们可以构造一个新的函数来求解这个函数的值域。
分式函数值域
分式函数值域
分式函数定义为由两个或多个分数组成的表达式。
其中一个分数叫称分子，另一个叫分母，将它们用符号“/”表示，就叫做分式函数。
分式函数的值域，是指分式函数定义的所有可能解的集合。
分式函数的值域要看其分母，当其分母不为零时，该函数为可除函数，函数的值域是实数集合。
而当其分母为零时，该函数不可除，函数的值域为空集合。
首先，要正确判断一个分式函数的分母是否为零，而不是仅仅把所有分数都另为0来判断。
正确判断方法是：先把分式函数化简，化简得到原分数之后，才能正确判断它的分母是否为零。
其次，若分式函数的分母不为零，则函数的值域就是实数集合。
但是，若分子存在负数的话，由定义可知，分式函数值域只包含正数、负数和零而不包括分子的值，所以由此可得分式函数的值域为：
$$
\lbrace x \mid x \in \mathbb{R}, x \geq 0 \lor x \leq 0\rbrace
$$
再次，在计算分式函数的值域的过程中，要注意函数的取值范围，以及x的可能取值范围。
有时，可能会有一定的条件限制x的取值范围，这样就要根据函数定义及其特性作出相应的修正来计算分式函数的值域。
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法函数的定义域和值域是数学中的重要概念，它们描述了函数的输入和输出的范围。
在不同的数学领域和实际应用中，求解函数的定义域和值域有不同的方法和技巧。
函数的定义域是指函数中自变量的取值范围。
换句话说，定义域是使函数有意义的输入值的集合。
下面介绍一些常用方法来求解函数的定义域：1.分式函数：分式函数的定义域通常要求分母不等于零，因此我们需要找到分母为零的点，并将其排除。
求解分母为零的方程，得到函数的定义域。
2.平方根函数：平方根函数的定义域要求根号内的值大于等于零。
因此，需要将根号内的表达式>=0，并求解方程，得到函数的定义域。
3.指数函数和对数函数：指数函数的定义域通常为全体实数，而对数函数的定义域要求基数和真数都大于零。
因此，对于指数函数，不存在特定的求解方法；而对于对数函数，需要使基数和真数大于零，并求解相应的方程。
4.复合函数：复合函数的定义域由内层函数和外层函数的定义域共同确定。
首先求解内层函数的定义域，将其结果作为外层函数的自变量的定义域。
注意需要将两个函数的定义域进行交集运算，得到复合函数的定义域。
5.根式函数：根式函数的定义域需要满足根号内的表达式大于等于零。
求解根号内的方程，得到函数的定义域。
函数的值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
下面介绍一些常用方法来求解函数的值域：1.分析法：通过分析函数的特点、性质和图像，推断出函数的值域。
例如，通过观察函数的单调性、奇偶性、对称性、极值等特点，可以确定函数的值域的范围。
2.等式法：通过解方程求函数的值域。
将函数的表达式等于一个未知数，解方程得到未知数的取值范围，即为函数的值域。
3.代数运算法：通过对函数进行代数运算，得到函数的值域。
例如，对于一次函数，通过对其进行线性变换和平移，可以推导出函数的值域的范围。
4.图像法：通过绘制函数的图像，观察函数的上下界，以及是否存在水平渐近线和垂直渐近线，可以推断出函数的值域。
次分式函数值域的求法
次分式函数值域的求法 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】二次分式函数值域的求法甘肃王新宏一定义域为R 的二次分式函数用“判别式”法解题步骤：1把函数转化为关于x 的二次方程2 方程有实根，△≥03 求的函数值域例1：求y=22222+++-x x x x 的值域 解：∵x 2+x+2>0恒成立由y=22222+++-x x x x 得， （y-2）x 2+(y+1)x+y-2=0①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R②当y-2≠0时，即y ≠2时,∵x ∈R∴方程（y-2）x 2+(y+1)x+y-2=0有实根∴△=(y+1)2-(y-2)×(y-2)≥0∴3y 2-18y+15≤0∴1≤y ≤5∴函数值域为[]5,1练习1：求y=432+x x 的值域 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,43 二分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。
先来学习“√”函数。
形如y=x+x k(x>0,k>0)的函数，叫“√”函数图像单调性：在x ∈[]k ,0时，单调递减。
在x ∈[]+∞,k 时，单调递减。
值域：[]+∞,2k解题步骤：①令分母为t,求出t 的范围②把原函数化为关于t 的函数③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域例2求y=12122-+-x x x （321≤<x ）的值域解令2x-1=t,得0<t ,5≤x=21+t∴y=2112++t t212+≥ 当且仅当t t12=时，即t=2时，取“=”。
∴y 212+≥ ∴值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞+,212练习2求y=2cos 4cos 3)(sin 2--+x x x 的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,1三分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=edx cx b ax +++2(ac 0≠) 解题步骤：①令分子为t,求出t 的范围，把原函数化为关于t 的函数②分子分母同除以t ，把分母化为关于t 的“√”函数③根据复和函数的单调性得出原函数值域例3y=3312+++x x x x ()+∞-∈,1 解令x+1=t,得t ∈()+∞,0且x=t-1∴y=12++t t t =tt 111++ ∵1+t+t13≥(t=1时取“=”) ∴y 31≤且y>0 ∴值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 练习3:求y=12+x x 的值域？ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 四分子分母均为二次的二次分式函数可化为“三“求之。
小班专题分式函数值域求法
专题：分式函数值域求法数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具． 首先我们给出分式函数的定义：形如()()()p x f x q x =的函数叫做分式函数，其中)(x p 、()q x 是既约整式且()q x 的次数不低于一次．下面就)(x p 、()q x 的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论．1、一次分式函数：（1）定义：()p x 、()q x 的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如(),,0ax b f x x A c cx d+=∈≠+的函数． （2）求法：一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成1()x f y -=，由于x A ∈，则A y f ∈-)(1，解出y 的取值范围，即函数f(x)的值域．例1、求函数232x y x +=-，[]3,8x ∈的值域． 解：改写成232y x y +=-，因为[]3,8x ∈，所以23382y y +≤≤-， 解得1996y ≤≤，即原函数的值域是19,96⎡⎤⎢⎥⎣⎦．２、二次分式函数：（1）定义：()p x 、()q x 至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数， 即形如22(),,ax bx c f x x A a d dx ex f++=∈++、不全为零的函数． （2）解法：若A=2|0x dx ex f ++≠｛｝，则可采用根的判别式法求值域．例2、求函数224544x x y x x ++=++的值域． 解：化为关于x 的方程2(1)4(1)450y x y x y -+-+-=．若1y =，则方程无解，即1y ≠．因为R x ∈，所以0∆≥，解得1y ≥，即原函数的值域是（1,+∞）。
若A 2|0x dx ex f ++≠｛｝，则再分类讨论。
2.1．（1）定义：形如2()c f x dx ex f=++，,0x A d ∈≠且0c ≠的函数． （2）解法：先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数()f x 的值域．例3、求函数21(),[3,5]23f x x x x =∈---的值域． 解：令[)(]22()23(1)4,3,33,5g x x x x x =--=--∈-⋃，则[)(]()4,00,12g x =-⋃，所以函数()f x 的值域是11(,][,)412-∞-⋃+∞．2.2．（1）定义：形如2()bx c f x dx ex f+=++，,0x A d ∈≠且0b ≠ (*) 或2()ax bx c f x ex f++=+，,0x A a ∈≠且0e ≠的分式函数． （2）解法：下面就形式(*)讨论解法．≠ ⊂2.2.1．若ｃ＝０，则分子分母同除以x ，得()f x ＝b f dx e x++． 只要讨论函数(),f g x dx x A x=+∈且0x ≠的值域． 不妨设0d >．若0f <，则函数()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞上分别是增函数；若0f >，则函数()g x在和[上分别是减函数，在)+∞和(,-∞上分别是增函数．这样利用函数()g x 的单调性，先求出()g x 的值域，从而求出函数()f x 的值域．例4、求函数2(),[1,)24x f x x x x =∈+∞++的值域． 解：1(),142f x x x x=≥++．令4(),1g x x x x =+≥，则()4g x ≥， 所以函数()f x 的值域是1(0,]6．2.2.2．若0c ≠，则换元，令t bx c =+，转化为２.２.1．形式的分式函数．例5、求函数21(),(1,1)(1,3)23x f x x x x +=∈-⋃+-的值域． 解：令1t x =+，则21,(0,2)(2,4)44t y t t t t==∈⋃--． 因为4(,0)(0,3)t t -∈-∞⋃，所以函数()f x 的值域是1(,0)(,)3-∞⋃+∞．2.3．（1）定义：形如22(),,0ax bx c f x x A a dx ex f++=∈≠++且0d ≠的分式函数． （2）解法：2.3.1．若0b c ==或0e f ==，则分子分母同除以2x ，转化为求关于1x的二次函数的值域，从而求出函数()f x 的值域．例6、求函数221(),[,1]413x f x x x x =∈-+的值域． 解：22111(),[1,3]1411(2)3f x xx x x==∈-+--．因为函数 211()(2)3,[1,3]g x x x =--∈的值域是[3,2]--，所以函数()f x 的值域是11[,]23--．2.3.2．若分子分母有一个是完全平方式，不妨设22()(),,0a x m f x x A a dx ex f+=∈≠++且0d ≠，则可令t x m =+，转化为2.3.1形式的分式函数．例7、求函数2244(),[1,0]45x x f x x x x ++=∈-++的值域． 解：令2t x =+，则222111,[,1]1121t y t t t==∈++．因为2151[,2]4t +∈， 所以函数()f x 的值域是14[,]25．2.3.3．若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即：2()()ae af b x c a d d f x d dx ex f-+-=+++，转化为2.2形式的分式函数． 例8、求函数2245(),[0,2]43x x f x x x x ++=∈++的值域． 解：2222()11,[0,2]43(2)1f x x x x x =+=+∈+++-，所以函数()f x 的值域是175[,]153．。
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法分式函数是指由多项式函数构成的有理函数。
它包含了一个或多个分子和一个分母，其中分子和分母可以是多项式。
分式函数在数学和实际问题中的应用广泛，了解如何求解分式函数的值域对于我们理解和解决问题至关重要。
在这篇文章中，我将介绍三种常见的方法来求解分式函数的值域，它们分别是图像法、限制法和分解法。
这些方法各有特点，可以帮助我们更加全面地了解和解决分式函数的问题。
让我们来学习图像法。
图像法是通过绘制分式函数的图像来确定其值域的一种方法。
我们可以根据分式函数的定义域和其在定义域内的行为来判断其值域。
具体来说，我们可以观察分式函数的图像是否有水平渐近线、垂直渐近线或者有界。
水平渐近线表示分式函数在无穷远处趋于某个值，垂直渐近线表示分式函数在某个点处的值趋于无穷大或无穷小，而有界表示分式函数在某个区间内的值处于有限范围内。
通过观察这些特征，我们可以确定分式函数的值域。
让我们来学习限制法。
限制法是通过限制分式函数的变量取值范围来确定其值域的一种方法。
对于分式函数，我们通常会限制其变量的取值范围，避免分母为零或分式函数没有定义的情况。
通过解决限制条件，我们可以确定分式函数的值域。
让我们来学习分解法。
分解法是通过将分式函数拆分成更简单的形式来确定其值域的一种方法。
我们可以将分式函数进行因式分解，得到其最简形式。
在分解过程中，我们可能会发现一些因子可以抵消，使得分式函数的值域更加清晰和简单。
通过分解分式函数，我们可以更好地理解其值域。
通过以上三种方法，我们可以综合考虑分式函数的图像、限制条件和分解形式，来确定其值域。
对于每个具体的问题，我们可以根据实际情况选择最适合的方法来求解。
对于分式函数三种值域求解法的个人看法，我认为每种方法都有其独特的优势和适用场景。
图像法可以将抽象的数学概念通过图像的形式呈现出来，直观易懂，适合直观思维的人。
限制法可以通过限制变量的取值范围，直接对分式函数的值域进行约束，适合求解特定范围内的问题。
最简分式型函数求值域的速解法
反 比例 函数 ｖ ＝ 先 向右 平 移 两 个 单 位 ，再 向 上 平 移 两 个单 位 得到 ． 画／ ｋ ｌ ｆ （ ｘ ） 的 图像 ， 然 后 根 据 反 比 例 函 数在 ［ ３ ， ８ ］ 上 的 单 调
１ｎ
解题 的正 确 率却 很 低 ． 即便 做对 了 ， 也 可 能 花 费 了 很 长 时 间． 在 高 考时 若还 是这 样 显然 是不 行 的． 下 面 我 根 据 自 己 的 教学 经 验给 出这 类 问题 的一 种 速解 法 ， 可 以 大 大 提 高 解 题 效率 ． １ ． 最 简 分式 函 数 的 两 种 形 式
成立．
注： （ １ ） 一 般 式 通 过 分 离 常 数 法 都 可 以化 成 中 心 式 ， 即ｙ ＝
ｂ ｃ － ａ ｄ
三 ＋ ！
ｃ ｄ
Ｘ＋——
Ｃ
．
用此法 求解例 ｌ ： ｘ ｏ ＝ ２隹［ ３ ， ８ ］ ， ｆ （ ３ ） ＝ ９ ＞ ｆ （ ８ ） ＝
就可得 到值域 ［ ｍ， ｎ ］ ， 其 中ｍ是ｆ （ ｐ ） 和ｆ （ ｑ ） 的较小者 ， ｎ 是ｆ （ ｐ ） 和ｆ （ ｑ ） 的较 大 者 ； 当ｘ 。 ∈Ｉ ｖ ， ｑ ］ 时， 定义域 是［ ｐ ， ｘ ｏ ） ｕ（ ｘ 。 ， ｑ ］ ， 比
②中心式 ： ｙ ＝ ｙ ｎ ＋ — பைடு நூலகம்（ ｋ ≠Ｏ ） ．
≤ ７． ． ． ． 一 １ ９
…
．
．
．
３≤ ｘ≤ ８ 。． １≤ ｘ 一 ２≤ ６ ． ～ ７ ≤
７
一
≤ ２＋一
６
ｘ － ２
６
ｘ － ２
（ ０， ＋∞） ， ｔ ｏ ＝ 一 ２隹（ ０， ＋∞） ，
二次分式函数值域的求法
５
．・．ｏ＜瓦暑而≤｛，
・’・ｏ＜百蒜≤专，
求函数，，＝掣（一１≤茗≤１）的值
即ｏ＜，，≤百１，所以函数值域为（ｏ，专］。
方法三（化二次函数法） 对函数进行变量分 离，转化为二次函数定轴定区间问题。
解：ｙ＝［（２一菇）＋去］一ｌ，
令ｔ＝２一茗，－ｏＯ一１≤聋≤１，．・．１≤ｔ≤３，
・．。Ｙ＝人ｔ）在［３，４］上为增函数，
性质，由茗的范围逐步求出，，的范围。
管一 ，ｆ １
例２求函数），２≯赢４－４－的值域。
解：Ｙ２万去ｉ２百焉砀
・．‘（髫＋１）２＋４≥４。
．・．），血＝以３）＝号，ｙ一＝“４）＝５。 所以函数值域为［号，５］。
方法五（利用最值定理法）对函数进行变量分
离，化为勾形函数ｙ＝似＋÷（口＞ｏ，ｂ＞ｏ），再利用
例３求函数ｙ＝≯ｘｚ了＋而６ｘ－４４－／１４．（茗≥１）的值域。
ｆ。．■４公
则，，：以１）：¨４。一１（１≤ｆ≤３），
解：ｙ＝万ｘ２＋忑６ｘｉ－４
一【查±２２１±至ｆ苎±２２＝１２
（善＋２）２
．・．ｙ≥√ｔ・÷一ｌ＝３，
当且仅当ｔ：｛，ｌ＝２，即互＝０时，，，血＝３。 又以１）：４。以３）：等’．．．，，一：４。
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Ｉ
ＳＨＩＴＩＹＵＹＡＮＪ Ｉ Ｕ
考试指导 ４５
函数是高中数学教学中最核心的内容，求函数 的值域又是函数教学中的核心内容不同类型的函数 求值域的方法也是不同的，本文专就二次分式函数 值域的求法作一些探讨，供参考。 方法一（判别式法）将二次分式函数转化为一 元二次方程的形式，利用根的判别式求函数的值域。
方法总结-分离常数法与分离参数法
分离常数法与分离参数法分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1.用分离常数法求分式函数的值域例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<.2.用分离常数法判断分式函数的单调性例2 已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b x b++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值例3 设1x >-，求函数2710()1x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>. 由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立. ∴当1x =时，()f x 取得最小值9.分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x=+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数.∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知xa ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围. 解 ∵()2a a f x x x =-+，∴2()1af x x'=+. 又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a .3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围.解 原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立. 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.解得x <4.用分离参数法解决不等式有解问题例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围.解 原不等式可化为3421x x a -+-<-. ∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-. 又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥.5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.解 直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒. ∴直线l 恒过定点(3,1).。
分式型值域
分式型值域【学习目标】1．了解分式型值域问题的适用范围，掌握解决分式型值域问题的方法；2．会针对不同情况选择合适的方法求分式型值域．【学习重难点】1．在函数综合性问题中识别出分式型值域问题，并利用合适的方法求解；2．注意讨论分子/分母为0的特殊情况．【知识精讲】1．ax by cx d+=+（一次比一次）的值域 （1）分离常数法先将分式分离常数，再根据反比例函数图像求出值域． 例如：求212x y x +=-的值域．()2152152222x x y x x x -++===+---， 根据图像求得()()5,00,2x ∈-∞+∞-U ，因此原函数值域为()(),22,-∞+∞U ． （2）秒杀法ax b d y x cx d c +⎛⎫=≠- ⎪+⎝⎭值域为|a y y c ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭或写作,,a a c c ⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ； ax b y cx d+=+，(),x p q ∈值域为()()(),f p f q 或()()(),f q f p （由()f p ，()f q 大小决定）．2．2ax bx cy mx n ++=+和2mx n y ax bx c+=++（二次比一次/一次比二次）的值域（1）求2ax bx cy mx n ++=+型值域可通过凑配法或大除法，转化为1x x+型函数（对勾函数）或1x x-型函数的值域问题． 例如：求2241x x y x ++=+值域．311y x x =+++，设()10t x t =+≠，则函数转化为3y t t=+，根据对勾函数图像，原函数的值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ． （2）求2mx ny ax bx c+=++的值域可通过取倒数转化为（1），注意要加上0y =的情况．例如：求2124x y x x +=++的值域．①1x ≠-时，211324111y x x x x x ==++++++，由于()31,1x x ⎡++∈-∞-+∞⎣+U，66y ⎡⎫⎛∈⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U ； ②1x =-时，0y =．综上原函数值域为66⎡⎢⎣⎦．（3）万能∆法将函数转化为关于x 的一元二次方程，再通过0∆≥来计算y 的取值范围． 例如：求2124x y x x +=++的值域．函数可化为()221410yx y x y +-+-=，0y =时，1x =-；0y ≠时，()()2=214410y y y ∆---≥，解得y ≤≤，故原函数值域为⎡⎢⎣⎦．注：该方法不适用于分式函数可约分的情况．3．22ax bx cy mx nx p ++=++（二次比二次）（1）通过分离常数法转化为2mx ny ax bx c+=++型函数值域的问题．（2）万能△法，步骤与2中相同．【经典例题】例1. 求下列函数值域（1）323x y x +=- （2）224x y x +=-（3）4526x y x +=-，()1,2x ∈【答案】（1）{}|3y y ≠（2）1|2y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭（3）139,24y ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【解析】（1）直接利用秒杀法写结果；（2）直接利用秒杀法写结果； （3）()914f =-，()1322f =-，因此原函数值域为139,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【总结】一次比一次型值域问题可以直接使用秒杀法解决．【变式】 求下列函数值域（1）sin 22sin x y x +=-（2）3sin 32cos 10x y x -=+（3）221xx y =+【答案】（1）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）5,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）()0,1【解析】（1）设sin t x =，则原函数转化为22t y t+=-，[]1,1t ∈-，代入1t =和1t =-可得原函数值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）()3sin 33sin 12cos 102cos 5x x y x x --==⋅+--，可看作点()cos ,sin x x 和()5,1-连线斜率k 的32倍，由于()cos ,sin x x 在单位圆221x y +=上，当过定点()5,1-的直线与单位圆相切时k 取最值，联立()22115x y y k x ⎧+=⎪⎨-=+⎪⎩，由0∆>可解得5,012k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故原函数值域为5,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（3）设2x t =，则原函数化为1ty t =+，()0,t ∈+∞，可化为111y t =-+，根据反比例函数图像可得原函数值域为()0,1．例2. 2019郑州二模高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大A.,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B.(]0,2C.{}0,1,2D.{}0,1,2,3【答案】C【解析】设2x t =，则()312t f x t +=+，()0,t ∈+∞，可化为()512221f x t =++，根据反比例函数图像可得原函数值域为1,32⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()y f x =⎡⎤⎣⎦的值域为{}0,1,2． 故选：C ．【总结】要从综合性问题中识别出分式函数值域问题，再通过换元法转化为一次比一次型值域，求值域时注意换元后定义域的变化．例3. 求下列函数值域（1）231x x y x++=（2）2231x x y x ++=+（3）[]236,1,12x x y x x-+=∈--【答案】（1）(][),15,-∞+∞U （2）(),⎡-∞-+∞⎣U （3）[]3,4【解析】（1）函数可化为13y x x =++，由于1y x x=+（对勾函数）的值域为(][),22,-∞-+∞U ，故原函数值域为(][),15,-∞+∞U ；（2）设1t x =+，函数可化为222t y t t t+==+，其值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ，故原函数值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ；（3）设2t x =-，[]1,3t ∈，则函数可化为244=1t t y t t t-+=+-，[]1,3t ∈，根据对勾函数图像可得原函数值域为[]3,4．【总结】二次比一次型值域问题可以转化为对勾函数值域问题解决，或转化为关于x 的一元二次方程，再根据0∆≥计算y 的取值范围．求下列函数值域 （1）2y（2）321x x y x -+=-【答案】（1）5,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦（2）{}|1y y ≠-【解析】（1）设t =[)2,t ∈+∞，则函数可化为211t y t t t+==+，[)2,t ∈+∞，根据对勾函数图像可得原函数值域为5,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦．（2）函数定义域为{}|1x x ≠，因此函数可化为2y x =-()1x ≠，值域为{}|1y y ≠-．注：该题目采用万能∆法求解会得到错解y ∈R ，因为忽略了定义域{}|1x x ≠．例4. 求下列函数值域（1）21xy x =+ （2）234xy x =+（3）()21,1,33x y x x x +=∈-+∞++ 【答案】（1）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）10,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】（1）0x =时，0y =；0x ≠时函数可化为11y x x=+，由于1y x x=+（对勾函数）的值域为(][),22,-∞-+∞U ，此时值域为11,00,22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U ；综上原函数值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）函数可化为关于x 的一元二次方程2340yx x y -+=，0y =时，0x =；0y ≠时，29160y ∆=-≥，解得3344y -≤≤；综上原函数值域为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （3）设1t x =+，()0,t ∈+∞，则函数可化为21=111t y t t t t=++++，()0,t ∈+∞，由于11t t ++在()0,t ∈+∞的取值范围是[)3,+∞，则原函数的值域为10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【总结】一次比二次型值域问题中分母可转化为对勾函数的值域问题，需要注意讨论分子为0的情况；另可化为关于x 的一元二次方程，再根据0∆≥计算y 的取值范围．求下列函数值域（1）241x y x =+（2）2cos 2sin 3cos 4x y x x -=+- 【答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）3,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）设2t x =，[)0,t ∈+∞，0t ≠时函数可化为2111t y t tt ==++，由于1t t +在()0,t ∈+∞时的取值范围是[)2,+∞， 原函数值域为10,2⎛⎤⎥⎝⎦；0t =时，0y =；综上，原函数值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）cos t x =，[]1,1t ∈-，函数可化为22221113433212t t y t t t t t t --===-+--+-⎛⎫--++ ⎪-⎝⎭[]1,1t ∈-， 因为[]23,1t -∈--，由对勾函数图像可得1721,123t t ⎡⎤-++∈--⎢⎥-⎣⎦， 故原函数值域为3,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例5. 2019辽宁二模当1x >时，不等式211x x a x -+≤-有解，则实数a 的取值范围是（ ） A.(],2-∞B.[)2,+∞C.[)3,+∞D.(],3-∞【答案】C【解析】设()211x x f x x -+=-，函数可化为()()1111111f x x x x x x =+=-++>--， 根据对勾函数图像可得()f x 值域为[)3,+∞，若不等式211x x a x -+≤-有解，必有 3a ≥，即a 的取值范围是[)3,+∞，故选：C ．【总结】题目表面是根据不等式求参数范围，但其本质依然是分式函数的求值域问题．例6. 已知()28721442x f x x x ++=++，求()f x 的值域．【答案】[]1,4-【解析】()()()2242138721442211x x f x x x x ++++==++++， 故()2431x f x x +=+，设()2431x y f x x +==+，转化为2430yx x y -+-=，0y =时，34x =-；0y ≠时，()16430y y ∆=--≥，解得14y -≤≤；综上()f x 的值域为[]1,4-．【总结】先利用配凑法求出函数的解析式，再用一次比二次型值域求解．例7. 求下列函数值域（1）()2211x y x +=+ （2）22222x x y x x -+=++（3）222311x x y x x ++=++【答案】（1）[]0,2（2）5,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）1⎡+⎢⎣ 【解析】（1）函数可化为关于x 的一元二次方程()21210y x x y --+-=，1y =时，1x =；1y ≠时，()24410y ∆=--≥，解得02y ≤≤； 综上原函数值域为[]0,2；（2）函数可化为关于x 的一元二次方程()()()221210y x y x y -+++-=， 2y =时，23x =-；2y ≠时，()()()218210y y y ∆=+---≥，解得537y ≤≤；综上原函数值域为5,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）函数可化为关于x 的一元二次方程()()22310y x y x y -+-+-=，2y =时，1x =；2y ≠时，()()()234210y y y ∆=----≥，解得11y ≤+综上原函数值域为1⎡⎢⎣． 【总结】二次比二次值域问题，可使用万能∆法解决，需要注意讨论二次项系数为0的情况．例8. 不等式22222311x x a x x -+>--+对于任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是__________【答案】⎡⎣【解析】()222231x x f x x x -+=-+，根据万能∆法可求出其值域为102,3⎛⎤⎥⎝⎦，不等式22222311x x a x x -+>--+对于任意实数x 成立，则必有212a -≤，解得a ⎡∈⎣，故答案为：a ⎡∈⎣．【总结】“对于任意实数恒成立”这类条件，关键在于获取边界条件；本题通过二次比二次型值域问题，求出222231x x x x -+-+的最小值为3，想要让不等式恒成立，则需要使得21a -“比最小值的还小”，据此列式解出a 的取值范围．【变式】已知函数2281mx x ny x ++=+定义域为R ，值域[]1,9，求m ，n ．【答案】5m =，5n =【解析】将函数转换为()280y m x x y n --+-=，y m ≠时，()()6440y m y n ∆=---≥，化简得()()16y m y n --≤，1，9是方程()()16y m y n --=的两个根，代入解得5m n ==； y m =时，5m n ==满足题意；故5m =，5n =．【课后练习】1.求函数213x y x +=-的值域．2.设函数()22ax bf x x +=+ 的值域为[]1,4-，求a 、b 的值．3.求函数的值域221223x x y x x -+=-+．【课后练习答案】1．【答案】{}|2y y ≠【解析】使用秒杀法直接得到原函数值域为{}|2y y ≠．2．【答案】a =±6b =【解析】令()22ax b y f x x +==+即220yx ax y b -+-=， 方程有根，可得()2420a y y b ∆=--≥即22840y by a --≤，函数的值域为[]1,4-，所以1-和4是方程22840y by a --=的两根，由韦达定理得a =±6b =．3．【答案】31,102⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】原函数可化为()()22121310y x y x y ---+-=，12y =时，方程无解； 12y ≠时，()()()221421310y y y ∆=----≥， 整理得2201630y y -+≤，解得31102y ≤<，故原函数的值域为31,102⎡⎫⎪⎢⎣⎭．。
利用判别式法求二次分式函数的值域
=
a1 a2
(x (x
− −
m) m)
(x (x
− −
x1 x2
) )
(x1
̸=
x2) 的形式;
同时由命题
一的证明过程可知: 方程 (1) 与方程 (2) 虽不是同解方程, 但
方程 (2) 仅仅产生了一个增根 x = m 而已. 对于此类假二次
分式函数, 我们有如下命题:
命题三
如果二次分式函数
y
=
a1x2 a2x2
(a1
∗
a2 ̸= 0) 的分子分母互素, 那么
(1) 当
a1 a2
̸=
b1 b2
时, 函数 y =
a1x2 + b1x + c1 a2x2 + b2x + c2
的值域为
不等式 ∆ = (b2y − b1)2 − 4 (a2y − a1) (c2y − c1) 0 的解
集;
∆
(2) 当 a1 = b1
2019 年第 8 期 (下)
中学数学研究
43
利用判别式法求二次分式函数的值域
陕西省城固师范学校 (723200) 刘敬民
对于形如 y
=
a1x2 a2x2
+ +
b1 b2
x x
+ +
c1 c2
(a1
,
a2
中至少有一个不
为零) 的二次分式函数的值域问题, 许多学生教辅用书一直
刻意强调函数的定义域为实数集 R, 即 b2 − 4ac < 0 时用判
别式法求解.
而对于 b2 − 4ac 0 时的函数值域问题采取回避的态
度. 实际上此法可扩展适用于所有的二次分式函数, 在解题
简单分式型三角函数最值(值域)问题的求解策略
意 等 号成立 的条件 ．
：
１ ７＋
ｓ ｉ ｎ
＋
里
．
１ 一ｓ ｉ ｎ
因为 ０ ＜ ＜ ， 所以０ ＜ ｓ ｉ ｎ ｘ ＜１ 且０ ＜１ 一 ｓ ｉ ｎ ｘ ＜１ ，
ｉ ｎｘ 因此 厂 （ ） ：１ ７ ＋— １ － ｓ ＋
以这种方法有 的书上也 叫做分离常数法 ． 策 略 ３ 构造 辅 助角和 函数 有界性 相结 合
例 ３ 已知 ∈ （ ０ ， ， 求函数． ｙ ：
小值 ．
的最
解 原 函数可化为 ：Ｙ ： 兰 二
去 分母得 ｓ ｉ ｎ ２ ｘ ＋ Ｃ Ｏ Ｓ ２ ｘ ＝２．
，
解 原函数可变形为ｓ ｉ ｎ ｘ － 而 ｙ ＋ ３，
—
策 略 ５ 整体换 元 和 函数单 调性 相 结合
ｓ ｉ ｎ
ｌ— ｓ ｉ ｎ
例 ５ 已知函数 ： ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ＋ ——ｌ ＿一 ， ∈ （ ０ ，
ｓ ｉ ｎ ＣＯＳ
１ ７＋ ２，
Ｖ ／
） ，求 Ｙ的最小 值 ．
ｓ ｉ ｎ
．
ｌ— ｓ ｉ ｎ
，由正 弦 函数 的有
、 ／ 。 ＋１
解之得Ｙ ≥ ７ ， 或 妄．
所 以原 函数 的值 域为 （ 一 Ｏ ０ ， ｕ［ ７， ＋ Ｏ ０ ）． 点 评 上 述解 法第 一步 进行 的是 用 Ｙ来表 示 ｘ，
这 与 求 反 函数 的 思路 是一 致 的 ，进 而 利 用正 弦 函数 的有界 性 求 出 Ｙ的范 围 ，即为 函数 的值 域 ．
ｖ ２ ２ｔ ａ ｎＸ
求分式函数值域的几种方法
求分式函数值域的几种方法摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.关键词：分式函数 值域 方法.1 引言求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析．2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域如果分式函数变形后可以转化为2122ay b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域.例1 求21231y x x =-+的值域. 解：2131248y x =⎛⎫--⎪⎝⎭，因为231248x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥18-，所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞.例2 求函数221x xy x x -=-+的值域.解：2111y x x -=+-+， 因为22112x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭34+≥34，所以34-≤2101x x -<-+， 故函数的值域为1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件.2.2 利用判别式法求分式函数的值域我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ∆=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域.例1 求223434x x y x x -+=++的值域.解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①，当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数， 所以∆≥0，即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0， 解得，17≤y ≤1或1y <≤7，又当1y =时，0x =，故函数的值域为1,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例2 函数2221x bx cy x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值.解：化为()20y x bx y c --+-=，⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈⇒∆=---≥0，⇒()224428y c y c b -++-≥0，由已知()2244280y c y c b -++-=的两根为1，3， 由韦达定理得，2c =，2b =±. ⑵当2y =时20cx b-==有解 综上⑴和⑵，2b =±，2c =.由这两个例题我们知道在利用判别式法求分式函数的值域时要注意下列问题： 1、函数定义域为R （即分母恒不为0）时用判别式求出的值域是完备的.2、当x 不能取某些实数时（分母为零），若要用判别式法求它的值域则需要对使()22222111y a x b x c a x b x c ++=++的判别式0∆=的y 值进行检验.3、转换后的一元二次方程若二次项系数中含有字母则需要讨论其是否为0只有在其不为0的情况下才可以使用判别式法.2.3 利用函数单调性求分式函数的值对于求函数的值域问题，我们通常使用能够揭示此类函数本质特征的通性通法即利用函数的单调性来求其值域.例1求函数21(,1)1x y x R x x -=∈≠-+的值域. 解：211x y x -=+=2(1)31x x +-+321x =-+， 当1x >-时，31x +是x 减函数进而y 是x 的增函数，于是(),2y ∈-∞-； 当1x <-时，同样y 是x 的增函数，于是y ∈()2,+∞； 所以211x y x -=+(1)x ≠-的值域为(),2-∞-∪()2,+∞. 在求分式函数时我们常运用函数ay x x=+的单调性的结论： ⑴当0a >时在(-∞和)+∞上增函数，在)⎡⎣和(上是减函数.⑵当0a <时在(),0-∞和()0,+∞上是增函数.例2 求函数24xy x x =-+（1≤x ≤3）的值域. 解：0x ≠所以41xy x x=+-.令4t x x=+在[]1,2上是减函数，在[]2,3是上增函数，所以2x =时，min 4t =；1x =时，max 5t =； 所以[]4,5t ∈，[]13,t t -∈，故值域为11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2.4 利用反函数法求分式函数的值域设()y f x =有反函数，则函数()y f x =的定义域是它反函数的值域，函数()y f x =的值域是其反函数的定义域.那么如果一个分式函数的反函数存在，我们就可以通过求反函数的定义域来求其值域.例1求函数251xy x =+的值域. 解：由于函数251x y x =+1()5x ≠-的映射是一一映射因此反函数存在，其反函数为25x y x =- 明显知道该函数的定义域为2|5x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭， 故函数的值域为2,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用ax by cx d+=+(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法.我们用这种方法目的是找关于y 的不等式所以反函数求值域的实质是反函数的思想树立这种思想是我们的宗旨.下面这种方法就是利用了反函数的思想比较通用的方法.2.5 利用方程法求分式函数的值域在1999年第2期《数学教学》第38页给出了下面的结论和证明.对函数()y f x =()x D ∈将其视为方程若能通过同解变形得到单值函数()x g y =*()y A ∈即()y f x =()x D ∈⇔()x g y =*()y A ∈则*A 即为()y f x =的值域利用这一结论函数问题转化为方程问题.又在2006年第2期《数学教学》“用方程法求函数值域”一文中给出了这样的引理及其证明.引理：设函数()y f x =的定义域为A 值域为B ，又设关于x 的方程()y f x =在A 中有解的y 的取值集合为C ，则C B =.例1 （2005年全国高考理科卷Ⅲ第22题）已知函数247()2x f x x -=-[]0,1x ∈求函数()f x 的值域解：247()2x f x x-=-，[]0,1x ∈，所以2247y xy x -=-，[]0,1x ∈， 即24(72)0x yx y +-+=，[]0,1x ∈.这样函数的值域即为关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解的y 的取值集.令()g x =24(72)x yx y +-+，[]0,1x ∈，则关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解⇔(0)(1)g g ⋅≤0或(0)0(1)00122444(72)0g g b ya b ac y y >⎧⎪>⎪⎪⎨<-=-<⎪⨯⎪-==⨯--≥⎪⎩⇔72-≤y ≤3-或4-≤y ≤72-⇔4-≤y ≤3， 即所求函数的值域为[]4,3--.2.6 利用换元法求分式函数的值域当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向.换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）.在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换等.例1求函数]0,1[,5444)(22-∈++++=x x x x x x f 的值域． 解：令2+=x t ，则]1,21[1,1111222∈+=+=t t t t y ．因为]2,45[112∈+t ， 所以函数)x (f 的值域是]54,21[．例2 求函数423(1)x y x =+的值域．解：令tan x θ=，(,)22ππθ∈-， 则44233tan tan (1tan )sec y θθθθ==+=42sin cos θθ =2221sin sin 2cos 2θθθ≤32221sin sin 2cos 23θθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭427=. 当且仅当2tan 2θ=时“=”成立.所以函数423(1)x y x =+的值域为40,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 在这道例题中不仅用了换元法还用了均值不等式.利用三角函数来代换是我们在用换元法解题最常用的在换元后根据三角函数的有界性求能求出函数的值域 .在用换元法的时候重要的就是要注意换元后的自变量发生了改变，那么它的定义域也就变了.注意到这点才能准确地求出值域.2.6 利用不等式法求分式函数的值域“不等式法”就是通过利用不等式的一些性质和均值不等式来求某些具有一定特性的分式函数的值域.若原函数通过变形后的分子分母符和下列条件①各变数为正；②各变数的和或积为常数.则可以考虑用均值不等式求它的值域.要注意在得到结论之后要说明其中等号能够取到.例1 求函数224(1)(3)x y x +=+(1)x >-的值域.解：224(1)(1)4(1)4x y x x +=++++244(1)41x x =++++. 因为10x +>，所以411x x +++≥4，则41481x x +++≥+，所以0y <≤2438=（当1x =时取等号），故函数的值域为(]0,3. 例2 设123n S n =++++，n N ∈求1()(32)nn S f n n S +=+的最大值.（2000年全国高中数学联赛）解：1()(32)n n S f n n S +=+(1)2(1)(2)(32)2n n n n n +=+++⋅2(32)(2)3464n n n n n n ==++++， 即化为了求分式函数最值的问题1()6434f n n n =++.又因为6434n n++≥34+50=， 当64n n =即8n =时“=”成立，所以对任何n N ∈有()f n ≤150， 故()f n 的最大值为150.例2表面上看是数列的问题而实际是我们可以将其转化为求函数值域的问题在这里我们利用均值不等式的性质来求其值域就使得整个解题过程利用数更简单.2.8 斜率法求分式函数的值域数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方法.数是形的抽象概括，形是数的直观表现.华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.这种方法不仅仅体现在数学的其它领域中，在求函数的值域与最值时也有良好的反映.联想到过11(,)A x y ，22(,)B x y 的直线AB L 的斜率为2121AB y y k x x -=-，我们可以考虑把分式函数化为斜率式并利用数形结合法来求函数的值域.例1 求函数232()()2(32)3t f t t t =>-的最小值. 解：函数()f t 可变形为()f t 23064t t -=-2()3t >，设2(6,3)A t t ，(4,0)B 则()f t 看作是直线AB 的斜率， 令6x t =，23y t =则212(4)x y x =>.在直角坐标系中A 点的轨迹为抛物线的一部分直线与抛物线相切是斜率最小. 过点(4,0)B 直线方程为：(4)y k x =-将它代入212x y =， 有212480x kx k -+=，则0∆=推算出43k =此时8x =， 即8t =时，min 4()3f t =. 例2 求211x x y x +-=+1(2-≤x ≤1)的值域.解：2()1(1)x x y x +-=--，令(1,1)A -，2(,)B x x x +，则AB y k =，点B 的轨迹方程为2y x x =+1(2-≤x ≤1)， 111(,)24B --，2(1,2)B ，152AB k =-，212AB k =，所以51,22AB y k ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，即函数的值域为51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.斜率法同样可以运用在形如ax by cx d+=+的分式函数中，函数的值域就转化为求直线斜率的范围给出了这样的结论：对于函数ax by cx d+=+22(0,0,0)c a b bc ad ≠+≠-≠，x ∈[],m n ，若记{}1min (),()m f m f n =，{}2max (),()m f m f n =，则当dx c=-(),m n ∈时值域为(]1,m -∞∪[)2,m ∞.当dx c=-∉(),m n 时，值域为[]12,m m .3 结论整篇文章介绍了求分式函数八种比较常用的方法，可以根据题目不同的特点灵活选取不同的方法，而实际上在我们通常遇到的题目中并不是只用一种方法就能解决问题，而是要综合几种方法.当然有一些特殊的分式函数，在求值域的时就会用到特殊的方法.但是最重要的是每种方法都要注意其函数的定义域.参考文献：[1]贾士代.用方程法求函数值域[J] . 数学教学，2006（2）：21[2]王习建. 21112222a x b x c y a x b x c ++=++型函数值域的求法[J] .数理化解题研究 ，2003（6）：25[3]张莲生.sin sin a x by c x d+=+ 的值域的求法[J] .数理天地（高中版），2001（10）：19-20[4]王建海. 活用均值不等是巧解数学题[J] .数学教学通讯，2003（12）：17 [5]钟国雄 .一个函数最小值问题的多种解法[J] . 中学生数学，2002（5）：23 [6]江思容、望孝明 .求最值问题的若干途径[J] . 中学数学研究，2003（8）：35 [7]傅洪海、陈宏. 关于反函数求值域的思考[J] . 数学教学， 1999（2）：29-30 [8]陈士明.从求()bf x x x a=++的单调区间谈起[J] . 数学教学，1999（2）：27-28。
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分式函数求值域问题的通用解法
韩善豪
我这里所讲的分式函数指的是一次除一次，二次除一次,一次除二次，二次除二次,具体来看是指一下四种形式： 一次除以一次d
cx b ax y ++= 二次除以一次n
mx c bx ax y +++=2 一次除以二次c
bx ax n mx y +++=2 二次除以二次r
nx mx c bx ax y ++++=22 下面我以一些具体的例子来说一说分式函数值域的具体求法。
例１.求函数2
12-+=x x y 的值域。
解析:此题的标准解法叫分离常数
2
5225)2(2212-+=-+-=-+=
x x x x x y 则该函数是由x y 5=向右平移两个单位，向上平移2个单位得到,显然值域为()()+∞⋃∞-,22, 说明：d cx b ax y ++=该函数可以称为是反比例型函数，其值域为⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a 即⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≠c a y y 。
另外此函数的对称性和单调性规律也很简单,大家可以试着总结一下。
再随便举一个例子:231-+=x x y 其值域为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≠31y y 例2.求函数x
x x y 422++=的值域。
解析：此例子比较简单,分母上的一次只是x ，显然我们可以化简得
24++=x
x y 则可以用对号函数的单调性解决值域为(][)+∞⋃-∞-,62, 例3.求函数1
422+++=x x x y 的值域。
解析：此题和例2其实一样，只不过分母稍复杂一点。
令1),0(1-=≠+=t x t x t 代入上式得
t
t t t t t t y 334)1(2)1(22+=+=+-+-= 所以值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,
例４.求函数4
212+++=x x x y 的值域。
解析:此题为一次除以二次的形式，则根据例３当01≠+x 时,我们可以先求出
y 1的值域为(][)
+∞⋃-∞-,3232,,则此时⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈63,00,63y ，当01=+x 时,0=y ，综上进得到该函数的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
-∈63,63y 例５．求函数1
13222++++=x x x x y 的值域。
解析:此题可以转化成例4来求。
1
21)1(2123222222+++=+++++=++++=x x x x x x x x x x x x y (仍然是一次除以二次的情况) 1
22+++=x x x y 当0=x 时2=y
当0≠x 时[)⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃∈+++=37,22,11112x
x y 综上⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈3
7,1y 说明:分式函数求值域的问题,除了一次除以一次可以口算之外,其余的几种情况基本上都可以转化成对号函数来求。
以上几个题目都是我随手编的几个题，只是想给大家展示一下分式求值域通用的规律。
后面我会再给大家补充几道涉及到分式求值域的高考题以及高考模拟题。