结构振动理论第十讲(习题课)研究
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1
2 2 2 m 2 5 5 0 2 5 11 0
0 1 x x m 0 2 x 0 m 3 0
1 由特征方程有 [k ] [m]{X } 2 { X } p 1 1 L [ k ] [ m ] I ，得频率方程 构造特征矩阵有 2 p
V k1b(q1 bq3 ) k1d (q1 dq3 ) ak2 (q2 aq3 ) ak2 (q2 aq3 ) q3
V 2k2 (q2 aq3 ) q2
则运动方程为
1 2k1q1 k1 (b d )q3 0 Mq
2 2k 2 q2 2ak 2 q3 0 Mq
归一化振型的第i列为 A
i N
1 Mi
Ai
0.8361 0.2149 0.5049 1 AN 0 . 4927 0 . 6848 0 . 5390 m 0.8432 0.5278 0.1017
由此得到归一化以后的振型矩阵为
多自由度系统习题
4 . 试确定题3中三层楼建筑框架由于作用于第三层楼水平方 向的静载荷P忽然去除所引起的自由振动响应。 解：在上题中已求得系统的质量矩阵和固有振型矩阵分别为
1 应用拉格朗日方程导出题1图所示系统的运动微分方程。
解：取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。即 q i xi i 1,2,3,4 1 1 1 1 2 2 2 2 1 4 则系统的动能 T m1 x m2 x2 m3 x3 m4 x 2 2 2 2 1 1 1 1 系统的势能为 V k1 x12 k 2 ( x2 x1 ) 2 k3 ( x3 x2 ) k 4 ( x4 x3 ) 2
写成矩阵形式:
m1 0 m 0 0 0 m2 0 0
kq 0 mq
0 0 m3 0 0 0 0 m4
其中
k1 k 2 k2 k 0 0
k2 k2 k3 k3 0
0 k3 k3 k4 k4
12EJ 2 k2 2 3 h2
12EJ 3 k3 2 3 h3
1 k1
广义坐标如图示。利用柔度影响系数法求柔度矩阵。 即对m1施加单位力，其余不受力，此时第一个弹簧变形为 第二和第三个弹簧变形为零。由此可得各坐标位移为， 1 11 k1 1 21 k1 1 31 多自由度系统习题 k1
同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为
2 2 2 h 2 5 5 144EJ 2 5 11
3
系统的质量矩阵为
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
根据达朗贝尔原理，得到系统的方程为
x1 h3 x 2 144EJ x3
0 0 k4 k4
q T x1 x2 x3 x4
多自由度系统习题
2 为了隔离机器产生的振动，将机器安装在一大的基座上， 基座由弹簧支承，如下图所示。试求机器和基座在图示平面 内的运动方程。
多自由度系统习题
解： 选择坐标q1、q2、q3，这些坐标已能完全描述该系统的运 动，并相互独立。设机器和基座的总质量为M，总质量对质心G 点的惯性矩为IG，则
q2 x2
d T 2 dt x
T m x ; 0 2 2 x 2
V k 2 ( x 2 x1 ) k 3 ( x3 x 2 ) k 2 x1 (k 2 k 3 ) x 2 k 3 x3 x 2 q3 x3 d T T m x ; 0 3 3 dt x x 3 3 V k 3 ( x3 x 2 ) k 4 ( x 4 x3 ) k 3 x 2 (k 3 k 4 ) x3 k 4 x 4 x3 q4 x4 d T 4 dt x T m x ; 0 4 4 x 4
2 2 2 2
计算拉格朗日方程中的各项导数如下：
多自由度系统习题
1
q1 x1
d T T m x ; 0 1 1 dt x x 1 1 V k1 x1 k 2 ( x 2 x1 ) (k1 k 2 ) x1 k 2 x 2 x1
分别代入特征值，得到主振型矩阵为
1.000 1.000 1.000 A 2 . 295 1 . 377 0 . 645 3.929 1.037 0.1220
0 0 21.6508m M P A T MA 0 3 . 9243 m 0 0 0 1.4303 m
EJ1 3EJ
EJ 2 2EJ
EJ3 EJ
x1
x2 x3 为相对地面的坐标。
求出系统的固有频率和按模态质量为一归一化后振型矩阵。 多自由度系统习题
解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为
12 EJ k 3 由此可将题图等效为右图所示的质量弹簧系统，其中 l
12EJ1 k1 2 h13
V k 4 ( x 4 x3 ) k 4 x3 k 4 x 4 x 4
多自由度系统习题
将以上各项导数代入拉格朗日方程得
1 (k1 k 2 ) x1 k 2 x 2 0 m1 x 2 k 2 x1 (k 2 k 3 ) x 2 k 3 x3 0 m2 x 3 k 3 x 2 (k 3 k 4 ) x3 k 4 x 4 0 m3 x 4 k 4 x3 k 4 x 4 0 m4 x
3
其中
EJ p1 9.979 3 mh
EJ p2 55.07 3 mh
EJ p3 151 3 mh
多自由度系统习题
5. 在题3的三层楼建筑中，假定地面的水平运动加速度
s a sin t x
试求各层楼板相对于地面的稳态水平强迫振动。 解：在习题3中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
0.8361 0.2149 0.5049 1 AN 0 . 4927 0 . 6848 0 . 5390 m 0.8432 0.5278 0.1017
当作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除时，相当于 受到了初始条件的激励，即 0 2 3 2 2 2 0 Ph 3 x x0 5 0 h 144EJ 2 5 5 0 11 144EJ 2 5 11 12.168 模态坐标初始条件为 3 Ph m T 1 . 379 x N (0) A N Mx 0 = 144EJ T 0.099
m asin t * f S m asin t m asin t
0.2149 0.5049 0.8361 1 AN 0 . 4927 0 . 6848 0 . 5390 m 0.8432 0.5278 0.1017
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
由题意，在相对坐标系下，基础激励相当于施加作用力为
坐标与弹簧变形量之间 关系为：
1 1 1 2 2 2 1 2 3 T Mq Mq IGq 2 2 2
x1 q2 aq3 x2 x3 0
y1 y4 0
x4 q2 aq3
y2 q1 bq3 y3 q1 dq3
1 1 1 1 2 2 2 V k1 (q1 bq3 ) k1 (q1 dq3 ) k 2 (q2 aq3 ) k 2 (q2 aq3 ) 2 2 2 2 2
EJ m h3
解出固有频率为
EJ p1 9.979 3 mh
p2 55.07
EJ p3 151 3 mh
多自由度系统习题
当系统自由度数不太大时(如N=2~4)，可以采用下列求伴随矩 阵的方法求解固有振型：由振动方程
[k ]{X } [m]{X }
由特征方程 [k ] [m] 0
N (0) A N Mx 0 x
多自由度系统习题
Leabharlann Baidu
模态坐标的响应为
12.168cos p1t Ph m xN 1 . 379 cos p t 2 144EJ 0.099cos p3 t
3
2) 3) 1) x N 2 A (N xN3 变换回物理坐标响应为： x A (N x N1 A (N
然后设
([k ] [m]){X } {0}
解出特征值i与固有频率pi
[Qi ] [k ] i [m]
可以证明[Q]阵的伴随矩阵adj[Q]的任意一列，就是 相应于 i的特征向量，即是固有振型{Xi}
[Q] [k ] [m] [Q][Q]1 [ I ]
[Q] adj[Q] [Q] [I ] 当 i [Q ] 0
L 0
多自由度系统习题
即
2 2 2
2
2
5 5 0 5 11
其中
m h3 1 , 2 144EJ p
，展开得频率方程为
3 182 54 2 36 3 0
解出
1 14.43 , 2 2.62 , 3 0.954
i
记adj[Qi]的任意一列为{i}，则
[Qi ] {i } ([k ] i [m]){ i } {0}
{i } {X i }
因此 [Qi ] adj[Qi ] [0] 多自由度系统习题
证毕
对于本例，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列
(5 )(11 ) 251 2 adjL 10 2 2 (11 ) 10 2 2 (5 )
式中，V为贮存在弹簧中的势能 多自由度系统习题
由拉格朗日方程得 d ( T ) mq1 dt q1
d T ( ) mq2 dt q2 d T ( ) I o q3 dt q3
T 0 q1
T 0 q3
T 0 q2
V k1 (q1 bq3 ) k1 (q1 dq3 ) q1
3 k1 (b d )q1 2ak2 q2 (b 2 d 2 )k1q3 2a 2 k 2 q3 0 IGq
因此系统具有三坐标耦合的运动方程。 多自由度系统习题
，
，
3 上图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑模型。 假设：
m1 m2 m3 m
h1 h2 h3 h
展开得到
2.616cos p1t 0.702cos p 2 t 0.083cos p3t Ph x 5 . 999 cos p t 0 . 938 cos p t 0 . 053 cos p t 1 2 3 144EJ 10.258cos p1t 0.727cos p 2 t 0.010cos p3 t
2 2 2 m 2 5 5 0 2 5 11 0
0 1 x x m 0 2 x 0 m 3 0
1 由特征方程有 [k ] [m]{X } 2 { X } p 1 1 L [ k ] [ m ] I ，得频率方程 构造特征矩阵有 2 p
V k1b(q1 bq3 ) k1d (q1 dq3 ) ak2 (q2 aq3 ) ak2 (q2 aq3 ) q3
V 2k2 (q2 aq3 ) q2
则运动方程为
1 2k1q1 k1 (b d )q3 0 Mq
2 2k 2 q2 2ak 2 q3 0 Mq
归一化振型的第i列为 A
i N
1 Mi
Ai
0.8361 0.2149 0.5049 1 AN 0 . 4927 0 . 6848 0 . 5390 m 0.8432 0.5278 0.1017
由此得到归一化以后的振型矩阵为
多自由度系统习题
4 . 试确定题3中三层楼建筑框架由于作用于第三层楼水平方 向的静载荷P忽然去除所引起的自由振动响应。 解：在上题中已求得系统的质量矩阵和固有振型矩阵分别为
1 应用拉格朗日方程导出题1图所示系统的运动微分方程。
解：取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。即 q i xi i 1,2,3,4 1 1 1 1 2 2 2 2 1 4 则系统的动能 T m1 x m2 x2 m3 x3 m4 x 2 2 2 2 1 1 1 1 系统的势能为 V k1 x12 k 2 ( x2 x1 ) 2 k3 ( x3 x2 ) k 4 ( x4 x3 ) 2
写成矩阵形式:
m1 0 m 0 0 0 m2 0 0
kq 0 mq
0 0 m3 0 0 0 0 m4
其中
k1 k 2 k2 k 0 0
k2 k2 k3 k3 0
0 k3 k3 k4 k4
12EJ 2 k2 2 3 h2
12EJ 3 k3 2 3 h3
1 k1
广义坐标如图示。利用柔度影响系数法求柔度矩阵。 即对m1施加单位力，其余不受力，此时第一个弹簧变形为 第二和第三个弹簧变形为零。由此可得各坐标位移为， 1 11 k1 1 21 k1 1 31 多自由度系统习题 k1
同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为
2 2 2 h 2 5 5 144EJ 2 5 11
3
系统的质量矩阵为
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
根据达朗贝尔原理，得到系统的方程为
x1 h3 x 2 144EJ x3
0 0 k4 k4
q T x1 x2 x3 x4
多自由度系统习题
2 为了隔离机器产生的振动，将机器安装在一大的基座上， 基座由弹簧支承，如下图所示。试求机器和基座在图示平面 内的运动方程。
多自由度系统习题
解： 选择坐标q1、q2、q3，这些坐标已能完全描述该系统的运 动，并相互独立。设机器和基座的总质量为M，总质量对质心G 点的惯性矩为IG，则
q2 x2
d T 2 dt x
T m x ; 0 2 2 x 2
V k 2 ( x 2 x1 ) k 3 ( x3 x 2 ) k 2 x1 (k 2 k 3 ) x 2 k 3 x3 x 2 q3 x3 d T T m x ; 0 3 3 dt x x 3 3 V k 3 ( x3 x 2 ) k 4 ( x 4 x3 ) k 3 x 2 (k 3 k 4 ) x3 k 4 x 4 x3 q4 x4 d T 4 dt x T m x ; 0 4 4 x 4
2 2 2 2
计算拉格朗日方程中的各项导数如下：
多自由度系统习题
1
q1 x1
d T T m x ; 0 1 1 dt x x 1 1 V k1 x1 k 2 ( x 2 x1 ) (k1 k 2 ) x1 k 2 x 2 x1
分别代入特征值，得到主振型矩阵为
1.000 1.000 1.000 A 2 . 295 1 . 377 0 . 645 3.929 1.037 0.1220
0 0 21.6508m M P A T MA 0 3 . 9243 m 0 0 0 1.4303 m
EJ1 3EJ
EJ 2 2EJ
EJ3 EJ
x1
x2 x3 为相对地面的坐标。
求出系统的固有频率和按模态质量为一归一化后振型矩阵。 多自由度系统习题
解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为
12 EJ k 3 由此可将题图等效为右图所示的质量弹簧系统，其中 l
12EJ1 k1 2 h13
V k 4 ( x 4 x3 ) k 4 x3 k 4 x 4 x 4
多自由度系统习题
将以上各项导数代入拉格朗日方程得
1 (k1 k 2 ) x1 k 2 x 2 0 m1 x 2 k 2 x1 (k 2 k 3 ) x 2 k 3 x3 0 m2 x 3 k 3 x 2 (k 3 k 4 ) x3 k 4 x 4 0 m3 x 4 k 4 x3 k 4 x 4 0 m4 x
3
其中
EJ p1 9.979 3 mh
EJ p2 55.07 3 mh
EJ p3 151 3 mh
多自由度系统习题
5. 在题3的三层楼建筑中，假定地面的水平运动加速度
s a sin t x
试求各层楼板相对于地面的稳态水平强迫振动。 解：在习题3中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
0.8361 0.2149 0.5049 1 AN 0 . 4927 0 . 6848 0 . 5390 m 0.8432 0.5278 0.1017
当作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除时，相当于 受到了初始条件的激励，即 0 2 3 2 2 2 0 Ph 3 x x0 5 0 h 144EJ 2 5 5 0 11 144EJ 2 5 11 12.168 模态坐标初始条件为 3 Ph m T 1 . 379 x N (0) A N Mx 0 = 144EJ T 0.099
m asin t * f S m asin t m asin t
0.2149 0.5049 0.8361 1 AN 0 . 4927 0 . 6848 0 . 5390 m 0.8432 0.5278 0.1017
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
由题意，在相对坐标系下，基础激励相当于施加作用力为
坐标与弹簧变形量之间 关系为：
1 1 1 2 2 2 1 2 3 T Mq Mq IGq 2 2 2
x1 q2 aq3 x2 x3 0
y1 y4 0
x4 q2 aq3
y2 q1 bq3 y3 q1 dq3
1 1 1 1 2 2 2 V k1 (q1 bq3 ) k1 (q1 dq3 ) k 2 (q2 aq3 ) k 2 (q2 aq3 ) 2 2 2 2 2
EJ m h3
解出固有频率为
EJ p1 9.979 3 mh
p2 55.07
EJ p3 151 3 mh
多自由度系统习题
当系统自由度数不太大时(如N=2~4)，可以采用下列求伴随矩 阵的方法求解固有振型：由振动方程
[k ]{X } [m]{X }
由特征方程 [k ] [m] 0
N (0) A N Mx 0 x
多自由度系统习题
Leabharlann Baidu
模态坐标的响应为
12.168cos p1t Ph m xN 1 . 379 cos p t 2 144EJ 0.099cos p3 t
3
2) 3) 1) x N 2 A (N xN3 变换回物理坐标响应为： x A (N x N1 A (N
然后设
([k ] [m]){X } {0}
解出特征值i与固有频率pi
[Qi ] [k ] i [m]
可以证明[Q]阵的伴随矩阵adj[Q]的任意一列，就是 相应于 i的特征向量，即是固有振型{Xi}
[Q] [k ] [m] [Q][Q]1 [ I ]
[Q] adj[Q] [Q] [I ] 当 i [Q ] 0
L 0
多自由度系统习题
即
2 2 2
2
2
5 5 0 5 11
其中
m h3 1 , 2 144EJ p
，展开得频率方程为
3 182 54 2 36 3 0
解出
1 14.43 , 2 2.62 , 3 0.954
i
记adj[Qi]的任意一列为{i}，则
[Qi ] {i } ([k ] i [m]){ i } {0}
{i } {X i }
因此 [Qi ] adj[Qi ] [0] 多自由度系统习题
证毕
对于本例，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列
(5 )(11 ) 251 2 adjL 10 2 2 (11 ) 10 2 2 (5 )
式中，V为贮存在弹簧中的势能 多自由度系统习题
由拉格朗日方程得 d ( T ) mq1 dt q1
d T ( ) mq2 dt q2 d T ( ) I o q3 dt q3
T 0 q1
T 0 q3
T 0 q2
V k1 (q1 bq3 ) k1 (q1 dq3 ) q1
3 k1 (b d )q1 2ak2 q2 (b 2 d 2 )k1q3 2a 2 k 2 q3 0 IGq
因此系统具有三坐标耦合的运动方程。 多自由度系统习题
，
，
3 上图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑模型。 假设：
m1 m2 m3 m
h1 h2 h3 h
展开得到
2.616cos p1t 0.702cos p 2 t 0.083cos p3t Ph x 5 . 999 cos p t 0 . 938 cos p t 0 . 053 cos p t 1 2 3 144EJ 10.258cos p1t 0.727cos p 2 t 0.010cos p3 t