(新课程)高中数学《第一章 解三角形章末质量评估 新人教A版必修5
人教A版高中数学必修五第一章解三角形.docx
第一章解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝bsin B ＝csin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1C ．2 6D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B， 得4sin 45°＝bsin 60°，∴b ＝2 6.3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形 答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22. ∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C .∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C ， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102. 9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 由正弦定理，得3sin2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形． 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝2×222＝12. 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围． 解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故a b的取值范围是(2，3)．1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0<c ≤403.4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 答案 A解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6 答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4kc ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72kb ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4 答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ，得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B2R sin B －2R sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边．所以等式成立，即a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°. 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35， 故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.1．1.2 余弦定理(一)课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．5 答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ， ∴C ＝45° . 二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60° ＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________． 答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.能力提升13．(2010·潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状． 解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得 a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab . ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 答案 19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19.8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ，∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin Bsin C·cos A＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且AB ·BC ＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C . 解 （1）∵AB ·BC ＝－21，∴BA ·BC =21.∴BA ·BC = |BA |·|BC |·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB =53，∴sinB = 54. ∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54= 14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°.能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆， 则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设BA ·BC =23，求a+c 的值. 解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA · =23得ca ·cosB = 23由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.§1.2 应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45°解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC ＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时答案 B解析 由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小． 二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得 ∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BCsin ∠CAB＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°， 解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)． 答 河对岸A 、B 两点间距离为64km.能力提升13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302.化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解如图所示，连结A1B2，由已知A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10 2.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×2 2＝200.∴B1B2＝10 2.因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(海里/小时)．答乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解．2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．§1.2 应用举例(二)课时目标1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)2．已知△ABC 的两边a 、b 及其夹角C ，则△ABC 的面积为12ab sin C .一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α与β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝βC ．α<βD ．α＋β＝90° 答案 B2．设甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2) m,20 3 m D.152 3 m ，203 3 m 答案 A解析 h 甲＝20tan 60°＝203(m)．h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．30＋30 3 mB ．30＋153mC ．15＋303mD ．15＋33m 答案 A解析 在△PAB 中，由正弦定理可得60sin (45°－30°)＝PBsin 30°，PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB sin 45°＝(30＋303)m.4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D ．22h 米答案 A解析 如图所示， BC ＝3h ，AC ＝h ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h .5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m 答案 B解析 如图所示，600·sin 2θ＝2003·sin 4θ，∴cos 2θ＝32，∴θ＝15°， ∴h ＝2003·sin 4θ＝300 (m)．6．平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是( ) A ．16 B ．17.5 C ．18 D ．18.53 答案 A解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17， a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65.解得：a ＝5，b ＝4，cos α＝35或a ＝4，b ＝5，cos α＝35，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16. 二、填空题7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．答案 北偏东30° 3a 解析如图所示，设到C 点甲船追上乙船， 乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ， 则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°， 由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B，∴1sin ∠CAB ＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AC ＝3a .8．△ABC 中，已知A ＝60°，AB ∶AC ＝8∶5，面积为103，则其周长为________． 答案 20解析 设AB ＝8k ，AC ＝5k ，k >0，则 S ＝12AB ·AC ·sin A ＝103k 2＝10 3. ∴k ＝1，AB ＝8，AC ＝5，由余弦定理： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝82＋52－2×8×5×12＝49.∴BC ＝7，∴周长为：AB ＋BC ＋CA ＝20.9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．答案 27π5解析 不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12， 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5.10．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile 的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．答案 23解析 设舰艇和渔船在B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得：∠ACB ＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t ，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，AC ＝10，则(21t )2＝(9t )2＋100－2×10×9t cos 120°，解得t ＝23或t ＝－512(舍)．三、解答题11．如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求山高CD .解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得：AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC ，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β). 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β ＝h cos αsin βsin (α－β).即山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).12．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．解连接BD ，则四边形面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD ·sin A ＋12BC ·CD ·sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A ＝16sin A .由余弦定理：在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，BD 2＝42＋62－2×4×6cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴四边形ABCD 的面积S ＝16sin A ＝8 3.能力提升13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解 作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130(m)，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150(m)． 在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.即∠DEF 的余弦值为1665.14．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．解如图所示：∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°∵AB＝30，∴BC＝30，BD＝30tan 30°＝30 3.在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，∴CD＝30，即两船相距30 m.1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．第一章解三角形复习课课时目标1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 答案 C解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 答案 C解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)， c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c a ＋c >b即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk3mk >m (k ＋1)，∴k >12.4．如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α)．则A 点离地面的高AB 等于( )A.a sin αsin βsin (α－β)B.a sin αsin βcos (α－β)C.a sin αcos βsin (α－β)D.a cos αcos βcos (α－β)答案 A解析 设AB ＝h ，则AD ＝hsin α，在△ACD 中，∵∠CAD ＝α－β，∴CD sin (α－β)＝ADsin β.∴a sin (α－β)＝h sin αsin β，∴h ＝a sin αsin βsin (α－β). 5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49 答案 D解析 S △ABC ＝12AC ·AB ·sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401.∴BC ＝49.6．(2010·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ， sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得 c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc 得 a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝6b243b2＝32. 又∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 二、填空题7．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.答案 6解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35，得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A ＝____________.答案2393解析 由S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 9．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是 ______________． 答案 2<x <2 2解析 因为三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2. 10．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________km.答案 20 2解析 如图所示，BC sin 45°＝ACsin 30°。
高中数学 第一章 解三角形全套教案 新人教A版必修5
高中数学：新人教A 版必修5全套教案第一章 解三角形课题: 1．1．1正弦定理●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin a b A B=sin cC=A cB (图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
新人教A版必修5高中数学第一章解三角形章末检测(B)
第一章 解三角形章末检测（B ）新人教A 版必修5(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π33.在△ABC 中，已知||＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →²AC →等于( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±24．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 25．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <2 57．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223C ．－63 D.638．下列判断中正确的是( )A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( )A.34B.32C.3或32D.32或3410．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C为( )A. 3 B ．1 C.33 D.3211．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( ) A ．60° B ．45°或135°13．在△ABC 中，若sin A a＝cos Bb，则B ＝________.14．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________．15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，H 、G 、B 三点在同一条直线上，在G 、H 两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．20．(12分)为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．21．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．22．(12分) 如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．第一章 解三角形 章末检测 答案 (B)1．B [∵a >b >c ，∴C 最小．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋32－122³2³3＝32，又∵0<C <π，∴C ＝π6.]2．B [∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0. ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝12，又∵0<C <π，∴C ＝π3.]∴||²|AC →|²sin A ＝12³4³1³sin A ＝ 3. ∴sin A ＝32.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°或120°.²AC →＝|AB →|²|AC →|cos A＝4³1³cos A ＝±2.] 4．D [由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin C ＝c ²sin B b ＝2sin 120°6＝12，∵c <b ，∴C 为锐角．∴C ＝30°，∴A ＝180°－120°－30°＝30°. ∴a ＝c ＝ 2.]5．D [由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC ²cos A ， 即72＝52＋AC 2－10AC ²cos 120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.]6．D [由题意，x 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧22＋42－x 2>022＋x 2－42>0解得：23<x <2 5.]7．D [由正弦定理得15sin 60°＝10sin B.∴sin B ＝10²sin 60°15＝33.∵a >b ，A ＝60°，∴B <60°. ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－332＝63.]8．B [A ：a ＝b sin A ，有一解； B ：A >90°，a >b ，有一解； C ：a <b sin A ，无解；D ：c >b >c sin B ，有两解．]9．D [由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴12＝(3)2＋BC 2－2³3³BC ³32.整理得：BC 2－3BC ＋2＝0. ∴BC ＝1或2.当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³1³12＝34.当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³2³12＝32.]10．C [由S △ABC ＝12BC ²BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形， 其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.]11．C [由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2， 又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1， 故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1， 即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C.] 12．B [由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2a 2＋2b 2c 2，得cos 2C ＝a 2＋b 2－c 22ab2＝a 4＋b 4＋c 4＋2a 2b 2－2c 2a 2－2b 2c 24a 2b 2＝12⇒cos C ＝±22.∴角C 为45°或135°.]13．45°解析 由正弦定理，sin A a ＝sin Bb.∴sin B b ＝cos Bb.∴sin B ＝cos B .∴B ＝45°.14．10 3解析 设AC ＝x ，则由余弦定理得： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC cos A ，∴49＝25＋x 2－5x ，∴x 2－5x －24＝0. ∴x ＝8或x ＝－3(舍去)．∴S △ABC ＝12³5³8³sin 60°＝10 3.15．8 6解析 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝64³32＝326，∴v ＝MN4＝86(海里/小时)．16.33解析 由(3b －c )cos A ＝a cos C ，得(3b －c )²b 2＋c 2－a 22bc＝a ²a 2＋b 2－c 22ab，即b 2＋c 2－a 22bc ＝33，由余弦定理得cos A ＝33.17．解 在△ACD 中，∠DAC ＝α－β， 由正弦定理，得AC sin β＝DCα－β，∴AC ＝a sin βα－β∴AB ＝AE ＋EB ＝AC sin α＋h ＝a sin βsin αα－β＋h .18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ²sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(33)2＋52－2³33³5³cos 30°＝7. ∴b ＝7.19．解 (1)在△POC 中，由余弦定理， 得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ²OC ²cos θ ＝5－4cos θ， 所以y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12³1³2sin θ＋34³(5－4cos θ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答 四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.20．解 ①需要测量的数据有：A 点到M 、N 点的俯角α1、β1；B 点到M 、N 点的俯角α2、β2；A 、B 的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM ，由正弦定理AM ＝d sin α2α1＋α2；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ³AN α1－β1. 21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.22．解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∠OCP ＝120°.在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CPsin θ，∴2sin 120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ.又OC －θ＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为S (θ)＝12CP ²OC sin 120°＝12²43sin θ²43sin(60°－θ)³32 ＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32cos θ－12sin θ ＝2sin θ²cos θ－23sin 2θ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－33∴θ＝π6时，S (θ)取得最大值为33.。
高中数学 第一章 解三角形模块综合评价 新人教A版必修5(2021年最新整理)
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(一) 解三角形(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a＞b，则下列正确的是( )A．a2＞b2B．ac＞bcC．ac2＞bc2D．a－c＞b－c解析：A选项不正确，因为若a＝0，b＝－1，则不成立;B选项不正确，c≤0时不成立；C 选项不正确，c＝0时不成立;D选项正确,因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．答案:D2．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝4错误!，则B等于（）A．45°或135° B．135°C．45°D．30°解析:因为A＝60°,a＝4错误!，b＝4错误!，由正弦定理错误!＝错误!，得sin B＝错误!＝错误!＝错误!.因为a＞b，所以A＞B,所以B＝45°.答案：C3．数列1，1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1,…的前n项和S n〉1 020,那么n的最小值是( ）A．7 B．8C．9 D．10解析：因为1＋2＋22＋…＋2n－1＝错误!＝2n－1，所以S n＝（2＋22＋…＋2n)－n＝错误!－n＝2n＋1－2－n.若S n>1 020，则2n＋1－2－n〉1 020，所以n≥10.答案:D4．若集合M＝{x|x2＞4｝，N＝错误!，则M∩N＝（）A．{x|x＜－2} B．｛x｜2＜x＜3} C．｛x|x＜－2或x＞3} D．｛x｜x＞3}解析：由x2＞4，得x＜－2或x＞2，所以M＝｛x|x2＞4}＝｛x|x＜－2或x＞2｝．又3－xx＋1＞0,得－1＜x＜3,所以N＝{x｜－1＜x＜3}；所以M∩N＝｛x|x＜－2或x＞2}∩{x｜－1＜x＜3}＝{x｜2＜x＜3｝．答案：B5．已知各项均为正数的等比数列｛a n｝，a1·a9＝16,则a2·a5·a8的值为( ）A．16 B．32 C．48 D．64解析：由等比数列的性质可得，a1·a9＝a错误!＝16。
2019-2020人教A版数学必修5章末综合测评1 解三角形
章末综合测评(一) 解三角形满分：150分 时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k >0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个A [由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝62>1，即sin B >1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°B [设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝12，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.]3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( ) A ．π4或3π4 B ．3π4 C ．π4D ．π6C [由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22. ∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ， 则C 为锐角，故C ＝π4.]4．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( )A ．±53 B ．23 C ．－53D ．53A [因为a sin A ＝b sinB ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.]5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6B [∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6＝k (k >0)，则⎩⎨⎧b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.]6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A ．1＋32B ．1＋ 3C ．2＋22D ．2 3B [∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°＝4b 2－12－63， ∴b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3.]7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D [由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk ，(m >0)， ∵⎩⎨⎧a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎨⎧m （2k ＋1）>2mk ，3mk >m （k ＋1）， ∴k >12.]8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形B [由已知可得1－cos A 2＝12－b 2c ，即cos A ＝bc ，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc ， 所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A . 在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．]9．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2C ． 2D ．22C [∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.]10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A ．154B ．1534C ．2134D ．3534B [∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3，5，7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534.]11．如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( )A ．12小时 B ．1小时 C ．32小时D ．2小时B [在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时．]12．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为()A ．33B ．36C ．63D ．66D [设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a 22×32a ·32a ＝13.又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C . ∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a 2a ·223＝66.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知△ABC 为钝角三角形，且C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________．a 2＋b 2<c 2[∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，且C 为钝角，∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故a 2＋b 2<c 2.]14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．2π3 [由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.]15．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于________，AC 的取值范围为________．2 (2，3) [设A ＝θ⇒B ＝2θ. 由正弦定理得AC sin 2θ＝BCsin θ， ∴AC 2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°， 故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3)．]16．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B ＝________．4 [∵b a ＋ab ＝6cos C ， ∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ， ∴2a 2＋2b 2－2c 2＝c 2，又tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos A sin A cos C ＋sin C cos B sin B cos C ＝sin C （sin B cos A ＋cos B sin A ）sin A sin B cos C ＝sin C sin （B ＋A ）sin A sin B cos C ＝sin 2C sin A sin B cos C ＝c 2ab cos C ＝c 2ab a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[解](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝（1＋3）a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B>0，故cos B＝22，所以B＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝3 5.(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．[解](1)∵cos B＝35>0，且0<B<π，∴sin B＝1－cos2B＝4 5.由正弦定理得asin A＝bsin B，sin A＝a sin Bb＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 19．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． [解] (1)∵cos A ＝2cos 2A2－1， ∴2cos 2A2＝cos A ＋1.又2cos 2A2＋cos A ＝0，∴2cos A ＋1＝0， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又a ＝23，b ＝2，cos A ＝－12， ∴(23)2＝22＋c 2－2×2×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，化简，得c 2＋2c －8＝0， 解得c ＝2或c ＝－4(舍去)．20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ?[解] 如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△CBD 中，由余弦定理得 cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314.在△ACD 中，21sin 60°＝ADsin α，∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值． [解] (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0， 即(2cos C ＋1)2＝0， ∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴absin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1. 22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋3cos A ＝2.(1)求角A 的大小；(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC 的面积．(写出一种方案即可)[解] (1)依题意得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝1，∵0<A <π，∴π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝π2， ∴A ＝π6.(2)参考方案：选择①②.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝2 2. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×22×2＋64＝3＋1.。
高中数学第一章解三角形1 1 1正弦定理素养评价检测含解析新人教A版必修5
正弦定理(20分钟35分)1.(2020·白银高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=,B=,a=,则b= ( ) A.2 B. C.3 D.2〖解析〗选A.由正弦定理=,得b===2.2.△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=,bcos A=sin B,则A= ( )A. B. C. D.〖解析〗选D.因为a=,bcos A=sin B,所以bcos A=asin B,所以由正弦定理可得sin Asin B=sin Bcos A,因为B是三角形的内角,sin B≠0,所以tan A=,由A是三角形内角可得A=.3.(2020·广州高二检测)在△ABC中,AB=1,AC=,B=,则角C= .〖解析〗在△ABC中,AB=1,AC=,B=,利用正弦定理得:=,解得sin C=.由于AC>AB,0<C<π,故C=.答案:4.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则sin B=.〖解析〗由正弦定理得sin C===.可知C为锐角,所以cos C==.所以sin B=sin(180°-120°-C)=sin(60°-C)=sin 60°·cos C-cos 60°·sin C=.答案:5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin A=5sin B,△ABC的周长为15,则b= .〖解析〗因为3sin A=5sin B,所以由正弦定理可得3a=5b,又因为b+c=2a,a+b+c=15,所以3a=15,故5b=15,b=3.答案:36.(2020·天津高一检测)(1)在△ABC中,已知a=2,c=,A=120°,求边b和角C.(2)在△ABC中,已知cos A=,B=,b=,求边a,c.〖解析〗(1)因为a=2,c=,A=120°,由正弦定理可得,=,所以=,则sin C=,因为a>c,所以C=30°=B,故b=c=.(2)因为cos A=,所以sin A=,因为B=,b=,由正弦定理可得,=,即=,所以a=,因为sin C=sin(A+B)=×+×=,由正弦定理可得=,即=,所以c=.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,b=2,A=60°,则tan B等于( )A.1B.C.D.〖解析〗选B.由正弦定理,得sin B=·sin A=×=,根据题意得b<a,故B<A=60°,因此B为锐角.于是cos B==,故tan B==.2.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于( )A.3∶2∶1B.∶2∶1C.∶∶1D.2∶∶1〖解析〗选D.因为A∶B∶C=3∶2∶1,A+B+C=180°,所以A=90°,B=60°,C=30°.所以a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶∶=2∶∶1.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果c=a,B=30°,那么角C等于( )A.120°B.105°C.90°D.75°〖解析〗选A.因为c=a,所以sin C=sin A=sin(180°-30°-C)=sin(30°+C)=,即sin C=-cos C.所以tan C=-.又0°<C<180°,所以C=120°.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A=,b=1,△ABC的外接圆半径为1,则△ABC的面积S= ( ) A. B. C.1 D.〖解析〗选B.由正弦定理==2R,得a=,sin B=,因为a>b,所以A>B,所以B=,C=,所以S△ABC=××1=.5.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin=bsin A,则cos B= ( ) A.- B. C.- D.〖解析〗选B.因为asin=bsin A,所以asin=acos=bsin A,又由=可得asin B=bsin A,所以cos=sin B,两边平方得cos2=sin2B,可得:=1-cos2B,即2cos2B+cos B-1=0,解得cos B=或-1,又因为B∈(0,π),所以cos B=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则c= . 〖解析〗由cos A=,cos B=,得sin A=,sin B=.得sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.又因为sin(π-C)=sin C=sin(A+B),所以sin C=,由正弦定理=,得c==.答案:7.△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足acos B-bcos A=c,则△ABC的形状为.〖解析〗根据正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,(其中R是△ABC外接圆的半径)代入acos B-bcos A=c得2Rsin Acos B-2Rsin Bcos A=2Rsin C,所以sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B),所以sin Acos B-sin Bcos A=sin Acos B+sin Bcos A,所以2sin Bcos A=0,又因为sin B≠0,所以cos A=0,又A∈(0,π),所以A=,所以该三角形为直角三角形.答案:直角三角形〖补偿训练〗在△ABC中,若3b=2asin B,cos A=cos C,则△ABC的形状为.〖解析〗由正弦定理知b=2R·sin B,a=2R·sin A,则3b=2a·sin B可化为:3sin B=2sin A·sin B.因为0°<B<180°,所以sin B≠0,所以sin A=,所以A=60°或120°,又cos A=cos C,所以A=C,所以A=60°,所以△ABC为等边三角形.答案:等边三角形8.(2020·烟台高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60°,c=,则= .〖解析〗由C=60°,c=,得==,所以a=2sin A,===4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.△ABC的三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,且满足csin A+acos C=0.(1)求C的值;(2)若cos A=,c=5,求sin B和b的值.〖解析〗(1)将csin A+acos C=0利用正弦定理化简得:2Rsin Csin A+2R sin Acos C=0,即2sin Csin A+2sin Acos C=0.因为sin A≠0,所以sin C+cos C=0,即tan C=-.因为C∈(0,π),所以C=.(2)因为cos A=,A∈,所以sin A==,则sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.因为sin B=,c=5,sin C=sin=.则由正弦定理=,得b===3-4.10.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求sin C.〖解析〗(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0.由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=.由于0<A<π,所以A=.(2)由正弦定理,得=,从而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos +cos Bsin =.1.在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,则的取值范围是. 〖解析〗在锐角三角形ABC中,A,B,C<90°,即所以30°<B<45°.由正弦定理知:===2cos B∈(,),故的取值范围是(,).答案:(,)2.如图,边长为2的等边三角形ABC中,O是BC的中点,D,E分别是边AB,AC上的动点(不含端点),∠DOE=120°,记∠BOD=θ.试将AD,AE分别用含θ的关系式表示出来,并证明AD+AE为定值.〖解析〗由∠DOE=120°,∠BOD=θ,B=60°,得∠BDO=120°-θ,∠COE=60°-θ,∠CEO=60°+θ, 在△BOD和△COE中,由正弦定理可得,=,=, 故BD=,CE=,所以AD=2-,AE=2-,0°<θ<60°.从而AD+AE=4--=4--=4-=4-=3,故AD+AE=3为定值.。
2021-2022学年数学人教A必修五课件：第一章 解三角形 单元素养评价
25t 3t
2
又0<C<π,故C=2 .
3
8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A=(2c-a)cos B,c=2,a=1,
则△ABC的面积是( )
A.1
B. 3
C.1
2
2
D. 3
【解析】选B.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A=(2c-a)cos B,
m=(a+b,sin C),n=( 3 a+c,sin B-sin A),若m∥n,则B的大小为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选D.因为m=(a+b,sin C),
n=( 3a+c,sin B-sin A),若m∥n, 所以(a+b)(sin B-sin A)-sin C( a3+c)=0, 由正弦定理知:(a+b)(b-a)=c( 3a+c), 即a2+c2-b2=-3 ac. 由余弦定理知:2accos B=- 3ac, 所以cos B=- 3,因为B∈(0,π),所以B=150°.
b= 3 ,则△ABC外接圆的面积是 ( )
A.2π
B.π
C. 3
D.
4
2
【解析】选B.设△ABC 外接圆的半径为r,
则 2r= b =23,解得r=1,
sin B sin 60
所以△ABC外接圆的面积=π×12=π.
5.(2020·烟台高一检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量
所以由正弦定理可得:(b+c)b=(a+c)(a-c),
新课标人教A版必修5第一章《解三角形》全章教案
(图 1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图 1．1-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= a sin B b sin A ,则 同理可得 从而
高中数学新课标必修 5 第一章
高中数学新课标必修 5 第一章
数学 5
（一）课标要求
第一章 解三角形
章节总体设计
如何看这两个定理之间的关系？” ，并进而指出， “从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形 两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对 的角是钝角； 如果大于第三边的平方， 那么第三边所对的角是锐角.从上可知， 余弦定理是勾股定理的推广.” 3．重视加强意识和数学实践能力 学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力 较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数 学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的 问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学 思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用 于实际问题。 （三）教学内容及课时安排建议 1.1 正弦定理和余弦定理（约 3 课时） 1.2 应用举例（约 4 课时） 1.3 实习作业（约 1 课时） （四）评价建议 1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余 弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自 己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得 到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有 多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对 于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。 2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题 的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学 实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的 错误，解决测量中出现的一些问题。
数学必修五 第一章解三角形 单元质量评估(一)
第一章单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．在△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，则此三角形解的情况是()A．一解B．两解C．一解或两解D．无解解析：因为a＝b sin A，故该三角形有一解．答案：A2．边长为2,4,23的三角形的最大角与最小角的和是()A．90°B．120°C．135°D．150°解析：由已知条件可知，该三角形是直角三角形，而且最小角为30°，所以最大角与最小角的和是120°.故选B.答案：B3．在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC等于() A．3－ 3 B. 2C．2 D．3＋ 3解析：∵AB＝3，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得a sin A＝csin C⇒BCsin45°＝ABsin75°，即BC22＝36＋24.∴BC＝3－ 3.答案：A4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( ) A ．－32 B ．－23 C.23D.32解析：根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14. 于是，AB →·AC →＝AB ·AC cos A ＝3×2×14＝32. 答案：D 5.某市在“旧城改造”工程中，计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a 元/m 2，则购买这种草皮需要( )A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元解析：草皮的面积为12×20×30×sin150°＝150(m 2)． 答案：C6．在△ABC 中，已知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 的形状是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理可知a2＝b2＋c2⇒A为直角；而由sin A＝2sin B cos C，可得sin(B＋C)＝2sin B cos C，整理得sin B cos C＝cos B sin C，即sin(B－C)＝0，故B＝C.综合上述：B＝C＝π4，A＝π2.答案：D7．在△ABC中，A>B，则以下不等式正确的个数为()①sin A>sin B②cos A<cos B③sin2A>sin2B④cos2A<cos2BA．0个B．1个C．2个D．3个解析：由题意知，sin A>sin B，cos A<cos B均正确，由sin A>sin B>0可知sin2A>sin2B，∴cos2A<cos2B.故正确个数为3个，∴选D.答案：D8.在△ABC中，A＝15°，B＝30°，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b＝1，则△ABC的面积为()A.3＋12 B.3－12C.3－14 D.3＋14解析：由1sin30°＝csin135°，得c＝2，又sin15°＝sin(45°－30°)＝6－2 4，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×1×2×6－24＝3－14.答案：C9．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10 000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标C的距离为()A．5 000米B．5 0002米C．4 000米D．4 0002米解析：如图，在△ABC中，AB＝10 000米，A＝30°，C＝75°－30°＝45°.根据正弦定理，BC＝AB sin Asin C＝10 000×1222＝5 0002(米)．答案：B10．甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A.1507分钟 B.157分钟 C ．21.5分钟D ．2.15分钟解析：设t 小时后，甲、乙两船相距l 千米，此时甲离B 岛(10－4t )千米，乙离B 岛6t 千米．根据余弦定理，l 2＝(10－4t )2＋(6t )2－2(10－4t )×6t cos120°＝28t 2－20t ＋100.当t ＝202×28＝514小时＝1507分钟时，甲、乙两船相距最近．答案：A11．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析：由已知得AB →2＝AB →·(AC →＋CB →)＋CA →·CB →＝AB →2＋CA →·CB →⇒CA →·CB →＝0，即CA →⊥CB →，故三角形是以角C 为直角的直角三角形．答案：D 12.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为( )A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－3cos α＋3C ．3sin α－3cos α＋1D ．2sin α－cos α＋1解析：每个等腰三角形的底边为2sin α2，底边上的高为cos α2，所以该八边形的面积为4×12·2sin α2·cos α2＋4sin 2α2＝2sin α－2cos α＋2.答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ＝________. 解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c ＝7.∴由正弦定理有sin A ＝a sin C c ＝5314.答案：531414．若3a ＋b ＝2c,2a ＋3b ＝3c ，则有sin A ∶sin B ∶sin C ＝________.解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝2c 2a ＋3b ＝3c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝37cb ＝57c⇒a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝3∶5∶7. 答案：3∶5∶715．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若B ＝2A ，则ba 的取值范围是________．解析：C ＝π－A －B ＝π－3A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<π－3A <π20<2A <π2⇒π6<A <π4.由正弦定理得b a ＝sin2Asin A ＝2cos A ∈(2，3)． 答案：(2，3)16．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A 码头从受到台风影响到影响结束，将持续________小时．解析：设台风中心开始时的位置为P ，移动后(A 码头受到台风影响时或影响结束时)的位置为Q ，记PQ ＝x ，由题意得3502＝4002＋x 2－2x ·400cos60°，解得x ＝150或250，则A 码头从受到台风影响到影响结束时台风中心移动的距离为100千米，需时间2.5小时．答案：2.5三、解答题(共70分)17．(本小题10分)(2010年全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD .解：由cos ∠ADC ＝35>0知B <π2，由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45，从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝45×1213－35×513 ＝3365.由正弦定理得AD sin B ＝BDsin ∠BAD ，所以AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD＝33×5133365＝25.18．(本小题12分)如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝7，AD ＝6，S △ACD ＝1532，求AB 的长．解：在△ACD 中，S △ACD ＝12AC ·AD sin ∠1， ∴sin ∠1＝2S △ACD AC ·AD ＝2×15327×6＝5314， ∴sin ∠2＝5314.在△ABC 中，BC ＝AC sin ∠2sin60°＝5且cos ∠2＝1－sin 2∠2＝1114， ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠2，即25＝AB 2＋49－11AB ，(AB －8)·(AB －3)＝0，∴AB ＝8或AB ＝3. 19．(本小题12分)已知：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝45°，b ＝10，cos C ＝255.(1)求边a 的长；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．解：(1)∵cos C ＝255，sin 2C ＋cos 2C ＝1,0<C <π， ∴sin C ＝1－(255)2＝55.∵B ＝45°，A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝22×255＋22×55＝31010.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a ＝b sin A sin B ＝10×3101022＝3 2.(2)方法1：在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ＝(10)2＋(32)2－2×10×32×255＝4，即AB ＝c ＝2，∴BD ＝AD ＝1. 在△DBC 中，CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos B ＝12＋(32)2－2×1×32×22＝13，∴CD ＝13.方法2：延长CD到E 点，使CD ＝DE ，连接AE ，BE ，则四边形ACBE 为平行四边形．(2CD )2＝BE 2＋BC 2－2BE ·BC cos(π－∠ACB )＝(10)2＋(32)2－2×10×32×(－255)＝52，∴CD ＝13.20．(本小题12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，整理得a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2. (2)由正弦定理，sin B ＝2sin A 可转化为b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ， 解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.21．(本小题12分)如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°方向，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ABC 中，BC ＝30海里，B ＝30°，∠ACB ＝135°，∴A ＝15°.由正弦定理知，BC sin A ＝AC sin B ，即30sin15°＝AC sin30°，∴AC ＝30sin30°sin15°＝15(6＋2)(海里)．于是，A 到BC 所在直线的距离为：AC sin45°＝15(6＋2)×22＝15(3＋1)≈40.98(海里)．它大于38海里，所以船继续向南航行没有触礁的危险．22．(本小题12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，c ＝3b ，求： (1)a c 的值；(2)1tan B ＋1tan C 的值．解：(1)由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(13c )2＋c 2－2·13c ·c ·12＝79c 2， ∴a c ＝73.(2)1tan B ＋1tan C ＝cos B sin C ＋cos C sin B sin B sin C＝sin A sin B sin C ，由正弦定理和(1)知：sin A sin B sin C ＝1sin A ·a 2bc ＝1433＝1439，∴1tan B ＋1tan C ＝1439.。
高中数学人教A版必修五第一章《解三角形》章末知识整合
数学·必修5(人教A版)题型1 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．解斜三角形包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．在△ABC 中，c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 长为72，求a .如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ，sin(A －B )＝0⇔A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．题型3 三角形解的个数的确定(1)利用正弦定理讨论：若已知a ，b ，A ，由正弦定理a sin A＝b sin B，得sinB ＝b sin A a .若sin B ＞1，则无解；若sin B ＝1，则有一解；若sin B ＜1，则可能有两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a ，b ，A ，由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cos A )c ＋b 2－a 2＝0.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，则b 为何值时，三角形有一解，两解，无解？题型4 正、余弦定理在实际问题中的应用如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．。
人教课标版高中数学必修5《解三角形》章末总结
人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习知识梳理1.正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理：（1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr (S=2cb a ++,r 为内切圆半径)=R abc 4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2BA +,sin 2C =cos 2BA ……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ，再求b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C.(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B bsin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =Bbsin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A>90° A=90° A<90° a>b 一解 一解 一解 a=b无解 无解 一解a<ba>bsinA 两解 无解 无解 a=bsinA 一解a<bsinA无解9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角． 2．余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．例1．.（2011江西卷17）．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，23a =，tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c例2．.（2009北京理） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==。
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高中新课程数学（新课标人教A 版）必修五《第一章 解三角形章末质量评估(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝43，角A ＝30°，则角B 等于( )．A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°解析 根据正弦定理得，sin B ＝b sin A a ＝43s in 30°4＝32. ∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°. 答案 D2．(2011·福州高二检测)在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，B ＝60°，则b 等于 ( )． A.32B.12C. 3D ．2解析 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，故1sin 30°＝bsin 60°，解之得b ＝3，故选C.答案 C3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为( )．A.23B ．－23 C.14D ．－14解析 由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4知，a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，令a ＝3x ，则b ＝2x ，c ＝4x (x >0)，根据余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝3x2＋2x 2－4x 22×3x ×2x＝－14.答案 D4．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理，原式可化为sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，∴tan A ＝tan B ＝tan C .又∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C . ∴△ABC 是等边三角形． 答案 B5．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是 ( )．A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5D ．23<x <2 5解析 由题意，x 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧22＋42－x 2>0，22＋x 2－42>0，解得：23<x <2 5. 答案 D6．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( )．A.20B.21C.22D.61解析 设长为4,5的两边的夹角为θ，由2x 2＋3x －2＝0得：x ＝12，或x ＝－2(舍)．∴cos θ＝12，∴第三边长为 42＋52－2×4×5×12＝21.答案 B7．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )．A.85B.58C.53D.35解析 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ， 即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案 D8．已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )．A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 2解析 ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝42，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25，∴b ＝5.由正弦定理2R ＝bsin B ＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)，故选C.答案 C9．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝60°，AC ＝4，则边AC 上的高是( )．A.322B.323 C.32D ．3 3解析 ∵A ＝60°，∴sin A ＝32. ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×3×4×32＝3 3.设边AC 上的高为h ，则S △ABC ＝12AC ·h ＝12×4×h ＝33，∴h ＝32 3.答案 B10．(2011·龙山高二检测)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )． A.π6B.π3C.π2D.2π3解析 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C ，∴C ＝π3.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．在△ABC 中，若B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则c sin C＝________. 解析 把已知条件代入面积公式S △ABC ＝12ac sin B 得c ＝2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，∴b ＝ 3. 由正弦定理c sin C ＝bsin B ＝2.答案 212．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.解析 设BC ＝x ，则根据余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2·AC ·BC cos C ，即5＝25＋x 2－2×5·x ·910，∴x 2－9x ＋20＝0，∴x ＝4或x ＝5. 答案 4或513．(2011·洛阳高二检测)在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝2A ，则△ABC 为________三角形． 解析 由正弦定理知sin B ＝2sin A ， 又∵B ＝2A ，∴sin 2A ＝2sin A ， ∴2sin A cos A ＝2sin A ， ∴cos A ＝22，∴A ＝45°，B ＝90°. 故△ABC 为等腰直角三角形． 答案 等腰直角14．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________ km. 解析 如图，由已知条件， 得AC ＝60 km ，∠BAC ＝30°， ∠ACB ＝105°，∠ABC ＝45°. 由正弦定理BC ＝AC sin ∠BACsin B＝30 2 (km)答案 30 2三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sinBsin C ，且AC →·AB →＝4，求△ABC 的面积S . 解 由已知得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， ∴bc ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， ∴cos A ＝12，sin A ＝32.由AC →·AB →＝4，得bc cos A ＝4，∴bc ＝8， ∴S ＝12bc sin A ＝2 3.16．(10分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1千米．在△ABC 中，AB ＝3≈1.732(千米)，AC ＝1(千米)，∠ABC ＝ 30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(千米)， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)．∵BC12×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟．所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格． 17．(10分)在△ABC 中，若8·sin 2B ＋C2－2cos 2A ＝7.(1)求角A 的大小；(2)如果a ＝3，b ＋c ＝3，求b ，c 的值． 解 (1)∵B ＋C 2＝π2－A2， ∴sinB ＋C2＝cos A2， ∴原式可化为8cos 2A2－2cos 2A ＝7，∴4cos A ＋4－2(2cos 2A －1)＝7，∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，∴A ＝60°.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴b 2＋c 2－bc ＝3.又∵b ＋c ＝3，∴b ＝3－c ，代入b 2＋c 2－bc ＝3，并整理得c 2－3c ＋2＝0， 解之得c ＝1或c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.18．(12分)在△ABC 中，若sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积． 解 (1)由sin(C －A )＝1知，C －A ＝π2，且C ＋A ＝π－B ，∴A ＝π4－B 2，∴sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＝22⎝⎛⎭⎪⎫cos B 2－sin B 2， ∴sin 2A ＝12(1－sinB )＝13，又sin A >0，∴sin A ＝33. (2)由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A，∴BC ＝AC sin Asin B＝6·3313＝32，由(1)知sin A ＝33，∴cos A ＝63. 又sin B ＝13，∴cos B ＝223.又sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×223＋63×13＝63， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×6×32×63＝3 2.19．(12分)在△ABC 中，已知sin B ＝cos A sin C ，AB →·A C →＝9，又△ABC 的面积等于6. (1)求C ；(2)求△ABC 的三边之长．解 (1)设三角形三内角A ，B ，C 对应的三边分别为a ，b ，c ，∵sin B ＝cos A sin C ，∴cos A ＝sin B sin C ，由正弦定理有cos A ＝bc，又由余弦定理有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b c ＝b 2＋c 2－a 22bc，即a 2＋b 2＝c 2， 所以△ABC 为Rt △ABC ，且C ＝90°.(2)又⎩⎨⎧AB →·AC →＝|A B →|| AC →|cos A ＝9，S △ABC＝12| AB →||AC →|sin A ＝6，①②②÷①，得tan A ＝43＝ab ，令a ＝4k ，b ＝3k (k >0)，则S △ABC ＝12ab ＝6⇒k ＝1，∴三边长分别为a ＝4，b ＝3，c ＝5.。