(新课程)高中数学《第一章 解三角形章末质量评估 新人教A版必修5

高中新课程数学（新课标人教A 版）必修五《第一章 解三角形章末

质量评估

(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝43，角A ＝30°，则角B 等于

( )．

A ．30°

B ．30°或150°

C ．60°

D ．60°或120°

解析 根据正弦定理得，sin B ＝

b sin A a ＝43s in 30°4＝3

2

. ∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°. 答案 D

2．(2011·福州高二检测)在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，B ＝60°，则b 等于 ( )． A.3

2

B.1

2

C. 3

D ．2

解析 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，故1sin 30°＝b

sin 60°

，解之得b ＝3，故选C.

答案 C

3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为

( )．

A.2

3

B ．－23 C.1

4

D ．－1

4

解析 由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4知，a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，令a ＝3x ，

则b ＝2x ，c ＝4x (x >0)，根据余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab

＝

3x

2

＋2x 2－4x 2

2×3x ×2x

＝－14.

答案 D

4．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c

cos C ，则△ABC 是

( )．

A ．直角三角形

B ．等边三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

解析 由正弦定理，原式可化为sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C

cos C ，

∴tan A ＝tan B ＝tan C .

又∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C . ∴△ABC 是等边三角形． 答案 B

5．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是 ( )．

A ．1

D ．23

解析 由题意，x 应满足条件⎩

⎪⎨⎪⎧

22

＋42

－x 2

>0，22＋x 2－42

>0，

解得：23

6．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x 2

＋3x －2＝0的根，则第三边长是

( )．

A.20

B.21

C.22

D.61

解析 设长为4,5的两边的夹角为θ，由2x 2

＋3x －2＝0得：x ＝12，或x ＝－2(舍)．

∴cos θ＝1

2，

∴第三边长为 42＋52

－2×4×5×12

＝21.

答案 B

7．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B

sin C 的值为

( )．

A.85

B.58

C.5

3

D.3

5

解析 由余弦定理得BC 2

＝AB 2

＋AC 2

－2AB ·AC ·cos A ， 即72

＝52

＋AC 2

－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝3

5.

答案 D

8．已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为

( )．

A ．4 3

B ．5

C ．5 2

D ．6 2

解析 ∵S △ABC ＝1

2

ac sin B ，∴c ＝42，

由余弦定理b 2＝a 2＋c 2

－2ac cos B ＝25，∴b ＝5.

由正弦定理2R ＝b

sin B ＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)，故选C.

答案 C

9．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝60°，AC ＝4，则边AC 上的高是

( )．

A.3

2

2

B.3

2

3 C.3

2

D ．3 3

解析 ∵A ＝60°，∴sin A ＝

32

. ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×3×4×3

2＝3 3.

设边AC 上的高为h ，

则S △ABC ＝12AC ·h ＝12×4×h ＝33，∴h ＝3

2 3.

答案 B

10．(2011·龙山高二检测)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为

( )． A.π

6

B.π

3

C.π

2

D.

2π3

解析 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2

－a 2

－b 2

＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝1

2

＝cos C ，

∴C ＝π

3.

答案 B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．在△ABC 中，若B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝

32，则c sin C

＝________. 解析 把已知条件代入面积公式S △ABC ＝1

2ac sin B 得c ＝2.

由余弦定理b 2

＝a 2

＋c 2

－2ac cos B ＝3，∴b ＝ 3. 由正弦定理c sin C ＝b

sin B ＝2.

答案 2

12．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝9

10，则BC ＝________.

解析 设BC ＝x ，则根据余弦定理得，