Lyapunov方程求解(附件)
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广西大学实验报告纸
学院：电气工程学院 专业：自动化 成绩： 组员：陈平忠（1302120238） 黄智榜（1302120237） 班级：
实验地点：808实验室 2015年12月 18日 实验内容：Lyapunov 方程求解
【实验目的】
1、掌握求解Lyapunov 方程的一种方法，了解并使用MATLAB 中相应函数。
【实验设备与软件】
1、硬件：PC 机一台；软件：MATLAB/Simulink 。
【实验原理】
1、线性定常系统渐进稳定的Lyapunov 方程判据
线性定常连续系统为渐进稳定的充要条件是：对给定的任一个正定对称阵Q ，都存在唯一的对称正定阵P ，满足如下矩阵Lyapunov 方程：
Q PA P A T -=+
该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根都是负实数或实部为负的复数，亦即全部根都位于左半复平面。
线性定常离散系统为渐进稳定的充要条件：对给定的任一个正定对称阵Q ，都存在唯一的对称正定阵P ，满足如下矩阵Lyapunov 方程：
Q P PG G T -=-
该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根的摸均小于1，即都在单位圆内。 2、在MATLAB 控制工具箱中，函数lyap 和dlyap 用来求解lyapunov 方程。
P =lyap （T A ,Q )可解连续时间系统的lyapunov 方程，其中，Q 和A 为具有相同维数的方阵（A 是系统矩阵）。如果Q 是对称的，则解P 也是对称的。
P =dlyap （T G ，Q ）可解离散时间系统的lyapunov 方程，其中，Q 和G 为具有相同维数的方阵(G 是系统矩阵)。如果Q 是对称的，则解P 也是对称的。
3、连续情况下的最小相位系统：系统的零点均在左半复平面，但系统首先是稳定的，其他情况为非最小相位系统。
【实验内容、方法、过程与分析】 题目1实验内容：
输入连续状态空间模型()∑=D C,B,A,:
[]0,110
0,0001,01
00
001000014283==⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----=D C B A
（1）选取正定矩阵⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=100001000010
0001Q ,求稳定性判别矩阵P ，判定系统是否稳定。 Q PA P A T -=+
（2）求线性系统阶跃响应曲线，并判定是否为最小相位系统， （3）求系统的实现，判定是否是最小实现并比较。
题目1实验过程及结果分析：
根据题意，在实验中，先通过运算可以得出结果，根据结果做出如下的.m 文件 程序：
①、由实验.m 文件程序运行后结果：
A=[-3 -8 -2 -4;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0]; B=[1;0;0;0]; C=[0 0 1 1]; D=0;
Q=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]; p=lyap(A',Q) y=ss(A,B,C,D) [V,X]=eig(A) step(y)
得到正定矩阵P ：
②、由题意得出系统的响应曲线：
由图可知：该系统是渐进稳定的。
求特征根
x =
Columns 1 through 2
-1.4737 + 2.2638i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i -1.4737 - 2.2638i
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
Columns 3 through 4
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
-0.0263 + 0.7399i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i -0.0263 - 0.7399i
由结果可以得出，此系统特征根的实部全部都为负数，亦全部的根都在左边平面。所以该系统为最小相位系统。
所以，根据题意，更改A矩阵，求其阶跃响应曲线，并进行比较得：
之前的A矩阵：
更改之前的特征值：
x =
Columns 1 through 2
-1.4737 + 2.2638i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i -1.4737 - 2.2638i
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i Columns 3 through 4
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0263 + 0.7399i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i -0.0263 - 0.7399i 更改前的阶跃响应：
更改之后的A矩阵：
更改之后的特征值： X =
4.7926 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -1.7297 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0315 + 0.6939i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0315 - 0.6939i 更改后的阶跃响应：
对比特征值可知，更改矩阵A 后特征根有一个为正数，即在右半平面； 对比阶跃响应图可知，更改矩阵A 后，其阶跃响应为发散的。
2、输入离散状态空间模型()∑=D C,H,G,