高考第一轮复习——函数的单调性(文)

年 级 高三 学 科 数学

版

本

人教版（文）

内容标题 函数的单调性

编稿老师 孙力

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

1. 概念：设函数)(x f 的定义域为I

（1）增函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，当

21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么称函数)(x f 在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值21,x x ，当

21x x <时，都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在这个区间上是减函数。

（3）单调区间：如果函数)(x f y =在某个区间是增函数或减函数，则称函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做)(x f y =的单调区间。

注：① 中学单调性是指严格单调的，即不能是)()(21x f x f ≤或)()(21x f x f ≥

② 单调性刻画的是函数的“局部”性质。如x

y 1

=在)0,(-∞与),0(+∞上是减函数，

不能说x

y 1

=在),0()0,(+∞⋃-∞上是减函数。

③ 单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降

2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象） （1）定义法

[例1] 证明函数1)(3

1-=x x f 在R 上是增函数

证：设x x <，则32

323131213131)()(x

x x x x x x x x f x f ++-=

-=-

而分子021<-=x x 分母04

3)21(3

2

2231

2

311

322

312

311

321

>++=+⋅+=x x x x x x x 故0)()(21<-x f x f 得证

补：讨论函数2

2)(x x a x f -=的单调性)10(≠

解：设1>a 时，对任R x ∈，02

2>-x

x a ，设121<

2112222212)

()(x x x x a x f x f +--=，而)](2)[(2212122112

22x x x x x x x x +--=+--0> 即)()(12x f x f >故在)1,(-∞单增，同理在),1(+∞单减

当10<

[例2] 讨论x

x x f +=

1)(的单调性

解：设21x x <，则)11)((11)()(2

1121

1

2

2

12x x x x x x x x x f x f -

-=+-

+=

-

2

1212112)()1)((x x x x x x x x +--=

（1）当1021≤<-x f x f 故)(x f 在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数

[例3] 试求函数x

p

x x f +

=)(（p 0≠）的单调区间 分析：考虑到2

12

112112212)()()()(x x p x x x x x p

x x p x x f x f --=+-+=-以下分类讨论 （1）当p 0>时

① 若p x x -≤<21，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增 ② 若021<<≤-

x x p ，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减

③ 若p x x ≤<<210，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减

④ 若

21x x p <≤，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增

（2）当0

① 若021<-x f x f 增 ② 若210x x <<，则0)()(12>-x f x f 增

综上所述，0>p 时，)(x f 在)0,[p -或],

0(p 上是减函数

)(x f 在],(p --∞或),[+∞p 上是增函数

0

函数

x

p x y +

= p 范围

0>p

0

定义域 ),0()0,(+∞⋃-∞

值域 ),2()2,(+∞⋃--∞p p

),(+∞-∞

渐近线 x y =及0=x

奇偶性 奇函数

单调性

在],(p --∞及),[+∞p 分

别单调递增

在)0,(-∞上递增，在)

,0(+∞上递增

在)0,[p -及],0(p 上分别

单调递减

另法，利用导数21)(x x f -=')(2

2p x x

-= （1）若0>p

则))((1

)(2

p x p x x x f -+=

'

（2）若0

'x f 下证

高考分式函数试题类型与解法研究 [例4] 讨论分式函数x

b

ax x f +

=)(的单调性（0≠ab ） 以下只研究0,0>>b a 与0,

0<>b a 两种情形对于0,0>

用对称性得到。

解：当0,0>>b a 时，由2

22

2))(()()(x

a

b

x a b x a

a b x x a x b a x f -+

=-=-

=' 利用导数可知)(x f 在],(a b --∞与),[+∞a

b

上为单增函数

)(x f 在)0,[a b -

与],0(a

b 为单减函数 当0,0<>b a 时，由0)(2>-='x

b

a x f 知

)(x f 在)0,(-∞与),0(+∞上为增函数，图象如下