高等代数习题

高等代数习题

第一章基本概念

§1.1 集合

1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？

2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么？ {a} A是否正确？

3、设

写出和 .

4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集．

5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？

6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正．

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

7．证明下列等式：

(i)

(ii)

(iii)

§1.2映射

1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射．

2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射．

3、是不是全体实数集到自身的映射？

4．设f定义如下：

f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？

5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？

6、设a ,b是任意两个实数且a

7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与g f一般不相等。

8、设A是全体正实数所成的集合。令

(i)g是不是A到A的双射？

(ii)g是不是f的逆映射？

(iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么？

9、设是映射，又令，证明

(i)如果是单射，那么也是单射；

(ii)如果是满射，那么也是满射；

(iii)如果都是双射，那么也是双射，并且

10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:

集合 A 规则

1

2

3

4

全体整数

全体整数

全体有理数

全体实数

b

a

b

a+

→

|)

,

(

§1.3数学归纳法

1、证明:

2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数.

3、证明二项式定理:

这里

，

是个元素中取个的组合数.

4、证明第二数学归纳法原理.

5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。

§1.4整数的一些整除性质

1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数:

; ;

; .

2、设是整数且不全为0,而 , , .证明,的一个最大公因数必要且只要 .

3、设是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数叫做与的最小公倍数:;如果且 ,则 .

证明: 任意两个不等于零的整数都有唯一的最小公倍数;

令是与的最小公倍数而 ,则 .

4、设是一个大于1的整数且具有以下性质:对于任意整数 ,如果 ,则

或 .证明,是一个素数(定理1.4.5的逆命题).

5、设是两两不相同的素数,而 .

证明 ;

利用证明,素数有无限多个．

§1.5数环和数域

1．证明,如果一个数环那么含有无限多个数．

2．证明,是数域．

3．证明,是一个数环,是不是数域?

4．证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环?

5．设是一整数,令

由例1,是一个数环.设 ,记．

证明: 是一个数环．

．

,这里是与的最大公因数．

．

第二章多项式

§2.1一元多项式的定义和运算

1．设和是实数域上的多项式．证明：若是

(6) ，那么

2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式和

3．证明：

§2.2 多项式的整除性

1．求被除所得的商式和余式：

( i )

(ii)

2．证明：必要且只要

3．令都是数域F上的多项式，其中且

证明：

4．实数满足什么条件时，多项式能够整除多项式

5．设F是一个数域，证明：整除

6．考虑有理数域上多项式

这里和都是非负整数．证明：

7．证明：整除必要且只要整除

§2.3 多项式的最大公因式

1.计算以下各组多项式的最大公因式：

( i )

(ii)

2.设证明：若且和

不全为零，则反之，若则是与的一个最大公因式．

3.令与是的多项式，而是中的数，并且

证明：

4．证明：（i）是和的最大公因式；

（ii）

此处等都是的多项式。

5．设都是有理数域Q上的多项式。求使得

6．设令是任意正整数，证明：由此进一步证明，对于任意正整数，都有

7．设证明：

8．证明：对于任意正整数都有

9．证明：若是与互素，并且与的次数都大于0，那么定理里的与可以如此选取，使得的次数低于的次数，的次数低于的次数，并且这样的与是唯一的。

10．决定，使与的最大公因式是一次的。

11．证明：如果那么对于任意正整数，

12．设是数域F上的多项式。与的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式：

且；

如果∈F[x]且，那么

证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。

设都是最高次项系数是1的多项式，令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明

13．设并且证明：