振动与波复习题 答案

1．一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm ．现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm ，然 后由静止释放并开始计时．求

(1) 物体的振动方程；

(2) 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；

(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 处所需要的最短时间．

解： k = f/x =200 N/m ，

07.7/≈=m k ω rad/s 2分

(1) 选平

衡位置为原点，x 轴指向下方（如图

所示）， t = 0时， x 0 = 10A cos φ ，v 0 = 0 = -A ωsin φ． 解以上二式得 A = 10 cm ，φ = 0． 2分

∴ 振动方程x = 0.1 cos(7.07t ) (SI) 1分 (2) 物体在平衡位置上方5 cm 时，弹簧对物体的拉力

f = m (

g -a )，而a = -ω2x = 2.5 m/s 2

∴ f =4 (9.8－2.5) N= 29.2 N 3分

(3) 设t 1时刻物体在平衡位置，此时x = 0，即

0 = A cos ω t 1或cos ω t 1 = 0．

∵ 此时物体向上运动， v < 0

∴ ω t 1 = π/2， t 1= π/2ω = 0.222 s 1分

再设t 2时物体在平衡位置上方5 cm 处，此时x = -5，即

-5 = A cos ω t 1，cos ω t 1 =－1/2

∵ v < 0， ω t 2 = 2π/3，

t 2=2 π/3ω =0.296 s 2分

∆t = t 1-t 2 = (0.296－0.222) s ＝0.074 s 1分

2．一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过

B 点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求： (1) 质点的振动方程； (2) 质点在A 点处的速率．

解：由旋转矢量图和 |v A | = |v B | 可知 T /2 = 4秒， ∴ T = 8 s ， ν = (1/8) s -1，

ω = 2πν = (π /4) s -1 3分 (1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方． t = 0时， 5-=x cm φcos A = t = 2 s 时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A -=+= 由上二式解得 tg φ = 1

因为在A 点质点的速度大于零，所以φ = -3π/4或5π/4（如图） 2分 25cos /==φx A cm 1分

∴ 振动方程 )4

34c o s (10252π-π⨯=-t x (SI) 1分 (2) 速率 )4

34sin(41025d d 2π-π⨯π-==-t t x v (SI) 2分 当t = 0 时，质点在A 点

221093.3)4

3sin(10425d d --⨯=π-⨯π-==t x v m/s 1分

3．质量m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)3

18cos(5.0π+π=t x 的规律作自由振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求

(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相；

(2) 振动的速度、加速度的数值表达式；

(3) 振动的能量E ；

(4) 平均动能和平均势能．

解：(1) A = 0.5 cm ；ω = 8π s -1；T = 2π/ω = (1/4) s ；φ = π/3 2分

(2) )3

18sin(1042

π+π⨯π-==-t x v (SI) )3

18cos(103222π+π⨯π-==-t x a (SI) 2分 (3) 2222

121A m kA E E E P K ω==+==7.90×10-5 J 3分 (4) 平均动能 ⎰=T K t m T E 02d 21)/1(v ⎰π+π⨯π-=-T

t t m T 0

222d )318(sin )104(21)/1( = 3.95×10-5 J = E 2

1 同理 E E P 21== 3.95×10-5 J 3分

4．一质量m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k = 25 N ·m -

1． (1) 求振动的周期T 和角频率ω．

(2) 如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求

初速v 0及初相φ．

(3) 写出振动的数值表达式．

解：(1) 1s 10/-==m k ω 1分

63.0/2=π=ωT s 1分

(2) A = 15 cm ，在 t = 0时，x 0 = 7.5 cm ，v 0 < 0

由 2

020)/(ωv +=x A 得 3.12020-=--=x A ωv m/s 2分

π=

-=-31)/(tg 001x ωφv 或 4π/3 2分 ∵ x 0 > 0 ，∴ π=3

1φ (3) )3

110cos(10

152π+⨯=-t x (SI) 2分 5．一物体作简谐振动，其速度最大值v m = 3×10-2 m/s ，其振幅A = 2×10-2 m ．若t = 0时，

物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动. 求：

(1) 振动周期T ；