2016年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷(解析版)

2016年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷一、选择题（每题3分）1．2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．周星驰的新春大片《美人鱼》创造了无数票房记录，从开始上映到3月6日9时止，票房累计达33亿元，33亿元用科学记数法表示为（）A．33×108元B．3.3×109元C．3.3×1010元D．0.33×1010元3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形 D．圆4．下列计算正确的是（）A．（a2）3=a5 B．a2•a=a3C．a6÷a3=a2 D．（ab）2=ab25．景新中学为了了解学生体育中考备考情况，随机抽查了10名学生的引体向上，结果如下A．极差是2 B．众数是19 C．平均数是19 D．方差是46．化简的结果是（）A．x﹣2 B．C．D．x+27．分别写有0，2﹣1，﹣2，cos30°，3的五张卡片，除数不同外其他均相同，从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率是（）A．B．C．D．8．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为（）A．20% B．11% C．10% D．9.5%9．下列命题是真命题的个数有（）①点到直线距离就是这点到这条直线所作垂线段；②有一个锐角相等的两个直角三角形相似；③四个角都相等的菱形是正方形；④长度相等的两条弧是等弧．A．1个B．2个C．3个D．4个10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的大致图象是（）A． B．C．D．11．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P 与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，线段OQ所扫过过的面积为（）A．B．C．D．12．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且S△ADE=S四边形BEDC，则∠A=（）A．75°B．60°C．45°D．30°二、填空题（每题3分）13．分解因式：x2y﹣2xy+y=______．14．一个上下底密封的纸盒的三视图如图所示，请你根据图中的数据，计算这个密封纸盒的表面积为______cm2．（结果保留π）15．如图，AB∥CD，点E在CD上，且BA=BE，∠AEC=70°，那么∠B=______．16．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺板地面：依上推测，第n个图形中白色瓷砖的块数为______．三、解答题17．计算：﹣|﹣2|+（）﹣2﹣20160．18．解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来．19．景新中学为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为______；（2）在扇形统计图中，喜欢“体育书籍”的所占的圆心角度数为______；（3）如果全校共有学生1500名，请估计该校最喜欢“科普书籍”的学生约有______人．20．如图，已知O为矩形ABCD对角线的交点，过点D作DE∥AC，过点C作CE∥BD，且DE、CE相交于E点．（1）求证：四边形OECD是菱形；（2）若AB=4，AC=8，求菱形OCED的面积．21．2016年2月18日韩国海军海警在朝鲜半岛东部海域实施联合演习，在返回济州岛军事基地途中，韩国海军UH﹣60直升机在距海平面垂直高度为300米的点C处测得济州一小岛的西端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了3500米，在点D测得这小岛的东端点B的俯角为45°，求这个济州小岛东西两端BA的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）22．如图，直线y=x+3分别交x，y轴于点D，C，点B在x轴上，OB=OC，过点B作直线m∥CD．点P、Q分别为直线m和直线CD上的动点，且点P在x轴的上方，满足∠POQ=45°（1）则∠PBO=______度；（2）问：PB•CQ的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；（3）求证：CQ2+PB2=PQ2．23．已知：直线y=﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连结AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2016年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分）1．2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】倒数．【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵2×=1，∴2的倒数是．故选C．2．周星驰的新春大片《美人鱼》创造了无数票房记录，从开始上映到3月6日9时止，票房累计达33亿元，33亿元用科学记数法表示为（）A．33×108元B．3.3×109元C．3.3×1010元D．0.33×1010元【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：33亿元用科学记数法表示为3.3×109元．故选：B．3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形 D．圆【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答．【解答】解：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、只是中心对称图形，不合题意；C、D既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．故选A．4．下列计算正确的是（）A．（a2）3=a5 B．a2•a=a3C．a6÷a3=a2 D．（ab）2=ab2【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】先计算出各个选项的正确结果，然后再对照即可得到哪个选项是正确的．【解答】解：∵（a2）3=a6，故选项A错误；∵a2•a=a3，故选项B正确；∵a6÷a3=a3，故选项C错误；∵（ab）2=a2b2，故选项D错误；故选B．5．景新中学为了了解学生体育中考备考情况，随机抽查了10名学生的引体向上，结果如下A．极差是2 B．众数是19 C．平均数是19 D．方差是4【考点】方差；算术平均数；众数；极差．【分析】根据极差，方差，平均数和众数的定义分别计算即可解答．【解答】解：极差是20﹣18=2，众数是19，平均数是19，方差是=0.4，故选D6．化简的结果是（）A．x﹣2 B．C．D．x+2【考点】分式的加减法．【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣===x+2．故选D．7．分别写有0，2﹣1，﹣2，cos30°，3的五张卡片，除数不同外其他均相同，从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】先得到在所给的5个数中负数有1个，即﹣2，然后根据概率公式求解．【解答】解：因为2﹣1=，cos30°=，所以在数字0，2﹣1，﹣2，cos30°，3中，负数有﹣2，则从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率=．故选A ．8．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为（ ）A ．20%B ．11%C ．10%D ．9.5%【考点】一元二次方程的应用．【分析】等量关系：原售价×（1﹣降低率）2=降低后的售价，依此列出方程求解即可．【解答】解：设每次降价的百分率为x ，依题意得：1000（1﹣x ）2=810，化简得：（1﹣x ）2=0.81，解得：x=0.1或1.9（舍去），所以平均每次降价的百分率为10%．故选：C ．9．下列命题是真命题的个数有（ ）①点到直线距离就是这点到这条直线所作垂线段；②有一个锐角相等的两个直角三角形相似；③四个角都相等的菱形是正方形；④长度相等的两条弧是等弧．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】命题与定理．【分析】利用点到直线的距离的定义、相似三角形的判定、正方形的判定及等弧的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①点到直线距离就是这点到这条直线所作垂线段的长度，故错误，是假命题；②有一个锐角相等的两个直角三角形相似，正确，为真命题；③四个角都相等的菱形是正方形，正确，为真命题；④长度相等的两条弧是等弧，错误，是假命题，正确的有2个，故选B ．10．二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，则一次函数y=ax +b 与反比例函数y=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．【分析】先根据二次函数的图象判断出a、b、c的符号，进而可判断出一次函数与反比例函数图象所在的象限．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0．∴抛物线的对称轴在x轴正半轴，∴﹣＞0，∴b＞0，∵一次函数y=ax+b的图象经过一二四象限，反比例函数y=的图象的两个分支分别位于一三象限．故选C．11．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P 与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，线段OQ所扫过过的面积为（）A．B．C．D．【考点】扇形面积的计算；矩形的判定与性质．【分析】由于OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1，再由走过的角度代入弧长公式求得点Q走过的路径长，入会根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，∴四边形ONPM是矩形，又∵点Q为MN的中点，∴点Q为OP的中点，则OQ=1，点Q走过的路径长==．∴线段OQ所扫过过的面积=×1=，故选B．12．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且S△ADE=S，则∠四边形BEDCA=（）A．75°B．60°C．45°D．30°【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】如图，连接DE，首先证明△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质，推出AC=2AE，由sin∠ACE==，求出∠ACE即可解决问题．【解答】解：如图，连接DE．∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴∠AEC=∠ADB=90°，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE，∴=，∴=，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∵S△ADE=S四边形BEDC∴S△ADE：S△ABC=1：4∴（）2=，∴AC=2AE，∴sin∠ACE==，∴∠ACE=30°，∴∠A=90°﹣∠ACE=60°，故选B．二、填空题（每题3分）13．分解因式：x2y﹣2xy+y=y（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．【解答】解：x2y﹣2xy+y，=y（x2﹣2x+1），=y（x﹣1）2．故答案为：y（x﹣1）2．14．一个上下底密封的纸盒的三视图如图所示，请你根据图中的数据，计算这个密封纸盒的表面积为600πcm2．（结果保留π）【考点】由三视图判断几何体．【分析】从三视图可以看正视图以及左视图为矩形，而俯视图为圆形，可以得出该立体图形为圆柱，再由三视图可以圆柱的半径，长和高求出表面积．【解答】解：∵正视图以及左视图为矩形，而俯视图为圆形，∴可得这个立体图形是圆柱，∴这个立体图形的侧面积是2π×10×20=400π，底面积是：π•102=100π，∴这个立体图形的表面积为400π+200π=600π；故答案为：600π．15．如图，AB∥CD，点E在CD上，且BA=BE，∠AEC=70°，那么∠B=40°．【考点】平行线的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠A，再根据等边对等角求出∠AEB=∠A，然后根据三角形内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵AB∥CD，∠AEC=70°，∴∠A=∠AEC=70°，∵BA=BE，∴∠AEB=∠A=70°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠AEB=180°﹣70°﹣70°=40°．故答案为：40°．16．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺板地面：依上推测，第n个图形中白色瓷砖的块数为（7n+4）．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．【解答】解：第一个图形有白色瓷砖7+4=11块．第二个图形有白色瓷砖7×2+4=18块．第三个图形有白色瓷砖7×3+4=25块．…第n个图形中需要白色瓷砖7n+4块．故答案为：（7n+4）．三、解答题17．计算：﹣|﹣2|+（）﹣2﹣20160．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣2+9﹣1=8．18．解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：由①得，x＞﹣3，由②得，x≤2，故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．在数轴上表示为：19．景新中学为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为0.25；（2）在扇形统计图中，喜欢“体育书籍”的所占的圆心角度数为54°；（3）如果全校共有学生1500名，请估计该校最喜欢“科普书籍”的学生约有375人．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）利用“科普书籍”出现的频率为=1﹣其它的百分比﹣文艺的百分比﹣体育的百分比求解；（2）利用喜欢“体育书籍”的所占的圆心角度数=喜欢“体育书籍”的百分比×360°求解；（3）利用该校最喜欢“科普”书籍的学生数=该校学生数×喜欢“科普书籍”的百分比求解即可．【解答】解：（1）在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为1﹣20%﹣15%﹣40%=25%=0.25．（2）喜欢“体育书籍”的所占的圆心角度数15%×360°=54°．（3）估计该校最喜欢“科普”书籍的学生数为1500×25%=375名．故答案为：（1）0.25；（2）54°；（3）375．20．如图，已知O为矩形ABCD对角线的交点，过点D作DE∥AC，过点C作CE∥BD，且DE、CE相交于E点．（1）求证：四边形OECD是菱形；（2）若AB=4，AC=8，求菱形OCED的面积．【考点】菱形的判定与性质．【分析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，以及四边形OCED的面积=2S△ODC即可解决问题．（2）根据S△ODC=S矩形ABCD【解答】（1）结论：四边形OCED的形状是菱形，证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OD=OC，∴四边形CODE是菱形；（2）解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=4，AC=8，∴BC==4．∴矩形ABCD的面积=4×4=16，=4，∵S△ODC=S矩形ABCD∴四边形OCED的面积=2S△ODC=8．21．2016年2月18日韩国海军海警在朝鲜半岛东部海域实施联合演习，在返回济州岛军事基地途中，韩国海军UH﹣60直升机在距海平面垂直高度为300米的点C处测得济州一小岛的西端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了3500米，在点D测得这小岛的东端点B的俯角为45°，求这个济州小岛东西两端BA的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=100米，CD=3500米，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得岛屿两端A、B的距离．【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，∴四边形ABFE为矩形．∴AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=300米，CD=3500米．在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=300米．∴CE===100（米），在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=300．∴DF=BF=300（米）．∴AB=EF=CD+DF﹣CE=3500+300﹣100≈3800﹣100×1.73≈3627（米），答：岛屿两端A、B的距离为3627米．22．如图，直线y=x+3分别交x，y轴于点D，C，点B在x轴上，OB=OC，过点B作直线m∥CD．点P、Q分别为直线m和直线CD上的动点，且点P在x轴的上方，满足∠POQ=45°（1）则∠PBO=135度；（2）问：PB•CQ的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；（3）求证：CQ2+PB2=PQ2．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）由“直线y=x+3分别交x，y轴于点D，C”可得出C、D点的坐标，根据∠ODC 的正切值即可求出∠ODC的度数，再由直线m∥直线CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得出∠PBO的值；（2）断定PB•CQ是定值．依据角的计算，可得出“∠COQ=∠BPO，∠CQO=∠BOP”，由此得出△COQ∽△BPO，根据相似三角形的性质即可得出，再结合B、C点的坐标即可得出结论；（3）过点Q作QE⊥m于点E，由B、C点的坐标可知“∠OBC=45°，BC=3”，结合（1）的结论可得出∠PBC=90°，结合QE⊥m、直线m∥直线CD可得出QE=CB=3，在Rt△QEP中由勾股定理可得出PQ2=QE2+PE2，将PE换成PB﹣CQ，再代入PB•CQ=9即可得出结论．【解答】解：（1）令x=0，则y=3，即点C的坐标为（0，3）；令y=0，则有x+3=0，解得：x=﹣3，即点D的坐标为（﹣3，0）．又∵OB=OC，∴OC=OD=OB=3．∵tan∠ODC==1，∴∠ODC=45°，∵直线m∥直线CD，∴∠ODC+∠PBO=180°，∴∠PBO=135°．故答案为：135（2）PB•CQ是定值，理由如下：∠OCQ=∠ODC+∠COD=45°+90°=135°=∠PBO，∵∠COQ+∠CQO=180°﹣∠OCQ=45°，∠BOP+∠BPO=180°﹣∠PBO=45°，∴∠COQ+∠CQO=∠BOP+∠BPO=45°，又∵∠COQ+∠BOP=∠BOC﹣∠POQ=90°﹣45°=45°，∴∠COQ=∠BPO，∠CQO=∠BOP，∴△COQ∽△BPO，∴，即PB•CQ=OB•OC=9．（3）证明：过点Q作QE⊥m于点E，如图1所示．∵OB=OC=3，∠BOC=90°，∴∠OBC=45°，BC=3．∴∠PBC=∠PBO﹣∠OBC=135°﹣45°=90°，又∵QE⊥m，∴CB∥QE，∠PEQ=90°．∵直线m∥直线CD，∴四边形BEQC为矩形，∴QE=CB=3．在Rt△QEP中，∠PEQ=90°，PE=PB﹣CQ，QE=3，∴PQ2=QE2+PE2=18+（PB﹣CQ）2，又∵PB•CQ=9，∴PQ2=2PB•CQ+（PB﹣CQ）2=PB2+CQ2．23．已知：直线y=﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连结AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】圆的综合题；二次函数综合题．【分析】（1）可先求出点A、C的坐标，然后结合点A的坐标及顶点B的纵坐标为﹣2可得到关于a、b的方程组，然后解这个方程组，就可得到抛物线的函数关系式，从而得到点B 的坐标，然后把点B的坐标代入直线AC的解析式，就可解决问题；（2）连接DA，如图1，要证直线AC与⊙D相切，只需证∠DAC=90°；（3）过点P作PH⊥x轴于H，如图2①、图2②，易得∠ADO=90°，根据圆周角定理可得∠AEO，从而求出∠POA，从而可得到直线OP的解析式，然后解直线OP与抛物线的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A、C分别是直线y=﹣x﹣4与x、y轴的交点，∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），由题意可得：，解得，∴抛物线的函数关系式为y=x2+2x．由y=x2+2x=（x+2）2﹣2得顶点B（﹣2，﹣2）．当x=﹣2时，y=﹣x﹣4=﹣2，∴点B在直线y=﹣x﹣4上；（2）直线AC与⊙D相切．理由：连接DA，如图1．∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），∴OA=OC=4．∵∠AOC=90°，∴∠OAC=∠OCA=45°．∵点B在直线AC上，∴∠BAO=45°．∵点B与点D关于x轴对称，∴∠DAO=∠BAO=45°，∴∠DAB=90°，∴直线AC与⊙D相切；（3）过点P作PH⊥x轴于H，如图2①、图2②，∵DA=DO，∴∠DOA=∠DAO=45°，∴∠ADO=90°．∵E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），∴∠AEO=∠ADO=45°．∵∠POA：∠AEO=2：3，∴∠POA=∠AEO=×45°=30°．∴直线OP的解析式为y=x，或y=﹣x．①当直线OP的解析式为y=﹣x时，如图2①，解方程组，得或，∴点P的坐标为（﹣﹣4， +）．②当直线OP的解析式为y=x时，如图2②，解方程组，得或，∴点P的坐标为（，）．综上所述：点P的坐标为（﹣﹣4， +）或（，）．2016年9月20日。