您的位置：360文档中心› 人教版数学中考复习：全等三角形的相关计算与证明(含答案)

人教版数学中考复习：全等三角形的相关计算与证明(含答案)

合集下载

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九(含答案) (86)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九(含答案) (86)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九（含答案)阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．小聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究．∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．(1)当∠B是直角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，则Rt△ABC≌Rt△DEF（依据：________）(2)当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E<90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是________；A．全等B．不全等C．不一定全等(3)第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E>90°，求证：△ABC≌△DEF．【答案】（1）HL；（2）C；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)通过HL即可证明.(2)以F为圆心，AC长为半径画弧，交射线EM于D、D′；则DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等；所以不一定全等.(3)过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于点H，先证明△CBG≌△FEH，得出CG=FH，再证明Rt△ACG≌Rt△DFH，得出∠A=∠D，再由AAS即可证出△ABC≌△DEF．【详解】解：（1）△ABC≌△DEF（依据：HL）（2）选择C理由：以F为圆心，AC长为半径画弧，交射线EM于D、D′；则DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等；所以不一定全等.（3）证明：如图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于点H ，∵∠CBA=∠FED ，∴180°﹣∠CBA=180°﹣∠FED ，即∠CBG=∠FEH ，在△CBG 和△FEH 中，90CBG FEH G H BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△CBG ≌△FEH （AAS ），∴CG=FH ，在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，AC DF CG FH =⎧⎨=⎩， Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠A=∠D ，在△ABC 和△DEF 中，A D CBA FED AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．52．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB//DE，AB=DE，BC=EF．求证：AC=DF．【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用三角形全等即可证明.【详解】证明：∵AB DE∴B E∠=∠∵AB DE=,=BC EF∴△ABC≌△DEF=∴AC DF【点睛】掌握证明三角形全等的条件是解答本题的关键.53．如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.求证：DE=EC．（用三种方法证明）【答案】证明见解析.【解析】【分析】本题是一道较为基础的题型，考查的是学生对于三角形全等证明的熟练程度，对于本题而言，根据题意给出证明即可解答.【详解】解：方法一：连接BE∵在三角形ABC中，∠C=90°, ∠A=30°，∴∠ABC=60°,∵DE垂直平分AB,∴BE=AE,∴∠DBE=∠A=30°,∴∠DBE=∠CBE,∴BE平分∠DBC,又∵ED⊥AB,CE⊥BC∴DE=EC方法二：连接CD,∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∵△ABC是直角三角形，∠B=60°∴△BCD是等边三角形∴∠BDC=∠BCD=60°∵∠CDE=90°-60°∠ECD=90°-60°∴∠CDE=∠ECD∴DE=CE方法三：构造等边三角形ABM如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB 和AC于点D,E延长BC、DE相交于点M，连接AM.在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°∴∠B=60°又∵DE 垂直平分AB,∴AM=BM ，△ABM 是等边三角形，∴AD=CM在△ADE 和△MCE 中AED MEC ADE MCE AD MC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ADE ≌△MCE （AAS ）∴DE=CE.【点睛】由本题题干及题意可知,这是一道考查三角形全等的题,对于初中数学来说，牢牢掌握基础定义是解题的关键手段.54．如图，在平面直角坐标系中，已知A (0，8)，B (4，8)，C 是x 轴正半轴上一点，点P 满足下面两个条件：①P 到①AOC 两边的距离相等；①PA ＝ PB ． (1)利用尺规，作出点P 的位置(不写作法，保留作图痕迹)；(2)点P 的坐标为 ．【答案】(1)见解析；(2)P (2，2)．【分析】（1）根据尺规作图法进行画图；（2）由角平分线和垂直平分线的定义作答.【详解】（1）(2)由题可知，C 的坐标为（4，0），由角平分线与垂直平分线定义知，∠POC=450，所以P 的坐标为（2，2）.，【点睛】本题考查了尺规作图的步骤、角平分线与垂直平分线的定义，熟练掌握尺规作图、角平分线与垂直平分线的定义是本题解题关键.55．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB DC =，E F ∠=∠，EC ①FB ．求证：EA FD =．【答案】证明见解析.【分析】根据平行线的性质可得到∠1=∠2，根据等式的性由已知AB=CD 可得AC=BD ，从而可利用AAS 来判定△AEC ≌△DFB ，再根据全等三角形的对应边相等即可得到EA=FD ．【详解】∵AB DC =(已知)，∵AC DB =(等量加等量，和相等)．∵EC ∵FB (已知)，∵12∠=∠(两直线平行，内错角相等)．在AEC 和DFB 中，,12,,E F AC DB （已知）（已证）（已证）∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵AEC ∵DFB (AAS )．∵EA FD =( 全等三角形的对应边相等)【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．56．如图，CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，AE ∥DC ，AE 与BC 的延长线相交于点E，∠ACE=80°，求∠CAE的度数．【答案】50°【解析】【分析】根据邻补角的定义求得∠ACB=100°；然后利用角平分线的定义求得∠DCA=50°；最后由平行线的性质和等量代换求得∠CAE的度数．【详解】∵∠ACE=80°（已知），∴∠ACB=100°（邻补角的定义），又∵CD平分∠ACB（已知），∴∠DCA=100°×12=50°，∵AE∥DC（已知），∴∠CAE=∠DCA=50°（两直线平行，内错角相等）．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，利用邻补角的定义求得∠ACB=100°是解题的关键．57．已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．(1)如图1，点C在线段AB上．①根据题意补全图1；②求证：∠EAC=①EDC；(2)如图2，点C在直线AB的上方，0°＜①CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①补全图形见解析；②证明见解析；(2)BE=CE+DE，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②根据垂直平分线的性质可得EA＝EB，CA＝CB，根据等边三角形的性质可得CA＝CD，因此CD＝CB，即可证得∠EDC ＝∠B；（2）如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．根据垂直平分线的性质以及等边三角形的性质可推出∠EDC＝∠EAC，又因为∠1＝∠2，可得∠DEA＝60°，所以∠AEB＝120°，进而可推出△CEF是等边三角形，因此△CDF≌△CBE，故BE＝DF＝CE＋DE.【详解】(1)①补全图形如图所示．②∵直线m是AB的垂直平分线，∴EA=EB，CA=CB．∴∠EAC=∠B．∵△ACD是等边三角形，∴CA=CD．∴CD=CB．∴∠EDC=∠B．∴∠EAC=∠EDC．(2)BE=CE+DE．如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．∵直线m是AB的垂直平分线，∴EA=EB，CA=CB．∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA．∴∠EAC=∠EBC．∵△ACD是等边三角形，∴CA=CD，∠ACD=60°．∴CD=CB．∴∠EDC=∠EBC．∴∠EDC=∠EAC．∵∠1=∠2，∴∠DEA=∠ACD=60°．∴∠AEB=120°．∵EA=EB，m⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=60°．∴△CEF是等边三角形．∴∠CEF=∠CFE=60°．∴△CDF≌△CBE．∴DF=BE．∴BE=CE+DE．【点睛】本题主要考查了学生作图的能力、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握这些知识点并综合运用是解答的关键.58．如图，在△ABC中，AB=AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，①BDC=90°，①DBC=45°．(1)求证：∠BAD=①CAD；(2)求∠ADB的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)∵ADB =135°．【解析】【分析】（1）根据∠BDC=90°，∠DBC=45°可推出DBDC ，进而可证△ABD ≌△ACD ，即可证得∠BAD ＝∠CAD ；（2）根据△ABD ≌△ACD ，可得∠ADB ＝∠ADC ，又根据∠BDC ＝90°，∠ADB ＋∠ADC ＋∠BDC ＝360°，即可求出∠ADB 的大小.【详解】(1)∵∠BDC =90°，∠DBC =45°，∴∠DCB=∠DBC =45°．∴DB =DC ．在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ，, ∴△ABD ≌△ACD ．∴∠BAD =∠CAD ．(2)∵△ABD ≌△ACD ，∴∠ADB =∠ADC ．∵∠BDC =90°，∴∠ADB =135°．【点睛】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，解题的关键是要证出△ADB ≌△ACD.59．已知：如图，D 是BC 上的一点，AB=BD ， DE ①AB ，①A=①DBE ．求证： AC=BE ．【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可.【详解】∵DE ∵AB ，∵∵ABC=∵EDB ．在△ABC 和△BDE 中A=DBE AB=BDABC=EDB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∵∵ABC ∵∵BDE ．∵AC=BE ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.60．（发现）(1)如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，对于以下结论：①AD是△ABC的中线；①S△ABD：S△ACD＝AB：AC；①AB：AC＝BD：DC,其中正确的是(只填序号)（探究）(2)请你选择(1)中正确的一个选项，简述理由（应用）(3)如图2，①ABC的三个内角的角平分线相交于点O，且AB＝40，BC＝48，AC＝32，则S ABO：S△BCO：S△ACO＝：：（拓展）(4)在(1)中的条件下，过点D作DE①AB于点E，DF①AB于点F，连接EF，求证：AD垂直平分EF．【答案】(1)②∵；(2)见解析；(3)5，6，4；(4)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形面积公式逐一判断可得；（2）②由AD平分∠BAC知点D到AB、AC的距离相等，设为h，由S△ABD=1 2AB•h，S△ACD=12AC•h可判断结论②；③作AP⊥BC，由S△ABD=12BD•AP，S△ACD=12CD•AP知S△ABD：S△ACD=BD：CD，结合S△ABD：S△ACD=AB：AC可得答案；（3）作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥AC于G，根据角平分线的性质知OE=OF=OG，根据S△ABO=12AB•OE，S△BCO=12BC•OF，S△ACO=12AC•OG可得答案；（4）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明△ADE和△ADF全等，根据全等三角形的可得AE=AF，再利用等腰三角形的证明即可．【详解】(1)正确的是∵∵，故答案为：∵∵．(2)∵∵AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC的距离相等，设为h，则S△ABD＝12AB•h，S△ACD＝12AC•h，∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC；∵如图1，作AP∵BC于点P，则S△ABD＝12BD•AP，S△ACD＝12CD•AP，∵S△ABD：S△ACD＝BD：CD，又∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC，∵AB：AC＝BD：CD．(3)如图2，过点O作OE∵AB于E，OF∵BC于F，OG∵AC于G，∵AO，BO，CO分别平分∠BAC，∵ABC，∵ACB，∵OE＝OF＝OG，∵S△ABO＝12AB•OE，S△BCO＝12BC•OF，S△ACO＝12AC•OG，∵S ABO：S△BCO：S△ACO＝AB：BC：AC＝40：48：32＝5：6：4，故答案为：5：6：4；(4)如图3，∵AD平分∠BAC，DE∵AB，DF∵AC，∵DE＝DF，在△ADE和△ADF中，∵AD AD DE DF=⎧⎨=⎩，∵∵ADE∵∵ADF(HL)，∵AE＝AF，又∵AD平分∠BAC，∵AD垂直平分EF．【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质等知识点．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题(含答案) (44)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题(含答案) (44)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题（含答案)如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC CD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，12MAN BAD ∠=∠．（1）如图（1），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图（2），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图（3），将MAN ∠绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的反向延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）详见解析；（2）MN BM DN =-，证明见解析；（3）MN DN BM =-.【解析】 【分析】（1）延长MB 到G ，使BG DN =，连接AG ，易证ABG ≌ADN △，可得AG AN =，BG DN =，∠=∠NAD BAG ，再根据12MAN BAD ∠=∠，可得∠=∠MAG MAN ，易证AMG ≌AMN ，等量代换可得MN BM DN =+.（2）在BM 上截取BG ，使BG DN =，连接AG ，易证ADN △≌ABG ，可得AN AG =，NAD GAB ∠=∠，所以12MAN NAD BAM DAB ∠=∠+∠=∠，可得MAN MAG ∠=∠，易证MAN △≌MAG △，等量代换即可得出MN BM DN =-.（3）在DC 上截取DF=BM ，易证△ABM ≌△ANF ，可得AF AM =，∠=∠DAF MAB ，根据12∠=∠+∠=∠MAN NAB BAM DAB ，等量代换可得12∠+∠=∠NAB DAF DAB ，可得∠=∠FAN MAN ，即可证明△FAN ≌△MAN ，得到=FN MN ，等量代换可得MN BM DN =-． 【详解】（1）如图（1），延长MB 到G ，使BG DN =，连接AG ． ∵90ABG ABC ADC ∠=∠=∠=︒，AB AD =， 在△ABG 与△AND 中，BG DN NDA GBA AG AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABG ≌ADN △（SAS ）．∴AG AN =，BG DN =，∠=∠NAD BAG ．∵12MAN BAD ∠=∠， ∴12∠+∠=∠-∠=∠NAD MAB BAD MAN BAD∴12∠+∠=∠+∠=∠=∠NAD MAB BAG MAB GAM BAD ．∴GAM MAN ∠=∠．又AM AM =，∴在△AMG 与△AMN 中，AG AN MAG NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AMG ≌AMN （SAS ）． ∴MG MN =．∵MG BM BG =+．∴MN BM DN =+．（1） （2） （3） （2）MN BM DN =-．证明：如图（2），在BM 上截取BG ，使BG DN =，连接AG ． ∵90ABC ADC ∠=∠=︒，AD AB =， ∴在△ABG 与△AND 中，BG DN NDA GBA AG AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABG ≌ADN △（SAS ）． ∴AN AG =，NAD GAB ∠=∠，∴12MAN NAD BAM DAB ∠=∠+∠=∠．∴12MAG BAD ∠=∠．∴MAN MAG ∠=∠． ∴在△AMG 与△AMN 中，AG AN MAG NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AMG ≌AMN （SAS ）． ∴MN MG =． ∴MN BM DN =-． （3）MN DN BM =-．证明：如图（3），在DC 上截取DF=BM ， ∵90ABC ADC ∠=∠=︒，AD AB =， ∴在△ABM 与△ANF 中，BM DF ABM ADF AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△ANF （SAS ）． ∴AF AM =，∠=∠DAF MAB ，∴12∠=∠+∠=∠MAN NAB BAM DAB ，∴12∠+∠=∠NAB DAF DAB ，∴()12∠=∠-∠+∠=∠FAN DAB NAB DAF DAB∴∠=∠FAN MAN ． ∴在△FAN 与△MAN 中，AF AM FAN NAM AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAN ≌△MAN （SAS ）， ∴=FN MN ． ∵=-FN DN DF ∴MN BM DN =-． 【点睛】本题考查截长补短的辅助线的做法，并且这道题属于类比探究题型，只要把第一问做出来，那么后面几问跟第一问的辅助线，证明思路都比较相似，如果实在没有思路的话可类比第一问证得哪两个三角形全等，在第二问中也找到这样的三角形即可.32．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CD 边上，且AE DF =，联结BE 、AF ．求证：AF BE =．【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得AB=AD ，∠BAE=∠D=90°，再根据已知条件AE DF =可证ABE △≌DAF △，即可得出AF BE =.【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB DA =，90BAE ADF ∠=∠=︒． 在ABE △与DAF △中，AB DA BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE △≌DAF △（SAS ）． ∴AF BE =． 【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形四边相等，四角相等都等于90°是解题关键.33．如图，已知ABC △．（1）请你在BC 边上分别取两点D ，E （BC 的中点 除外），联结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（l ）成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据图中只存在两对面积相等的三角形，可得出在BC 上选取的点不能使三等分点，只能是BD CE DE =≠，这样的话就存在△ABD 和△AEC面积相等，两个三角形再加上一个公共的三角形也就是△ADE 就可以得到△ABE 和△ABE 面积相等，即满足条件.（2）分别过点D 、B 作CA 、EA 的平行线，两线相交于F 点，DF 与AB 交于点G ．可得到ACE FDB ∠=∠，AEC FBD ∠=∠，易证AEC ≌FBD ，可得到AC FD =，AE FB =；在AGD △中根据三角形三边关系可得AG DG AD +>，在BFG 中根据三边关系可得，BG FG FB +>，两个式子合并可得AB FD AD FB +>+，即可得到AB AC AD AE +>+．【详解】（1）如图（1），相应的条件就应该是BD CE DE =≠， 设点A 到直线BC 的距离是h ，则可得到12ABDSBD h =，12ACES EC h =， ∵BD=CE ∴ABDACESS=；又∵ABEABDADES SS=+，ADCAECADESSS=+，∴ABEADCSS=；此时此图中只存在两对面积相等的三角形，分别是：△ABD 和△AEC 面积相等，△ABE 和△ADC 面积相等.（1） （2）（2）如图（2），分别过点D 、B 作CA 、EA 的平行线，两线相交于F 点，DF 与AB 交于点G ．∴ACE FDB ∠=∠，AEC FBD ∠=∠． 在AEC 和FBD 中，又CE BD =，∴AEC ≌FBD ．∴AC FD =，AE FB =． 在AGD △中，AG DG AD +>，在BFG 中，BG FG FB +>，即AB FD AD FB +>+． ∴AB AC AD AE +>+． 【点睛】本题考查了（1）两个三角形等底同高面积相等的情况，如果在一个较大的三角形一边上选取两条相等的线段，再与另一个顶点组成的两个三角形面积一定相等；（2）通过作已知直线的平行线构造全等三角形，将要证明的线段间的关系进行等量代换，可证出结论.34．已知AE AB ⊥，DA AC ⊥，AE AB =，AD AC =．直线MN 过点A ，交DE 、BC 于点M 、N ．（1）若AM 是EAD 中线，求证：AN BC ⊥； （2）若AN BC ⊥，求证：EM DM =． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）延长AM 至F ，使MF AM =，易证EMF △≌DMA △，可得DAM F ∠=∠，EF AD =，再根据AD AC =可得EF AC =，再利用∠BAC 、∠BAE 、∠EAD 和∠DAC 四个角和为360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠，利用△AEF 的内角和可得180AEF DAE ∠=︒-，可得BAC AEF ∠=∠，即可证明ABC △≌EAF △，最后利用等角的余角相等的等量代换以及△ABN 的内角和为180°可得出结论.（2）过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，根据DA AC ⊥，可得90DAM CAN ∠+∠=︒；AN BC ⊥，可得90CAN C ∠+∠=︒，等量代换得出F DAM C ∠=∠=∠．根据周角等于360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠；根据三角形内角和可得180∠=︒-∠AEF DAE ，可得BAC AEF ∠=∠，则可证明ABC △≌EAF △（AAS ），得到EF AC =；易证EFM △≌DAM △，即可得到EM DM =．【详解】解：（1）如图，延长AM 至F ，使MF AM =，∵AM 是EAD 中线，∴EM DM =．在EMF △和DMA △中，EM DMEMF AMD MF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EMF △≌DMA △（SAS ）．∴DAM F ∠=∠，EF AD =． ∵AD AC =，∴EF AC =．∵AE AB ⊥，DA AC ⊥，∴360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ∵180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-， ∴BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，EF ACBAC AEF AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC △≌EAF △（SAS ）．∴EAF B ∠=∠．∵AE AB ⊥，∴90EAF BAN ∠+∠=︒．∴90B BAN ∠+∠=︒．在ABN 中，()1801809090ANB B BAN ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴AN BC ⊥． （2）如图，过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，∵DA AC ⊥，∴90DAM CAN ∠+∠=︒．∵AN BC ⊥，∴90CAN C ∠+∠=︒．∴F DAM C ∠=∠=∠．∵AE AB ⊥，DA AC ⊥，∴360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ∵180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠， ∴BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，BAC AEFF C AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC △≌EAF △（AAS ）．∴EF AC =． ∵AD AC =，∴EF AD =．在EFM △和DAM △中，F DAM EMF DMA EF AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴EFM △≌DAM △（AAS ）．∴EM DM =．【点睛】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.35．如图，在ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是AC 上的一点，且AE BD ⊥的延长线交于E ，又BD 平分ABC ∠，求证：12AE BD =．【答案】详见解析【解析】【分析】延长AE ，BC 交于点F ，根据在Rt △BEF 中，∠EBF+∠F=90°，在Rt △ACF中∠FAC+∠F=90°，可得∠EBF=∠FAC ，进而可证ACF ≌BCD，可得AF BD =，易证ABE △≌FBE ，可得AE EF =，即12AE AF =，所以12AE BD =. 【详解】解：延长AE ，BC 交于点F ，∵90EAD ADE ∠+∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒，ADE BDC ∠=∠，∴EAD CBD ∠=∠．∵在ACF 和BCD 中，90EAD CBD AC BC ACF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ACF ≌BCD （ASA ）．∴AF BD =．∵在ABE △和FBE 中，90ABE FBE BE BE AEB FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ABE △≌FBE （ASA ）．∴AE EF =，即12AE AF =． ∴12AE BD =． 【点睛】本题考查全等三角形证明中与等腰三角形三线合一相关的辅助线，如果一个题目中一条线段既是高线又是角平分线，那么我们可以将这个高线和角平分线所在的三角形补全，即可证得等腰三角形，就可以利用这些条件构造全等.36．如图，AD BC ∥，12∠=∠，34∠=∠，直线DC 过点E 交AD 于D ，交BC 于点C ．求证：AD BC AB +=．【答案】详见解析【解析】【分析】在线段AB 上取AF AD =，连接EF ，易证ADE ≌AFE △，可得D AFE ∠=∠，因为AD BC ∥得，∠D+∠C=180°，再根据邻补角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C ，可证CBE △≌FBE ，可得BC=BF ，再进行等量代换即可得出答案.【详解】解：在线段AB 上取AF AD =，连接EF ，在ADE 与AFE △中，12AF AD AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ADE ≌AFE △（SAS ）．∴D AFE ∠=∠．由AD CB 又可得180C D ∠+∠=︒，∴180AFE C ∠+∠=︒．又180BFE AFE ∠+∠=︒，∴C BFE ∠=∠．在CBE △与FBE 中，34C BFE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴CBE △≌FBE （AAS ）．∴BF BC =．∵AB BF AF =+，∴AB AD BC =+．【点睛】本题考查全等三角形证明中辅助线其中一种截长补短的方法，在遇到两条线段和等于第三条线段的时候可用截长补短构造全等三角形，即在较长的线段上截取某条较短线段长度，或者延长一条较短线段长度使之等于另一条线段长度.37．如图，在ABC △和A B C '''中，AC A C ''=，'AB A B '=，D 、D 分别为BC 、B C ''的中点，且AD A D ''=，求证：ABC △≌A B C '''．【答案】详见解析【解析】【分析】分别延长AD 、A D ''到E ，E '，使得AD DE =，A D D E ''''=，连接BE 、B E ''， 易证ACD ≌EBD △，ACD '''△≌E B D '''△，可得到AC EB =，A C EB ''''=． 易证ABE △≌A B E '''△，可得BAD B A D '''∠=∠．再证明ABD △≌A B D '''△．可得BD B D ''=，BC B C ''=，即可证得ABC △≌A B C '''.【详解】解：如图，分别延长AD 、A D ''到E ，E '，使得AD DE =，A D D E ''''=， 连接BE 、B E ''，在△ACD 与△EDB 中AD DE ADC BDE CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△EDB （SAS ）同理可证A C D E B D ≅'''''',∴AC=EB ，A C E B ='''';在△ABE 与A B E '''中，AB A B BE B E AE A E '''''=⎧'⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE A B E '≅''（SSS ）∴BAD B A D '''∠=∠，'E E ∠=∠∴'''DAC D A C ∠=∠,∵∠BAC=∠BAD+∠DAC ，B A C B A D D'A'C'∠∠∠'''''+'=,∴BAC B A C ∠∠'''=；在△ABC 与A'B'C'中B AC AB A B BAC AC A C '''''''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC A'B'C'≅（SAS ）【点睛】本题考查全等三角形的证明，在证明全等但条件不够的时候可以考虑做辅助线，并且本题有中点，所以考虑倍长中线的辅助线做法是本题的解题关键.38．如图，在ABC △中，CD 是C ∠的角平分线，2A B ∠=∠，求证：BC AC AD =+．【答案】详见解析【解析】【分析】在BC 上取一点E 使得CE AC =，易证ACD ≌ECD ，可得2DEC A B ∠=∠=∠，再根据三角形的外角可得2B BDE DEC B ∠+∠=∠=∠，所以B BDE ∠=∠，可得DE BE =，通过等量代换可得出BC AC AD =+.【详解】解：如图，在BC 上找到E 点，使得CE AC =，在ACD 和ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ACD ≌ECD （SAS ）．∴DE AD =．∵2A B ∠=∠，B BDE DEC A ∠+∠=∠=∠，∴B BDE ∠=∠．∴DE BE =．∵BC BE CE =+，∴BC DE AC AD AC =+=+【点睛】本题考查利用截长补短的辅助线结合全等解题；本题的解题关键是看到三条线段之间和或者差的关系，要利用截长方法在较长线段上截取与其中一条较短线段相等的线段，构造全等三角形，或者利用补短的方法，将其中一条较短线段延长，构造全等三角形.39．如图，已知ABC △，AC BC <，请用尺规作图在BA 上取一点P ，使得PA PC BA +=．【答案】详见解析.【解析】【分析】作线段BC 的垂直平分线MN ，直线MN 交AB 于点P ，连接PC ，点P 即为所求．【详解】解：如图点P 即为所求．理由：MN 垂直平分线段BC ，PC PB ∴=，PC PA PB PA AB ∴+=+=．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键在于灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．40．如图，AB BC ⊥，AB BC =，点D 在BC 上．以D 为直角顶点作等腰直角三角形ADE ，则当D 从B 运动到C 的过程中，探求点E 的运动轨迹．【答案】线段．【解析】【分析】过点E 作EF BC ⊥交直线BC 于点F ，根据D 点在B 点，BC 中点以及C 点时，得出E 点所在位置，进而得出E 点在一条直线上，进而得出答案．【详解】如图所示：过点E 作EF BC ⊥交直线BC 于点F ，当点D 与点B 重合时，点E 与点C 重合，当点D 在BC 中点时，∵90ADB EDF ∠+∠=︒，90ADB DAB ∠+∠=︒，∴DAB EDF ∠=∠．∵在ADB △和DEF 中，90B F BAD FDE AD DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB △≌DEF （AAS ）．∴BD EF =，AB DF =．∵AB BC =，BD CD =，∴FC CD EF ==．∴45ECF FEC ∠=∠=︒．∵∠ACB=45°，∴∠ECA=90°，当点D 与点C 重合时，∠ECA=90°，∴点E 与另两个点E 都在过点C 且垂直于AC 的一条直线上．综上所述：当D从B运动到C的过程中，点E的运动轨迹是线段．【点睛】此题主要考查了点的轨迹问题，根据已知得出D点在不同位置时E点位置是解题关键．。

人教版八年级上册数学中考真题分类(解答题)专练：第12章 全等三角形 综合 (含答案)

人教版八年级上册数学中考真题分类(解答题)专练：第12章 全等三角形 综合 (含答案)

人教版八年级上册数学中考真题分类（解答题）专练：第12章全等三角形综合1．（2020•西藏）如图，△ABC中，D为BC边上的一点，AD＝AC，以线段AD为边作△ADE，使得AE＝AB，∠BAE＝∠CAD．求证：DE＝CB．2．（2020•鞍山）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．3．（2020•大连）如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，BD＝CE．求证：∠ADE＝∠AED．4．（2020•河池）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE 的数量关系，并说明理由．5．（2020•吉林）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．6．（2020•镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．（1）求证：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．7．（2020•昆明）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE．8．（2020•黄石）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．（1）求∠DAE的度数；（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC．9．（2020•广州）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°．求∠BCA的度数．10．（2020•云南）如图，已知AD＝BC，BD＝AC．求证：∠ADB＝∠BCA．11．（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．12．（2020•宜宾）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE ＝AD，连结CE．（1）求证：△ABD≌△ECD；（2）若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．13．（2020•常州）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．14．（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．15．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．16．（2020•泸州）如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．17．（2020•南充）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．18．（2020•无锡）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）AF∥DE．19．（2020•铜仁市）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．20．（2020•内江）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE ＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．参考答案1．证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，即∠DAE＝∠CAB，在△ADE和△ACB中，，∴△ADE≌△ACB（SAS），∴DE＝CB．2．证明：连接AC，在△AEC与△AFC中，∴△AEC≌△AFC（SSS），∴∠CAE＝∠CAF，∵∠B＝∠D＝90°，∴CB＝CD．3．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE（全等三角形对应边相等），∴∠ADE＝∠AED（等边对等角）．4．（1）证明：在△ACE和△BCE中，∵，∴△ACE≌△BCE（SAS）；（2）AE＝BE．理由如下：在CE上截取CF＝DE，在△ADE和△BCF中，∵，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∴AE＝BE．5．证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A．在△DEB与△ABC中，，∴△DEB≌△ABC（SAS）．6．证明：（1）在△BEF和△CDA中，，∴△BEF≌△CDA（SAS），∴∠D＝∠2；（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，∴∠D＝∠2＝78°，∵EF∥AC，∴∠2＝∠BAC＝78°．7．证明：∵AC是∠BAE的平分线，∴∠BAC＝∠DAE，，∴△BAC≌△DAE（AAS），∴BC＝DE．8．解（1）∵AB∥DE，∠E＝40°，∴∠EAB＝40°，∵∠DAB＝70°，∴∠DAE＝30°；（2）证明：在△ADE与△BCA中，，∴△ADE≌△BCA（ASA），∴AD＝BC．9．解：在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠D＝∠B＝80°，∴∠BCA＝180°﹣25°﹣80°＝75°．10．证明：在△ADB和△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（SSS），∴∠ADB＝∠BCA．11．【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．12．证明：（1）∵D是BC中点，∴BD＝CD，在△ABD与△CED中，∴△ABD≌△ECD（SAS）；（2）在△ABC中，D是边BC的中点，∴S△ABD ＝S△ADC，∵△ABD≌△ECD，∴S△ABD ＝S△ECD，∵S△ABD＝5，∴S△ACE ＝S△ACD+S△ECD＝5+5＝10，答：△ACE的面积为10．13．证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E＝∠F；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度数为60°．14．解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF＝BC，∴CF＝BF＝b，∵CE＝AE＝a，∴EF＝；（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，在△ADE和△BDM中，，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．15．证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，∴△ABC≌△AED（AAS），∴AE＝AB，AC＝AD，∴CE＝BD．16．证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，又∵AB＝AD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴BC＝CD．17．证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED．在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．18．证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵BE＝CF，∴BE﹣EF＝CF﹣EF，即BF＝CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS）；（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE．19．证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．20．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．。

人教版初中数学全等三角形证明题(经典50题)

人教版初中数学全等三角形证明题(经典50题)

人教版初中数学全等三角形证明题（经典50题）（含答案）1.已知：A B=4，A C=2，D 是B C 中点，A D 是整数，求A D?AB CD解析：延长A D 到E,使DE=A D,则三角形A D C 全等于三角形E B D即BE=A C=2 在三角形A B E 中,AB-BE<A E<A B+B E即:10-2<2A D<10+2 4<A D<6又A D 是整数,则A D=512.已知：D 是A B 中点，∠AC B=90°，求证：C D AB2ADC B3.已知：BC=D E，∠B=∠E，∠C=∠D，F 是C D 中点，求证：∠1=∠2A 12BEC F D证明：连接 BF 和 EF 。

因为 BC=E D,CF=D F,∠BCF=∠ED F 。

所以 三角形 B CF 全等于三角形 E DF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接 BE 。

在三角形 BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠A B C=∠A E D 。

所以 ∠A BE=∠AE B 。

所以 A B=A E 。

在三角形 A BF 和三角形 AEF 中， A B =A E,BF=EF, ∠ABF=∠A B E+∠EBF=∠A E B+∠BEF=∠A EF 。

所以 三角 形 A BF 和三角形 AEF 全等。

所以 ∠B AF=∠E AF (∠1=∠2)。

A 4. 已知：∠1=∠2，C D=D E ，EF//AB ，求证：EF=A C证明： 过 E 点，作 E G//AC ，交 A D 延长线于 G 则2 1 FCD∠DE G=∠D C A ∵C D=D E ∴⊿A D C ≌⊿G D E ， ∠D G E=∠2A A S又 E（ ） B∴E G=A C ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠D G E ∴EF=E G ∴EF=A C5. 已知：A D 平分∠B A C ，A C=A B+B D ，求证：∠B=2∠CACB D证明： 在 A C 上截取 AE=A B ，连接 E D ∵AD 平分∠B A C ∴∠E A D=∠BA D 又 ∵AE=A B ， A D=A D ∴⊿AE D ≌⊿A B D （ S AS ） ∴∠AE D=∠B ， D E=D B ∵A C =A B+B DA C =A E+CE ∴CE=D E ∴∠C=∠E D C ∵∠AE D=∠C+∠E D C=2∠C ∴∠B= 2∠C6. 已知：A C 平分∠B A D ，C E ⊥A B ，∠B+∠D=180°，求证：AE=A D +B E证明:在B C上截取BF=B A,连接EF.∠A BE=∠FBE,BE=BE,则⊿A BE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;A B平行于C D,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠D C E,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=A B+C D.13.已知：A B//E D，∠E A B=∠B D E，E DA F=CCFA B证明：A B//ED,A E//BD推出AE=B D,又有AF=C D,EF=B CA D则：△AE D 是等腰三角形。

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案一、选择题1．如图，△ABC≌△EFD，且AB＝EF，EC＝4，CD＝3，则AC等于（）A．3 B．4 C．7 D．82．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去3．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC=60°，∠ACB= 40°然后在BC的同侧找到点M使∠MBC=60°，∠MCB=40°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA4．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为（）.A．0.4 cm2B．0.5 cm2C．0.6 cm2D．不能确定6．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立是（）A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP7．如图，△ABC中∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC ②∠ABC+2∠APC=180°③∠CAB=2∠CPB④S△PAC=S△MAP+S△NCP．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝（）A．6 B．3 C．2 D．1.5二、填空题9．如图BA=BE，∠1=∠2要使△ABD≌△EBC还需添加一个条件是．（只需写出一种情况）10．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是．11．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于点E，若AC=8，则AD+DE的值为．12．如图，在△ABC中AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=70°那么∠A的大小等于度．13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．三、解答题14．如图，AD平分∠BAC，∠B=∠C.（1）求证：BD=CD；（2）若∠B=∠BDC=100°，求∠BAD的度数.15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数.16．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．（1）求证：CD=BE；（2）求∠CFE的度数．18．如图，在△AOB和△COD中OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°连接AC、BD交于点M，连接OM．求证：（1）∠AMB=36°；（2）MO平分∠AMD．参考答案1．C2．C3．D4．B5．B6．D7．D8．D9．BD =BC 或∠A =∠E 或∠C =∠D （任填一组即可）10．411．812．4013．414．（1）证明：∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD .在△ABD 和△ACD 中{∠BAD =∠CAD ∠B =∠C AD =AD∴△ABD ≌△ACD(AAS)∴BD =CD .（2）解：由(1)得：△ABD ≌△ACD∴∠C =∠B =100°，∠BAD =∠CAD∵∠BAC +∠B +∠BDC +∠C =360°∴∠BAC =60°∴∠BAD =30°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）∴BC ＝DC ；（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：∵△ABD 、△AEC 都是等边三角形∴AD=AB ，AC=AE ，∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，∠CAE=60°∵∠DAB=∠DAC+∠CAB ，∠CAE=∠BAE+∠CAB∴∠DAC=∠BAE在△DAC 和△BAE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE∴△DAC ≌△BAE∴CD=BE（2）解：∵△DAC ≌△BAE∴∠ADC=∠ABE∴∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABF=∠BDF+∠DBA+∠ADC=∠BDA+∠DBA=60°+60°=120°18．（1）解：证明：∵∠AOB=∠COD=36°∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD 在△AOC和△BOD中{OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌△BOD(SAS)∴∠OAC=∠OBD∵∠AEB是△AOE和△BME的外角∴∠AEB=∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC∴∠AMB=∠AOB=36°；（2）解：如图所示，作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H∴OG是△AOC中AC边上的高，OH是△BOD中BD边上的高由（1）知：△AOC≌△BOD∴OG=OH∴点O在∠AMD的平分线上即MO平分∠AMD．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一(含答案) (69)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一(含答案) (69)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一（含答案)如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长.他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度．(1)DE=AB吗？请说明理由；(2)如果DE的长度是8 m，则AB的长度是多少？【答案】（1）DE=AB．理由见解析；（2）AB =8m．【解析】【分析】（1）由题意知AC=DC，BC=EC，根据∠ACB=∠DCE即可证明△ABC≌△DEC，即可得AB=DE，即可解题；（2）由（1）可知DE=AB，则可知AB的长度.【详解】（1）解：由题意知AC=DC，BC=EC，且∠ACB=∠DCE，在△ABC 和△DEC 中，AC DC ACB DCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEC （SAS ），∴DE=AB ．（2）由（1）知AB =DE =8m ．【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABC ≌△DEC 是解题的关键．82．已知α∠和线段a ，用尺规作一个△ABC ，使A α∠=∠，2B α∠=∠，且这两内角的夹边等于a （不要求写作法，保留作图痕迹）．【答案】如图所示，见解析.【解析】【分析】根据已知∠α和线段a ，分别画∠CAB=∠α；画AB=a ，画∠ABC=2∠α，即可得出答案．【详解】解：如图所示： 画∠CAB=∠α；画AB=a ，画∠ABC=2∠α，∴△ABC 即是所求．【点睛】此题主要考查了画一个角等于已知角以及由已知线段画未知线段，正确画出一角等于已知角是解决问题的关键．83．已知：如图1所示，等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=，AB AC =，直线MN 经过点A ，BD MN ⊥于点D ，CE MN ⊥于点E .（1）求证：BAD ACE ∆≅∆；（2）试判断线段,,DE BD CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）当直线MN 运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段,,DE BD CE 之间的数量关系.【答案】（1）见解析；（2）DE BD CE =+，理由见解析；（3）DE CE BD =-【解析】【分析】（1）由已知推出90BDA AEC ∠=∠=，因为90BAD ABD ∠+∠=，90BAD CAE ∠+∠=，推出ABD CAE ∠=∠，可证明()BAD ACE AAS ∆≅∆；（2）由（1）知BAD ACE ∆≅∆，依据全等三角形的性质可得到AD=CE ，AE=BD ，然后由DE=DA+AE 可得到问题的答案；（3）与（1）证法类似可证出BAD ACE ∆≅∆，得到BD AE =，AD CE =，最后由DE AD AE =-可得到问题的答案．【详解】（1）证明：∵BD MN ⊥，CE MN ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=∴90BAD ABD ∠+∠=又∵90BAC ∠=∴90BAD CAE ∠+∠=∴ABD CAE ∠=∠在BAD ∆和ACE ∆中，90BDA AEC ABD CAE AB CA ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAD ACE AAS ∆≅∆（2）DE BD CE =+理由如下：由（1）得：BAD ACE ∆≅∆∴BD AE =，AD CE =，又DE AE AD =+，∴DE BD CE =+（3）DE CE BD =-同（1）可得：BAD ACE ∆≅∆故BD AE =，AD CE =，又DE AD AE =-，∴DE CE BD =-.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键．三、填空题84．如图,已知AF AB =,60FAB ∠=,AE AC =,60EAC ∠=，CF 和BE 交于O 点，则下列结论：①CF BE =；②120COB ∠=；③OA 平分FOE ∠；④OF OA OB =+.其中正确的有____.【答案】①②③④【解析】【分析】如图先证明△ABE ≌△AFC ，得到BE=CF ，利用“8字型”证明∠CON=∠CAE=60°，从而得到∠BOC=180°-∠CON=120°；连接AO，过A 分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q ，通过S△ABE=S△AFC，得到AP=AQ，利用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF，在OE上截取OD=OA，连接AD，证明△AFO≌△BAD，再由此可以解决问题．【详解】解：由题意可知AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°，∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠FAC=∠BAE，在△ABE与△AFC中，AB AFBAE FAC AE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△AFC（SAS），∴BE=FC，故①正确，∠AEB=∠ACF，∵∠EAN+∠ANE+∠AEB=180°，∠CON+∠CNO+∠ACF=180°，∠ANE=∠CNO∴∠CON=∠CAE=60°∴∠BOC=180°-∠CON=120°，故②正确，连接AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图，∵△ABE≌△AFC，∴S△ABE=S△AFC，∴12•CF•AP=12•BE•AQ，而CF=BE，∴AP=AQ，∴OA平分∠FOE，所以③正确，在OE上截取OD=OA，连接AD∵∠BOC=120°，AO平分∠FOE∴∠AOD=60°又∵OD=OA∴△AOD为等边三角形∴AD=AO；∠OAD=∠FAB=60°∴∠OAD+∠BAO=∠FAB+∠BAO∴∠FAO=∠BAD又∵FA=AB∴△AFO≌△BAD∴OF=BD=BO+OD=BO+AO，④正确故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，利用全等三角形面积相等证明高相等是解决问题的关键，属于中考常考题型．85．如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，∠AEC=∠DFB ，AB=DC ，请补充一个条件：_______能使用“AAS ”的方法得△ACE ≌△DBF.【答案】A D ∠∠＝【解析】【分析】根据线段的和差关系可得AC=BD ，由∠AEC=∠DFB 可得使用“AAS ”的方法得△ACE ≌△DBF 可添加∠A=∠D.【详解】∵AB=DC ，∴AB+BC=DC+BC ，即AC=BD ，∵∠AEC=∠DBF ，∴添加∠A=∠D ，能使用“AAS ”的方法得△ACE ≌△DBF ，故答案为：∠A=∠D【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的常用方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．86．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是∠BAC的角平分线，点D在△ABC内部，连接AD、BD、CD，∠ADB＝150°，∠DBC＝30°，∠ABC+∠ADC＝180°，则线段CD的长度为________．【答案】3【解析】【分析】在AB上截取AE=AC，证明△ADE和△ADC全等，再证BDE是等腰三角形即可得出答案.【详解】在AB上截取AE=AC∵AD是∠BAC的角平分线∴∠EAD=∠CAD又AD=AD∴△ADE≌△ADC(SAS)∴ED=DC，∠ADE=∠ADC∵∠ADB＝150°∴∠EDB+∠ADE=150°又∵∠DBC＝30°，∠ABC+∠ADC＝180°∴∠ABD+∠DBC+∠ADC=180°即∠ABD +∠ADC=150°∴∠ABD=∠EDB∴BE=ED即BE=CD又AB=8，AC=5CD=BE=AB-AE=AB-AC=3故答案为3【点睛】本题考查的是全等三角形的综合，解题关键是利用截长补短法作出两个全等的三角形.87．如图，∠1=∠2，由AAS来判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是________________．【答案】∠B=∠C【解析】【分析】本题要判定△ABD≌△ACD，已经有一角一边相等，根据题目要求由AAS 来判定即可得出答案．【详解】由题可知，题目已经有∠1=∠2，AD=AD，只能是∠B=∠C，才能组成“AAS”.故答案为：∠B=∠C．【点睛】本题考查了三角形的判定，明确题目已知有一边一角对应相等，注意由AAS 来判定是解决本题的关键．88．在△ABC和△DEF中，给出下列四组条件：①∠B＝∠E，BC＝EF，∠C ＝∠F；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF：④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E能使△ABC≌△DEF的条件是_____（写出所有正确的序号）【答案】①②③【解析】【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．【详解】①由∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，依据“ASA ”可判定△ABC ≌△DEF ； ②由AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，依据“SAS ”可判定△ABC ≌△DEF ； ③由AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，依据“SSS ”可判定△ABC ≌△DEF ； ④由AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠B ＝∠E 不能判定△ABC ≌△DEF ；故答案为：①②③．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．解题关键是注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．89．如图，在平面直角坐标系中，点()()()0,24,0,,2,0A B C -，180DAE BAC ∠+∠=︒，且AD AE ==DE ，点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF =__________，ADE S =___________.【答案】3 6【解析】【分析】(1) 延长AF 到G 使FG ＝AF ，连接EG ，根据全等三角形的性质得到GE ＝AD ＝2，∠DAF ＝∠G ，有勾股定理得到AB＝，AC ＝，BC＝4+2＝6，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论.【详解】解：（1）AF＝3，理由：延长AF到G使FG＝AF，连接EG，在△ADF与△GEF中，DF EFAFD EFGAF GF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△GEF（SAS），∴GE＝AD＝，∠DAF＝∠G，∴∠GAE+∠G＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAC＝180°，∴∠G+∠GAE+∠BAC＝180°，∵∠G+∠GAE+∠AEG＝180°，∴∠BAC＝∠AEG，∵点A（0，2），B（﹣4，0），C（2，0），∴AB＝AC＝，BC＝4+2＝6，在△ABC 与△EAG中，AB AE BAC AEG AC EG ⎧==⎪∠=∠⎨⎪==⎩， ∴△ABC ≌△EAG （SAS ），∴AG ＝BC ＝6，∴AF ＝3；（2）△ADE 的面积＝△AEG 的面积＝△ABC 的面积＝12BC •AO ＝12×6×2＝6，故答案为：6．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质及三角形的面积.正确的添加辅助线证明三角形全等是解决问题的关键.90．如图，BE ，CD 是ABC 的高，且BD EC =，判定BCD CBE △≌△的依据可以简写成是“________”．【答案】斜边、直角边或HL【解析】【分析】根据已知条件可得直角三角形中斜边和一条直角边分别对应相等即可求解.【详解】∵BE、CD是△ABC的高，∴∠BDC=∠BEC=90°在Rt△BDC和Rt△BEC中：BD=EC，BC=CB∴△BCD≌△CBE（HL）故答案为：斜边、直角边或HL【点睛】本题考查的是直角三角形的全等的判定，掌握直角三角形的判定定理并能找到公共边是关键.。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九(含答案) (8)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九(含答案) (8)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九（含答案)将含有45°角的直角三角板ABC和直尺如图摆放在桌子上，然后分别过A、B两个顶点向直尺作两条垂线段AD，BE．（1）请写出图中的一对全等三角形并证明；（2）你能发现并证明线段AD，BE，DE之间的关系吗？【答案】（1）△ADC≌△CEB（2）AD＝BE+DE【解析】【分析】（1）结论：△ADC≌△CEB．根据AAS证明即可；（2）由三角形全等的性质即可解决问题；【详解】解：（1）结论：△ADC≌△CEB．理由：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ACB＝∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠CAD＝∠ECB，∵AC＝CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）．（2）结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵CE＝CD+DE，∴AD＝BE+DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．72．如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q 在线段AC上由点A向点C 以4cm/s的速度运动．若点P、Q两点分别从点B、A同时出发．（1）经过2秒后，求证：∠DPQ=∠C．（2）若△CPQ的周长为18cm，问经过几秒钟后，△CPQ是等腰三角形？【答案】（1）见解析；（2）经过1秒或74秒或85秒时，△CPQ是等腰三角形．【解析】【分析】（1）经过1秒后，PB=2m ，PC=8m ，CQ=6m ，由已知可得BD=PC ，BP=CQ ，∠ABC=∠ACB ，即据SAS 可证得△BPD ≌△CQP ，然后根据全等三角形的性质及三角形外角的性质即可解答；（2）可设点Q 的运动时间为ts △CPQ 是等腰三角形，则可知PB=2tcm ，PC=8-3tcm ，CQ=xtcm ，据（1）同理可得当BD=PC ，BP=CQ 或BD=CQ ，BP=PC 时△CPQ 为等腰三角形，从而求得t 的值．【详解】（1）当P ，Q 两点分别从B ，A 两点同时出发运动2秒时，有BP=2×2=4cm ，AQ=4×2=8cm ，则CP=BC ﹣BP=10﹣4=6cm ， CQ=AC ﹣AQ=12﹣8=4cm ，∵D 是AB 的中点，∵BD=12AB=12×12=6cm ， ∵BP=CQ ，BD=CP ，又∵∵ABC 中，AB=AC ，∵∵B=∵C ，在∵BPD 和∵CQP 中，BP CQ B C BD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵BPD ∵∵CQP （SAS)∵∵DPB=∵PQC ，∵∠B+∠PDB=∠DPQ+∠QPC ，∴∵DPQ=∵C ；（2）设当P ，Q 两点同时出发运动t 秒时，有BP=2t，AQ=4t∵t的取值范围为0＜t≤3，则CP=10﹣2t，CQ=12﹣4t，∵∵CPQ的周长为18cm，∵PQ=18﹣（10﹣2t）﹣（12﹣4t）=6t﹣4，要使∵CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：∵当CP=CQ时，则有10﹣2t=12﹣4t，解得：t=1．∵当PQ=PC时，则有6t﹣4=10﹣2t，解得：t=74；∵当QP=QC时，则有6t﹣4=12﹣4t，解得：t=85，三种情况均符合t的取值范围．综上所述，经过1秒或74秒或85秒时，∵CPQ是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．73．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，D在BC上，P是射线AD上一动点．（1）如图①，若∠ACB＝90°，AC＝8，CD＝6，当点P在线段AD上，且△PCD是等腰三角形时，求AP长．（2）如图②，若∠ACB＝90°，∠APC＝45°，当点P在AD延长线上时，探究PA，PB，PC的数量关系，并说明理由．（3）类比探究：如图③，若∠ACB＝120°，∠APC＝30°，当点P在AD 延长线上时，请直接写出表示PA，PB，PC的数量关系的等式．【答案】（1）满足条件的AP的值为2.8或4或5；（2）PA﹣PB PC．理由见解析；（3）PA﹣PB PC．理由见解析.【解析】【分析】（1）如图①中，作CH⊥AD于H．利用面积法求出CH，利用勾股定理求出DH，再求出PD，接下来分三种情形解决问题即可；（2）结论：PA﹣PB PC．如图②中，作EC⊥PC交AP于E．只要证明△ACE≌△BCP即可解决问题；（3）结论：PA﹣PB．如图③中，在AP上取一点E，使得∠ECP＝∠ACB＝120°．只要证明△ACE≌△BCP即可解决问题；【详解】（1）如图①中，作CH⊥AD于H．在Rt△ACD中，AD10，∵12×AC×DC＝12×AD×CH，∴CH＝245 AC CDAD⨯=，∴DH 185，①当CP＝CD，∵CH⊥PD，∴PH＝DH＝185，∴PD＝365，∴PA＝AD﹣PD＝10﹣365＝145．②当CD＝DP时，DP＝6．AP＝10﹣6＝4，③当CP＝PD时，易证AP＝PD＝5，综上所述，满足条件的AP的值为2.8或4或5．（2）结论：PA﹣PB PC．理由：如图②中，作EC⊥PC交AP于E．∵∠PCE＝90°，∠CPE＝45°，∴∠CEP＝∠CPE＝45°，∴CE＝CP，PE PC，∵∠ACB＝∠ECP＝90°，∴∠ACE＝∠BCP，∵CA＝CB，∴△ACE≌△BCP，∴AE＝PB，∴PA﹣PB＝PA﹣EA＝PE PC，∴PA﹣PB．（3）结论：PA﹣PB PC．理由：如图③中，在AP上取一点E，使得∠ECP＝∠ACB＝120°．∵∠CEP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CEP＝∠CPE，∴CE＝CP．作CH⊥PE于H，则PE，∵∠ACB＝∠ECP，∴∠ACE＝∠BCP，∵CA＝CB，∴△ACE≌△BCP，∴AE＝PB，∴PA﹣PB＝PA﹣EA＝PE PC．【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．74．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，DE垂直平分BC，连接BD．（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：点D到BA，BC的距离相等．【答案】（1）如图所示，DF即为所求，见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接利用过一点作已知直线的垂线作法得出符合题意的图形；（2）根据角平分线的性质解答即可．【详解】（1）如图所示，DF即为所求：（2）∵△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°，∵DE垂直平分BC，∴BD＝DC，∴∠DBC＝∠C＝40°，∴∠ABD＝∠DBC＝40°，即BD是∠ABC的平分线，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，即点D到BA，BC的距离相等．【点睛】此题主要考查了复杂作图，正确利用角平分线的性质解答是解题关键．75．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（点B，C的对应点分别是D，E），当点E在BC边上时，连接BD，若∠ABC＝30°，∠BDE＝10°，求∠EAC．【答案】∠EAC＝100°．【解析】【分析】由旋转可得，△ABC≌△ADE，进而得出∠ABC＝∠ADE＝30°，AD＝AB，进而得到∠ADB＝40°＝∠ABD，∠BAD＝100°，再根据∠BAC＝∠DAE，即可得到∠EAC＝∠DAB＝100°．【详解】由旋转可得，△ABC≌△ADE，∴∠ABC＝∠ADE＝30°，AD＝AB，∵∠BDE＝10°，∴∠ADB＝40°＝∠ABD，∴∠BAD＝100°，又∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠EAC＝∠DAB＝100°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．76．已知：在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，BE⊥AD于E．（1）如图l，求证：AC﹣AB＝2BE．（2）如图2，将∠DCA沿直线AC翻折，交BA的延长线于点M，连接MD交AC于点N；MA＝BA，BE＝1，AB，求AN的长．【答案】(1)见解析.【解析】【分析】（1）延长BE交AC于F．由AD平分∵BAC得∵1＝∵2，再由BE∵AD及公共边AE可证∵AEB∵∵AEF，由全等的性质可知AB＝AF，∵3＝∵4，BE＝FE，则BF＝2BE；由三角形外角和可知∵4＝∵5+∵C，则∵ABC＝∵3+∵5=∵4+∵5=2∵5+∵C，再由∵ABC＝3∵C可知∵5＝∵C，则CF＝BF＝2BE，据此即可证明；（2）作AH∵BC于H，AK∵CM于K，易证∵AHB∵∵AKM，据此可证明∵BCA∵∵MCA，可得∵CAB＝∵CAM＝90 ；再由勾股定理计算可得AE=BE=1，由题干条件及上问证明可得AB=AD，从而得到MD⊥BC，进而得到∵NCD＝∵BMD；再通过∵AEB是直角等腰三角形可证明∵MDC也是直角等腰三角形，可证明∵MBD∵∵CND，则可通过计算AC和CN的长度，通过AN＝AC﹣CN 进行计算.【详解】解：（1）延长BE交AC于F．∵AD平分∵BAC，∵∵1＝∵2．∵BE∵AD，∵∵AEB＝AEF＝90°．∵∵1＝∵2，∵AEB＝AEF＝90°，AE=AE，∵∵AEB∵∵AEF（ASA）∵AB＝AF，∵3＝∵4，BE＝FE，∵BF＝2BE．∵∵4＝∵5+∵C，∵∵3＝∵5+∵C，∵∵ABC＝∵3+∵5，∵∵ABC＝∵5+∵C+∵5＝2∵5+∵C＝3∵C，∵∵5＝∵C，∵CF＝BF＝2BE．∵AC﹣AF＝FC，∵AC﹣AB＝2BE；（2）作AH∵BC于H，AK∵CM于K，∵∵ACH＝∵ACK，∵AH＝AK，∵AB＝AM，∵∵AHB∵∵AKM，∵∵ABH＝∵AMK，∵CB＝CM，∵AC＝AC，CB＝CM，AB＝AM，∵∵BCA∵∵MCA，∵∵CAB＝∵CAM＝90 ，∵BE∵AD，∵∵AEB＝90°．∵BE＝1，AB，由勾股定理，得∵AE＝1，∵AE＝BE，∴∵BAE=∵ABE由上问证明可知，∵BAN=∵CAD，∵EBD=∵ACB，∴∵ABD=∵ABE+∵EBD,∵ADB=∵CAD+∵ACB，∴∠ABD=∠ADB,∵AB=AD，∵AM＝AB，∵AD＝AB＝AM，∵∵DBM是直角三角形，∵∵BDM＝∵CDM＝90°．∵∵MBD+∵NCD＝90°，∵MBD+∵BMD=90°，∵∵NCD＝∵BMD，∵BE∵AD，AE＝BE，∵∵BAE＝∵ABE＝45°．∵AD平分∵BAC，∵∵BAC＝2∵BAD＝90°，∵∵ABC+∵ACB＝90°．∵∵ABC＝3∵ACB，∵∵ACB＝22.5°，∵∵BCM＝45°，∵∵DMC＝45°，∵∵BCM＝∵DMC，∵DM＝DC．∵∠BDM=∠CDM=90°，DM=DC，∵BMD＝∵NCD，∵∵MBD∵∵CND（ASA），∵CN＝BM＝2AB＝，∵AC＝2BE+AB＝∵AN＝AC﹣CN＝2．【点睛】本题有一定难度，理清如何通过证明三角形全等一步一步将求解AN长度转化为用AC长度减去CN长度对理解此类题型有较大帮助.77．如图1，在平面直角坐标系中，已知A(m，n)，且满足|m﹣2|+(n﹣2)2＝0，过A作AB⊥y轴，垂足为B，过A作AC⊥x轴，垂足为C，点D、E 分别是线段AB、AC上的动点，且保持∠DOE＝45°．(1)点A的坐标为，∠BOD+∠EOC＝；(2)设BD＝a，CE＝b，DE＝c①如图1，连接OA交DE于F，当a＝b时，易证△BOD≌△COE(SAS)，从而可推出∠BOD＝∠EOC＝22.5°和OA垂直平分DE，试证明：c＝2a；①如图2，当a≠b时，试探究a，b，c之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2，2)，45°；(2)①证明见解析；②结论：a+b＝c．理由见解析.【解析】【分析】（1）利用非负数的性质求出m、n即可解决问题；（2）①想办法证明∠BOD＝∠AOD＝∠AOE＝∠EOC＝22.5°，BD＝DF，DF＝DF，EC＝EF即可解决问题；②结论：a+b＝c．如图2中，将△EOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBM．只要证明△ODM≌△ODE即可解决问题；【详解】(1)∵|m﹣2|+(n﹣2)2＝0，又∵|m﹣2|≥0，(n﹣2)2≥0，∴m﹣2＝0，n﹣2＝0，∴m＝n＝2，∴A(2，2)，∵∠BOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠BOD+∠EOC＝90°﹣45°＝45°，故答案为(2，2)，45°；(2)①如图1，连接OA交DE于F，当a＝b时，∵BD＝CE，BO＝OC，∠OBD＝∠OCE，∴△OBD≌△OCE，∴∠BOD＝∠ECC，OD＝OE，∵∠AOB＝∠AOC＝45°，∠BOD+∠EOC＝45°，∴∠BOD＝∠AOD＝∠AOE＝∠EOC＝22.5°．∴OA垂直平分相等DE，∴DF＝FE，∵∠BOD＝∠DOF，DB⊥OB，DF⊥OF，∴BD＝DF，∵BD＝CE，∴DE＝DF+EF＝BD+EC，∴c＝2a．②结论：a+b＝c．理由：如图2中，将△EOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBM．∵∠DOM＝∠DOB+∠BOM＝∠DOB+∠EOC＝45°，∠DOE＝45°，∴∠DOM＝∠DOE，∵OD＝OD，OM＝OE，∴△ODM≌△ODE，∴DE＝DM，∵DM＝DB+BM＝BD+EC，∴DE＝BD+EC，∴c＝a+b．【点睛】本题考查三角形综合题、非负数的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．78．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC．(1)证明：△ABC≌△ADE；(2)若AC＝12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)72.【解析】【分析】（1）求出∠BAC＝∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE即可；（2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积＝三角形ACE的面积，即可得出答案；【详解】(1)∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD．在△ABC 和△ADE 中，,AB AD BAC EAD AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE (SAS )．(2)∵△ABC ≌△ADE ，∴S △ABC ＝S △ADE ，∴S 四边形ABCD 2121272ABC ACD ADE ACD ACE SS S S S ==++⨯===． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD 的面积是解此题的关键，难度适中．79．如图，A ，B ，C ，D 是同一条直线上的点，AC ＝BD ，AE ∥DF ，∠1＝∠2．求证：△ABE ≌△DCF ．【答案】证明见解析.【解析】【分析】首先利用平行线的性质得出∠A ＝∠D ，再由AC ＝BD 得出AB ＝CD ，进而利用全等三角形的判定定理ASA 即可证明△ABE ≌△DCF ．【详解】∵AE ∥DF ，∴∠A ＝∠D ，∵AC ＝BD ，∴AB ＝CD ，在△ABE 和△DCF 中，12,A D AB DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△DCF (ASA )．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．80．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD ＝CD ，AB ＝CB ，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC ⊥BD ；①AO ＝CO ＝12AC ；①△ABD ≌△CBD ；①若AC ＝6，BD ＝8，则四边形ABCD 的面积等于48；其中正确的结论有_____．(用序号表示)【答案】∵∵∵【解析】【分析】先证明△ABD 与△CBD 全等，再证明△AOD 与△COD 全等即可判断．【详解】在△ABD 与△CBD 中，,AD CD AB BC DB DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CBD (SSS )，故③正确；∴∠ADB ＝∠CDB ，在△AOD 与△COD 中，,AD CD ADB CDB OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△COD (SAS )，∴∠AOD ＝∠COD ＝90°，AO ＝OC ，∴AC ⊥DB ，故①②正确；四边形ABCD 的面积 111168242222ADB BDC S S DB OA DB OC AC BD =+=⨯+⨯=⋅=⨯⨯=， 故④错误；故答案为①②③【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS 证明△ABD 与△CBD 全等和利用SAS 证明△AOD 与△COD 全等．。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》复习题(含答案解析)

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》复习题(含答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒D解析：D【分析】 根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩， 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩， 解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．2．如图，OM 、ON 、OP 分别是AOB ∠，BOC ∠，AOC ∠的角平分线，则下列选项成立的（ ）A ．AOP MON ∠>∠B ．AOP MON ∠=∠C ．AOP MON ∠<∠D ．以上情况都有可能B 解析：B【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=12∠AOC ，∠AOM=∠MOB=12∠AOB ，∠CON=∠BON=12∠BOC ，进而可得∠MON=12∠AOB+12∠BOC=12∠AOC ，从而可得∠AOP=∠MON ．【详解】解：∵OP 平分∠AOC ，∴∠AOP=12∠AOC ， ∵OM 、ON 分别是∠AOB 、∠BOC 的平分线， ∴∠AOM=∠MOB=12∠AOB ，∠CON=∠BON=12∠BOC ， ∴∠MON=12∠AOB+12∠BOC=12∠AOC ， ∴∠AOP=∠MON ．故选B ．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分． 3．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA C【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.4．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒A解析：A【分析】 由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．【详解】解：∵点O 到ABC 三边的距离相等，∴BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，∴ ()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠()1802OBC OCB =︒-∠+∠()1802180BOC =︒-⨯︒-∠()1802180110︒=︒-⨯-︒40=︒．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．5．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有丙D．只有乙B解析：B【分析】甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS判定与△ABC全等；丙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．【详解】解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC对应相等且均有50°内角，可根据AAS判定乙与△ABC 全等；则与△ABC全等的有乙和丙，故选：B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．6．下列判断正确的个数是（）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．A．4 B．3 C．2 D．1D解析：D【分析】根据三角形的高线、角平分线的性质及全等三角形的判定分析各个选项即可．【详解】解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，此选项错误；②有两边及一角对应相等的两个三角形全等，此选项错误；③有两角和一边对应相等，满足AAS或ASA，此选项正确；④在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点； 在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．则到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，此选项错误；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，此选项错误．正确的有一个③，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法及三角形的角平分线，垂心等概念，熟练掌握概念和性质是解题的关键．7．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12A解析：A【分析】 根据两条平行线之间的距离可知当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，先利用角平分线的性质得出AD =AE =3，利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3，进而解答即可．【详解】解：由题意得，当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，∵OB 平分∠MON ，AE ⊥ON 于点E ，CD ⊥OM ，∴AD =AE =3，∵BC ∥OM ，∴∠DOA =∠B ，∵A 为OB 中点，∴AB =AO ，在△ADO 与△ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADO ≌△ABC (SAS ),∴AC =AD =3，∴336CD AC AD =+=+=，【点睛】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3．8．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．A ．AC DB =B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = D解析：D【分析】 根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．【详解】根据题意：BE=CE ，∠AEB=∠DEC ，∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE （由AC=BD 也可以得到），或任意一组对应角，即∠A=∠D ，∠B=∠C ，∴选项A 、B 、C 可以判定，选项D 不能判定，故选：D ．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．9．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④B解析：B由SAS 证明AOC BOD ≅得出OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，得出40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，由AAS 证明OCG ODH ≅（AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分BOC ∠，④正确；由AOB COD ∠=∠，得出当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM ，由AOC BOD ≅得出COM BOM ，由MO 平分BMC ∠得出∠=∠CMO BMO ，推出COM BOM ≅，得出OB=OC ，OA=OB ，所以OA=OC ，而OA OC >，故③错误；即可得出结论．【详解】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠即AOC BOD ∠=∠在AOC △和BOD 中OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC BOD ≅（SAS ）∴OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，∴40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，在OCG 和ODH 中OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OCG ODH ≅（AAS ），∴OG=OH∴MO 平分BOC ∠，④正确；∴AOB COD ∠=∠∴当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM∵AOC BOD ≅ ∴COM BOM ，∵MO 平分BMC ∠∴∠=∠CMO BMO ，在COM 和BOM 中OCM BOM OM OMCMO BMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴COM BOM ≅（ASA ）∴OB=OC ，∵OA=OB ，∴OA=OC ，与OA OC >矛盾，∴③错误；正确的有①②④；故选：B【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．10．如图，△ACB ≌△A 'CB '，∠BCB '=25°，则∠ACA '的度数为（ ）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°C解析：C【分析】 利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB ，再利用等式的性质可得答案．【详解】解：∵△ACB ≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB ，∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB ，∴∠ACA′=∠BCB′=25°，故选：C ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．二、填空题11．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是____．【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD ＝S△ABD＋S△BCD可求出四边形ABCD的面积【详解】解：过点D作DE⊥B 解析：120【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，可求出四边形ABCD的面积．【详解】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．又∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DE＝DC＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，＝12AB•DE＋12BC•CD，＝12×12×8＋12×18×8，＝120．故答案为：120．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．12．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C的坐标为()0,3，另一个顶点B的坐标为()8,8，则点A的坐标为____________（5－5）【分析】根据余角的性质可得∠BCP=∠CAQ 根据全等三角形的判定与性质可得AQCQ 根据线段的和差可得OQ 可得答案【详解】解：作BP ⊥y 轴AQ ⊥y 轴如图∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=A解析：（5，－5）【分析】根据余角的性质，可得∠BCP=∠CAQ ，根据全等三角形的判定与性质，可得AQ ，CQ ，根据线段的和差，可得OQ ，可得答案．【详解】解：作BP ⊥y 轴，AQ ⊥y 轴，如图，∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=AC ，∠BCA=90°，∴∠BCP+∠ACQ=90°．又∠CAQ+∠ACQ=90°∴∠BCP=∠CAQ ．在△BPC 和△CQA 中，BPC CQA BCP CAQ BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ Rt △BPC ≌Rt △ACQ （AAS ），AQ=PC=8-3=5；CQ=BP=8．∵QO=QC-CO=8-3=5，∴A （5，-5），故答案为：（5，-5）．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出AQ ，CQ 是解题关键．13．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得然后根据周角等于求出再根据三角形的内角和定理求出从而得解【详解】解：（对顶角相等）故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质三角形的内角和定理解析：100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得1BAE ∠=∠，ACB E ∠=∠，然后根据周角等于360︒求出2∠，再根据三角形的内角和定理求出2α∠=∠，从而得解．【详解】解：ABE ADC ABC ∆≅∆≅∆，1130BAE ∴∠=∠=︒，ACB E ∠=∠，23601360130130100BAE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180DFE E α∴∠=︒-∠-∠，1802AFC ACD ∠=︒-∠-∠，DFE AFC ∠=∠（对顶角相等），1801802E ACD α∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，2100α∴∠=∠=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，准确识图，找出对应角是解题的关键．14．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．1或15【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时从而可得点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时可得：从而可得点的运动速度从而可得答案【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时则AC ＝BPAP ＝BQ ∵AC解析：1或1.5【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时，1AP BQ ==， 从而可得Q 点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时，可得：23AP BP BQ ===，， 从而可得Q 点的运动速度，从而可得答案．【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，∵AC ＝3cm ，∴BP ＝3cm ，∵AB ＝4cm ，∴AP ＝1cm ，∴BQ ＝1cm ，∴点Q 的速度为：1÷（1÷1）＝1（cm/s ）；当△ACP ≌△BQP 时，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，∵AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∴AP ＝BP ＝2cm ，BQ ＝3cm ，∴点Q 的速度为：3÷（2÷1）＝1.5（cm/s ）；故答案为：1或1.5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想，掌握利用分类讨论解决全等三角形问题是解题的关键．15．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件， 能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．或或或【分析】先根据对顶角相等可得再根据三角形全等的判定定理即可得【详解】由对顶角相等得：当时由定理可证当时由定理可证当时由定理可证当时则由定理可证故答案为：或或或【点睛】本题考查了对顶角相等三角形解析：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD【分析】先根据对顶角相等可得AOC BOD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得．【详解】由对顶角相等得：AOC BOD ∠=∠，AO BO =，∴当CO DO =时，由SAS 定理可证AOC BOD ≅，当A B ∠=∠时，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，当C D ∠=∠时，由AAS 定理可证AOC BOD ≅，当//AC BD 时，则A B ∠=∠，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，故答案为：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD ．【点睛】本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．16．如图，△ABC ≌△A'B'C'，其中∠A ＝35°，∠C ＝25°，则∠B'＝_____．120°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B 根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′即可【详解】解：∵△ABC ∠A ＝35°∠C ＝25°∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠C ＝180°﹣25°﹣35°＝120°∵△解析：120°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B ，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′即可．【详解】解：∵△ABC ，∠A ＝35°，∠C ＝25°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠C ＝180°﹣25°﹣35°＝120°，∵△ABC ≌△A'B'C'，∴∠B ＝∠B′＝120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．17．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．3【分析】由AD ⊥CEBE ⊥CE 可以得到∠BEC=∠CDA=90°再根据∠ACB=90°可以得到∠BCE=∠CAD 从而求得△CEB ≌△ADC 然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长【详解】解：∵∠A解析：3【分析】由AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，可以得到∠BEC=∠CDA=90°，再根据∠ACB=90°，可以得到∠BCE=∠CAD ，从而求得△CEB ≌△ADC ，然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD ，在△CEB 和△ADC 中，BCE CAD BEC CDA AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△ADC （AAS ）；∴BE=CD ，CE=AD=9．∵DC=CE-DE ，DE=6，∴DC=9-6=3，∴BE=3．故答案为：3【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．18．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADC ，还需添加条件：_____．（填写一个你认为正确的即可）AB ＝AD （答案不唯一）【分析】根据题目中条件和图形可以得到∠1＝∠2AC ＝AC 然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件本题得以解决【详解】由已知可得∠1＝∠2AC ＝AC ∴若添加条件AB ＝A解析：AB ＝AD （答案不唯一）【分析】根据题目中条件和图形，可以得到∠1＝∠2，AC ＝AC ，然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件，本题得以解决．【详解】由已知可得，∠1＝∠2，AC ＝AC ，∴若添加条件AB ＝AD ，则△ABC ≌△ADC （SAS ）；若添加条件∠ACB ＝∠ACD ，则△ABC ≌△ADC （ASA ）；若添加条件∠ABC ＝∠ADC ，则△ABC ≌△ADC （AAS ）；故答案为：AB ＝AD （答案不唯一）．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，点D 在线段BE 上．若125∠=︒，230∠=︒，则3∠=______．55°【分析】先证明△ABD ≌△ACE （SAS ）；再利用全等三角形的性质：对应角相等求得∠2=∠ABE ；最后根据三角形内角与外角的性质即可求出答案【详解】∵∴∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD ∴∠1解析：55°【分析】先证明△ABD ≌△ACE （SAS ）；再利用全等三角形的性质：对应角相等，求得∠2=∠ABE ；最后根据三角形内角与外角的性质即可求出答案．【详解】∵BAC DAE ∠=∠，∴∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，∴∠1=∠CAE ；在△ABD 与△ACE 中，1AD AE CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；∴∠2=∠ABE ；∵∠3=∠ABE+∠1=∠1+∠2，∠1=25°，∠2=30°，∴∠3=55°．故答案为：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质；将所求的角与已知角通过全等及内角、外角之间的关系联系起来是解答此题的关键．20．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．【分析】根据图形得出当有1点D 时有1对全等三角形；当有2点DE 时有3对全等三角形；当有3点DEF 时有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时图中有个全等三角形即可【详解】解：当有1点D 时有1对全解析：)(12n n +【分析】根据图形得出当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形即可．【详解】解：当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形．故答案为：)(12n n +．【点睛】 本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．三、解答题 21．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．（1）在图1中计算格点三角形ABC 的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）ABC 是格点三角形．①在图2中画出一个与ABC 全等且有一条公共边BC 的格点三角形；②在图3中画出一个与ABC 全等且有一个公共点A 的格点三角形．解析：（1）6；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）用割补法求解即可；（2）根据“SSS”画图即可；（3）根据“SSS”画图即可；【详解】解：（1）5×3-12×3×3-12×2×2-12×5×1=6，故答案为：6；（2）①如图，'A BC即为所求，AB C即为所求，②如图，''【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．22．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．写出两个结论（∠BAD＝∠CAD和DE＝DF除外），并选择一个结论进行证明．（1）____________；（2）____________．解析：（1）∠ADE=∠ADF；证明见解析；（2）AE=AF；证明见解析．【分析】（1）∠ADE=∠ADF，根据DE⊥AB，DF⊥AC及AD为∠BAC的角平分线，即可证得∠ADE=∠ADF；（2）AE=AF，根据（1）可知证明△AED≌△AFD，即可证得AE=AF．【详解】（1）结论1：∠ADE=∠ADF，证明如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90︒，∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠EAD=∠FAD ，∴∠ADE=∠ADF ；（2）结论2：AE=AF ，证明如下：由（1）可知：△AED ≌△AFD ，∴AE=AF ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质解决问题．23．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．解析：（1）见解析；（2）8秒【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD ∠=∠，又有90PAD C ∠=∠=︒，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF ∠=∠，又因为90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．【详解】（1）证明：PD BD ⊥，90PDB ∴∠=︒，即90BDC PDA ∠+∠=︒又90C ∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒ PDA CBD ∴∠=∠又AE AC ⊥，90PAD ∴∠=︒90PAD C ∴∠=∠=︒又6cm BC =，6cm AD =AD BC ∴=在PAD △和DCB 中PAD C AD CBPDA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()PDA DBC ASA ∴△≌△（2）PD AB ⊥，90AFD AFP ∴∠=∠=︒，即90PAF APF ∠+∠=︒又AE AC ⊥， 90PAF DAF ∴∠+∠=︒APF DAF ∴∠=∠又90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =在APD △和CAB △中APD CAB PAD C AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PAD ACB AAS ∴△≌△8cm AP AC ∴==即8t =秒．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．24．如图，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，A D ∠=∠，//AB DE ，BE CF =．求证：//AC DF ．解析：见解析．【分析】根据//AB DE 可知B DEF ∠=∠，又根据∠A=∠D ，BE=CF 可以判定ABC DEF △≌△，即可求证//AC DF ；【详解】∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠，∵BE CF =，∴BC EF =，∴在ABC 和DEF 中，A DB DEF BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△，∴ACB F ∠=∠，∴//AC DF ．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出ABC DEF △≌△，注意全等三角形的对应边相等；25．如图，已知在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，别过B 、C 两点向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．求证：EF BE CF =+．解析：见解析【分析】证明△BEA ≌△AFC ，得到AE=CF ，BE=AF ，即可得到结论．【详解】证明：BE EA ⊥，CF AF ⊥，90BAC BEA AFC ∴∠=∠=∠=︒，90EAB CAF ∴∠+∠=︒，90EBA EAB ∠+∠=︒，CAF EBA ∴∠=∠，在ABE △和AFC △中，BEA AFC EBA CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BEA AFC ∴△≌△．AE CF ∴=，BE AF =．EF AF AE BE CF ∴=+=+．．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．26．已知矩形ABCD 中，点E 是AD 中点，连接CE ，经过点A ，B ，E 三点作O ，交BC 于点F ，过点F 作FH CE ⊥于H ．（1）求证：直线FH 是O 的切线；（2）若42AD =，且点H 恰好为CE 中点时，判断此时CE 与O 的位置关系？说明理由，并求出弧EF ，线段EH ，FH 围成的图形的面积．解析：（1）见解析；（2）EC 与O 相切，理由见解析，4π-【分析】 （1）连接BE ，OF ，易得出BE 是圆的直径，根据全等三角形的判定证得△EAB ≌△EDC ，继而根据平行线的性质和切线的判定即可求证结论；（2）连接EF ，易求得四边形OFHE 的边长，再利用面积的和差即可求解．【详解】（1）连接BE ，OF∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，AB CD =，∵90A ∠=︒，∴BE 是O 的直径，∵点E 是AD 中点，∴EA EC =，∴△EAB ≌△EDC ，∴EB EC =，∴EBC ECB ∠=∠，∵OB OF =，∴ECB OFB ∠=∠，∴ECB OFB ∠=∠，∴//OF EC ，∴OFH FHC ∠=∠，∵FH CE ⊥，∴90FHC OFH ∠=∠=︒，又∵OF 是O 的半径，∴直线FH 是O 的切线．（2）EC 与O 相切． 理由如下：连接EF ，由（1）知，BE 是O 直径，∴90EFB EFC ∠=∠=︒，∵点H 是CE 中点，∴FH EH HC ==，∵FH CE ⊥，∴90FHC ∠=︒，∴45ECF HFC ∠=∠=︒，∴90BEC ∠=︒，又∵OE 是O 的半径，∴直线EC 与圆O 相切．由上可知四边形ABFE 和四边形OFHE 都是正方形， ∴11422222AE AB AD ===⨯= ∴224BE AB AE =+=，∴2OE OF ==， ∴2290π224π360OFHE OEFS S S ⨯=-=-=-正方形扇形． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、切线的判定、勾股定理，解题的关键是综合运用所学知识．27．已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =．直角顶点C 在x 轴上，锐角顶点B 在y 轴上，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．当点B 不动，点C 在x 轴上滑动的过程中．（1）如图1，当点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-时，请求出点B 的坐标； （2）如图2，当点C 的坐标是()1,0时，请写出点A 的坐标；（3）如图3，过点A 作直线AE y ⊥轴，交y 轴于点E ，交BC 延长线于点F ．AC 与y 轴交于点G ．当y 轴恰好平分ABC ∠时，请写出AE 与BG 的数量关系．解析：（1）（0，2）；（2）（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由见详解【分析】（1）先证明Rt∆ADC ≅Rt∆COB ，结合条件，即可得到答案； （2）先证明∆ADC ≅∆COB ，结合点B ，C 的坐标，求出AD ，OD 的长，即可得到答案； （3）先证明∆BGC ≅∆AFC ，再证明∆ABE ≅∆FBE ，进而即可得到答案． 【详解】（1）∵点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-，∴AD=OC ，又∵AC=BC ，∴Rt∆ADC ≅ Rt∆COB （HL ），∴OB=CD=2，∴点B 的坐标是（0，2）；（2）∵AD ⊥x 轴，∴∠DAC+∠ACD=90°，又∵∠OCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠OCB ，又∵∠ADC=∠COB=90°，AC=BC ，∴∆ADC ≅ ∆COB （AAS ），∵点C 的坐标是()1,0∴AD=OC=1，∵点B 的坐标是（0，2），∴CD=OB=2，∴OD=2-1=1，∴点A 的坐标是（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =，AE y ⊥轴，∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AEG=90°，∴∠GBC+∠BGC=90°，∠GAE+∠AGE=90°，又∵∠BGC=∠AGE ，∴∠GBC=∠FAC ，在∆BGC 和 ∆AFC 中，∵∠GBC=∠FAC ，BC AC =， ∠GBC=∠FAC ，∴∆BGC ≅∆AFC （ASA ），∴BG=AF ，∵BE ⊥AF ，y 轴恰好平分ABC ∠，∴∠ABE=∠FBE ，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE ，∴∆ABE ≅∆FBE ，∴AE=FE ，∴AF=2AE∴BG=2AE ．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键．28．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为AC 的中点，连接DE 并延长，交BC 于点F ．（1）求证：DE EF =．（2）若12AD =，:2:3BF CF =，求BC 的长．解析：（1）见解析；（2）20【分析】（1）根据平行线的性质可得：EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠，继而根据全等三角形的判定证得()ADE CFE AAS ≅△△，继而即可求证结论；（2）由全等三角形的性质可得：12AD CF ==，求得8BF =，继而即可求解．【详解】（1）证明：∵//AD BC ，∴EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠．∵E 为AC 的中点，∴AE CE =．在ADE 和CFE 中，,,,EAD ECF EDA EFC AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADE CFE AAS ≅△△．∴DE EF =．（2）解：∵ADE CFE ≅，∴12AD CF ==．∵:2:3BF CF =，∴8BF =，∴81220BC BF CF =+=+=．【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和性质．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二(含答案) (45)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二(含答案) (45)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二（含答案)某中学七年级同学到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一池塘，同学们想知道池塘两端的距离.有一位同学设计了如下测量方案：先在平地上取一个可直接到达A、B的点E(A、B为池塘的两端)，连接AE、BE并分别延长AE 至D，BE至C，使ED=AE,EC=EB，测出CD的长作为AB之间的距离.(1)他的方案可行吗?请说明理由.(2)若测得CD=10m，则池塘两端的距离是多少?【答案】（1）该方案可行；理由见解析；（2）10【解析】【分析】（1）这种设计方案利用了“边角边”判断两个三角形全等，利用对应边相等，得AB=CD．方案的操作性强，需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施；（2）利用全等三角形的性质即可得.【详解】（1）可行，理由如下：在△AEB和△DEC中AE ED AEB DEC EB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB ≌△DEC （SAS ）；∴AB=CD （全等三角形的对应边相等）．（2）测得CD=10m ，则池塘两端的距离AB=10m ，答：池塘两端的距离是10米．【点睛】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．42．在直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点．（1）如图①，以A 点为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ．若已知A （﹣2，0）B （0，﹣4），试求C 点的坐标；（2）如图②，若点A 的坐标为（﹣0），点B 的坐标为（0，a ），点D 的纵坐标为b ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt △ABD ，当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，求b ﹣a 的值；（3）如图③，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB ＝OE ，OF ⊥EB 于点F ，以OB 为边在第四象限作等边△OBM ，连接EM 交OF 于点N ，探究EM-ON 与EN 的数量关系．【答案】（1）C（﹣6，﹣2）；（2）（3）EN＝1（EM﹣ON），理由见解析【解析】【分析】（1）作CQ⊥OA于点Q，可以证明△AQC≌△BOA，由QC=AO，AQ=BO，再由条件就可以求出C的坐标；（2）作DP⊥OB于点P，可以证明△AOB≌△BPD，则有AO=BP=OB-PO=-a-（-b）=b-a为定值；（3）作BH⊥EB于B，由条件可以得出∠1=30°，∠2=∠3=∠EMO=15°，∠EOF=∠BMG=45°，EO=BM，可以证明△ENO≌△BGM，则GM=ON，就有EM-ON=EM-GM=EG，最后由平行线分线段成比例定理就可以得出EN=EM-ON的一半．【详解】（1）如图（1）作CQ⊥OA于点Q，∴∠AQC＝90°∵△ABC是等腰Rt△，∴AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACQ＝∠BAO，在△AQC 与△BOA 中，AQC AOB QAC ABO AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AQC ≌△BOA ，∴CQ ＝AO ，AQ ＝BO ．∵A （﹣2，0），B （0，﹣4），∴OA ＝2，OB ＝4，∴CQ ＝2，AQ ＝4，∴OQ ＝6，∴C （﹣6，﹣2）．（2）如图（2）作DP ⊥OB 于点P ，∴∠BPD ＝90°，∵△ABD 是等腰Rt △，∴AB ＝BD ，∠ABD ＝∠ABO+∠OBD ＝90°，∴∠ABO ＝∠BDP ，在△AOB 与△BPD 中，AOB DPB ABO PDB AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOB≌△BPD，∴AO＝BP，∵BP＝OB﹣PO＝﹣a﹣（﹣b）＝b﹣a，∴A（﹣0），∴OA＝∴b﹣a＝2，∴当B点沿y轴负半轴向下运动时AO＝BP＝b﹣a＝（3）如图（3）在ME上截取MG＝ON，连接BG，∵△OBM是等边三角形，∴BO＝BM＝MO，∠OBM＝∠OMB＝∠BOM＝60°，∴EO＝MO，∠EBM＝105°，∠1＝30°，∵OE＝OB，∴OE＝OM＝BM．∴∠3＝∠EMO＝15°，∴∠BEM＝30°，∠BME＝45°，∵OF⊥EB，∴∠EOF＝45°∴∠EOF＝∠BME，在△ENO与△BGM中，0E BM EON BMG ON MG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ENO ≌△BGM ，∴BG ＝EN ．∵ON ＝MG ，∴∠2＝∠3，∴∠2＝15°，∴∠EBG ＝90°∴BG ＝12EG ， ∴EN ＝12EG ， ∵EG ＝EM ﹣GM ，∴EN ＝12（EM ﹣GM ）， ∴EN ＝12（EM ﹣ON ）. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．43．（问题）（1）如图1，锐角△ABC 中分别以AB 、AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，连接BD 、CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由．（迁移）（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝7cm，BC＝3cm，∠ABC ＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形考试复习试题(含答案) (57)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形考试复习试题(含答案) (57)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形考试复习试题（含答案)如图，四边形ABCD是正方形，E是CD垂直平分线上的点，点E关于BD的BE交于点F.对称点是'E，直线DE与直线'∠＝︒；（1）若点E是CD边的中点，连接AF，则FAD（2）小明从老师那里了解到，只要点E不在正方形的中心，则直线AF与AD所夹锐角不变．他尝试改变点E的位置，计算相应角度，验证老师的说法．①如图，将点E选在正方形内，且△EAB为等边三角形，求出直线AF与AD 所夹锐角的度数；②请你继续研究这个问题，可以延续小明的想法，也可用其它方法.我选择 小明的想法；（填“用”或“不用”）并简述求直线AF 与AD 所夹锐角度数的思路．【答案】（1）45；（2）①45FAD ∠=︒；②证明见解析.【解析】（1）45.（2）∵EAB 是等边三角形，∴60EBA EAB ∠=∠=︒，BE EA AB ==．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，45ABD ∠=︒，90BAD ∠=︒．∴AE AD =，30EAD BAD BAE ∠=∠-∠=︒．∵点'E 是点E 关于BD 的对称点，∴'15E BD EBD ABE ABD ∠=∠=∠-∠=︒．∴30FBE ∠=︒．∴30ABF ABE FBE ∠=∠-∠=︒．∴ABF EBF ∠=∠．∵BF BF =，∴ABF ∆≌EBF ∆．∴FA FE =．∴75FAE FEA ∠=∠=︒．∴45FAD FAE EAD ∠=∠-∠=︒．（3）如果沿用小明的想法：方法一：如图，我将点E 选在AB 边的中点．∵四边形ABCD 是正方形，∴DA BC ，AD AB =，90ABC BAD ∠=∠=︒，45ABD CBD ∠=∠=︒． ∵点'E 是点E 关于BD 的对称点，∴'45E BD EBD ∠=∠=︒.∴'E 在BC 上.∴F 在直线BC 上.∴BF AD .∴FBE DAE ∠=∠，BFE ADE ∠=∠.∵E 是AB 的中点，∴AE EB =，∴ADE ∆≌BFE ∆．∴AD BF =.∴AB BF =.∵18090FBA ABC ∠=︒-∠=︒，∴ABF ∆是等腰直角三角形.∴45FAB ∠=︒.∴135FAD ∠=︒.∴直线AF 与AD 所夹锐角为45︒．方法二：如图，我将点E 选在正方形外，使45EDC ∠=︒的位置，连接CE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴DA DC =，45BDA BDC ∠=∠=︒．∵E 在CD 的垂直平分线上，∴ED CE =．∴EDC ECD ∠=∠．∵45EDC ∠=︒，∴45ECD ∠=︒，90BDE BDC CDE ∠=∠+∠=︒．∴ED BD ⊥．∵点'E 是点E 关于BD 的对称点，∴'EE BD ⊥．∴'E ，D ，E 三点共线.∴点'E 与点F 重合．∴FD DE =，45ADF BDF BDA ∠=∠-∠=︒．∴ADF CDE ∠=∠．∴ADF ∆≌CDE ∆．∴45FAD ECD ∠=∠=︒．62．如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，PA =PC .（1）求证：∠PCB +∠BAP =180º.（温馨提示过P 作PD ⊥BA 交于D 点）（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长.【答案】（1）证明见解析（2【解析】（1）过P作PD⊥BA交于D点∵∠1=∠2，P为BN上的一点∵PF⊥BC∴PD= PF∵PA=PC.∴△APD≌△CPF∠PCB=∠DAP∵∠DAP+∠BAP=180º∴∠PCB+∠BAP=180º.（2）∵∠PFB=∠PDB=Rt∠BP=BP PD=PF∴△PBD≌△PBF∴BD=BF设AD=x 则CF=x∵ BC=12cm，AB=6cm∴BD=BF=6+x∵BF+CF=12 ∴6+x+x=12解得x=3在Rt△PBD中由勾股定理得PB=4∴在Rt△PAD63．已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：AB∥DE．请将下面的过程和理由补充完整证明：∵BE=CF ( )∴BE+EC=CF+EC即 .在△ABC和△DEF中，AB=DE( 已知)AC=DF( )BC= ( )∴△ABC≌△DEF( )∴∠ABC=∠DEF( )∴AB∥DE ( )【答案】答案见解析【解析】∵BE=CF( 已知)∴BE+EC=CF+EC即BC=EF .在△ABC和△DEF中，AB=DE( 已知)AC=DF( 已知)BC= EF( 已证)∴△ABC≌△DEF( SSS)∴∠ABC=∠DEF( 全等三角形的对应角相等)∴AB∥DE( 同位角相等，两直线平行)64．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC ＝90°，点E、F分別在线段BC、CD上，∠EAF＝30°，连接EF．（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），那么①∠E′AF度数___________________②线段BE、EF、FD之间的数量关系____________________（2）如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）（1）∠E′AF＝30°，线段BE、EF、FD之间的数量关系为：EF＝BE＋FD．（2）EF＝BE－FD．理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据图形旋转前后对应边相等，对应角相等，判定△AEF ≌△AE ′F ，进而根据线段的和差关系得出结论；（2）先在BE 上截取BG=DF ，连接AG ，构造△ABG ≌△ADF ，进而利用全等三角形的对应边相等，对应角相等，判定△GAE ≌△FAE ，最后根据线段的和差关系得出结论．试题解析：（1）①如图2，将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°后得到△A ′B ′E ′，则∠1=∠2，BE=DE ′，AE=AE ′，∵∠BAD=60°，∠EAF=30°，∴∠1+∠3=30°，∴∠2+∠3=30°，即∠FAE ′=30°②由①知∠EAF=∠FAE ′，在△AEF 和△AE ′F 中，∵{AE AE EAF FAE AF AF'∠∠'＝＝＝∴△AEF ≌△AE ′F （SAS ），∴EF=E ′F ，即EF=DF+DE ′，∴EF=DF+BE ，即线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为BE+DF=EF ，（2）如图3，在BE 上截取BG=DF ，连接AG ，在△ABG 和△ADF 中，∵{AB ADABE ADF BG DF∠∠＝＝＝∴△ABG ≌△ADF （SAS ），∴∠BAG=∠DAF ，且AG=AF ，∵∠DAF+∠DAE=30°，∴∠BAG+∠DAE=30°，∵∠BAD=60°，∴∠GAE=60°-30°=30°，∴∠GAE=∠FAE ，在△GAE 和△FAE 中，∵{AG AFGAE FAE AE AE∠∠＝＝＝∴△GAE ≌△FAE （SAS ），∴GE=FE ，又∵BE-BG=GE ，BG=DF ，∴BE-DF=EF ，即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE-DF=EF．65．现有一副直角三角板（角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°），如图1所示，其中一块三角板的直角边AC⊥数轴，AC的中点过数轴原点O，AC＝6，斜边AB交数轴于点G，点G对应数轴上的数是3；另一块三角板的直角边AE交数轴于点F，斜边AD交数轴于点H．（1）如果点H对应的数轴上的数是－1，点F对应的数轴上的数是－3，则△AGH的面积是，△AHF的面积是；（2）如图2，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，若∠M＝26°，求∠HAO的大小；（3）如图2，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，设∠EFH 的平分线和∠FOC的平分线交于点N，设∠HAO=x°(0<x<60) ,试探索∠N＋∠M的和是否为定值，若不是，请说明理由；若是定值，请直接写出此值．是定值，【答案】(1)6,3;(2)7;(3)97.5【解析】试题分析：（1）根据题意得出△AOG是等腰直角三角形，OG=3，OH=1，OF=3，得出OA=OG=3，GH=4，FH=2，由三角形面积公式即可得出结果；（2）由∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M得到∠FHM=1∠FHA，2∠HGM=12∠HGA，根据三角形外角性质得∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，则2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，得出∠M=12∠HAG=12（∠HAO+∠OAG）=12∠HAO+22.5°，即可得出结果；（3）与（2）证明方法一样可得到∠N=90°-12∠FAO=90°-12∠FAH-12∠OAH=90°-15°-12∠OAH=75°-12∠OAH，加上∠M=12∠OAH+22.5°，即可得出结果．试题解析：（1）根据题意得：△AOG是等腰直角三角形，OG=3，OH=1，OF=3，∴OA=OG=3，GH=3+1=4，FH=3-1=2，∴△AGH的面积=12GH×OA=12×4×3=6，△AHF的面积=12FH•OA=12×2×3=3；故答案为：6，3；（2）∵∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，∴∠FHM=12∠FHA，∠HGM=12∠HGA，∵∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，∴2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，∴∠M=12∠HAG=12（∠HAO+∠OAG）=12∠HAO+22.5°，∴∠HAO=2∠M-45°=2×26°-45°=7°；（3）∠N+∠M=97.5°，为定值；理由如下：∵∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，∴∠N=90°-12∠FAO=90°-12∠FAH-12∠OAH=90°-15°-12∠OAH=75°-12∠OAH，∵∠M=12∠OAH+22.5°，∴∠M+∠N=97.5°．【点睛】三角形综合题目，主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线定义、三角形面积的计算等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．66．已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，得到为等边三角形．求证：（1）；（2）为等边三角形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等边三角形．证明：(1)∵BF=AC,AB=AE(已知)∴FA=EC(等量加等量和相等).∵△DEF是等边三角形(已知)，∴EF=DE(等边三角形的性质).又∵AE=CD(已知)，∴△AEF≌△CDE(SSS).(2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC(对应角相等)，∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF(等量代换)△DEF是等边三角形(已知)，∴∠DEF=60°(等边三角形的性质)，∴∠BCA=60°(等量代换)，由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中,AB=BC(等角对等边).∴△ABC是等边三角形(等边三角形的判定).67．已知：点E为AB边上的一个动点.（1）如图1，若△ABC是等边三角形，以CE为边在BC的同侧作等边△DEC ，连结AD.试比较∠DAC与∠B的大小，并说明理由；（2）如图2，若△ABC中，AB=AC，以CE为底边在BC的同侧作等腰△DEC ，且△DEC∽△ABC，连结AD.试判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（3）如图3，若四边形ABCD是边长为2的正方形，以CE为边在BC的同侧作正方形ECGF.①试说明点G一定在AD的延长线上；②当点E在AB边上由点B运动至点A时，点F随之运动，求点F的运动路径长.【答案】（1）∠DAC=∠B 理由见解析；（2）AD∥BC 理由见解析；（3）点F的运动路径长为.【解析】解：(1) ∠DAC=∠B 理由如下：∵△ABC和△DEC都是等边三角形∴∠DCE=∠ACB=60°∴∠BCE=∠ACD∵BC=AC CE=CD ∴△BCE≌△ACD∴∠B=∠DAC（2）AD∥BC 理由如下：∵△ABC和△DEC都是等腰三角形，且△DEC∽△ABC ∴DC AC CE BC∵∠DCE=∠ACB ∴∠DCA=∠ECB ∴△DCA∽△ECB∴∠DAC=∠EBC=∠AC B ∴AD∥BC（3）①连结DG,∵四边形ABCD和FECG都是正方形∴BC=CD CE=CG ∠BCD=∠ECG=90°∴∠BCE=∠DCG∴△BCE≌△DCG …∴∠B=∠CDG=90°∵∠ADC=90°∴∠ADC+∠CDG=180°∴点G一定在AD的延长线上.②作FH⊥AG于点H，易证：△FHG≌△GDC≌△EBC∴FH=BE=DG HG=BC∴AH=AG-GH=AD+DG-GH= BC+DG-BC=DG=FH∴△AFH是等腰直角三角形∴∠FAG=45°∴点F的运动路径长=AC=.68．如图，等腰△ABC和等腰△ACD有一条公共边AC，且顶角∠BAC和顶角∠CAD都是45°．将一块三角板中用含45°角的顶点与A点重合，并将三角板绕A点按逆时针方向旋转．（1）当三角板旋转到如图1的位置时，三角板的两边与等腰三角形的两底边分别相交于M、N两点，求证：AM=AN；（2）当三角板旋转到如图2的位置时，三角板的两边与等腰三角形两底边的延长线分别相交于M、N两点，（1）的结论还成立吗？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立.理由见解析.【解析】试题分析：（1）由∠BAC=∠CAD=∠MAN=45°得∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC 即∠BAM=∠CAN ，证△BAM ≌△CAN 得AM=AN ；（2）与（1）同理可得．试题解析：（1）∵∠BAC=∠CAD=∠MAN=45°，∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC ，∴∠BAM=∠CAN ，在△BAM 和△CAN 中，∵{67.5AB ACBAM CAN B ACN ∠∠∠∠︒＝＝＝＝，∴△BAM ≌△CAN ，∴AM=AN ；（2）成立．∵∠BAC=∠CAD=∠MAN=45°，∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC ，∴∠BAM=∠CAN ，在△BAM 和△CAN 中，∵{B ACNBAM CAN AB AC∠∠∠∠＝＝＝，∴△BAM ≌△CAN （AAS ），∴AM=AN．69．（1）等边三角形△ABC中，点D是AB边所在直线上的一动点（D与A、B不重合），连接DC，以DC为边在BC边上方作等边三角形△DCE，连接AE，①如图1，当D在线段AB上时，∠ABC与∠EAC有怎样的数量关系直接写出结论②如图2，当D在BA延长线上时，求证：∠ABC=∠EAC③如图3，当D在AB延长线上时，探究∠ABC与∠EAC的数量关系，直接写出结论（2）等腰三角形△ABC中，AB=AC，点D是AB边上一动点（D与A、B不重合），如图4，连接DC，以DC为边在BC边上方作等腰三角形△DCE，使顶角∠DEC=∠BAC，连接AE，探究∠ABC与∠EAC的数量关系，给予证明【答案】(1) ①∠ABC=∠EAC；②证明见解析；③∠ABC +∠EAC=180°或∠EAC=2∠ABC；④∠ABC=∠EAC 证明见解析.【解析】试题分析：（1）①根据等边三角形的性质得到AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，继而得出结论；②同①的方法判断出△BCD≌△ACE即可；③同①的方法判断出△BCD ≌△ACE 即可；（2）首先得出∠ACB=∠ECD ，从而判定△ABC ∽△EDC ，得到AC BC CE CD =，根据∠BCD=∠ACB ﹣∠ACD ，∠ACE=∠DCE ﹣∠ACD ，于是得到∠BCD=∠ACE ，推出△BCD ∽△ACE ，即可得出结论试题解析：（1）①证明：∵△ABC 、△CDE 是等边三角形， ∴AB=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE ，∵在△BCD 和△ACE 中，AC BC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCD ≌△ACE ，∴∠ABC=∠EAC ；②结论∠ABC=∠EAC 仍成立；理由如下：∵△ABC 、△CDE 是等边三角形，∴AB=AC ，CD=CE ，∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中，AC BC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCD ≌△ACE ，∴∠ABC=∠EAC ；③∵△ABC 、△CDE 是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=∠ABC=60°，∴∠ACE=∠BCD，在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠DBC=∠EAC，∵∠ABC+∠DBC=180°，∴∠ABC+∠EAC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠EAC=120°=2∠ABC．（2）∠ABC=∠EAC；理由如下：∵AB=AC，ED=EC，∠BAC=∠DEC，∴∠ACB=∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴AC BC CE CD，又∵∠BCD=∠ACB﹣∠ACD，∠ACE=∠DCE﹣∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴∠ABC=∠CAE．70．如图，AB=AC，DB=DC，（1）求证：AD平分∠BAC（2）延长CD与AB的延长线相交于E，延长AD到F，使DF=DC，连接EF ，若∠C=100°，∠BAC=40°，求证AC+EF=AD+DC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）易证△ABD ≌△ACD ，由此可得∠1=∠2，即AD 平分∠BAC ；（2）由△ABD ≌△ACD 得∠1=∠2，∠5=∠6，再证明△BDE ≌△FDE ，可得AC+EF=AB+BE=AE ，AD+DC=AD+DF=AF ，所以AC+EF=AD+DC ．试题解析：（1）证明：如图，在△ABD 和△ACD 中AB AC DB DC AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACD ，（SAS ）∴∠1=∠2，∴AD 平分∠BAC ；（2）由△ABD ≌△ACD 得∠1=∠2，∠5=∠6，∵∠BAC=40°∠C=100°，∴∠1=∠2=20°∠5=∠6=60°，∵∠BDE+∠5+∠6=180°，∴∠BDE=60°，∵∠FDE=∠6=60°，∵DF=DC ，DB=DC ，∴DB=DF ，在△BDE 和△FDE 中DB DF BDE FDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BDE ≌△FDE ，∴EB=EF ∠3=∠4∠F=∠EBD ，又∵∠3+∠BAC+∠C=180°，∴∠3=∠4=40°，∵∠EBD=∠5+∠1=80°，∴∠F=∠EBD=80°，∵∠AEF=∠3+∠4=80°，∴∠AEF=∠F ，∴AE=AF ，∵AC+EF=AB+BE=AE ，AD+DC=AD+DF=AF ， ∴AC+EF=AD+DC ．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题五(含答案) (37)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题五(含答案) (37)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题五（含答案)如图，在△ABC中，AB = AC = 2，∠B =∠C = 50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE = 50°，DE交线段AC于点E．（1）若DC = 2，求证：△ABD≌△DCE；（2）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）可以，115°或100°.【解析】【分析】（1）利用公共角求得∠ADB=∠DEC, DC=AB, ∠B =∠C,所以利用AAS,证明△ABD≌△DCE.(2)可以令∠ADE是等腰三角形，需要分类讨论：（1）中是一种类型，EA=ED 也是一种类型，可分别求出∠BDA度数.【详解】证明：（1）∵ AB = AC = 2，DC = 2,∴ AB = DC ,∵∠B =∠C = 50°，∠ADE = 50°,∴∠BDA +∠CDE = 130°,∠CED +∠CDE = 130°,∴∠BDA =∠CED,∴△ABD≌△DCE（AAS）.（2）解：可以．有以下三种可能：①由（1）得：△ABD≌△DCE，得AD = DE.则有∠DAE =∠DEA = 65°∴∠BDA =∠CED = 65° + 50° = 115°；②由（1）得∠BDA =∠CED,∵点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合）∴AD AE；③当EA = ED时，∠EAD =∠ADE = 50°,∴∠BDA =∠CED = 50° + 50° = 100°．62．如图，已知：BE = FC，∠B =∠F，∠ACE =∠DEC，求证：△ABC≌△DFE．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：利用公共边求BC=EF,再利用ASA证明全等.试题解析：证明：∵BE = FC,∴BE + EC = EC + FC,∴BC = FE ,在△ABC和△DFE中，∠B =∠F，BC = FE，∠ACE =∠DEC，∴△ABC≌△DFE．（ASA）点睛：（1）含公共边型如图1所示，在△ABC和△EFD，AD=FC，AB=FE，BC=DE．说明△ABC∠∠FED的理由．由图形可知，AD+DC=AC，FC+DC=FD，所以AC=FD，再根据SSS可以说明两个三角形全等．（2）含公共角型如图2所示，D、E是△ABC中BC边上的点，AD=AE，∠DAC=∠EAB,AB=AC，说明△ABD∠∠ACE.由图可知，∠DAC=∠EAB,∠1+∠DAE=∠2+∠DAE, ∠1 =∠2,再根据SAS可以证明两个三角形全等.63．如图所示，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 延长线上的一点，BE 是否与CE 相等？试说明理由．【答案】见解析【解析】试题分析：由AB=AC 、DB=DC 结合AD=AD ，可证出△ABD ≌△ACD （SSS ），根据全等三角形的性质可得出∠ADB=∠ADC ，利用等角的补角相等可得出∠BDE=∠CDE ，结合DB=DC 、DE=DE ，即可证出△BDE ≌△CDE （SAS ），再根据全等三角形的性质即可得出BE=CE ．试题解析：BE=CE ，理由如下：在△ABD 和△ACD 中，{AB ACDB DC AD AD＝＝＝，∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠ADB=∠ADC ．∵∠ADB+∠BDE=180°，∠ADC+∠CDE=180°，∴∠BDE=∠CDE ．在△BDE 和△CDE 中，{DB DCBDE CDE DE DE∠∠＝＝＝，∴△BDE ≌△CDE （SAS ），∴BE=CE ．64．如图，已知AB=AC,,12B C ∠=∠∠=∠.求证：BD=CE.【答案】详见解析.【解析】试题分析：根据已知条件先证明∠EAC=∠DAB ，再根据角边角定理证明∠ABD ∠∠ACE ，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．试题解析：∠∠1=∠2，∠∠1+∠BAC=∠2+∠BAC ，即∠EAC=∠DAB ，在△ABD 和△ACE 中，EAC DAB AB ACB C ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∠∠ABD ∠∠ACE （ASA ），∠BD=CE ．65．在四边形ABCD 中，AC 、BD 是它的两条对角线．（1）如图1，已知AB =AC =AD ，AB ∥CD ．①若∠ABC =70°，则∠BAC = °，∥CAD = °；②若AB =4，BC =2，求BD 的长；（2）如图2，已知∠ABD =∥ACD =60°，∥ADB =90°-12∥BDC ，求证：AB =AC ．【答案】（1）∠40，100；∠BD =（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）∠根据AB=AC,AC=AD ,利用等腰三角形的性质可求∠BAC 和∠CAD ,(2) ②作AH ⊥BC ，CP ⊥A B, DQ ⊥BA ,构造直角三角形BQD,(3)延长CD 至M ，使DM=BD , 证明ADB ∆≅ADM ∆,，所以可以证明AB=AM=AC .试题解析：(1) ∠AB=AC, ∠ABC =70°，∴∠BAC =180°-2∠ABC =40°，AC=AD ,AB ∠CD,∴∠ACD=40°，所以∠CAD=180°-2∠ACD=100°.②如图，作AH ⊥BC ，CP ⊥A B ，AB =4，BC =2，勾股定理得AH∴CP =， BP = 12 ，AP = 72， 作 DQ ⊥BA ,∵APC AQD≅∴AQ=AP=72，利用勾股定理得∴BD= .（2）证明：延长CD至M，使DM=BD ,∠ADB=90°-12∠BDC,∴∠ADB=∠ADM ,又∵AD=AD,∴ADB∆≅ADM∆,∴∠AMD=∠ABD=∠ACD=60°，AB=AM,∴AB=AM=AC.66．如图a，在平面直角坐标系中，A、B坐标分别为（6，0），（0，6），P为线段AB上的一点.(1) 如图a，若三角形OAP的面积是12，求点P的坐标；(2）如图b，若P为AB的中点，点M，N分别是OA，OB边上的动点，点M从顶点A，点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，则在M，N运动的过程中，线段PM，PN之间有何关系？并证明；(3)如图c，若P为线段AB上异于A，B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP，OA分别于F，D两点，E为OA上一点，且∠PEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由.【答案】（1）P （2，4）；（2）PM ＝PN ，且PM ⊥PN ，证明见解析；（3）OD=AE ，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据点的坐标以及三角形的面积即可求得；（2）连接OP ，证明∠NOP ∠∠MAP ，根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可得PN=PM ，∠OPN=∠APM ，从而可得PM 与PN 的位置关系；（3）作AQ ∠AO 交OP 延长线于Q ，证明∠OBD ∠∠AOQ ，∠APE ∠∠APQ ，从而即可得.试题解析：（1）∠A （6，0），B （0，6），∠OA=OB=6，∠S △AOB =18，设P 的坐标为（x P ，y P ）， ∵162OAP P S y ∆=⨯⨯=12， ∴4P y =，∵162BOP OAB OAP P S S S OB x ∆∆∆=-==⨯⋅， ∴2P x =，∴P （2，4）；（2）PM ＝PN 且PM ⊥PN ，证明如下：如图1，连接PO ，在△NOP 和△MAP 中，45ONAMNOP MAP OP AP=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△NOP ≌△MAP ，∴ PN=PM ，且∠OPN=∠APM ，又∵∠APM+∠MPO=90° ，∴∠OPN+∠MPO=90° ，即∠MPN=90°，∴PM ⊥PN ，综上：PM ＝PN 且PM ⊥PN ；（3）OD=AE ，理由：如图2，作AQ ⊥AO 交OP 延长线于Q ，易知∠OBD=∠AOQ ，在△OBD 和△AOQ 中，OBD AOQ OB AOBOD OAQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OBD ≌△AOQ ，∴∠BDO=∠Q=∠PEA ，OD=AQ ，易证△APE ≌△APQ ，∴ AE=AQ=OD ，∴ OD=AE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标等，弄清题意，结合图形与已知条件正确地添加辅助线是解题的关键.67．如图，线段AC 、BD 交于点M ，过B 、D 两点分别作AC 的垂线段BF 、DE, AB=CD（1）若∠A=∥C ，求证：FM=EM ；（2）若FM=EM ，则∠A=∥C ．是真命题吗？（直接判断，不必证明）（【答案】详见解析.【解析】试题分析：（1）由条件可先证明△ABF ≌△CDE ，可得BF=DE ，再证明△BFM ≌△DEM ，可得到FM=EM ；（2）由条件可先证明△BFM ≌△DEM ，可得BF=DE ，再证明△ABF ≌△CDE ，可得∠A=∠C ．试题解析：（1）∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，A CAFB CEDAB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF=DE，在△BFM和△DEM中，BFM DEMBMF DMEBF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFM≌△DEM（AAS），∴FM=EM；（2）真命题；理由如下：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFM=∠DEM=90°，在△BFM和△DEM中，BFM DEMFM EMBMF DMF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BFM≌△DEM（ASA），∴BF=DE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB CD BF DE=⎧⎨=⎩∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴∠A=∠C．68．如图，∥ABC是等腰直角三角形，且∥C=90°，直线l过C点.(1)如图1，过A点、B点作直线l的垂线段AD、BE，垂足为D、E，请你探究AD、BE、DE满足的数量关系，并进行证明；(2)当直线l绕点C旋转到如图2所示的位置时，请直接写出AD、BE和DE的数量关系(不用证明)【答案】(1)DE=AD+BE，证明见解析；(2)DE=BE−AD.【解析】试题分析：（1）证△ACD≌△CBE，由全等三角形的性质可得出DC=EB，AD=CE，再结合DE=DC+CE即可得出DE=AD+BE；（2）同理得出△ACD≌△CBE，由全等三角形的性质可得出DC=EB，AD=CE，再结合DE=DC-CE即可得出DE=BE-AD．解：(1)DE=AD+BE，证明：∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC.∵∠ACB=90°，AD⊥直线l,∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠BCE.在△ACD和△CBE中,∠ADC=∠CEB=90°，∠CAD=∠BCE，AC=CB,∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴DC=EB，AD=CE，∴DE=DC+CE=AD+BE.(2)DE=BE−AD. 证明：同（1）可证出△ACD≌△CBE，∴DC=EB，AD=CE，∴DE=DC-CE=BE-AD．69．如图，点A，F，E，C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE∥AC，BF∥AC于E、F，若AB=CD,BD与EF互相平分吗?请说明理由.【答案】BD与EF互相平分，理由见解析.【解析】试题分析：根据AE=CF，得出AF=CE，再根据AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC 证明△ABF≌△CDE，得出BF=DE（或利用勾股定理证明），再证△BGF≌△DGE，则可得结论.解：BD与EF互相平分，理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90°，∵AE=CF，∴AF=CE，在Rt△ABF与Rt△CDE中,AB=CD，AF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴BF=DE，在△BGF与△DGE中，∠BGF=∠DGE，∠BFG=∠DEG，BF=DE，∴△BGF≌△DGE，∴BG=DG，FG=EG，∴BD与EF互相平分.70．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．【答案】（1）7米；（2）15m；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．【解析】【分析】（1）作差.(2) 作AE⊥OM，BF⊥OM,证明在△AOE和△OBF相似,可以计算出OE+OF长度，最后算出OM长度.(3)利用勾股定理求出半径长度，作差求MN长度.【详解】（1）10-3=7(米）.（2）作AE ⊥OM 于E,，BF ⊥OM 与F ，∵∠AOE +∠BOF =∠BOF +∠OBF =90°，∴∠AOE =∠OBF ，在△AOE 和△OBF 中，OEA BFO AOE OBF OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOE ≌△OBF （AAS ），∴OE=BF ，AE=OF ，即OE+OF=AE+BF=CD =17（m ）∵EF=EM ﹣FM=AC ﹣BD =10﹣3=7（m ），∴2EO+EF =17，则2EO =10，所以OE =5m ，OF =12m ，所以OM=OF+FM =15m.（3）由勾股定理得ON=OA =13，所以MN =15﹣13=2（m ）．答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN 为2米．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线构造全等三角形的关键.。

2021年中考数学专项复习 专题 三角形全等的相关证明及计算含答案

2021年中考数学专项复习 专题 三角形全等的相关证明及计算含答案

专题二三角形全等的相关证明及计算1.如图，线段AC、BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.求证：∠B＝∠C.第1题图2.已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EA D.第2题图3.如图，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AD、BC相交于点O.求证：CO＝DO.第3题图4.如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DA C.求证：∠C＝∠E.第4题图5.如图，点E，F在线段BD上，且BE＝DF，AE＝CF，AD＝C B.求证：∠A＝∠C.第5题图6.如图，D是AC上一点，AB＝AD，DE∥AB，∠B＝∠DAE.求证：BC＝AE.第6题图7.如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AC∥DF，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC ≌△DEF，并说明理由．第7题图8.如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G、H，若AB＝C D.求证：AG＝DH.第8题图9.如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F.(1)求证：AE＝BF；(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．第9题图10.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE.(1)求证：△ABE≌△DBE；(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．第10题图参考答案专题二 三角形全等的相关证明及计算1. 证明：在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，∠AEB ＝∠DEC ，BE ＝CE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)．∴∠B ＝∠C .2. 证明：∵∠ECB ＝70°，∴∠ACB ＝110°.又∵∠D ＝110°，∴∠ACB ＝∠D .∵AB ∥DE ，∴∠CAB ＝∠E .在△ABC 和△EAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB ＝∠D ，∠CAB ＝∠E ，AB ＝EA ，∴△ABC ≌△EAD (AAS )．3. 证明：在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，∠C ＝∠D ＝90°，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，AD ＝BC ， ∴Rt △ACB ≌Rt △BDA (HL)．∴∠CBA ＝∠DAB .∴OA ＝OB .又∵AD ＝BC ，∴CO ＝DO .4. 证明：∵∠BAE ＝∠DAC ，∴∠BAE ＋∠CAE ＝∠DAC ＋∠CAE .∴∠BAC ＝∠DAE .在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE (SAS)．∴∠C ＝∠E .5. 证明：∵BE ＝DF ，∴BE －EF ＝DF －EF ，即BF ＝DE .在△ADE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝BF ，AE ＝CF ，AD ＝CB ，∴△ADE ≌△CBF (SSS)．∴∠A ＝∠C .6. 证明：∵DE ∥AB ，∴∠CAB ＝∠EDA .在△CBA 和△EAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠DAE ，AB ＝AD ，∠CAB ＝∠EDA ，∴△CBA ≌△EAD (ASA)．∴BC ＝AE .7. 解：添加AC ＝DF .(答案不唯一)理由：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF .∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE .在△ABC 与△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DF ，∠ACB ＝∠DFE ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF (SAS)．8. 证明：∵AB ∥CD , ∴∠A ＝∠D .又∵CE ∥BF , ∴∠AHB ＝∠DGC .在△ABH 和△DCG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AHB ＝∠DGC ，∠A ＝∠D ，AB ＝CD ，∴△ABH ≌△DCG (AAS )．∴AH ＝DG .又∵AH ＝AG ＋GH , DG ＝DH ＋GH ，∴AG ＝DH .9. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC .∴∠A ＝∠CBF .∵BE ⊥AD ，CF ⊥AB ，∴∠AEB ＝∠BFC ＝90°.在△ABE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠BFC ，∠A ＝∠CBF ，AB ＝BC ，∴△ABE ≌△BCF (AAS )．∴AE ＝BF ；(2)解：∵BE ⊥AD ，点E 恰好是AD 中点，∴BE 垂直平分AD .∴BD ＝AB ＝2.10. (1)证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠DBE .在△ABE 与△DBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DB ，∠ABE ＝∠DBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE (SAS)；(2)解：∵∠A ＝100°，∠C ＝50°，∴∠ABC ＝30°.∴∠ABE ＝12∠ABC ＝15°. ∴∠AEB ＝180°－∠A －∠ABE ＝180°－100°－15°＝65°.。

中考数学备考专题复习 全等三角形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

中考数学备考专题复习 全等三角形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

全等三角形一、单选题（共12题；共24分）1、下图中，全等的图形有（）A、2组B、3组C、4组D、5组2、使两个直角三角形全等的条件是（）A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等C、一条边对应相等D、两条直角边对应相等3、下列说法错误的是（）A、等腰三角形两腰上的中线相等B、等腰三角形两腰上的高线相等C、等腰三角形的中线与高重合D、等腰三角形底边的中线上任一点到两腰的距离相等4、如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（）去配．A、①B、②C、③D、①和②5、长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x 的取值X围为（）A、B、C、D、6、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°7、如图，x的值可能为（）A、10B、9C、7D、68、如图，△A BC中，AB=AC ， EB=EC ，则由“SSS”可以判定（）A、△ABD≌△ACDB、△ABE≌△ACEC、△BDE≌△CDED、以上答案都不对9、如果线段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C两点的距离d的长度为（）A、4cmB、2cmC、4cm或2cmD、小于或等于4cm，且大于或等于2cm10、（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（2016•某某）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A、AC=BDB、∠CAB=∠DBAC、∠C=∠DD、BC=AD12、如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A、24°B、25°C、30°D、36°二、填空题（共5题；共6分）13、若△ABC≌△EFG，且∠B＝60°,∠FGE－∠E＝56°,，则∠A＝________度．14、如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“________”．15、如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝________°．16、如果△ABC 和△DEF 全等，△DEF 和△GHI 全等，则△ABC 和△GHI________全等，如果△ABC 和△DEF 不全等，△DEF 和△GHI 全等，则△A BC 和△GHI________全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）17、（2016•某某）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的有________（写出所有正确结论的序号） ①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线； ④线段AM 的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN 时，BP=4﹣4．三、综合题（共6题；共66分）18、如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F ，连接DF ．(1)试说明AC=EF ；(2)求证：四边形ADFE 是平行四边形.19、已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DC E 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形，并说明理由。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一(含答案) (39)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一(含答案) (39)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一（含答案)如图，ABC和DBE都是等腰直角三角形，AD CE．试猜想线段AD和,,，BD BEABC BA BC DBE∠==∠=9090=，连接,CE之间的数量关系和位置关系，并加以证明．【答案】,=⊥，证明见解析．AD CE AD CE【解析】【分析】根据已知条件利用SAS证明△ABD≌△CBE即可得到=∠=∠∴，延长AD交CE于,F AF交BC于G，利用AD CE BAD BCE,∠=∠，即可证得AD⊥CE.∠+∠+∠=︒，BGA FGC180BAD BGA ABC【详解】AD CE AD CE=⊥,,证明：延长AD交CE于,F AF交BC于G,由于ABC和DBE都是等腰直角三角形,∴==∠=∠=,BA BC BD BE ABC DBE,,90∴∠-∠=∠-∠,ABC DBC DBE DBC∴∠=∠,ABD CBE在ABD △和CBE △中BA BC ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()ABD CBE SAS ≌,,AD CE BAD BCE =∠=∠∴．由于180BAD BGA ABC ∠+∠+∠=︒,180BCE FGC CFG ∠+∠+∠=︒,BGA FGC ∠=∠,FCG ABC ∴∠=∠,90FCG ∴∠=,AD CE ∴⊥,所以,AD CE AD CE =⊥．【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，三角形内角和，对顶角相等.82．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1,△ABC是等边三角形,点D是边BC下方一点,∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD, CE=BD，∠ABD=∠ACE,∠DAE=60°,根据∠BAC+∠BDC=180°,可知∠ABD+∠ACD=180°,则∠ACE+∠ACD=180°,易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路,三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；（2）如图2,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC．点D是边BC下方一点,∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）DA=DB+DC；（2DA=DB+DC，证明见解析；【解析】【分析】（1）结论：DA=DB+DC．理由：由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．（2．理由：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2；【详解】（1）结论DA=DB+DC．理由如下：如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB；（2）结论: DA=DB+DC．理由如下：如图,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE∴AE =AD ，CE =BD ，∠ABD =∠ACE ,∠DAE =90°，∵∠BAC =90°，∠BDC =90°，∴∠ABD +∠ACD =180°，∵∠ABD =∠ACE ，∴∠ACE +∠ACD =180°，∴点D 、C 、E 在同一条直线上．∵∠DAE =90°，DA =EA∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DA 2+AE 2=DE 2，∴2DA 2=( DB +DC )2DA =DB +DC ．【点睛】考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题关键是添加常用辅助线构造全等三角形．83．如图，已知BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．求证：B D ∠=∠．【答案】证明见解析．【解析】【分析】根据题意证明BAC DAE ∆≅∆即可求解．【详解】证明：∵BAD CAE ∠=∠∵BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即：BAC DAE ∠=∠在ABC ∆和DAE ∆中AB AD BAC ADE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()BAC DAE SAS ∆≅∆∵B D ∠=∠【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．84．如图，已知AE AB ⊥，AF AC ⊥，AE AB =，AF AC =．（1）求证：AEC ABF ∆∆≌；（2）求证：EC BF ⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和等式的基本性质可得∠EAC=∠BAF ，然后利用SAS 即可证出AEC ABF ∆∆≌；（2）设AB 与EC 的交点为O ，根据全等三角形的性质可得∠AEC=∠ABF ，然后根据对顶角相等可得∠AOE=∠BOM ，再根据三角形的内角和定理和等量代换即可求出∠OMB=90°，最后根据垂直的定义即可证明．【详解】解：（1）∵AE AB ⊥，AF AC ⊥，∴∠EAB=∠CAF=90°∴∠EAB ＋∠BAC=∠CAF ＋∠BAC∴∠EAC=∠BAF在△AEC 和△ABF 中AE AB EAC BAF AC AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEC ABF ∆∆≌（SAS ）（2）设AB 与EC 的交点为O ，如下图所示∵AEC ABF ∆∆≌∴∠AEC=∠ABF∵∠AOE=∠BOM∴∠OMB=180°－∠ABF －∠BOM=180°－∠AEC －∠AOE=∠EAB=90°∴EC BF ⊥【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、对顶角的性质和垂直的判定，掌握全等三角形的判定及性质、对顶角相等和垂直的定义是解决此题的关键．85．（问题）在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点E 在直线BC 上（,B C 除外），分别经过点E 和点B 作AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系.（探究发现）某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 中点时，只需要取AC 边的中点G （如图1），通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；（数学思考）那么点E 在直线BC 上（,B C 除外）（其他条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”“点E 在线段BC 的延长线上”“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论.【答案】（1）AE EF =；（2）AE EF =；（3）仍然成立AE EF =..【解析】【分析】(1)【探究发现】取AC 中点G ，连接EG ，根据三角形全等的判定即可证明EAG FEB ∆≅∆()ASA ，即可得出AE 和EF 的数量关系;(2)【数学思考】分三种情况讨论:①若点E 在线段BC 上， 在AC 上截取CG CE =，连接GE ;②若点E 在线段BC 的反向延长线上，在AC 反向延长线上截取CG CE =，连接GE ;③若点E 在线段BC 的延长线上，在AC 延长线上截取CG CE =，连接GE ; 根据三角形全等的判定即可证明EAG FEB ∆≅∆()ASA ，即可得出AE 和EF 的数量关系.【详解】（1）AE 和EF 的数量关系为：AE EF =.理由：如图1，取AC 中点G ，连接EG ，ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，AG BE =，CEG ∆ 是等腰直角三角形，45CGE ∴∠=︒，135EGA ∠=︒，AE EF ⊥，AB BF ⊥，135EBF ∴∠=︒，EAG FEB ∠=∠，在EAG ∆和FEB ∆中EAG FEB AG BEEGA FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EAG FEB ASA ∴∆≅∆，AE EF ∴=.（2）①如图2，若点E 在线段BC 上，在AC 上截取CG CE =，连接GE ，9045,,,90ACB CGE CEG AE EF AB BF AEF ABF ACB ∠=︒∴∠=∠=︒⊥⊥∴∠=∠=∠=︒FEB AEF AEB EAC ACB ∴∠+∠=∠=∠+∠，,,,45,135,FEB EAC CA CB AG BE CBA CAB AGE EBF ∴∠=∠=∴=∠=∠=︒∴∠=∠=︒在EAG ∆和FEB ∆中EAG FEB AG BEEGA FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EAG FEB ASA ∴∆≅∆，AE EF ∴=.②如图3，若点E 在线段BC 的反向延长线上，在AC 反向延长线上截取CG CE =，连接GE ，9045,,,90ACB CGE CEG AE EF AB BF AEF ABF ACB ∠=︒∴∠==︒⊥⊥∴∠=∠=∠=︒,FEB AEF AEC EAG C AECFEB EAGCA CB ∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠=,45,45,AG BE CBA CAB AGE EBF ∴=∠=∠=︒∴∠=∠=︒在EAG ∆和FEB ∆中EAG FEB AG BEEGA FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EAG FEB ASA ∴∆≅∆AE EF ∴=.③如图4，若点E 在线段BC 的延长线上，在AC 延长线上截取CG CE =，连接GE ，9045,,,90ACB CGE ABC AE EF AB BF AEF ABF ∠=︒∴∠=∠=︒⊥⊥∴∠=∠=︒+=90=+45FEB AEB EAG AEB EBF GFEB EAGCA CB ∴∠∠︒∠∠∠=︒=∠∴∠=∠=，在EAG ∆和FEB ∆中EAG FEB AG BEEGA FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EAG FEB ASA ∴∆≅∆AE EF ∴=.【点睛】通过做辅助线得到CG CE =，利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定定理，即可得出AE 和EF 的数量关系，运用“从特殊到一般”的数学思想，利用图形，数形结合推理论证即可，注意情况的分类.86．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，2ABC C ∠=∠．求证：AC AB BD =+ 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法1：如图2，在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，可以得到全等三角形，进而解决问题方法二：如图3，延长AB 到点E ，使得BE BD =，连接DE ，可以得到等腰三角形，进而解决问题（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC AB BD =+（2）根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，EA ED =，2DCB B ∠=∠，90DAE B ∠+∠=︒，探究DC 、CE 、BE 之间的数量关系，并证明【答案】（1）证明见解析；（2）BE DC CE =+，证明见解析【解析】【分析】（1）方法一，在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，用SAS 定理证明ABD AED ∆≅∆，然后得到BD ED =，2AED ABC C ∠=∠=∠，从而得到EDC C ∠=∠，然后利用等角对等边求证ED EC =，使问题得解；方法二，延长AB 到点E ，使得BE BD =，连接DE ，利用三角形外角的性质得到∠ABC=2∠E ，从而得到∠E=∠C ，利用AAS 定理证明△AED ≌△ACD ，从而求解；（2）在EB 上截取EF ，使得EF DC =，连接AF ，利用三角形外角的性质求得AEB AED CDE AED ∠+∠=∠+∠，从而得到AEB CDE ∠=∠，利用SAS 定理证明AEF EDC ∆≅∆，然后利用全等三角形的性质求解．【详解】解：（1）方法一：如图2，在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，∵AD 平分BAC ∠，∴BAO EAO ∠=∠又∵AB AE =，AD AD =∴ABD AED ∆≅∆∴BD ED =，2AED ABC C ∠=∠=∠∵AED C EDC ∠=∠+∠∴EDC C ∠=∠∴ED EC =∴BD EC =∴AC AE EC AB BD =+=+方法二：如图3，延长AB 到点E ，使得BE BD =，连接DE ，∵AD 平分BAC ∠，∴BAO EAO ∠=∠∵BE BD =∴∠ABC=2∠E又∵2ABC C ∠=∠∴∠E=∠C∵AD=AD∴△AED ≌△ACD∴AC=AE=AB+BE=AB+BD（2）在EB 上截取EF ，使得EF DC =，连接AF∵EA ED =∴EAD EDA ∠=∠∴2180DAE AED ∠+∠=︒∵90DAE B ∠+∠=︒∴22180DAE B ∠+∠=︒∴2AED B C ∠=∠=∠∵BED CDE C ∠=∠+∠∴AEB AED CDE AED ∠+∠=∠+∠∴AEB CDE ∠=∠∴AEF EDC ∆≅∆∴EC AF =,2AFE C B ∠=∠=∠∵AFE B BAF ∠=∠+∠∴ABF BAF ∠=∠∴BF AF =∴BF CE =∴BE EF BF DC CE =+=+．【点睛】本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．87．如图，E 是AB 上一点，DE 与AC 交于点F ，AF CF =，//AB DC ．线AE 与DC 有怎样的数量关系，证明你的结论．【答案】AE DC =,证明详见解析【解析】【分析】利用平行线的性质求得A DCF ∠=∠，然后利用ASA 定理证明AEF CDF ∆≅∆，从而使问题求解．【详解】证明： ∵//AB DC∵A DCF ∠=∠又∵AFE DFC ∠=∠，AF CF =∵AEF CDF ∆≅∆（ASA ）∴AE DC =【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，题目比较简单，掌握两直线平行，内错角相等及ASA定理证明三角形全等是解题关键．88．如图，利用尺规，在△ABC的边AC下方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD＝AB．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图见解析，证明见解析．【解析】【分析】根据作一个角等于已知角的作法画出∠CAE并截取AD=BC即可画出图形，利用SAS即可证明△ACB≌△CAD，可得CD=AB．【详解】如图所示：∵AC＝CA，∠ACB＝∠CAD，AD＝CB，∴△ACB≌△CAD（SAS），∴CD＝AB．【点睛】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角及全等三角形的判定与性质，正确作出图形并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．⊥，垂足分别是89．如图，点E、F是线段AB上的点，DE AD⊥，CF BC点D 和点C ，DE CF =，AF BE =，求证：//AD BC ．【答案】见解析【解析】【分析】先根据“HL ”证明△ADE ≌△BCF ，可证∠A=∠B ，然后根据内错角相等，两直线平行即可解答．【详解】∵DE AD ⊥，CF BC ⊥，∴∠D=∠C=90°．∵AF BE =，∴AE=BF ．在△ADE 和△BCF 中，∵AE=BF ，DE CF =，∴△ADE ≌△BCF(HL)，∴∠A=∠B ，∴//AD BC ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．90．如图，在等边ABC ∆中，10AB AC BC ===厘米，4DC =厘米，如果点M 以3厘米/的速度运动．（1）如果点M 在线段CB 上由点C 向点B 运动．点N 在线段BA 上由B 点向A 点运动，它们同时出发，若点N 的运动速度与点M 的运动速度相等：①经过“2秒后，BMN ∆和CDM ∆是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少秒时，BMN ∆刚好是一个直角三角形？（2）若点N 的运动速度与点M 的运动速度不相等，点N 从点B 出发，点M 以原来的运动速度从点C 同时出发，都顺时针沿ABC ∆三边运动，经过25秒时点M 与点N 第一次相遇，则点N 的运动速度是__________厘米/秒．（直接写出答案）【答案】（1）①BMN CDM ∆≅∆，理由详见解析；②当209t =秒或109t =秒时，BMN ∆是直角三角形；（2）3.8或2.6．【解析】【分析】（1）①根据题意得CM=BN=6cm ，所以BM=4cm=CD ．根据“SAS ”证明△BMN ≌△CDM ；②设运动时间为t 秒，分别表示CM 和BN ．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解：I ．∠NMB=90°；Ⅱ．∠BNM=90°；（2）点M 与点N 第一次相遇，有两种可能：∵．点M 运动速度快；②．点N 运动速度快，分别列方程求解．【详解】解：（1）∵BMN CDM ∆≅∆．理由如下：3N M V V ==厘米/秒，且2t =秒，236()CM cm ∴=⨯=236()BN cm =⨯=1064()BM BC CM cm =-=-=BN CM ∴=4()CD cm =BM CD ∴=60B C ∠=∠=︒，BMN CDM ∴∆≅∆．(SAS)∵设运动时间为t 秒，BMN ∆是直角三角形有两种情况：∵．当90NMB ∠=︒时，60B ∠=︒，90906030BNM B ∴∠=-∠=-︒=︒︒︒，2BN BM ∴=，32(103)t t ∴=⨯-209t ∴=（秒）； ∵．当90BNM ∠=︒时，60B ∠=︒，90906030BMN B ∴∠=-∠=-︒=︒︒︒．2BM BN ∴=，10323t t ∴-=⨯109t ∴=（秒） ∴当209t =秒或109t =秒时，BMN ∆是直角三角形； （2）分两种情况讨论：∵．若点M 运动速度快，则3251025N V ⨯-=，解得 2.6N V =； ∵．若点N 运动速度快，则2520325N V -=⨯，解得 3.8N V =． 故答案是3.8或2.6．【点睛】本题考查等边三角形的性质和特殊直角三角形的性质及列方程求解动点问题，两次运用分类讨论的思想，难度较大．三、填空题。

人教版八年级数学上册全等三角形的证明(含答案)

人教版八年级数学上册全等三角形的证明(含答案)

全等三角形的证明1.如图，已知AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD.求证：F是CD的中点.2.如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。

求证：BE⊥AC。

3.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC.延长AD到E点，使DE=AB.求证：(1)∠ABC=∠EDC；(2)△ABC≌△EDC.4.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，试判断CD与BE的大小关系和位置关系，并5.如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．6.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)求证：AB+AD=2AE.7.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B=∠CAF．8.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC．（1）求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC；（2）若AB=4，AC=5，BC=6，求BD的长．9.（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．10.如图,在△ABC中,∠ABC=60゜,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O．（1）求∠AOC的度数；（2）求证：AC=AE+CD．参考答案1.证明：连接AC ，AD.在△ABC 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，∴△ABC ≌△AED(SAS).∴AC=AD.在Rt △ACF 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，AF ＝AF ， ∴Rt △ACF ≌Rt △ADF(HL).∴CF=DF ，即F 为CD 的中点.2.证明：(1) AD 为△ABC 上的高，∴BDA=ADC =90.∵BF=AC,FD=CD.∴Rt △BDF ≌Rt △ADC.(2)由①知∠C=∠BFD ，∠CAD=∠DBF.∠BFD= ∠AFE ，又∠CBE=∠CAD ，∴∠AEF=∠BDF.∠BDF= 90，∴BE ⊥AC.3.证明：(1)在四边形ABCD 中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠B ＋∠ADC=180°.又∵∠CDE ＋∠ADC=180°.∴∠ABC=∠EDC.(2)连接AC.⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝ED ，∠ABC ＝∠EDC ，CB ＝CD ，∴△ABC ≌△EDC(SAS).4.证明：CD=BE ，CD ⊥BE ，理由如下：因为∠BAD=∠CAE=90°，所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE ，即∠BAE=∠DAC. 因为，所以△BAE ≌△DAC(SAS).所以BE=DC ，∠BEA=∠DCA.如图，设AE 与CD 相交于点F ，因为∠ACF+∠AFC=90°，∠AFC=∠DFE ，所以∠BEA+∠DFE=90°.即CD ⊥BE.5.证明：如图，过E 点作EH ∥AB 交BD 的延长线于H ，故∠A=∠CEH ，在△ABC 与△EHC 中，∴△ABC ≌△EHC （ASA ），∴AB=HE ，∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°∴∠HDE=∠B=∠H ，∴DE=HE ．∵AB=HE ，∴AB=DE ．6. (1)证明：∵AC 是角平分线，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ， ∴CE=CF ，∠F=∠CEB=90°，在Rt △BCE 和Rt △DCF 中，(2)解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠F=∠CEA=90°，在Rt△FAC和Rt△EAC中，，∴Rt△FAC≌Rt△EAC，∴AF=AE，∵△BCE≌△DCF，∴BE=DF，∴AB+AD=(AE+BE)+(AF﹣DF)=AE+BE+AE﹣DF=2AE.7.证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠B=∠CAF．8.（1）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵S△ABD=0.5AB•DE，S△ACD=0.5AC•DF，∴S△ABD：S△ACD=（0.5AB•DE）：（0.5AC•DF）=AB：AC；（2）解：∵AD平分∠BAC，∴=0.8，∴BD=0.8CD，∵BC=6，∴BD=．9.证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．10.解：如图，在AC上截取AF=AE，连接OF∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△AOE和△AOF中∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOE=∠AOF，∵∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠AOC=120°；（2）∵∠AOC=120°，∴∠AOE=60°，∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF，在△COF和△COD中，∴△COF≌△COD（ASA）∴CF=CD，∴AC=AF+CF=AE+CD．。

人教版数学中考复习《三角形相关问题》专项练习含答案

人教版数学中考复习《三角形相关问题》专项练习含答案

三角形相关问题一、综合题1.（•北京）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．2.（•北京）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是________．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．3.（•河南）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．4.（•荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．5.（•十堰）已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．（1）如图1，若点B在OP上，则①AC________OE（填“＜”，“=”或“＞”）；②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是________；（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式________．6.（•玉林）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．7.（•黄石）在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P 为DC边上一定点，且CP=BC，如图所示．（1）如图①，求证：BA=BP；（2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；（3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF 的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．8.（•荆门）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．9.（•海南）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．（1）求证：△CDE≌△CBF；（2）当DE= 时，求CG的长；（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．10.（•大连）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为________；（2）求的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD= ，求PC 的长．11.（•呼和浩特）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．（1）求证：BD=CE；（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．12.（•张家界）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．13.（•北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．14.（•百色）已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BA⊥x 轴于点A，CD⊥x轴于点D．（1）求这个反比函数的解析式；（2）求△ACD的面积．15.（•百色）矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）证明：EG=FH．16.（•河池）解答题（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF 的数量关系，并证明你的结论．17.（•东营）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．18.（•青岛）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．19.（•威海）如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C 点后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置，设DP=x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y．（1）当x为何值时，直线AD1过点C？（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E？（3）求出y与x的函数表达式．20.（•达州）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．21.（•达州）小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2= 他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x= ，y= ．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为________；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：________；（3）如图3，点P（2，n）在函数y= x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．22.（•常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．23.（•扬州）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC=________，OC△OA=________；（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON= AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．24.（•赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，∴DE=BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=DE，∴四边形BCDE是菱形（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴AB=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB= ，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，在Rt△ACD中，∵AD=2，∴CD=1，AC= ．【解析】【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；（2）在Rt△只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；2.【答案】（1）解：①P2，P3②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，∴设P（x，﹣x），当OP=1时，由距离公式得，OP= =1，∴x= ，当OP=3时，OP= =3，解得：x=± ；∴点P的横坐标的取值范围为：﹣≤≤﹣，或≤x≤（2）解：∵直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，∴A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，此时，CA=3，∴C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，∴CD=1，∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴直线AB与x轴的夹角=45°，∴AC= ，∴C（1﹣，0），∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤1﹣；如图3，当圆过点A，则AC=1，∴C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，∴OC= =2 ，∴C（2 ，0）．∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤x C≤2 ；综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤1﹣或2≤x C≤2【解析】【解答】（1）①∵点P1（，0），P2（，），P3（，0），∴OP1= ，OP2=1，OP3= ，∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为，∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；故答案为：P2，P3；【分析】（1）①根据点P1（，0），P2（，），P3（，0），求得P1= ，P2=1，OP3= ，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式得到即可得到结论；（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（1﹣，0），于是得到结论；如图3，当圆过点A，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（2 ，0），于是得到结论．3.【答案】（1）PM=PN；PM⊥PN（2）解：由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN= BD，PM= CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形（3）解：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2 ，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5 ，∴MN最大=2 +5 =7 ，∴S△PMN最大= PM2= × MN2= ×（7 ）2= ．【解析】【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN= BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM= CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN，【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM= CE，PN= BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM= BD，PN= BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．4.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．5.【答案】（1）=；AC2+CO2=CD2（2）如图2，（1）中的结论②不成立，理由是：连接AD，延长CD交OP于F，连接EF，∵AB=AO，D为OB的中点，∴AD⊥OB，∴∠ADO=90°，∵∠CDE=90°，∴∠ADO=∠CDE，∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，即∠ADC=∠EDO，∵∠ADO=∠ACO=90°，∴∠ADO+∠ACO=180°，∴A、D、O、C四点共圆，∴∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，∴∠EFO=∠AOC，∵△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠DCO=45°，∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，∴OC=OF，∵∠ACO=∠EOF=90°，∴△ACO≌△EOF，∴OE=AC，AO=EF，∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，Rt△DEF中，EF＞DE=DC，∴AC2+OC2＞DC2，所以（1）中的结论②不成立（3）OC﹣AC= CD【解析】【解答】解：（1）①AC=OE，理由：如图1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，∴∠ABO=∠AOB=45°，∵OP⊥MN，∴∠COP=90°，∴∠AOC=45°，∵AC∥OP，∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，∴AC=OC，连接AD，∵BD=OD，∴AD=OD，AD⊥OB，∴AD∥OC，∴四边形ADOC是正方形，∴∠DCO=45°，∴AC=OD，∴∠DEO=45°，∴CD=DE，∴OC=OE，∴AC=OE；②在Rt△CDO中，∵CD2=OC2+OD2，∴CD2=AC2+OC2；故答案为：AC2+CO2=CD2；（3.）如图3，结论：OC﹣CA= CD，理由是：连接AD，则AD=OD，同理：∠ADC=∠EDO，∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，∴∠CAB=∠AOC，∵∠DAB=∠AOD=45°，∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC，即∠DAC=∠DOE，∴△ACD≌△OED，∴AC=OE，CD=DE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE2=2CD2，∴（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，∴OC﹣AC= CD，故答案为：OC﹣AC= CD．【分析】（1）①如图1，证明AC=OC和OC=OE可得结论；②根据勾股定理可得：AC2+CO2=CD2；（2）如图2，（1）中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、O、C四点共圆，得∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，再证明△ACO≌△EOF，得OE=AC，AO=EF，根据勾股定理得：AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，由直角三角形中最长边为斜边可得结论；（3）如图3，连接AD，则AD=OD证明△ACD≌△OED，根据△CDE是等腰直角三角形，得CE2=2CD2，等量代换可得结论（OC﹣OE）2=（OC ﹣AC）2=2CD2，开方后是：OC﹣AC= CD．6.【答案】（1）证明：连接CD，如图1所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO=OD，∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，∴四边形EDFG是正方形（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴DE′= BC=2，AB=4 ，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜2 （点E与点E′重合时取等号）．∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．【解析】【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF 可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE ＜2 ，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．7.【答案】（1）证明：如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD= a．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵PC=AD=BC=a，∴PB= = a，∴BA=BP（2）解：如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．设AD=BC=QD=a，则AB=CD= a，∴CQ=CQ′= a﹣a，∵CQ′//AB，∴= = =（3）证明：如图③中，作TH//AB交NM于H，交BC于K．由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD= ，DP=CF= ﹣1，∵S△MNT= •TH•CK+ •TH•BK= HT•（KC+KB）= HT•BC= HT，∵TH//AB//FM，TF=TB，∴HM=HN，∴HT= （FM+BN），∵BN=PM，∴HT= （FM+PM）= PF= •（1+ ﹣1）= ，∴S△MNT= HT= =定值【解析】【分析】（1）如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD= a．通过计算得出AB=BP= a，由此即可证明；（2）如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．设AD=BC=QD=a，则AB=CD= a，可得CQ=CQ′= a﹣a，由CQ′//AB，推出= = = ；（3）如图③中，作TH//AB交NM于H，交BC于K．由S△MNT= •TH•CK+ •TH•BK= HT•（KC+KB）= HT•BC= HT，利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题；8.【答案】（1）证明：∵点E是CD的中点，∴DE=CE．∵AB∥CF，∴∠BAF=∠AFC．在△ADE与△FCE中，∵，∴△ADE≌△FCE（AAS）（2）解：由（1）得，CD=2DE，∵DE=2，∴CD=4．∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，∴AB=2CD=8，AD=CD= AB．∵AB∥CF，∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，∴∠DAC=∠ACD= ∠BDC= ×60°=30°，∴BC= AB= ×8=4【解析】【分析】（1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根据AAS 定理可得出△ADE≌△FCE；（2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD= AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD= ∠BDC=30°，进而可得出结论．9.【答案】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，∴∠3+∠2=∠ECF=90°，∴∠1=∠3，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（2）解：在正方形ABCD中，AD∥BC，∴△GBF∽△EAF，∴，由（1）知，△CDE≌△CBF，∴BF=DE= ，∵正方形的边长为1，∴AF=AB+BF= ，AE=AD﹣DE= ，∴，∴BG= ，∴CG=BC﹣BG=（3）解：不能，理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE=CG，∴AD﹣AE=BC﹣CG，∴DE=BG，由（1）知，△CDE≌△ECF，∴DE=BF，CE=CF，∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．【解析】【分析】（1）先判断出∠CBF=90°，进而判断出∠1=∠3，即可得出结论；（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论；（3）假设是平行四边形，先判断出DE=BG，进而判断出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出结论．10.【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°（2）解：如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴= = = ，∴= ，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴（）2+ ﹣1=0，∴= （负根已经舍弃），∴= ．（3）解：如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，∴= = ，∴= ，即=∵CD= ，∴PC=1．【解析】【解答】解：（1.）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出= = = ，可得= ，可得4y2+2xy﹣x2=0，即（）2+﹣1=0，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得= = ，可得= ，即= ，由此即可解决问题；11.【答案】（1）解：由题意得，AB=AC，∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AD= AC，AE= AB，∴AD=AE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD=CE；（2）四边形DEMN是正方形，证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE= AB，AD= AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED= BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN= BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离= BC，∴BD⊥CE，∴四边形DEMN是正方形．【解析】【分析】（1）根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形中位线的性质得到ED∥BC，ED= BC，MN∥BC，MN= BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离= BC，根据直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到结论．12.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG=BG，在△AGEH和△BGF中，，∴△AGE≌△BGF（AAS）（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE=BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF 即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．13.【答案】（1）解：∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α（2）解：PQ= MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△AEB是等腰直角三角形，∴PQ= MB，∴PQ= MB．【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．14.【答案】（1）解：将B点坐标代入函数解析式，得=2，解得k=6，∴反比例函数的解析式为y= ；（2）解：由B（3，2），点B与点C关于原点O对称，得C（﹣3，﹣2）．由BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D，得A（3，0），D（﹣3，0）．∴S△ACD= AD•CD= × [3﹣（﹣3）]×|﹣2|=6．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据三角形的面积公式，可得答案．15.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，AD=BC，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE= AD，CF= BC，∴AE CF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）证明：∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE//AF，∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，∵AB//CD，∴∠EDG=∠FBH，在△DEG和△BFH中，∴△DEG≌△BFH（AAS），∴EG=FH．【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）可证明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可．16.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB= BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴= ，∴AE= BF．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．17.【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）解：如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF= AB=1，∴BF= ，∴BC=2BF=2 ，∵BD=x，AE=y则DC=2 ﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y= x+2（0＜x＜2 ）；（3）解：当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2 ﹣x，x=2 ﹣2，代入y= x+2，解得：y=4﹣2 ，即AE=4﹣2 ，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED= EC，即y= （2﹣y），解得：y= ，即AE= ，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2 或．【解析】【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2 ﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED= EC，即y= （2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由（1）得：AE=OE=OF=AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO=90°，∴四边形AEOF是正方形．【解析】【分析】（1）由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF即可；（2）由（1）得：AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．19.【答案】（1）解：如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P，∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，∵直线AD1过C，∴PD1⊥AC，在Rt△ABC中，AC= = ，CD1= ﹣2，在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，即（3﹣x）2=x2+（﹣2）2，解得：x= ，∴当x= 时，直线AD1过点C（2）解：如图2，连接PE，∵E为BC的中点，∴BE=CE=1，在Rt△ABE中，AE= = ，∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，∴D1E= ﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，解得：x= ，∴当x= 时，直线AD1过BC的中点E；（3）解：如图3，当0＜x≤2时，y=x，如图4，当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3（根据折叠），∴∠2=∠3，∴AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，由题意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，解得：a= ，所以y= = ，综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=【解析】【分析】（1）根据折叠得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E= ﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E 和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可．20.【答案】（1）解：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF= =10，∴OC=OE= EF=5（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．21.【答案】（1）证明：∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q= ，∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+ = ，∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，∴PQ= = ，即线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式为x= ，y=（2）；（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）（3）解：如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，由对称性可知EP=EM，FP=FN，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小，设R（x，x），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n，∴=2，解得x=﹣（舍去）或x= ，∴R（，），∴=n，解得n=1，∴P（2，1），∴N（2，﹣1），设M（x，y），则= ，= ，解得x= ，y= ，∴M（，），∴MN= = ，即△PEF的周长的最小值为【解析】【解答】（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），∴MN= = ，故答案为：；②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），设D（x，y），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此时D点坐标为（﹣3，3），当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1），当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3），综上可知D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；【分析】（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；（3）设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，则可知OR=OS=2，利用两点间距离公式可求得R的坐标，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点S，此时EP=EM，FP=FN，此时满足△PEF的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值．22.【答案】（1）证明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，，∴△ABE≌△DBE（2）证明：①过G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴= = ，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴= ，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴= ，∵AB=2AG，∴= ，∴2CN•AG=AF•AC，∴AG2=AF•AC．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根据平行线分线段成比例定理得到= = ，求得GM=2MC；②过C作CN⊥AD交AD的延长线于N，则CN∥AG，根据相似三角形的性质得到= ，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到= ，等量代换得到= ，于是得到结论．23.【答案】（1）0；7（2）解：①如图2，取BC的中点O，连接AO，∵AB=AC，∴AO⊥BC，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，在Rt△AOB中，AB=4，∠ABC=30°，∴AO=2，OB=2 ，∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8，②取AC的中点D，连接BD，∴AD=CD= AC=2，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E，在Rt△ABE中，∠BAE=180°﹣∠BAC=60°，∴∠ABE=30°，∵AB=4，∴AE=2，BE=2 ，∴DE=AD+AE=4，在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD= = =2 ，∴BA△BC=BD2﹣CD2=24；（3）解：如图3，设ON=x，OB=OC=y，∴BC=2y，OA=3x，∵AB△AC=14，∴OA2﹣OB2=14，∴9x2﹣y2=14①，取AN的中点D，连接BD，∴AD=DB= AN= × OA=ON=x，∴OD=ON+DN=2x，在Rt△BOD中，BD2=OB2+OD2=y2+4x2，∵BN△BA=10，∴BD2﹣DN2=10，∴y2+4x2﹣x2=10，∴3x2+y2=10②联立①②得，或（舍），∴BC=4，OA=3 ，∴S△ABC= BC×AO=6 ．【解析】【解答】解：①∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC=10，∵点O是BC的中点，∴OA=OB=OC= BC=5，∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0，②如图1，取AC的中点D，连接OD，∴CD= AC=3，∵OA=OC=5，∴OD⊥AC，在Rt△COD中，OD= =4，∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7，故答案为0，7；【分析】（1）①先根据勾股定理求出BC=10，再利用直角三角形的性质得出OA=OB=OC=5，最后利用新定义即可得出结论；②再用等腰三角形的性质求出CD=3，再利用勾股定理求出OD，最后用新定义即可得出结论；（2）①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2，OB=2 ，再用新定义即可得出结论；②先构造直角三角形求出BE，AE，再用勾股定理求出BD，最后用新定义即可得出结论；（3）先构造直角三角形，表述出OA，BD2，最后用新定义建立方程组求解即可得出结论．24.【答案】（1）解：如图1，延长PE，QB交于点F，∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，∵∠AOB=90°，∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，∴点P，O，Q在同一条直线上，∵∠APO=∠BQO=90°，∵点E是AB中点，∴AE=BE，∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，∴EP=EQ；（2）解：成立，证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，∴CE∥OB，CE= OB，∴∠DOC=∠ECA，∵点D是Rt△OQB斜边中点，∴DQ= OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；（3）解：如图2，连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，∴GB=GO=GA，∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，设∠GOB=x，∠GOA=y，∴x+x+y+y+60°=360°【解析】【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED 即可得出结论；（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．。

全等三角形证明中考题精选(有答案)

全等三角形证明中考题精选(有答案)

新人教版八年级上学期全等三角形证明题一．解答题（共10小题）1．（泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE=CF．2．（河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是_________；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA 上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．3．（大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．4．（阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．5．（仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE 绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是_________；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AB=k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN 与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．6．（四川）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE_________CF；EF_________|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．7．（绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD 特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）8．（常德）如图，已知AB=AC，（1）若CE=BD，求证：GE=GD；（2）若CE=m•BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系．（只写结论，不证明）9．（泰安）（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为_________；∠APB的大小为_________；（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为_________；∠APB的大小为10．（南宁）（A类）如图，DE⊥AB、DF⊥AC．垂足分别为E、F．请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．①AB=AC；②BD=CD；③BE=CF已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BD=CD求证：BE=CF已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BE=CF求证：BD=CD已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，BD=CD，BE=CF求证：AB=AC（B类）如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．①AB=AC；②DE=DF；③BE=CF已知：EG∥AF，AB=AC，DE=DF求证：BE=CF新人教版八年级上学期全等三角形证明题参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据中线的定义可得BD=CD，然后利用“角角边”证明△BDE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解答：证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BE=CF．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．2．（河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA 上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．考点：全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN 和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE 中求出BE的长，即可得解．解答：解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF=S△BDE，过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．3．（大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．解答：（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．4．（阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．考点：全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE 于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°；（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适．解答：解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE；②结论：BD=CE，BD⊥CE…1分理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分在△ABD与△ACE中，∵∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE…1分延长BD交AC于F，交CE于H．在△ABF与△HCF中，∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC∴∠CHF=∠BAF=90°∴BD⊥CE…3分（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作为判定三角形全等的定理．注意：在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：直角三角形为HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于SSS），因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全等．5．（仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE 绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AB=k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN 与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题；探究型．分析：（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．（2）直接类比（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．解答：解：（1）①BD=CE；②AM=AN，∠MAN=∠BAC，∵∠DAE=∠BAC，∴∠CAE=∠BAD，在△BAD和△CAE中∵∴△CAE≌△BAD（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∵DM=BD，EN=CE，∴BM=CN，在△ABM和△ACN中，∵∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM=AN，∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；（2）AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．6．（台州）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE=CF；EF=|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．考点：直角三角形全等的判定；三角形内角和定理．专题：几何综合题；压轴题．分析：由题意推出∠CBE=∠ACF，再由AAS定理证△BCE≌△CAF，继而得答案．解答：解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，CE=AF，又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．（2）EF=BE+AF．点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．7．（绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD 特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）考点：直角三角形全等的判定．专题：证明题；压轴题；开放型．分析：（1）如果：“∠B=∠D”，根据∠B与∠D互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC．（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．解答：证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B=∠D，∴∠B=∠D=90°，∠CAD=∠CAB=∠DAB=30°，∵在△ADC中，cos30°=，在△ABC中，cos30°=，∴AB=AC，AD=．∴AB+AD=．（2）由（1）知，AE+AF=AC，∵AC为角平分线，CF⊥CD，CE⊥AB，∴CE=CF．而∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE也互补，∴∠D=∠CBE．∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，∴Rt△CDF≌Rt△CBE．∴DF=BE．∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=AC．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．8．（常德）如图，已知AB=AC，（1）若CE=BD，求证：GE=GD；（2）若CE=m•BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系．（只写结论，不证明）考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题；探究型．分析：（1）要证GE=GD，需证△GDF≌△GEC，由已知条件可根据AAS判定．（2）若CE=m•BD（m为正数），那么GE=m•GD．解答：证明：（1）过D作DF∥CE，交BC于F，则∠E=∠GDF．∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC∵DF∥CE，∴∠DFB=∠ACB，∴∠DFB=∠ACB=∠ABC．∴DF=DB．∵CE=BD，∴DF=CE，在△GDF和△GEC中，，∴△GDF≌△GEC（AAS）．∴GE=GD．（2）GE=m•GD．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题的辅助线是解决题目的关键．9．（泰安）（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为AC=BD；∠APB的大小为α；（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为AC=k•BD；∠APB的大小为180°﹣α．考点：全等三角形的判定；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：（1）分析结论AC=BD可知，需要证明△AOC≌△BOD，围绕这个目标找全等的条件；（2）与图①比较，图形条件发生了变化，仍然可以证明△AOC≌△BOD，方法类似；（3）转化为证明△AOC∽△BOD．解答：解：（1）①∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC．即：∠AOC=∠BOD．又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD．∴AC=BD．②由①得：∠OAC=∠OBD，∵∠AEO=∠PEB，∠APB=180°﹣（∠BEP+∠OBD），∠AOB=180°﹣（∠OAC+∠AEO），∴∠APB=∠AOB=60°．（2）AC=BD，α（3）AC=k•BD，180°﹣α．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．10．（南宁）（A类）如图，DE⊥AB、DF⊥AC．垂足分别为E、F．请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．①AB=AC；②BD=CD；③BE=CF已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BD=CD求证：BE=CF已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BE=CF求证：BD=CD已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，BD=CD，BE=CF求证：AB=AC（B类）如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．①AB=AC；②DE=DF；③BE=CF已知：EG∥AF，AB=AC，DE=DF求证：BE=CF友情提醒：若两题都做的同学，请你确认以哪类题记分，你的选择是A类类题．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；开放型．分析：本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，对应三角形全等条件求解；再根据全等三角形的性质得出结论．解答：解：（A类）已知：…，AB=AC，BD=CD求证：BE=CF．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．在△BDE和△CDF中∴△BDE≌△CDF．∴BE=CF．已知：…，AB=AC，DE=DF，求证：BE=CF．证明：∵EG∥AF，∴∠GED=∠F，∠BGE=∠BCA．∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∴∠B=∠BGE，∴BE=EG．在△DEG和△DFC中∴△DEG≌△DFC，∴EG=CF，∴BE=CF．点评：这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种．同时还考查了全等三角形的性质．。

(完整版)初中数学全等三角形的证明题含答案

(完整版)初中数学全等三角形的证明题含答案

1.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数,求AD解：延长AD至【J E,使AD=DE• D是BC中点••• BD=DC在左ACD和左BDE中AD=DEZ BDE= Z ADCBD=DC••• A ACD^A BDE. .AC=BE=2•在△ ABE 中AB-BE < AE< AB+BE••AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3•••AD=21 2.已知：D是AB中点，Z ACB=90 ,求证：CD —AB延长CD与P,使D为CP中点。

连接AP.BP ••DP=DC,DA=DB• •ACBP为平行四边形又/ ACB=90平行四边形ACBP为矩形•••AB=CP=1/2AB证明：连接BF和EF. • BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）••• BF=EF, Z CBF= / DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF/ EBF= / BEF。

. • Z ABC= Z AED。

••• Z ABE= Z AEB。

AB=AE 。

在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,Z ABF= Z ABE+ Z EBF= Z AEB+ Z BEF= Z AEF三角形ABF和三角形AEF全等。

Z BAF= Z EAF （ Z 1 = Z 2）。

EF=AC 4,已知：/ 1 = Z 2, CD=DE , EF//AB ,求证:过C作CG // EF交AD的延长线于点GCG// EF,可得，/ EFD= CGDDE= DC/ FDE=Z GDC （对顶角）. EFD^A CGDZCGD=Z EFD又，EF// AB. Z EFD=Z 1/ 1= / 2•••Z CGD=Z 2AGC为等腰三角形,AC= CG又EF= CGEF= AC证明：延长AB取点E,使AE = AC,连接DE . • AD 平分Z BAC••• Z EAD = Z CAD. . AE = AC , AD = AD. AED^A ACD (SAS)Z E= Z C. . AC = AB+BDAE = AB+BD. . AE = AB+BE. .BD = BE•••Z BDE = / E. Z ABC = Z E+ Z BDE•••Z ABC = 2 / E•.•Z ABC = 2 Z C6. 已知：AC 平分Z BAD , CE± AB , Z B+ / D=180 °,求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F,使EF = EB,连接CF. • CE ± ABCEB = Z CEF = 90°. • EB = EF, CE = CE,. CEB^A CEF•••Z B=Z CFE. Z B+Z D= 180° , Z CFE + Z CFA = 180°•••Z D = Z CFA. • AC 平分Z BAD/ DAC = / FAC. . AC = AC. ADC^A AFC (SAS)AD = AFAE = AF + FE= AD + BE7, 已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD至ij E,使AD=DED是BC中点. . BD=DC在^ ACD和^ BDE中AD=DEZ BDE= Z ADCBD=DC. ACD^A BDE••• AC=BE=2•.•在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE. . AB=4即4-2 V 2AD V 4+21 v AD v 3AD=21—8. 已知：D是AB中点，/ACB=9,求证：CD-AB2 解：延长AD至ij E,使AD=DED是BC中点. . BD=DC在^ ACD和^ BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC. ACD^A BDE ••• AC=BE=2•.•在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE . . AB=4即4-2 V 2AD V 4+2 1 v AD v 3AD=2证明：连接BF和EF。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

全等三角形的相关计算与证明
一．选择题
1．如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）
A．40°B．35°C．30°D．25°
2．已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）
A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF
4．如图，若AB＝CD，DE＝AF，CF＝BE，∠AFB＝80°，∠D＝60°，则∠B的度数是（）A．80° B．60° C．40° D．20°
5.如图，△ABC中，若∠B＝∠C，BD＝CE，CD＝BF，则∠EDF＝（）
A．90°－∠A B．
A
∠
-
2
1
90o
C．180°－2∠A D．
A
∠
-
2
1
45o
6．如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）
A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分
别以点M，N的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）
A．15 B．30 C．45 D．60
二、填空题
8．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，则还需加条件_______.
9.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论
①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC，其中正确结论的序号是_______.
10.如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接
AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为_____．
三、解答题
11．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．
（1）求证：△AOD≌△BOC；
（2）求证：AD∥BC．
12.如图，点A、B、C、D在同一直线上，CE//DF，EC=BD，AC=FD.求证：AE=FB.
13．如图，已知AD=BC ，AC=BD ．
（1）求证：△ADB ≌△BCA ；
（2）OA 与OB 相等吗？若相等，请说明理由．
14.如图，在△ABC 中，AB=AC ，作AD ⊥AB 交BC 的延长线于点D ，作AE ∥BD ，CE ⊥AC ，
且AE ，CE 相交于点E ，求证：AD=CE ．
15．如图，AD 、BC 相交于点O ，AD=BC ，∠C=∠D=90°.
（1）求证：△ACB ≌△BDA;
(2)若∠ABC=35°，则∠CAO=_____°.
16．如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上（F ，C 之间不能直接测量），点A ，D 在l 异侧，测得AB=DE ，AC=DF ，BF=EC.
（1）求证：△
ABC ≌△DEF ；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
参考答案
一．选择题
1．B 2．B 3．C 4．C． 5.B
6．D【解析】∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF。

故选D．
7．B【解析】由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，∴△ABD的面积•15×4=30．
二、填空题
8．AB=AC
9. ①②③【解析】由△ABO≌△ADO得：AB＝AD，∠AOB＝∠AOD＝90°，∠BAC＝∠DAC，又AC＝AC，所以，有△ABC≌△ADC，CB＝CD，所以，①②③正确.
10.120°【解析】如图,AC与BD交于点H．
∵△ACD，△BCE都是等边三角形，
∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCB=∠ACE，
在△DCB和△ACE中，
∴△DCB≌△ACE，
∴∠CAE=∠CDB，
∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA，
∴∠AOH=∠DCH=60°，
∴∠AOB=180°-∠AOH=120°．
三.解答题
11．证明：（1）∵点O是线段AB和线段CD的中点，
∴AO=BO，CO=DO．
在△AOD和△BOC中，有
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
（2）∵△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，∴AD∥BC．
12. 证明：因为CE∥DF，所以∠ECA=∠D。

在△ACE和△FDB中，
因为EC=AD ，∠ECA=∠D ，AC=BF ， 所以△ACE ≅△FDB ，所以AE=BF 。

13． 解:（1）证明：∵在△ADB 和△BCA 中，
，
∴△ADB ≌△BCA （SSS ）。

（2）OA=OB 。

理由是：∵△ADB ≌△BCA ，
∴∠ABD=∠BAC ，
∴OA=OB ．
14.证明：∵AE ∥BD ，
∴∠EAC=∠ACB ，
∵AB=AC ，
∴∠B=∠ACB ，
∴∠B=∠EAC ，
在△ABD 和△CAE 中，
∴△ABD ≌△CAE ，
∴AD=CE ．
15．解：（1）证明:∵∠C=∠D=90°
∴△ACB 和△BDA 是直角三角形
在Rt △ACB 和Rt △BDA 中
BC AD AB BA =⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △ACB ≌Rt △BDA 。

（2）20
16．解：。

相关文档
最新文档