艺术生高三文科数学复习讲义第13讲-复数
高三复数复习课件
三角函数图像的绘制方法
利用MATLAB绘制三角函数图像
使用MATLAB的绘图功能，可以绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
利用Python绘制三角函数图像
使用Python的matplotlib库，可以绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
04
复数在解方程中的应用
一元二次方程的解法及其应用
实数根与虚数根
一元二次方程的解可以是 实数或虚数，通过判别式
复数解的形式
二元一次方程组的解也可 以表示为复数形式，包括 实部和虚部。
在几何中的应用
二元一次方程组的解可以 表示平面上的点，通过几 何意义可以直观地理解方 程组的意义。
多元一次方程组的解法及其应用
01
消元法与代入法
多元一次方程组可以通过消元法和代入法求解，得到多个未知数的值。
02
复数解的形式
多元一次方程组的解也可以表示为复数形式，包括实部和虚部。
谢谢您的聆听
THANKS
复数的表示方法
复数可以用平面坐标系中的点来 表示，实部为横坐标，虚部为纵 坐标。
复数的性质及其运算规则
复数的性质
复数具有实部和虚部，可以比较大小，可以进行四则运算等 。
复数的运算规则
复数的加法、减法、乘法和除法运算都有特定的规则，需要 掌握。
复数的几何意义与坐标表示
复数的几何意义
复数可以用平面坐标系中的点来表示 ，也可以用向量来表示。
利用复数计算三角函数的值
对于复数$z = a + bi$，其三角形式为$r(\cos \theta + i \sin \theta)$，则 $\sin z = \sin \theta (\cos \theta + i \sin \theta)$，$\cos z = \cos \theta (\cos \theta + i \sin \theta)$。
高三复数的知识点归纳总结
高三复数的知识点归纳总结复数在高中数学中是一个重要的概念，它涉及到实数的扩充，提供了更广阔的数学思维空间。
复数的理解和运算是高三数学学习中必备的知识点，下面对高三复数的知识点进行归纳总结。
1. 复数的定义和表示方法复数由实部和虚部组成，用a+bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
实部和虚部都是实数。
实部为0时，复数为纯虚数，形如bi。
虚部为0时，复数为实数，形如a。
2. 复数的相等性两个复数相等的条件是它们的实部相等且虚部相等，即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d。
3. 复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，只需将实部和虚部分别相加或相减即可。
4. 复数的乘法复数的乘法遵循分配律和乘法公式。
当两个复数相乘时，将实部和虚部按照乘法公式展开计算，并应用i^2=-1进行简化。
5. 复数的除法复数的除法通过乘以共轭复数实现。
将除数和被除数同时乘以除数的共轭复数，并应用i^2=-1进行简化。
6. 复数的模复数的模表示复数到原点的距离，用|z|表示，其中z=a+bi为复数。
复数的模定义为|z|=√(a^2+b^2)。
7. 复数的幅角复数的幅角表示复数与正实轴之间的夹角，用arg(z)表示，其中z=a+bi为复数。
复数的幅角可以用三角函数计算，即arg(z)=arctan(b/a)。
8. 欧拉公式欧拉公式是复数运算中的一个重要公式，它建立了复数与三角函数之间的联系。
欧拉公式表示为e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中e为自然对数的底，i为虚数单位。
9. 求解复数方程求解复数方程时，可以利用已学的代数方法解方程，例如使用因式分解、配方法等。
在解方程的过程中，要注意实部和虚部分别相等。
10. 复数的应用复数在高等数学和物理学中有广泛的应用，例如电路分析、信号处理、谐振等领域。
复数的运算和性质为求解和分析这些问题提供了便利。
通过对高三复数的知识点进行归纳总结，我们对复数的定义和表示、加减乘除运算、模和幅角、欧拉公式以及应用有了更深入的理解。
高三数学知识点复数
高三数学知识点复数复数是数学中的一个重要概念，在高三数学学习中也占有重要地位。
它不仅在代数中有广泛的应用，还在很多实际问题中起着关键的作用。
本文将就高三数学中的复数知识点进行详细介绍，包括定义、运算、表示方法等内容。
一、复数的定义1. 复数的概念在数学中，复数是由实数和虚数的和组成的数。
其中实数部分可以为任意实数，虚数部分为实数乘以虚数单位 i。
i 的定义为 i^2 = -1，其中 i 即为虚数单位。
2. 复数的表示方法一般来说，复数可用 a+bi 表示，其中 a 为实部，b 为虚部。
二、复数的运算1. 加法运算复数加法满足交换律和结合律。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的和为 z = (a+c) + (b+d)i。
2. 减法运算复数减法可以看作加法的逆运算。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的差为 z = (a-c) + (b-d)i。
3. 乘法运算复数乘法也满足交换律和结合律。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的乘积可以通过展开得到：z = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i。
4. 除法运算复数除法是乘法的逆运算。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的商可以通过乘以共轭复数并进行化简得到：z = (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd) / (c^2+d^2) + (bc-ad)i / (c^2+d^2)。
三、复数的性质1. 共轭复数对于复数 z = a+bi，其共轭复数可以用 z* 表示，即 z* = a-bi。
共轭复数实际上是对复数的虚数部分取负。
2. 模和辐角复数的模表示复数到原点的距离，可以用 |z| 表示。
模的计算公式为|z| = √(a^2+b^2)。
艺术生高三文科数学复习讲义第13讲-复数
第13讲 复数【基础知识】1.复数的定义：形如),(R b a bi a ∈+的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示.2. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.3.i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小5.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数例如：a bi +与a bi -互为共轭复数6．复数的四则运算：①i d b c a di c bi a )()()()+++=+++（ ②i ad bc bd ac di c bi a )()-())(++=++（ ③2222abi ac bd bc ad i c di c d c d【基础训练】1、(2013·浙江高考文科)已知i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= ( )A.5-5iB.7-5iC.5+5iD.7+5i2、（2010·湖南高考文科） 复数21i-等于（ ） (A)1+i (B)1-i (C)-1+i (D)-1-i 3、（2013·辽宁高考文科）复数11z i =-的模为（ ）1....22A B C D4、（2013·湖南高考文科）复数z=i·(1+i )(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【典例分析】1、（2013·新课标Ⅰ高考文科）=-+2)1(21i i （ ） A. i 211-- B. i 211+- C. i 211+ D. i 211- 2、（2013·山东高考文科）复数)()2(2为虚数单位i ii z -=，则=||z （ ） A.25 B. 41 C.5 D.53、（2013·江西高考文科）复数)2(i i Z --=（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、（2012·新课标全国高考文科）复数z ＝－3+i 2+i的共轭复数是（ ） （A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i【提高训练】1、（2011·湖南高考文科）若a 、b R ∈,i 为虚数单位，且(a+i)i=b+i ，则（ ）（A ）a=1,b=1 （B ）a=-1,b=1 （C ）a=1,b=-1 （D ）a=-1,b=-12、（2013·北京高考文科）在复平面内，复数)2(i i -对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、（2012·湖南高考文科）复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是( )（A ）-1-i (B)-1+i (C)1-i (D)1+i4、（2012·山东高考文科）若复数z 满足i i z 711)2(+=-（i 为虚数单位），则z 为（ ）（A ）i 53+ （B ）i 53- （C ）i 53+- （D ）i 53--5、（2011·福建卷文科）i 是虚数单位,1+i 3等于( )(A)i (B)-i (C)1+i (D)1-i6、（2013·重庆高考文科·Ｔ11）已知复数12z i =+（i 是虚数单位），则z = ．。
高考数学复数知识点总结
高考数学复数知识点总结数学是一门让许多人头疼的学科，而高考数学更是让许多学生感到困惑。
在高考数学中，复数是一个重要的知识点，也是许多学生比较薄弱的内容之一。
本文将对高考数学中的复数知识点进行总结，希望能够帮助广大学生更好地掌握这一部分内容。
首先，我们来回顾一下复数的定义。
复数是由实部和虚部组成的数，一般写作a+bi的形式，其中a和b分别表示实部和虚部。
实部是一个实数，而虚部则是一个纯虚数，即没有实数部分。
复数间的加法和减法与笛卡尔坐标系中的向量相似，实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
复数的乘法则遵循分配律，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
而复数的除法则需要用到共轭复数，即(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
接下来，我们来看一下复数的运算性质。
复数的加法和乘法封闭性是显而易见的，即两个复数之和（积）仍然是一个复数。
复数的减法和除法也满足封闭性。
此外，复数的乘法满足交换律，即(a+bi)(c+di) = (c+di)(a+bi)。
但是复数的加法和减法不满足交换律，即(a+bi) + (c+di) ≠ (c+di) + (a+bi)。
此外，复数的除法也不满足交换律，即(a+bi)/(c+di) ≠ (c+di)/(a+bi)。
在高考数学中，我们常常需要运用复数来解决实际问题。
特别是在解析几何中，复数可以帮助我们简化计算。
比如，在平面直角坐标系中，每个点可以用复数来表示。
复数的模表示了点到原点的距离，即|z| = √(x^2+y^2)。
而复数的幅角则表示了点与实轴正向之间的夹角，即arg(z) = arctan(y/x)。
利用复数的模和幅角，我们可以方便地进行平面向量的计算，包括向量的加减、数量积和向量积。
同时，复数在高考数学中也与多项式方程密切相关。
复数的定义可以用来解决多项式方程中出现的负根问题。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结复数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的常考知识点。
理解和掌握复数的相关知识，对于提高数学成绩和解决数学问题具有重要意义。
下面我们就来对高考中复数的知识点进行一个全面的总结。
一、复数的定义形如 a ＋ bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 为实数；当b ≠ 0 时，复数a ＋ bi 为虚数；当 a ＝ 0，b ≠ 0 时，复数 a ＋ bi 为纯虚数。
二、复数的表示形式1、代数形式：z ＝ a ＋ bi（a，b∈R）2、几何形式：在复平面内，复数z ＝a ＋bi 对应点的坐标为（a，b），其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数。
3、三角形式：z ＝ r（cosθ ＋isinθ），其中 r ＝√（a²＋ b²)，cosθ ＝ a/r，sinθ ＝ b/r。
4、指数形式：z ＝ re^（iθ)三、复数的运算1、复数的加法：（a ＋ bi）＋（c ＋ di）＝（a ＋ c）＋（b ＋d）i2、复数的减法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（a c）＋（b d）i3、复数的乘法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（ac bd）＋（ad ＋ bc）i4、复数的除法：（a ＋ bi）÷（c ＋ di）＝（ac ＋ bd)／（c²＋ d²) ＋（bc ad)／（c²＋ d²)i在进行复数运算时，要注意将复数的实部和虚部分别进行运算。
四、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作|z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)。
复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
五、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
若 z ＝ a ＋bi，则其共轭复数为z＝ a bi。
共轭复数的性质：1、 z ＋z＝ 2a（实部的 2 倍）2、 z z＝ 2bi（虚部的 2 倍）3、 z·z＝ a²＋ b²＝｜z|²六、复数的方程1、实系数一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）在复数范围内的根的判别式：△＝ b² 4ac当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程有两个共轭虚根。
高三复数知识点百度文库
高三复数知识点百度文库在高中数学课程中，复数是一个重要的概念。
复数是由实数与虚数相结合而成的数，广泛应用于科学、工程和数学领域。
而在高三阶段，学生们需要对复数的概念、性质和运算进行深入理解。
为了更好地掌握这些知识点，许多学生会利用互联网资源进行学习和查询。
其中，百度文库是一个常用的在线学习资源，提供了丰富的复数知识点资料。
首先，复数的定义是很重要的。
在百度文库中，我们可以找到有关复数定义的详细讲解。
复数可以表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
实部和虚部都是实数。
通过这样的定义，我们可以看到复数是一个在实数和虚数之间建立联系的数，它将实数轴与虚数轴联系在一起。
其次，复数的运算是高三复数知识点中的重要内容。
在百度文库中，我们可以找到有关复数加减乘除的具体运算法则。
例如，复数的加法可以简单地将实部和虚部分别相加。
复数的乘法则需要利用乘法公式进行计算。
这些运算规则能够帮助我们更好地处理复数的运算，提高计算的准确性和效率。
除了运算规则，百度文库还提供了复数的性质和特点的介绍。
例如，复数的共轭是指虚部取相反数的复数。
共轭可以用于求解复数的乘法和除法，以及简化复数的运算表达式。
此外，复数还具有模和论的概念。
复数的模就是复数到原点的距离，可以用勾股定理进行计算。
复数的论则是复数相对于实轴的旋转角度，可以用三角函数进行计算。
在高三阶段，学生们还需要了解复数的应用。
百度文库中提供了许多与复数应用相关的资料。
例如，复数可以用于解决二次方程的根的问题。
对于一些无理根的二次方程，通过引入复数，可以得到解的具体表示。
此外，复数还可以用于描述交流电路中的电流和电压，以及解决傅里叶级数等问题。
除了以上的内容，百度文库还提供了一些高级的复数知识点。
例如，复数的幂运算可以通过利用欧拉公式进行计算。
欧拉公式将复数的幂运算与三角函数和指数函数联系在一起，通过这样的公式，我们可以更方便地计算复数的高次幂。
此外，百度文库还提供了复数的三角形式和指数形式的表示方法，这些方法可以帮助我们更好地理解和应用复数的知识。
高考数学知识点复数
高考数学知识点复数复数是数学中一种重要的概念，也是高考数学中常见的知识点之一。
在学习复数的过程中，我们不仅需要掌握复数的定义、运算规则等基础知识，更要理解复数在实际问题中的应用。
本文将从复数的基本定义开始，逐步介绍其运算、表示形式和应用，帮助读者深入理解高考数学中的复数知识。
一、复数的基本定义及运算规则复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。
实数部分a可以看作是复数在实轴上的投影，而虚数部分bi则表示复数在虚轴上的投影。
复数的虚数部分可以用i来表示，i代表了虚数单位。
我们知道，i的平方等于-1，即i^2 = -1。
在进行复数的运算时，我们需要了解复数的加减乘除法规则。
两个复数相加时，实部和虚部分别相加；两个复数相减时，实部和虚部分别相减；两个复数相乘时，根据分配律展开运算，最后再利用i^2 = -1进行简化；两个复数相除时，一般将分子分母同时乘以共轭复数，然后再进行除法运算。
二、复数的表示形式和性质复数可以用不同的表示形式来表示，其中最常见的是代数形式和三角形式。
代数形式可以写成a+bi的形式，而三角形式则可以写成r(cosθ + isinθ)的形式。
其中，a+bi表示复数的实部和虚部，r表示复数的模，θ表示复数的辐角。
复数的辐角可以通过对应的实部和虚部计算得出。
对于两个复数的乘法运算，我们可以利用三角形式更方便地进行计算。
两个复数相乘，其模等于模之积，辐角等于辐角之和。
这个性质在高考数学中经常用到，在解决复数运算问题时非常实用。
三、复数的应用复数在实际问题中有着广泛的应用。
在电路分析中，复数可以用来表示电流和电压的相位关系；在信号处理中，复数可以用来表示信号的振幅和相位；在力学中，复数可以用来描述物体的振动和波动等。
在几何学中，复数可以用来表示平面上的点。
我们可以将平面上的一个点表示为复平面上的一个复数，通过复数的运算，可以进行平面上点的旋转、平移等操作。
这在解决几何问题时非常有用，有时可以简化问题的求解过程。
高三数学复数知识点
高三数学复数知识点复数是高中数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在高三数学复习中，复数的学习是一个重点和难点。
本文将以“高三数学复数知识点”为标题，以步骤思维的方式介绍复数的基本概念、运算规则和常见应用。
一、复数的基本概念复数是由一个实数部分和一个虚数部分组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
我们可以将复数理解为在平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标，这样就可以将复数与平面上的点一一对应。
二、复数的运算规则 1. 加法和减法：复数相加减的实部和虚部分别相加减。
例如，(3 + 2i) + (1 - i) = 4 + i，(3 + 2i) - (1 - i) = 2 + 3i。
2. 乘法：复数的乘法满足分配律和虚数单位的平方等于-1的性质。
例如，(3 + 2i) * (1 - i) = 5 + i。
3. 除法：复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现。
例如，(3 + 2i) / (1 - i) = 1.5 + 0.5i。
三、复数的常见应用 1. 解方程：复数可以用于解决一些实数范围内无解的方程，如x^2 + 1 = 0。
它的解为x = ±√(-1)，即x = ±i。
复数解在工程、物理等领域中有着重要的应用。
2. 极坐标形式：复数可以用极坐标形式表示，即z = r(cosθ +isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角。
极坐标形式可以简化复数的运算，特别适用于乘法和乘方运算。
3. 复数平面：复数可以表示为平面上的一个点，利用复数平面可以更直观地理解复数的性质和运算规则。
复数平面上的点与复数一一对应，使得复数的加减乘除等运算可以通过平面上的点的移动来实现。
总结：在高三数学复习中，复数是一个重要的知识点。
复数的基本概念包括实部、虚部和虚数单位i，复数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法。
高考文科数学复数知识点
高考文科数学复数知识点考生们都知道，高考是对学生多个学科知识的综合考察，其中数学作为一门重要科目，占据着不可忽视的地位。
而在数学的各个分支中，复数有着独特的地位和重要的作用。
本文将在不涉及政治的前提下，重点讨论高考文科数学中的复数知识点。
一、复数的定义和表示方法复数是数学中一种特殊的数，由一个实数和一个虚数单位构成。
复数的一般形式可以表示为a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
除了一般形式外，复数还可以用级数形式、极坐标形式等来表示。
二、复数的四则运算与实数相似，复数也可以进行加法、减法、乘法、除法运算。
1. 加法：复数相加的运算很简单，只需要将实部和虚部分别相加即可。
2. 减法：复数相减的运算与加法相似，只需要将实部和虚部分别相减即可。
3. 乘法：复数的乘法可以根据分配律进行展开计算。
4. 除法：复数的除法可以通过乘以共轭复数再进行分子分母的展开，最后进行简化。
三、复数的平方根和立方根1. 平方根：复数的平方根需要根据复数的实部和虚部进行求解，先将复数转换为极坐标形式，然后进行开方运算。
2. 立方根：与平方根类似，求解复数的立方根需要将复数转换为极坐标形式，并进行开方运算。
四、复数的实部和虚部1. 实部：复数的实部即为复数的实数部分，可由一般形式表示。
2. 虚部：复数的虚部即为复数的虚数部分，可由一般形式表示。
五、复数的共轭对于复数a+bi，称a-bi为其共轭复数。
两个共轭复数的和为实数，差为虚数。
六、复数在方程中的应用复数在高等数学中有广泛的应用，特别是在解方程的过程中。
对于一些高阶方程，可能会出现复数解，这时复数的性质就能派上用场。
总结起来，高考文科数学中的复数知识点包括了复数的定义和表示方法、四则运算、平方根和立方根、实部和虚部、共轭以及在方程中的应用。
虽然这些知识点相对来说较为抽象和复杂，但只要掌握了基本的概念和运算方法，相信大家能够应对高考中的复数相关题目。
高三数学复数部分的知识点
高三数学复数部分的知识点复数是数学中的一个重要概念，它能够用于解决许多实际问题和数学题目。
本篇文章将介绍高三数学复数部分的知识点，以帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，形如a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i^2=-1。
实数部分a可以为0，虚数部分bi可以为0。
当虚数部分bi为0时，复数退化为实数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 共轭形式：a-bi，其中a和b均为实数。
共轭形式表示的是与原复数的实部相同而虚部的符号相反的复数。
3. 模长与幅角形式：复数可以表示为模长和幅角的形式，即z=r(cosθ+isinθ），其中r为模长，θ为幅角。
三、复数的运算1. 复数的加法与减法：复数相加减时，将实部相加减，虚部相加减，得到结果的实部与虚部。
2. 复数的乘法：复数相乘时，实部相乘减虚部相乘，得到结果的实部与虚部。
乘法公式：(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i3. 复数的除法：复数相除时，分子分母同时乘以共轭复数的分母，然后按照乘法规则进行运算。
四、复数的特殊运算1. 幂运算：复数的幂运算可以通过模长和幅角进行计算。
具体步骤为：将复数转化为模长和幅角形式，然后对模长进行幂运算，对幅角进行乘法运算。
2. 倒数运算：复数的倒数可以通过取共轭复数再除以模长的平方来计算。
五、复数在解析几何中的应用1. 复平面：复数和平面上的点一一对应，可以用复平面表示。
实部在横轴上表示，虚部在纵轴上表示。
2. 复数与向量：复数可以用来表示平面上的向量，实部表示向量在横轴上的分量，虚部表示向量在纵轴上的分量。
3. 复数的模长与距离：复数的模长表示复数对应点到原点的距离，可以用来表示两个点之间的距离。
4. 复数的幅角与旋转：复数的幅角表示复数对应向量与横轴的夹角，可以用来表示向量的旋转角度。
六、应用示例复数的知识在各个领域都有广泛的应用。
高三复数的知识点归纳总结
高三复数的知识点归纳总结复数是数学中的一个重要概念，它在高中数学中被广泛研究和应用。
掌握复数知识对于理解和解决各类数学问题具有重要意义。
在高三阶段，学生需要对复数的基本概念、运算规则以及与其他数学知识的联系有较为深入的了解。
本文将对高三阶段复数的相关知识点进行归纳总结。
1. 复数的定义和性质复数是由实数和虚数组成的数。
其中，实数部分与虚数部分分别用虚数单位i表示，虚数单位i的平方为-1。
复数可以表示为 a+bi 的形式，其中a为实部，b为虚部。
复数包含了实数，并且可以在复平面上进行表示。
复数的共轭、模、幂等性质是复数运算的重要基础。
2. 复数的四则运算复数的加减法与实数的加减法类似，分别对实部和虚部进行运算。
复数的乘法可以使用分配律展开计算，利用虚数单位i的平方性质化简计算。
复数的除法可以通过乘以共轭形式，并结合有理化等技巧化简问题。
四则运算的结果仍为复数，需要对结果进行合并和化简。
3. 复数的模与论证复数的模是复数到原点的距离，也是复数自身的绝对值。
根据复数的定义，模的计算公式为√(a^2 + b^2)，其中a和b分别为实部和虚部。
复数的模具有非负性、三角不等式等性质。
通过模也可以计算复数的幂，利用三角函数的定义，可以将复数表示为模与辐角的形式，其中辐角表示复数与正实轴的夹角。
4. 复数与二次函数复数与二次函数之间存在着密切的联系。
对于二次函数的解，当判别式为负时，存在共轭的复数解；当判别式为零时，存在重根的解；当判别式为正时，存在两个不同的实数解。
在解二次函数问题时，通过运用复数知识可以得到更全面的解释和解答。
5. 复数平面与向量复数平面也称为阿尔及利亚平面，它由实轴和虚轴构成。
复数可以在复数平面上表示为点，复数的加减乘除运算可以通过复数平面上的几何对应关系进行解释和理解。
复数的模可以表示为原点到该复数所对应的点的距离。
复数还可以和向量一一对应，在复数平面上的几何运算可以转化为向量上的运算。
高三艺术特长生数学专题复习——复数与算法
《复数》第二轮专题复习一、默写主要知识点 （一）复数1、虚数单位i 的性质=2i _________________________,______,____,3424144====+++n n n n i i i i2、复数的分类：（1）若bi a z +=表示实数，则___________（2）若bi a z +=表示虚数，则______ （3）若bi a z +=表示纯虚数，则__________ 3、复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di （1） z 1± z 2 =___________（2）z 1.z 2 = (a+bi)·(c+di)＝_____________ （3）z 1÷z 2 =_______________ (z 2≠0) ;▲________))((=-+bi a bi a _______)1(2=+i ___)1(2=-i 4、复数的几何意义),(),b a oz b a Z bi a z =↔↔+=→（点5、复数bi a z +=的共轭________=-z ，____________=z二、强化训练1、(11年新课标)2．复数512ii=-（ ） A ．2i - B ．12i - C ． 2i -+ D ．12i -+2、(12年新课标)（2）复数z ＝－3+i2+i的共轭复数是（ ）（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i 3、(13年新课标1)2．212(1)ii +=-（ ） （A ）112i --（B ）112i -+ （C ）112i + （D ）112i -4、(14年新课标1)设i iz ++=11，则=||z （ ） A.21B. 22C. 23D. 25、(15年新课标1)（3）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（ ） （A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i6、(2016年全国1) (2)设))(21(i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）37、(11年新课标)5．执行图1的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ． 720C ． 1440D ． 50408、(13年新课标1)7．执行图3的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-9、(13年新课标2)7．执行图4的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（A ）1（B ）1+（C ）1++++ （D ）1++++10、(14年新课标1)9.执行图5的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203B.72C.165D.158开始输入Nk =1，p =1p =p ×k k<N输出pk =k +1 结束是否 开始输入tt < 1s =3ts =4t+t 2输出s结束是否图1图311、(15年新课标1) 8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
高考数学复数知识点课本
高考数学复数知识点课本一、复数的定义和表示方式在数学中，复数是由实数和虚数部分组成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i是虚数单位，满足i²=-1。
二、复数的运算规则1. 复数的加法和减法对于两个复数a+bi和c+di，它们的加法减法可以按照实部和虚部分别相加减，即：加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i2. 复数的乘法和除法对于两个复数a+bi和c+di，它们的乘法和除法规则如下：乘法：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i3. 复数的共轭和模对于一个复数a+bi，它的共轭复数是a-bi，记作conj(a+bi)。
复数的模是指复数与原点距离的绝对值，可以表示为|a+bi| =√(a²+b²)。
4. 复数的指数形式复数也可以用指数形式表示，即a+bi = r * e^(θi)，其中r为模的绝对值，θ为辐角，满足a=r*cos(θ)，b=r*sin(θ)。
三、复数在数学问题中的应用1. 解方程在解一些特定的方程时，复数的概念可以起到重要的作用。
例如，某些方程的解在实数域中无解，但在复数域中存在解。
2. 向量的运算在向量运算中，复数可以表示为有向线段或向量，可以进行向量的加法、减法和乘法运算，方便解决相关问题。
3. 电路理论复数的运算和表示方式在电路理论中有广泛的应用。
通过引入复数的概念，可以简化电路分析和计算过程。
4. 振动和波动在振动和波动的研究中，复数可以用来描述振荡的周期性变化，方便分析和求解相关问题。
综上所述，复数是数学中重要的概念之一，它既包含了实数部分，又包含了虚数部分，可以方便地进行运算和表示。
高三文科数学复数知识点
高三文科数学复数知识点复数是高中数学中非常重要的概念之一。
在文科数学的学习中，掌握好复数的知识点对于解决各类问题非常有帮助。
本文将从复数的定义、运算规则、常见定理和应用等四个方面进行介绍。
一、复数的定义复数是由实数和虚数组成的数，并且虚数单位i满足i^2=-1。
复数的一般形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，a和b都是实数。
二、复数的运算规则1. 复数的加法和减法：按照实部和虚部分别相加或相减。
2. 复数的乘法：使用分配律展开并注意i^2=-1的特性。
3. 复数的除法：将被除数和除数同时乘以共轭复数，利用分子分母的虚部相消求解。
三、常见定理1. 欧拉公式：e^(iπ)+1=0，该公式是复数运算中最重要的公式之一，将三个重要的数学常数联系在了一起。
2. 共轭复数定理：复数a+bi的共轭复数为a-bi，共轭复数具有共轭关系。
3. 复数的模和幅角：复数a+bi的模为√(a^2+b^2)，幅角θ满足tanθ=b/a，其中θ为主值。
四、复数的应用1. 解方程：复数可以用于解决无解或者无实数解的方程，如x^2+1=0的解为±i。
2. 信号处理：复数可以表示实数信号的频谱，提供了一种分析和处理信号的有效方法。
3. 电路分析：复数可以应用于电路分析中的谐振、交流电路等问题，简化了计算过程。
4. 几何问题：复数可以用于解决平面几何中的旋转、平移等问题，使得计算更加简单和直观。
综上所述，高三文科数学中的复数知识点包括复数的定义、运算规则、常见定理和应用。
掌握这些知识点对于解决各类问题非常重要。
通过学习复数，我们能够更加深入地理解数学的抽象概念和应用，提高数学解题的能力和灵活性。
希望同学们能够认真学习并灵活运用复数知识，取得优秀的成绩！。
高三文科数学复习课件：(复数)
O
x
以点(a，b)为圆心，r为半径的圆.
问题探究
满足|z－(a＋bi)|＝|z－(c＋di)|的复 数z对应复平面上的点的轨迹是什么？
yZ
Z2
O
Z1 点(a，b)与点(c，d)
的连线段的垂直平 x 分线.
问题探究
设a为非零实数，则满足|z－a|＝|z＋ a|，|z－ai|＝|z＋ai|的复数z分别具 有什么特征？
y
b
Z：a＋bi
| a + bi |= a2 + b2
Oa x
设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di， (a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
a + bi c + di
=
(a + bi)(c (c + di)(c -
di) di)
=
ac + bd c2 + d2
+
bc c2
+
ad d2
i
复数z的共轭复数记作z，虚部不为零的
湖南师大附中 刘东红
1.复数的概念以及复数相等的充要条件； 2.复数的代数表示法及其几何意义； 3.复数代数形式的四则运算.
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之 间的关系用韦恩图怎样表示？
复数 纯虚数 实数
虚数
虚数不能比较大小.
复表数示，z＝向a量＋ObuuiZur（的a，模b叫∈做R）复数可z的以模用，向记量作 |z|或|a＋bi|
若|z－a|＝|z＋a|，则z为纯虚数或零；
若|z－ai|＝|z＋ai|，则z为实数.
பைடு நூலகம்
两个共轭复数也叫做共轭虚数，
z 与z 关于实轴对称
复数讲义(绝对经典)
复数一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1． 复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2． 复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bic di++ 8． 除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c d c d +-=+++②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++．∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法． 9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
高三高考数学复习课件13-5复数
p4：若复数z∈R，则z∈R. 其中的真命题为（ ）
A.p1，p3 C.p2，p3
B.p1，p4 D.p2，p4
【解析】 设 z＝a＋bi（a，b∈R），z1＝a1＋b1i（a1，b1∈R）， z2＝a2＋b2i（a2，b2∈R）.
对于 p1，若1z∈R，即a＋1 bi＝aa2－＋bbi2∈R，则 b＝0⇒z＝a＋bi ＝a∈R，所以 p1 为真命题.
【思维升华】 解决复数概念问题的方法及注意事项 （1）复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的 实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形 式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可. （2）解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R） 的形式，以确定实部和虚部.
跟踪训练 1 （1）已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若
§13.5 复数
1.复数的有关概念 （1）定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中a 叫做复数z的_实__部__，b叫做复数z的_虚__部__.（i为虚数单位）
（2）分类：
（3）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔___a_＝___c_且___b_＝___d__（a，b，
c，d∈R）. （4）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔__a_＝___c_，___b_＝___－___d_
（a，b，c，d∈R）.
（5）模：向量 的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作
_|_a_＋__b_i|_或_|_z|_，即|z|＝|a＋bi|＝
（a，b∈R）.
2.复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点__Z_（__a_，__b_）_及平面向量
＝（a，b）（a，b∈R）是一一对应关系.
3.复数的运算 （1）运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c， d∈R.
高考数学复习考点知识归类讲解专题13复数
高考数学复习考点知识归类讲解13 复数一、考点归类：1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．二、知识点梳理： 1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )平面向量OZ →＝(a ，b )．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －adc ＋d i(c ＋d i≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．三、例题：例1.（2020年全国1卷理数，1）若1i z =+,则22z z -=( )A.0B.1 2 D.2【答案】D【解析】法一： 221i 2(1i)2(1i)2i 2i 222z z z =+∴-=+-+=--=-=，.故选D. 法二： 21i 2221i 222z z z z z =+∴-=-=-+，.故选D. 例2.（2020年全国3卷理数，2）复数113i-的虚部是（ ）A.310-B.110-C.110D.310【答案】D【解析】113i 13i 13i 13i (13i)(13i)101010++===+-+-，所以虚部为310. 例3.（2020年全国2卷理数，15）设复数1z ，2z 满足122z z ==，12i z z +=，则12z z -=_______.【答案】【解析】解法一 设()11111i ,z x y x y =+∈R ，()22222i ,z x y x y =+∈R ，则由122z z ==，得222211224x y x y +=+=.因为()121212i i z z x x y y +=+++=，所以()()222121212z z x x y y +=+++=22221122121222x y x y x x y y +++++=22121282214x x y y ++=+=，所以1212224x x y y +=-，所以()121212i z z x x y y -=-+-==解法二 设1i(,)z a b a b =+∈R ，则2(1)i z a b =+-，则222122224)(1)4z a b z a b ⎧=+=⎪⎨=+-=⎪⎩，，即2242a b b ⎧+=⎪+=，，所以22212(2(21)z z a b -=-+-=()224)44442412a b b +-++=⨯-⨯+=，所以12z z -=.解法三 题设可等价转化为向量a b ，满足||||2==a b ，+=a b ，求||-a b .因为2222()()2||2||++-=+a b a b a b ，所以24()16+-=a b ，所以||-=ab ，即12z z -=.解法四 设12i z z z +==，则z 在复平面上对应的点为P ，所以12||2z z z +==，由平行四边形法则知OAPB 是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为1222z z -==. 例4.（2019全国II 卷）设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由已知得：z =-3-2i,对应点点为（-3，-2），在第三象限。
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第13讲复数
【基础知识】
1.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示.
2. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当0时，复数(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数叫做虚数；当0且b≠0时，叫做纯虚数；当且仅当0时，z就是实数0.
3.的周期性：41, 421, 43, 41
4.复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么，
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
5.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数例如：与互为共轭复数
6．复数的四则运算：
①
②
③
【基础训练】
1、(2013·浙江高考文科)已知i是虚数单位,则(2)(3)= ( )
A.5-5i
B.7-5i
C.5+5i
D.7+5i
2、（2010·湖南高考文科）复数等于（）
(A)1 (B)1 (C)-1
(D)-1
3、（2013·辽宁高考文科）复数的模为（）
4、（2013·湖南高考文科）复数·(1)(i为虚数单位)在复平面上对应的
点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
【典例分析】
1、（2013·新课标Ⅰ高考文科）（）
A. B. C. D.
2、（2013·山东高考文科）复数，则（）
A.25
B.
C.5
D.
3、（2013·江西高考文科）复数（i为虚数单位）在复平面内所
对应的点在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4、（2012·新课标全国高考文科）复数z＝的共轭复数是（）
（A）2 （B）2－i （C）－1 （D）－1－i
【提高训练】
1、（2011·湖南高考文科）若a、为虚数单位，且()，则（）
（A）11 （B）11 （C）11 （D）11
2、（2013·北京高考文科）在复平面内，复数对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3、（2012·湖南高考文科）复数（1）（i为虚数单位）的共轭复数是( )
（A）-1 (B)-1 (C)1
(D)1
4、（2012·山东高考文科）若复数z满足（为虚数单位），
则为（）
（A）（B）（C）（D）
5、（2011·福建卷文科）i是虚数单位,13等于( )
(A)i (B) (C)1
(D)1
6、（2013·重庆高考文科·Ｔ11）已知复数（是虚数单位），则
．。