第五章连续时间信号的抽样与量化

F ( jω ) 要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里叶变换 。
ωτ 已知 Gττ ( t ) ↔ Sa 2 ωτ 令 = 100ω , 则τ ＝200 2 ω ( t ) ↔ 200 Sa (100 所以 G200
)
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1 即 G200 (t ) ↔ Sa(100ω) 200 利用傅里叶变换的对称性 1 π G200 (ω) = G200 (ω) Sa(100t ) ↔ 2π ⋅ 200 100 f(t)的波形和频谱图如下
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1 F1 s ( jf − jnfs ) Ts
1 F1 ( jf + jfs ) Ts
1 F1 ( jf ) Ts
1 F1 ( jf − jfs ) Ts
− fs − fa
fa
fs
f
通常将旨在减小抽样频率混叠效应的滤波器 称抗混叠滤波器，它实际是一种具有较好截止 特性的低通滤波器，一般具有-50～-60dB/倍频 程衰减率。
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（2）频谱结构
= Fs ( jω ) 1 F ( jω ) ∗ P ( jω ) ] [ 2π
n = −∞ ∞
p( t ) ↔ = πP ( jω ) 2
∑ P δ ( ω − nω )
n s
nωsτ p( t )的谱系数 Pn = Sa Ts 2
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第5章 连续时间信号的抽样

5.2 时域抽样定理（8） 5.3 频率混叠效应和抽样频率的选择（28） 5.4 利用内插从样本值重建信号（35） 5.5 频域抽样定理（52） 5.6 信号的截断与时窗（56） 5.7 连续时间信号的量化（60）
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f (t )
π
100
F( ωj
)
1
−
π π 100 100
t
− 100
O
100
ω
ωm = 100 rad/s
ωm 50 ∴ fm = = Hz 2π π
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最高抽样频率（奈奎斯特频率）为
100 = f s 2= fm Hz π
奈奎斯特间隔（即最大允许抽样间隔）为
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f (t )
Ts 2Ts
f ( n)
n
f ( n) = f ( t ) t = nT
s
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谁提出信号抽样
Nyquist ， 美 国 物 理 学 家 ， 1889 年出生 在瑞典。 1907 年 移 民到美国并于 1912 年进入北达 克塔大学学习。 1917 年在耶鲁 大学获得物理学博士学位。 1917～1934年在AT&T公司工作， 后转入Bell电话实验室工作。 1927 年， Nyquist 确定了对某 一带宽的有限时间连续信号进 Harry Nyquist(1889 – 1976) 行 抽 样 ， 为 不 使 原 波 形 产 生 “ 半波损失 ” ，抽样率至少应 为信号最高频率的 2 倍，这就是 著名的Nyquist抽样定理。
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例如：中央人民广播电台 开篇录音 数字传输有效抵抗
信道干扰，音质好
模拟信号传输
数字信号传输
如何将模拟信号转化为数字信号？即信号的 数字采集，这种转化应是以不丢失模拟信号的 信息为原则 如何从连续时间信号的离散时间样本不失真 地恢复原来的连续时间信号？
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− ωm < ω < ωm
= p( t ) δT ( t ) → P (jω )
时域 相乘 频域 卷积
1 = Fs (jω ) F (jω ) ∗ P (jω )] [ 2π
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∞
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2π = δT (jω ) Ts
n= −∞
∑ δ (ω − nω )
s
= ωs
τ
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频谱结构图示
f(t) 1
F ( jω )
o p(t) 1
t
oω m − ωm
ω
τωs
P ( jω )
2π
τ
o Ts
f s (t )
t 相 乘 卷 积
− ω so ω s
τ
ω
τ F s ( jω )
Ts
o T s
t
o − ωs ωm ωs
ω
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1 Fs ( jω ) = 2π
n= −∞
∑ δ (ω − nω )
s
∞
2π F (jω ) ∗ T s
∞ n= −∞
δ (ω − nωs ) ∑ n= −∞
∞
1 = 有何关 Ts 系？
跟 F (jω )
∑ F [ j(ω − nω )]
s
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f= fa ( t ) + fb ( t ) 2 (t ) f4 ( t ) = fa ( t ) * fb ( t )
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5.3 频率混叠效应和抽样频率的选择
抽样定理的本质： 信号时域的离散化导致其频域的周期化， 而 fs ≥ 2 fm (ω s ≥ 2ωm ) 只是上述基本结论针对带 限信号的特例。 如果抽样时不满足采样定理的要求，就一 定会在fs(t)的频谱周期延拓时出现频谱混叠的现 象。
1 Ts = ：最大抽样间隔，“奈奎斯特抽样间隔”。 2 fm
fs = 2 fm：最低抽样频率，“奈奎斯特抽样频率”
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例如音频信号：0～3.4 kHz，
f m = 3.4 k Hz, f s ≥ 2 f m ,
1 = fs min 6800 = Hz, Ts max , 2 fm 1 若取则 = fs 8000 Hz, = Ts = 125µ s 8000
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5.2 时域抽样定理
抽样就是利用周期抽样脉冲序列p(t)，从 连续信号f(t) 中抽取一系列离散样值，即离散 时间信号fs(t) 。
f (t )
f s ( t ) = f ( t ) p( t )
fs ( t )
fs ( t )
f (t ) f (t )
τ →0
周期冲激 序列
Ts
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第 5章
连续时间信号的抽样与量化
信息与通信工程学院 李化欣
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5.1 引言
在一定条件下，一个连续信号完全可以用 该信号在等时间间隔点上的瞬时值（样本值） 表示，并且可以利用这些样本值把信号全部恢 复出来，这个性质来自于抽样定理。 例如，电影就是由一组按时序的单个画面 组成，当以足够快的速度看这些时序样本时， 我们就会感觉到是原来连续活动景象的重现。
周期冲激序列抽样信号的频谱
f(t) 1
F ( jω )
o p(t)
(1)
t
oω m − ωm
P ( jω )
ω
(ω s )


o
TS fs(t)
t 相 乘

− ωs
o
卷 积


ωs ω F s ( jω ) 1 Ts

o T s
t
− ωs
oω m ω s
ω
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抽样频率对语音信号的影响 fs=44,100 Hz fs=22,050 Hz fs=11,025 Hz fs=55,12 Hz
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Hale Waihona Puke Baidu
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求信号f (t ) = Sa (100t )的频宽，若对f (t )进行均匀冲激 抽样，求奈奎斯特频率f s 和奈奎斯特抽样间隔Ts。
1π T = = s s f s 100
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已知信号fa(t)的频宽为20Hz， fb(t) 的频宽为30Hz，求对下列信号进行周期冲激 序列抽样时的奈奎斯特采样频率 f s 。
t f1 ( t ) = fa 2
f= fa ( t ) ⋅ fb ( t ) 3 (t )
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频谱混叠效应
1 F ( jf − jnfs ) Ts 1 F ( jf + jfs ) Ts
1 F ( jf ) Ts
镜像频率叠加结果
1 F ( jf − jfs ) Ts
− fs
fs − 2
0
fs 2
fs
f
折叠频率
高频部分的镜像
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τ
P ( jω π )Sa 2
Fs ( jω )
n= −∞
∑T
∞
∞
τ
s
nωsτ 2
δ ( ω − nωs )
nωsτ F ( jω ) ∗ δ ( ω − nωs ) Sa ∑ Ts n = −∞ 2 τ ∞ nωsτ Sa F [ j(ω − nωs ) ] ∑ Ts n = −∞ 2
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结论：
1 Fs ( jω ) = Ts
n =∞ n =∞
∑ F [ j (ω − nω )]
s
采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿 频率轴，以抽样角频率 ωs = 2π Ts 为周期进行周期延拓而得到的，幅度为
1 原模拟信号频谱幅度的 。 Ts
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ω
−ωs −ωm 0 ωm ωs 2ωs
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5.2.3 时域抽样定理
f (t ) 一个频带受限的信号，若频谱只占据 f (t ) −ωm ~ +ωm的范围，则信号可用等间隔的 抽样值来惟一地表示。其抽样频率必须满足：
fs ≥ 2 fm (ω s ≥ 2ωm )
ω S > 2ω m 1

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由抽样信号恢复原信号 理想低通滤波器
Ts H ( jω ) = 0
F S ( jω )
TS

− ωS
ω < ωc ω > ωc
oω m
ωS − ωm
ωS
ω
H ( jω )
F ( jω ) = Fs ( jω ) ⋅ H ( jω ) ↔ f ( t ) = fs ( t ) ∗ h ( t )
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模拟信号数字处理框图
f a (t )
f (t )
f ( n)
抗混叠滤波器
y ( n)
A/D变换器
y (t )
数字信号处理器
y a (t )
D/A变换器
模拟滤波器
抽样是从连续信号到离散信号的桥梁，也是对 信号进行数字处理的第一个环节
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s
= ∑ f (nTs )δ (t − nTs )
已抽样信号 和原模拟信 号的时域关 系表达式
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抽样信号频谱和原信号频谱的关系
f ( t ) → F (jω ) fs ( t ) → Fs (jω )
fs = ( t ) f ( t ) ⋅ δT ( t )
或者抽样间隔满足：
1 Ts ≤ 2πfm ) ( ωm = 2 fm
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奈奎斯特(Nyquist) 抽样频率和抽样间隔 重建原信号的必要条件：
2π ωs = = 2π ⋅ f s ≥ 2ω m = 2 ⋅ 2π f m Ts
不满足此条件，就会发生频谱混叠现象。
TS
− ωC o ωC
ω
滤除高频成分，即可恢复原信号
1
F ( jω )
oω m − ωm
ω
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5.2.2 矩形脉冲序列抽样
（1）抽样信号
o f(t)
f (t )
fs ( t )
p(t)
t
o
TS
fS(t)
t
f= f (t) ⋅ p(t) s (t)
o
TS
t
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5.2.1 理想抽样（周期冲激序列抽样）
= p( t ) δ= T (t )
n= −∞
∑ δ ( t − nT )
s +∞
+∞
频谱又如 何变化？
( t ) f ( t ) ⋅ δT ( t ) fs =
= f (t ) ⋅
n =∞ n =∞
n= −∞
∑ δ ( t − nT )
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可能出现的几种情况（以理想抽样为例）
1 F (jω ) s Ts
ω
−ωs −ωm 0 ωm ωs
1 Ts
ω s > 2ωm
Fs (jω )
ω
−ωs −ωm ωm ωs
ω s = 2ωm
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1 Ts
Fs ( jω )
ω s < 2ωm
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减小频率混叠效应有两种途径：
（1）提高信号的抽样频率，即减小抽样周 期，但是代价是抽样更多的数据； （2）对被抽样的信号预先进行抗混叠滤波 处理，将非带限信号变成带限信号，然后按抽 样定理抽样。 F ( jf )
0
H ( jf ) F1 ( jf )
f
− fa
fa
f
− fa
fa
f
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