第五章连续时间信号的抽样与量化
采样与调制
信号与系统
第五章
8
离散信号可以通过对连续信号抽样得到；连 续信号可以通过抽样转化为离散信号，从而可 以用离散时间系统进行处理。但是，这牵涉到 两个问题： 1. 用什么方法进行抽样？ 2. 如何抽样才能不损失原来信号中的信息？
信号与系统
第五章
9
§5.0 引言 §5.1 连续时间信号的时域采样定理 §5.2 信号的欠采样 §5.3 离散时间信号的时域采样定理 §5.4 连续时间系统的离散时间实现 §5.5 正弦载波幅度调制
n
x(nT ) (t nT )
–c
H ( j)
T
c
xr (t )
图5-4 恢复系统
内插：用样本来重建某一连续时间（某一变量）函数的过程。 这一重新过程结果既可以是近似的，也可以是精确的。 我们可以用上图所示的恢复系统来考虑上述问题。如果图中 的 H ( j) 为满足抽样定理的理想低通滤波器，则所得结果是 精确重建。
信号与系统 第五章
2
原始连续的图像
采样和量化后的结果
第五章
信号与系统
3
信号与系统
第五章
4
§5.0 引言 §5.1 连续时间信号的时域采样定理 §5.2 信号的欠采样 §5.3 离散时间信号的时域采样定理 §5.4 连续时间系统的离散时间实现 §5.5 正弦载波幅度调制
§5.6 脉冲幅度调制（PAM） §5.7 离散时间信号正弦幅度调制
T –c 0 c
x(t)
。
图5-3 用于恢复的低通滤波器
信号与系统
第五章
17
5.1.1 冲激串采样：采样定理
（2）当 s M M ，即 s 2 M 时 X p ( j ) 中各移位 X p ( j ) 就不能重显原信 X ( j) 之间存在重叠，这样在重叠处，
连续时间信号的抽样课件
02
抽样定理与抽样方法
奈奎斯特抽样定理
定义
奈奎斯特抽样定理指出，当连续 时间信号被抽样时，为了避免混 叠失真，抽样频率必须大于或等
于信号最高频率的两倍。
重要性
奈奎斯特抽样定理是连续时间信号 数字化的基础，它保证了数字信号 能够准确地还原原始信号，避免失 真和误差。
应用
在实际应用中，奈奎斯特抽样定理 常被用于确定ADC（模数转换器） 的抽样频率，以确保数字信号的完 整性和准确性。
连续时间信号的抽样课件
目录
• 连续时间信号与抽样概述 • 抽样定理与抽样方法 • 抽样误差与信号重建 • 抽样在数字通信系统中的应用 • 连续时间信号抽样的性能评估与优化 • 连续时间信号抽样的实验与仿真
01
连续时间信号与抽样 概述
连续时间信号的定义
定义
连续时间信号是指信号在时间上 是连续的，即信号的幅度可以随 时间的连续变化而任意变化。
抽样在通信系统中的重要性
信号传输
在通信系统中，通常只有离散时 间信号能够直接进行数字处理以 及传输，因此连续时间信号必须 经过抽样处理才能得到离散时间
信号。
节省带宽
通过抽样定理，我们可以确定抽 样频率，进而避免不必要的高频
分量，节省传输带宽。
便于数字化处理
离散时间信号更便于进行数字化 处理，如编码、压缩、加密等， 这些处理能增强通信系统的抗干
样本数量，提高重建精度。
迭代重建算法：迭代重建算法 可以通过多次迭代优化信号的 重建结果，逐步减小重建误差
，提高信号的重建精度。
压缩感知技术：压缩感知技术 可以在低于Nyquist采样率的条 件下重建信号，通过利用信号 的稀疏性，实现高精度的信号 重建。
抽样信号的量化-副本
抽样信号的量化1. 引言在数字信号处理中，抽样和量化是两个重要的步骤。
抽样是指将连续时间下的信号转换为离散时间下的信号，而量化那么是将离散时间下的信号转换为离散幅度的信号。
本文将探讨抽样信号的量化过程，介绍常用的量化方法及其应用。
2. 抽样过程在抽样过程中，信号在一定时间间隔内进行采样，得到离散时间下的样本。
采样频率是一个关键参数，决定了样本的数量和精度。
常见的抽样方法有理想抽样和实际抽样。
2.1 理想抽样理想抽样是指在无噪声和无失真的情况下进行的抽样过程。
在这种情况下，采样频率应满足奈奎斯特准那么，即采样频率必须大于信号中最高频率的两倍，以防止采样失真。
2.2 实际抽样实际抽样是指在存在噪声和失真的情况下进行的抽样过程。
由于信号存在噪声和失真，为了减小采样误差，通常会采用过采样和滤波的方法。
3. 量化过程量化是将抽样信号的幅度转换为离散幅度的过程。
量化分为线性量化和非线性量化两种方法。
线性量化将抽样信号的幅度按照一定的间隔进行离散化处理。
常见的线性量化方法有均匀量化和非均匀量化。
3.1.1 均匀量化均匀量化将抽样信号的幅度范围等分成假设干个区间，将每个区间的幅度平均映射到对应的离散幅度值。
例如，将幅度范围为0~10的信号均匀量化为8个离散幅度值，那么每个区间的幅度为10/8=1.25。
3.1.2 非均匀量化非均匀量化是根据信号的幅度分布情况进行离散化处理。
常见的非均匀量化方法有渐进式量化和自适应量化。
3.2 非线性量化非线性量化是根据输入信号的幅度值选择对应的离散幅度值。
非线性量化方法有压缩量化和展开量化。
由于量化过程的离散化处理，导致信号的连续性被破坏，从而引入量化误差。
量化误差是指量化后的离散幅度值与原始信号的幅度之间的差异。
量化误差可以通过信噪比(SNR)和均方根误差(RMSE)来评估。
5. 应用案例抽样信号的量化在数字音频、图像处理等领域有着广泛的应用。
5.1 数字音频在数字音频处理中，抽样信号的量化用于将模拟音频信号转换为数字音频信号。
信号与系统第5章习题答案
第5章连续时间信号的抽样与量化5.1试证明时域抽样定理。
证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为T(t)(tnT)sn由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：1F s ()F()T 2()1 T snFns式中F()为原信号f(t)的频谱，T ()为单位冲激序列T (t)的频谱。
可知抽样后信 号的频谱()F 由F()以s 为周期进行周期延拓后再与1T s 相乘而得到，这意味着如果 s s2，抽样后的信号f s (t)就包含了信号f(t)的全部信息。
如果s2m ，即抽样m 间隔 1 Tsf2m，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建 原信号。
因此必须要求满足1 Tsf2 m，f(t)才能由f s (t)完全恢复，这就证明了抽样定理。
5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：2t （1）Sa(50t)（2）Sa(100)2t （3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)SatSa解：抽样的最大间隔 T s 12f 称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率f s 2f m 称为奈奎m斯特速率，最低采样频率s 2称为奈奎斯特频率。
m（1）Sa(t[u(50)u(50)]，由此知m50rad/s ，则50)5025 f ， m由抽样定理得：最低抽样频率50 f s 2f m ，奈奎斯特间隔1 T 。
sf50s2t（2）)Sa(100)(1100200脉宽为400，由此可得radsm200/，则100f，由抽样定理得最低抽样频率m200f s2f m，奈奎斯特间隔1T。
sf200s（3）Sa[(50)(50)]，该信号频谱的m50rad/s(50t)uu50Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100rad/s10050Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低m抽样频率100f s2f m，奈奎斯特间隔1T。
信号与系统PPT 第五章 连续时间信号的抽样与量化
pt
他抽样方式，如零阶抽样
1
保持。
O Ts
t
M1
fs0 t
f t
M2
fs0 t
1
O Ts
t
p1 t
1．零阶抽样信号的频谱
设零阶抽样信号fs0t Fs0
fs t f t t nTs
n
Fs
1 Ts
n
F
ns
此线性系统必须 具有如下的单位 冲激响应
fs (t) 保 持得到fso (t).
f (t)
F
1
0 f (t)
t
s 2m
m m
1 Fs
Ts
0
TS f (t)
t
s m
m
s
s 2m
1 Fs
Ts
0
t
s m m s
TS
采样频率不同时的频谱
5.2.2 时域抽样定理 （1）时域抽样定理
一个频带受限的信号f (t)，若频谱只占据 m ~ m
的范围，则信号f t可用等间隔的抽样值来惟一地表示。
即： fs (t) f (t) p(t)
设连续信号 抽样脉冲信号 抽样后信号
f t F (m m)
pt P , fst Fs
复习
周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f1
f t F 2π Fn1 n1
n
其中：
F n1
1 T1
T1
2 T1
F (
s
)
S a0F ( )
S a
s
2
F (
s
)
设: 1,
Ts 2
s
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
般的周期信号都满足狄里赫利条件，所以以后不再 提及。 ❖ 由以上的讨论可知，任意一个周期信号均可以展开 成以下的傅里叶级数
信号与系统
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
n0tdt
T0 2
t0 T0 12 dt T0 t0
信号与系统
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
❖ 式中，和均为正整数；0 2/T0 。上式说明三角函数 集是正交函数集。由于三角函数集中的元素有无穷 多个，所以三角函数集是完备正交集。也就是说， 任意一个周期信号 f (t) 均可展开成傅里叶级数，但 前提是必须满足以下的狄里赫利条件：
❖
❖ 所以
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
(Cn e jn0t )*
Cn (e jn0t )*
C ejn0t n
(5-22)
❖
∞
f (t) C0 2 Re(Cn e jn0t )
(5-23)
n 1
❖ 2. 由指数函数集的正交性到指数形式的傅里叶级数
❖ 指数函数集 ejn0t n 0,1,2, 的元素为无数个不同角频率的虚
f
(t)
a0 2
N n 1
(ancos n0t
bnsin n0t)
信号与系统
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
❖ 【例5-1】 求图5.2所示标准方波信号的傅里叶级数展开式。
❖ 解：由图5.2可以看出，该方波信号的周期为 T0 。在一个
周期内，f (t) 的表达式为
f
(t t T0 2
§3.6--信号抽样与抽样定理(信号抽样-时域抽样定理-连续时间信号的重建--)
所以抽样信号的频谱为
其中， 为抽样角频率， 为抽样间隔 ， 为抽样频率，
在时域抽样（离散化）相当于频域周期化
频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为间隔周期地延拓，频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权。
(1) 冲激抽样若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。
谢谢大家
二、时域抽样定理
二、时域抽样定理
时域抽样定理的图解：假定信号 f (t)的频谱只占据 的范围，若以间隔 对 f (t)进行抽样，抽样信号 fs (t)的频谱 FS(ω) 是以 ωS 为周期重复，在此情况下，只有满足条件 各频移的频谱才不会相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息，完全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs (t) 。
§ 3.6 信号抽样与抽样定理
信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为抽样信号，用 fs (t) 表示。
一、信号抽样
抽样的原理方框图:
一、信号抽样
连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种现象称为频率混叠现象。
二、时域抽样定理
在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为 的理想低通滤波器，即可从抽样信号 fs(t) 中无失真恢复原连续信号 f (t) 。
三、连续时间信号的重建
因为所以，选理想低通滤波器的频率特性为若选定 ，则有理想低通滤波器的冲激响应为若选 ，则而冲激抽样信号为
连续时间信号离散化及恢复
5.1 抽样信号及其频谱
5.2 抽样定理 5.3 理想滤波器的分析 5.4 系统的无失真传输 5.5 连续时间信号的恢复
5.1 抽样信号及其频谱
前面各章主要研究的都是连续时间的信号与系统，它们的突出特点是比较直 观、物理概念比较明确。但在实际应用过程中，特别是随着计算机技术的发展，通 常是以离散信号或数字信号替换原来的连续信号，进而进行数字信号的加工或操 作。这就需要对连续时间信号进行抽样和量化，从而实现其离散化。连续信号的离 散化通常是以 A/D(模数转换器)来实现的，主要表现为两个过程：时间离散化称为 抽样， 这时信号在时间轴上是离散的， 但在幅值上却是连续的， 通常称为抽样信号， 用 f s (t ) 表示；如果对抽样信号的幅值也进一步离散化，此时信号在时间轴和幅值 上都是离散的，通常称为数字信号，用 f (nTs ) 表示，通常简单表示为 f (n) 。
Fs ()
周期重复而得到的，在此过程中幅度被抽样脉冲 p (t ) 的傅里叶变换 P( ) 的系数 c n 加权。因为 c n 只是 n(而不是 )的函 数，所以 F ( ) 在重复过程中不会使形状发生变化。
1.周期矩形脉冲抽样 图 5.1-1 所示的抽样原理从理论上分析可表述为 f(t)与抽 样脉冲序列PTs(t)的乘积，即
1 cn Ts
Ts 2 Ts 2
T (t )e
jns t
1 dt Ts
Ts 2 Ts 2
(t )e jn t dt
s
1 Ts
代入式(5.1-4)，得冲激抽样信号的频谱为
1 Fs ( ) Ts
n
F ( n )
s
1.4 连续时间信号的抽样
一、实际抽样与理想抽样的区别
实际抽样
理想抽样
主要讨论
抽样前后信号频谱会发生什么变化? 什么条件下，可以从抽样信号不失真地恢复出
原连续时间信号?
二、理想抽样过程
1.理想抽样信号与原连续时间信号在时间域上的关系
2.理想抽样信号与原连续时间信号在频率域上的关系
频谱分析
一束白光（太阳光）经过三棱镜后分解成 不同颜色（波段）的光，牛顿发现了这一现象并 提出谱（spectrum)的概念。
频谱分析
频谱分析
频谱分析
实际生活中，不存 在-500Hz这样的“负” 的频率，但在频谱分析 中会出现负频率，这是 为什么？
频谱分析
频谱分析采用傅里叶 变换，傅里叶变换是把信号 分解成复指数相加(而不是 把信号分解成余弦三角函数 相加)。这样，在频谱分析 过程中会出现负频率。
频谱分析
频谱分析
三、理想抽样信号还原回连续时间信号
四、连续时间信号抽样与还原仿真
时分复用的理论基础：抽样定理
ห้องสมุดไป่ตู้
五、实际抽样
信号与系统抽样与抽样定理
连续时间系统的频率响应
连续信号通过系统响应的频域分析
无失真系统与理想低通
抽样与抽样定理
调制与解调
连续时间信号的时域抽样
信号抽样的理论分析 时域抽样定理
抽样定理的工程应用
信号重建
实际应用举例
1、信号抽样的理论分析
f (t)
fs (t)
T (t)
冲激串 ->序列
f [k ]
2p F T t T
n
w nw
s
f s (t ) f (t ) T (t )
1 2p F FS jw [ F jw 2p T
n
w nw ]
s
1 Fs ( jw ) F [ j(w nws )] T n
wm 0 wm
w
ws 1.5wm
Fs ( jw )
1 T
混叠 (aliasing)
F[j(wws)] ...
ws ws wm
F(jw)
0
F[ j(w ws )] ...
ws
wm ws
w
2、时域取样定理
若带限信号f(t)的最高角频率为ωm，则信号f(t) 可以用等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔T 需不大于1/2fm，或最低抽样频率fs不小于2fm。
例5－9 已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号f(2t)， f(t)f(2t)， f(t)f(2t) 抽样不混叠的最小抽样频率。 解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得： 对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)； 对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)； 对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。
连续时间信号的抽样
s
2
的理想低通滤波器，就可得到
超过 h ，则各周期 s
2
丌失真的原信号频谱，也就是说，可以丌失真地还原出原来 的连续倍号。如果信号的最高频谱 延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象。
由此得出结论：要想抽样后能够丌失真的还原出原信号，则
抽样频率必须大于等于两倍信号谱的最高频率：
s 2h
这就是奈奎斯特(Nyquist)采样定理。即：
前者变为后者是通过“抽样”来完成的。抽样就是
利用周期抽样脉冲序列 即离散时间信号，以 即得到数字信号。
p(t ，从连续信号 )
xa (t ) 中抽取
一系列的离散值。得到抽样信号(或称抽样数据信号)
ˆ 表示。抽样是模拟信号数 xa (t )
字化处理的第一个环节。
再经幅度量化编码后 ˆ xa (t )
问题： 1.连续信号的抽样及抽样信号的频谱
4内插公式只限于使用在限带频带有限信号采样点间的值由各加权内插函数延伸叠加形成可以由无穷多个加权系数为的内插函数之和恢复序列到冲激串的转换理想低通利波采样周期t理想重构系统用宽度为的矩形周期脉冲代替冲激串不理想抽样一样抽样信号的频谱是连续信号的频谱的周期延拓同样遵循采样定理
连续时间信号的抽样不重建
• 现在讨论连续时间信号不离散时间信号的关系。由
1 Ts
Ts / 2
Ts / 2
n
(t nTs )e jk t dt
s
1 Ts / 2 (t )e jkst dt Ts Ts / 2 1 Ts
因此：
1 T ( j) FT [T (t )] FT [ Ts
1 jk s t e ] T k s
s 2 s 2
连续时间信号时域抽样定理
窄带高频信号的抽样
中心频率24kHz，带宽8kHz。 解调后语音信号
fsam=56kHz 抽样后的频谱。 解调后语音信号
fsam=8kHz 抽样后的频谱。 抽样后的语音信号(不解调)
4. 信号时域抽样理论分析
X(j)
1
-28 -24 -
0
24 28
f
fm=28 kHz
XXX((eeej))
111/TTT
1
m
0 m
X (e jT )
X [ j( sam )]
1 X ( j)
T
X [ j( sam )]
...
sam /2
...
sam
m 0 m
sam
4. 信号时域抽样理论分析
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
X (j)
sam 2m
1
m
0 m
X (e jT )
X [ j( sam )]
1 X ( j)
信号的抽样间隔T？ (4) 若抽样速率过高，如何降低已抽样信号的抽样速率？
4. 信号时域抽样理论分析
单边带信号与窄带高频信号的抽样问题
X (j
m
•••
sam
X(ej
1 T
sam m
•••
m sam
X (j
1
sam 2B
m m+B
0
m-B m
m 1000krad/s, B 8k rad/s
4. 信号时域抽样理论分析
下，信号x(t)可以用等间隔T的抽样值唯一表示。 抽样间隔T需满足：
T π m 1 (2 fm )
fsam 2fm （或ωsam 2ωm）
fsam= 2fm 为最小抽样频率，称为Nyquist Rate。
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱__信号与系统课设
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱__信号与系统课设1 引言随着科学技术的迅猛发展，电子设备和技术向集成化、数字化和高速化方向发展，而在学校特别是大学中，要想紧跟技术的发展，就要不断更新教学和实验设备。
传统仪器下的高校实验教学，已严重滞后于信息时代和工程实际的需要。
仪器设备很大部分陈旧，而先进的数字仪器(如数字存储示波器)价格昂贵不可能大量采购，同时其功能较为单一，与此相对应的是大学学科分类越来越细，每一专业都需要专用的测量仪器，因此仪器设备不能实现资源共享，造成了浪费。
虚拟仪器正是解决这一矛盾的最佳方案。
基于PC 平台的虚拟仪器，可以充分利用学校的微机资源，完成多种仪器功能，可以组合成功能强大的专用测试系统，还可以通过软件进行升级。
在通用计算机平台上，根据测试任务的需要来定义和设计仪器的测试功能，充分利用计算机来实现和扩展传统仪器功能，开发结构简单、操作方便、费用低的虚拟实验仪器，包括数字示波器、频谱分析仪、函数发生器等，既可以减少实验设备资金的投入，又为学生做创新性实验、掌握现代仪器技术提供了条件。
信号的时域分析主要是测量测试信号经滤波处理后的特征值，这些特征值以一个数值表示信号的某些时域特征，是对测试信号最简单直观的时域描述。
将测试信号采集到计算机后，在测试VI 中进行信号特征值处理，并在测试VI 前面板上直观地表示出信号的特征值，可以给测试VI 的使用者提供一个了解测试信号变化的快速途径。
信号的特征值分为幅值特征值、时间特征值和相位特征值。
尽管测量时采集到的信号是一个时域波形，但是由于时域分析工具较少，所以往往把问题转换到频域来处理。
信号的频域分析就是根据信号的频域描述来估计和分析信号的组成和特征量。
频域分析包括频谱分析、功率谱分析、相干函数分析以及频率响应函数分析。
信号在时域被抽样后,他的频谱X(j )是连续信号频谱X(j )的形状以抽样频率为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn加权。
《信号与系统》第五章
l) +
... +
c ∑ 2πδ (Ω − ( N − 1)2π / N
l)
例5－9，例5－10
离散时间信号
的傅立叶变换为（ ）
A.
B.
C.
D.
下面说法中正确的是( ) A. 离散时间信号 x[n]的绝对可和是其离散时 间傅立叶变换存在的充分条件。 B. 非周期离散时间信号 x[n]的偶部：频谱为 的实偶函数。 C. 非周期离散时间信号 x[n]的虚部：频谱为 的虚奇函数。 D. x[n]是实值的，则其频谱X(Ω)的模是Ω的 奇函数。
x[n] =
k =< N >
∑
c k ϕ k [ n] =
k =< N >
∑
ck e jk 2πn / N
（5－29）
¾ 将周期序列表示成式（5－29）的形式，即一组成谐波关系的复指 数序列的加权和，称为离散傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series），而系数 k 则称为离散傅里叶系数。
3 时域抽样定理
时域抽样定理：设x(t)是一个有限带宽信号，即在 | ω |> ωm时, X (ω) = 0 ，若 ω > 2ω 或T < 1/ 2 f ，则x(t)可以唯一地由其样 s m m 本x(nT)确定。
最低抽样频率 2ω m 称为奈奎斯特抽样率
练习：信号 x(t) =
sin2π t πt
的奈奎斯特抽样间隔为(
)
时域抽样（采样）定理的具体应用 ¾若已知x(t)，可通过以下办法得到x(t) 的样本 x(nT)并重建x(t): 1)将周期冲激串 p(t)与x(t)相乘，得到一冲激串 xp (t) 2） x p (t) 的依次冲激强度得到样本值x(nT) 3)将冲激串通过一个增益为T，截至频率大于 ω m 而小于 ωs −ωm 的 理想低通滤波器，那么该滤波器 的输出就是x(t)
信号与系统连续时间信号的抽样及重建
05
结论
抽样与重建的重要性和意义
信号的抽样是信号处理中的基础环节， 它涉及到信号的数字化和后续处理，是 实现信号传输、存储和复原的关键步骤。
连续时间信号的抽样及重建对于通信、 雷达、音频处理等领域具有重要意义， 它能够将连续时间信号转换为离散时间 信号，从而实现对信号的准确表示和传
输。
抽样及重建技术对于现代信号处理技术 的发展和应用起到了重要的推动作用， 是实现数字化、网络化、智能化的重要
系统
系统是指由若干相互关联、相互作用的元素组成的集合，具有特定功能或行为。 在信号处理中，系统通常指用来处理、变换或传输信号的物理装置或电路。
抽样与重建的意义
抽样
抽样是指将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。通过 抽样，可以将连续时间信号转换为可以在计算机或数字设备 中处理的离散时间信号。
重建
重建是指将离散时间信号恢复为连续时间信号的过程。在信 号处理中，重建是抽样的逆过程，通过重建可以将离散时间 信号还原为原始的连续时间信号。
THANKS
感谢观看
滤波器法
通过设计适当的滤波器，将离 散时间信号滤波为连续时间信 号。
近似法
对于某些特定类型的信号，可 以利用近似方法简化重建过程
。
04
抽样与重建的应用
在通信系统中的应用
数字信号传输
在通信系统中，连续时间信号通常被转换为数字信号进行传输。抽样是实现这一 转换的关键步骤，它通过对连续时间信号的离散化，将模拟信号转换为数字信号 ，以便于传输和存储。
抽样的数学表示
时域表示
连续时间信号 $f(t)$ 在时域上的抽 样可以表示为 $f(at)$，其中 $a$ 是抽样因子。
频域表示
连续时间信号 $f(t)$ 在频域上的抽 样可以表示为 $F(bu)$，其中 $b$ 是频率偏移因子。
信号与系统王明泉第五章习题解答
第5章 连续时间信号的抽样与量化5.1 学习要求（1）掌握时域抽样过程及时域抽样定理，会求已知信号的奈奎斯特频率； （2）深刻理解连续时间信号的内插恢复过程； （3）理解频域采样定理；（4）了解连续时间信号的离散处理过程。
5.2 本章重点（1）时域抽样定理及信号恢复的条件； （2）连续时间信号的内插恢复过程；5.3 本章的知识结构5.4 本章的内容摘要5.4.1 时域抽样定理所谓“时域抽样”就是利用抽样脉冲序列)(t p 从时域连续信号)(t f 中抽取一系列的离散样值，这种离散信号通常称为抽样信号，以)(t f s 表示。
时域抽样过程可以看作相乘过程，即抽样信号可用连续时间信号)(t f 与一开关函数)(t p （即抽样脉冲序列）相乘来表示，抽样以后的信号（即抽样信号）的表示式为：)()()(t p t f t f s（1）矩形脉冲序列的抽样如果抽样脉冲序列是周期为s T ，幅度为1，宽度为τ的矩形脉冲序列)(t p ，则它的频谱密度)(ωp 为：∑∞-∞=-=n snn a p )(2)(ωωδπω其中)2(22sinτωττωτωτs s s s s n n Sa T n n T a =⋅=，ss T πω2=设原连续时间信号)(t f 的频谱密度为)(ωF ，则根据频域卷积定理得到抽样信号)(t f s 的频谱为：)()2()](*)([21)(s s n ss n F n Sa T p F F ωωτωτωωπω-==∑∞-∞= （2）冲激序列抽样在抽样脉冲序列)(t p 中，当脉冲宽度τ很小时，抽样脉冲序列可以近似看成是周期为sT 的单位冲激序列，通常把这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。
设单位冲激序列)(t T δ为： ∑∞-∞=-=n sT nT t t )()(δδ输入的连续时间信号为)(t f ，则抽样信号为：()()()()()s T s s n f t f t t f nT t nT δδ∞=-∞=⋅=⋅-∑设原输入信号)(t f 的频谱密度为)(ωF ，而单位冲激序列)(t T δ的频谱密度)(ωδT 为：∑∞-∞=-=n s sT n T )(2)(ωωδπωδ 其中ss T πω2=则根据频域卷积定理得抽样信号)(t f s 的频谱为：∑∞-∞=-==n ssT s n F T F F )(1)](*)([21)(ωωωδωπω（3）时域抽样定理从前面可以看出,要想从抽样信号)(t f s 中恢复出被采样信号)(t f ，就要求能够从周期性延拓后的频谱中完整地分离出原信号的频谱，也就要求在频谱周期延拓过程中不发生频谱混迭现象，那么，如果被采样信号)(t f 是一频谱在),(m m ωω-以外为零的带限信号,则只要按照抽样频率m s ωω2≥或m s f f 2≥（其中s s T f 1=）进行等间隔抽样，抽样信号)(t f s 的频谱将不发生频谱混迭，从)(t f s 的频谱中就能完全地恢复原连续时间信号的)(t f 频谱，也可以说)(t f s 包含了原连续时间信号)(t f 的全部信息。
抽样量化编码原理
抽样量化编码原理
抽样量化编码是一种常用的信号处理技术，用于将连续时间的信号转化为离散的数值表示。
其原理基于信号在时间和幅度上的离散采样，以及将采样值量化为离散的数字码。
抽样：抽样是指在连续时间信号上以一定的时间间隔进行采样，得到一系列的采样值。
这样可以将连续时间信号转化为离散时间信号。
量化：量化是指将采样值映射到离散的数值表示。
通常采用的方法是将连续的信号幅度分成一定数量的区间，然后将每个区间映射到一个离散的数值。
这样可以将连续的信号幅度转化为离散的数字码。
在抽样量化编码中，抽样率和量化精度是两个重要的参数。
抽样率是指每秒取得的样本数，通常以赫兹（Hz）表示。
抽
样率越高，表示对信号的采样更为细致，能够更准确地还原原始信号。
量化精度是指将连续信号幅度映射到离散数值的精度。
通常通过比特数表示，比如8位、16位、24位等。
比特数越高，表
示量化精度越高，能够更准确地表示信号幅度变化。
抽样量化编码的过程可以简单概括为：
1. 按照设定的抽样率对连续信号进行采样，得到一系列的采样值。
2. 采用量化器对采样值进行量化，将其映射为离散的数字码。
3. 将量化后的数字码进行传输、存储或处理。
抽样量化编码广泛应用于数字音频、视频、图像等领域。
通过合理选择抽样率和量化精度，可以在保证信号质量的前提下控制数据量，实现有效的信号传输和存储。
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周期冲激序列抽样信号的频谱
f(t) 1
F ( jω )
o p(t)
(1)
t
oω m − ωm
P ( jω )
ω
(ω s )
o
TS fs(t)
t 相 乘
− ωs
o
卷 积
ωs ω F s ( jω ) 1 Ts
o T s
t
− ωs
oω m ω s
ω
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第5章 连续时间信号的抽样
ω
−ωs −ωm 0 ωm ωs 2ωs
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第5章 连续时间信号的抽样
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5.2.3 时域抽样定理
f (t ) 一个频带受限的信号，若频谱只占据 f (t ) −ωm ~ +ωm的范围，则信号可用等间隔的 抽样值来惟一地表示。其抽样频率必须满足：
fs ≥ 2 fm (ω s ≥ 2ωm )
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第5章 连续时间信号的抽样
5.2 时域抽样定理（8） 5.3 频率混叠效应和抽样频率的选择（28） 5.4 利用内插从样本值重建信号（35） 5.5 频域抽样定理（52） 5.6 信号的截断与时窗（56） 5.7 连续时间信号的量化（60）
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TS
− ωC o ωC
ω
滤除高频成分，即可恢复原信号
1
F ( jω )
oω m − ωm
ω
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5.2.2 矩形脉冲序列抽样
（1）抽样信号
o f(t)
f (t )
fs ( t )
p(t)
t
o
TS
fS(t)
t
f= f (t) ⋅ p(t) s (t)
o
TS
t
1π T = = s s f s 100
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第5章 连续时间信号的抽样
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已知信号fa(t)的频宽为20Hz， fb(t) 的频宽为30Hz，求对下列信号进行周期冲激 序列抽样时的奈奎斯特采样频率 f s 。
t f1 ( t ) = fa 2
f= fa ( t ) ⋅ fb ( t ) 3 (t )
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（2）频谱结构
= Fs ( jω ) 1 F ( jω ) ∗ P ( jω ) ] [ 2π
n = −∞ ∞
p( t ) ↔ = πP ( jω ) 2
∑ P δ ( ω − nω )
n s
nωsτ p( t )的谱系数 Pn = Sa Ts 2
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5.2 时域抽样定理
抽样就是利用周期抽样脉冲序列p(t)，从 连续信号f(t) 中抽取一系列离散样值，即离散 时间信号fs(t) 。
f (t )
f s ( t ) = f ( t ) p( t )
fs ( t )
fs ( t )
f (t ) f (t )
τ →0
周期冲激 序列
Ts
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第 5章
连续时间信号的抽样与量化
信息与通信工程学院 李化欣
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5.1 引言
在一定条件下，一个连续信号完全可以用 该信号在等时间间隔点上的瞬时值（样本值） 表示，并且可以利用这些样本值把信号全部恢 复出来，这个性质来自于抽样定理。 例如，电影就是由一组按时序的单个画面 组成，当以足够快的速度看这些时序样本时， 我们就会感觉到是原来连续活动景象的重现。
f (t )
π
100
F( ωj
)
1
−
π π 100 100
t
− 100
O
100
ω
ωm = 100 rad/s
ωm 50 ∴ fm = = Hz 2π π
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第5章 连续时间信号的抽样
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最高抽样频率（奈奎斯特频率）为
100 = f s 2= fm Hz π
奈奎斯特间隔（即最大允许抽样间隔）为
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结论：
1 Fs ( jω ) = Ts
n =∞ n =∞
∑ F [ j (ω − nω )]
s
采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿 频率轴，以抽样角频率 ωs = 2π Ts 为周期进行周期延拓而得到的，幅度为
1 原模拟信号频谱幅度的 。 Ts
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第5章 连续时间信号的抽样
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可能出现的几种情况（以理想抽样为例）
1 F (jω ) s Ts
ω
−ωs −ωm 0 ωm ωs
1 Ts
ω s > 2ωm
Fs (jω )
ω
−ωs −ωm ωm ωs
ω s = 2ωm
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1 Ts
Fs ( jω )
ω s < 2ωm
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模拟信号数字处理框图
f a (t )
f (t )
f ( n)
抗混叠滤波器
y ( n)
A/D变换器
y (t )
数字信号处理器
y a (t )
D/A变换器
模拟滤波器
抽样是从连续信号到离散信号的桥梁，也是对 信号进行数字处理的第一个环节
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F ( jω ) 要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里叶变换 。
ωτ 已知 Gττ ( t ) ↔ Sa 2 ωτ 令 = 100ω , 则τ ＝200 2 ω ( t ) ↔ 200 Sa (100 所以 G200
)
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1 即 G200 (t ) ↔ Sa(100ω) 200 利用傅里叶变换的对称性 1 π G200 (ω) = G200 (ω) Sa(100t ) ↔ 2π ⋅ 200 100 f(t)的波形和频谱图如下
ω S > 2ω m 1
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由抽样信号恢复原信号 理想低通滤波器
Ts H ( jω ) = 0
F S ( jω )
TS
− ωS
ω < ωc ω > ωc
oω m
ωS − ωm
ωS
ω
H ( jω )
F ( jω ) = Fs ( jω ) ⋅ H ( jω ) ↔ f ( t ) = fs ( t ) ∗ h ( t )
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减小频率混叠效应有两种途径：
（1）提高信号的抽样频率，即减小抽样周 期，但是代价是抽样更多的数据； （2）对被抽样的信号预先进行抗混叠滤波 处理，将非带限信号变成带限信号，然后按抽 样定理抽样。 F ( jf )
0
H ( jf ) F1 ( jf )
f
− fa
fa
f
− fa
fa
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例如：中央人民广播电台 开篇录音 数字传输有效抵抗
信道干扰，音质好
模拟信号传输
数字信号传输
如何将模拟信号转化为数字信号？即信号的 数字采集，这种转化应是以不丢失模拟信号的 信息为原则 如何从连续时间信号的离散时间样本不失真 地恢复原来的连续时间信号？
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第5章 连续时间信号的抽样
第5章 连续时间信号的抽样
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1 F1 s ( jf − jnfs ) Ts
1 F1 ( jf + jfs ) Ts
1 F1 ( jf ) Ts
1 F1 ( jf − jfs ) Ts
− fs − fa
fa
fs
f
通常将旨在减小抽样频率混叠效应的滤波器 称抗混叠滤波器，它实际是一种具有较好截止 特性的低通滤波器，一般具有-50～-60dB/倍频 程衰减率。
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5.2.1 理想抽样（周期冲激序列抽样）
= p( t ) δ= T (t )
n= −∞
∑ δ ( t − nT )
s +∞
+∞
频谱又如 何变化？
( t ) f ( t ) ⋅ δT ( t ) fs =
= f (t ) ⋅
n =∞ n =∞
n= −∞
∑ δ ( t − nT )
或者抽样间隔满足：
1 Ts ≤ 2πfm ) ( ωm = 2 fm
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奈奎斯特(Nyquist) 抽样频率和抽样间隔 重建原信号的必要条件：
2π ωs = = 2π ⋅ f s ≥ 2ω m = 2 ⋅ 2π f m Ts
不满足此条件，就会发生频谱混叠现象。
τ
P ( jω π )Sa 2
Fs ( jω )
n= −∞
∑T
∞
∞
τ
s
nωsτ 2
δ ( ω − nωs )
nωsτ F ( jω ) ∗ δ ( ω − nωs ) Sa ∑ Ts n = −∞ 2 τ ∞ nωsτ Sa F [ j(ω − nωs ) ] ∑ Ts n = −∞ 2
1 Ts = ：最大抽样间隔，“奈奎斯特抽样间隔”。 2 fm
fs = 2 fm：最低抽样频率，“奈奎斯特抽样频率”