直角三角形----知识讲解(基础)

直角三角形----知识讲解（基础）

责编：杜少波

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，

原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的

逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用.

【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.

要点诠释：

（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建

立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()2

22c a b ab =+-. （4）勾股数：满足不定方程222

x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达

哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……

②如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. ③22

1

21n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； ④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；

⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长.

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

要点三、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222

a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：

（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直

角三角形.

要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1） 首先确定最大边（如c ）.

（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的

直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.

要点诠释：

当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.

要点五、互逆命题与互逆定理

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

要点诠释：

原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.

要点六、直角三角形全等的判定（HL ）

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简

称“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：

（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角

形的形状和大小就确定了.

（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三

角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，

书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.

【典型例题】

类型一、勾股定理

1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．

（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；

（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．

【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．

【答案与解析】

解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，

所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．

（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，

所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．

【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式．

举一反三：

【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．

（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ；

（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．

【答案】

解：（1）∵∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3，

∴2222325a c b =--=；

（2）设3a k =，5c k =．

∵∠C ＝90°，b ＝32，

∴222

a b c +=．

即222(3)32(5)k k +=．

解得k ＝8．

∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．