苏教版高中数学选修3-44.6.5高次方程的根式解PPT课件
苏教版高中数学选修曲线与方程(1)课件
• 即点B的坐标不是曲线方程x2－xy＋ 2y＋1＝0的解，
• 所以点B不在这个曲线上.14分
• 【名师点评】 判断点是否在曲线上 ，主要是验证该点的坐标是否是这个 曲线的方程的解．
• 互动探究2 将本例改为，若曲线y2 －xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R) ，求k的取值范围．
• 【答案】④
• 【名师点评】 本题主要考查对曲线 与方程等基本概念的理解以及命题形
式的等价转换．曲线与方程的定义表 明：曲线C的方程是F(x，y)＝0的充 分必要条件是曲线C上所有点的坐标 都是方程F(x，y)＝0的解，并且以方 程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点都 在曲线C上，这是识别曲线和方程关 系的基本依据．
2．6 曲线与方程
2．6.1 2．会处理一些简单的曲线与方程问题．
2．6.1
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．椭圆的标准方程有__xa_22＋__by_22_＝__1_(_a_>_b_>_0_)或 xb_22_＋__ay_22_＝__1_(a_>_b__>_0_) __； 2．双曲线的标准方程有_xa_22－__by_22_＝__1_(_a_>_b_>_0_) 或 ay_22_－__xb_22_＝__1_(a_>_b_>__0_) ；
• ③不在曲线C上的点的坐标都不是方 程F(x，y)＝0的解
• ④坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都 不在曲线C上
• 【思路点拨】 利用曲线与方程的定 义以及它们之间的关系求解．
• 【解析】 由曲线与方程的定义可知 ，已知条件中的曲线C和方程并不一 定是相互对应的，因此①、②、③都 无正确的依据，另外，已知条件的逆 否命题恰好是④，故④是正确的．
《高次方程、根式方程》课件
高次方程、根式方程
目标：
1.利用因式分解法、换元法解 一元高次方程。
2.利用两边平方法解根式方程 以及利用换元法解一些具有特 定特点的根式方程。
简单的高次方程
1.X3-8X2+15X=0的解是
。
2.X3=4X的解是
。
3.解方程（X2-X+1）2&Y，则原方程可
x
x9 2
(4).3X 2 15X 2 2 X 2 5X 1 0
3.方程 5 X X 5 X的解有
个。
4.当K 时，
方程 X 3 K 2无实根。
5.先阅读下面解方程x+√x-2=2的过程， 然后填空：
解：将原方程整理为x- 2 +√x-2=0 ①
设√x-2=y，则原方程可化为y2+y=0 ②
解之 y1=0 ，y2= -1
③
当y=0时， √x-2=0，解之x=2
化为
。
（2）若令X2-X=Y，则原方程可
化为
。
4.解方程
⑴x3+x2-2x=2； ⑵(x2-2x)2+(x2-2x)-2=0.
(3)X4-13X2+36=0
(4)(2X2-3X+1)2+4X2-1=6X
(5)(X+2)(X+3)(X-4)(X-5)=60
(6)X3-6X2+9X-2=0
根式方程
1.方程 X 1 5的解是 。 2.方程 2X 3 X的解是 。
当y=-1时， √x-2=-1，方程无解 ④ ∴x=2是原方程的根 ⑤
在以上解题过程,第二步用的方法是 ;
第四步中,判定方程无解的依据是 ;
苏教版高中数学选修3-3-3.3.2 欧拉公式-课件(共20张PPT)
在中图中，顶点为A、B、C、D、E、F，顶点数V=6， 三角形的边为AB、AC、AD、AE，FB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED，边 数E=12， 三角形为ABC、ABE、ACD、ADE，FBC、FBE、FCD、FDE，三角形个数F=8，
所以 V E F 2 ；
以胜利，也可以失败，但你不能屈服。越是看起来极简单的人，越是内心极丰盛的人。盆景秀木正因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。
树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。生活的激流已经涌现到万丈峭壁，只要再前进一步，就会变成壮丽的瀑布。生命很残酷，用悲伤让你了解 什么叫幸福，用噪音教会你如何欣赏寂静，用弯路提醒你前方还有坦途。山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌通过云端的道路，只亲吻攀登者的足 迹。敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。骄傲，是断了引线的风筝，稍纵即逝；自卑，是剪了双翼的飞鸟，难上青天。这两者都是成才的大向你的美好 的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次落空了，还有一千次呢。只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。激流勇进者方能领略江河源头的奇 观胜景忙于采集的蜜蜂，无暇在人前高谈阔论有一个人任何时候都不会背弃你，这个人就是你自己。谁不虚伪，谁不善变，谁都不是谁的谁。又何必把一些人， 一些事看的那么重要。有一种女人像贝壳一样，外面很硬，内在其实很软。心里有一颗美丽的珍珠，却从来不轻易让人看见。人生没有绝对的公平，而是相对 公平。在一个天平上，你得到越多，势必要承受更多，每一个看似低的起点，都是通往更高峰的必经之路。你要学会捂上自己的耳朵，不去听那些熙熙攘攘的 声音；这个世界上没有不苦逼的人，真正能治愈自己的，只有你自己。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东 西，要等到你真正放下了，才知道它的沉重。时间并不会真的帮我们解决什么问题，它只是把原来怎么也想不通的问题，变得不再重要了。 生活不是让你用来 妥协的。你退缩得越多，那么可以让你喘息的空间也就是越少。胸怀临云志，莫负少年时唯有行动才能解除所有的不安。明天的希望，让我们忘记昨天的痛！ 如果你不努力争取你想要的，那你永远都不会拥有它。过去属于死神，未来属于你自己其实每一条都通往阳光的大道，都充满坎坷。所有的胜利，与征服自己 的胜利比起来，都是微不足道。我已经看见，多年后的自己。自信！开朗！豁达！努力的目的在于让妈妈给自己买东西时像给我买东西一样干脆。被人羞辱的 时候，翻脸不如翻身，生气不如争气。成长道路谁都会受伤，我们才刚刚起航，必须学会坚强。每个人都是自己命运的建筑师。在成长的过程中，我学会了坚
人教A版高中数学选修3-1-7.1-三次、四次方程求根公式的发现-课件(共27张PPT)
当塔尔塔利亚获悉菲
奥尔确实身怀绝技的时候， 心里产生了极大的忧虑， 因为他深知自己的方法没 有普遍性，要想赢得比赛 的胜利，必须掌握更完善 的解法。为此，塔尔塔利 亚废寝忘食，夜以继日的 冥思苦想，终于在比赛前 夕得到了x3+px=q(p,q为正 数）这一类方程的解法， 从而在世界上最早的数学 竞赛中大获全胜。
2、数学上最早的数学竞赛
直到1500年左右，意大利波伦亚大学教授费 罗发现了x3+px=q(p,q为正数）类型的三次方程的 解法，但他没有发表自己的方法。因为十六七世纪 的人们，常把所获得的发现保密，然后向对手们提 出挑战，要他们解出同样的问题，费罗在1510年 左右将其传授给自己的学生菲奥尔等人。由于受当 时欧洲保密风气的影响，他们也未将其公布于世。
直到1828年在挪威军事科学院当上了代课教 师前，他一直没有固定的工作，只能以私人授课维 持生计，用他的话说“穷得就像教堂里的老鼠”。 然而，他并没有在逆境中倒下去，仍在坚持研究， 并取得了许多重大的成果。他写下了一系列关于椭 圆函数的文章，发现椭圆函数的加法定理，双周期 性，并引进了椭圆函数的反演，正是这些重大发现 才使欧洲数学家们认识到他的价值。1828年9月， 四名法国科学院院士上书给挪威国王，请他为这位 天才安排一个合适的职位。
宋元时期的秦九韶、李冶以及朱世杰等
人都三次、四次方程的求解方面作出过突出 贡献。但中国古代的努力方向主要是放在求 方程的数值解上，尽管能够求得三次、四次 甚至更高次的代数方程任意精度的数值解， 但始终未能获得求解三次、四次方程的一般 公式。总而言之，在16世纪之前，数学家们 对三次、四次方程的求根公式的研究都以失 败告终。
受拉格朗日的影响，鲁菲妮在1799年到1813 年之间做过好几种尝试，要证明四次以上方程不 能用代数方法解出，但他的努力也20多年，高次方程公式求解问题 仍然悬未决，困扰着众多的数学家。这时，一位来 自北欧挪威的小青年阿贝尔勇敢地站出来迎接挑战， 严格证明了如下事实：如果方程的次数n≥5，并且 系数a1,a2,...an看成字母，那么任何一个由这些字母 组成的公式都不可能是方程的根。
高中苏教数学课件选修4-44.4-4.4.2
4. 4.2 参数方程与普通方程的互化理教材自查自测固“基础n主学习区I1.过定点Podo，为），倾斜角为Q的直线的参数方程为Q为参数）,其中参数伯勺几何意义：有向线段尸0尸的数量（P为该直线上任意一点）.2・圆x2+y2 = r2的参数方程为（0为参数）. 圆心为Mod。
，沟），半径为厂的圆的参数方程为（0为参数）.2 23.椭圆~2~\-^2= 1的参数方程为（°为参数）.1.普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟【提示】不一定惟一.如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.2.将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？【提示】①代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程.②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.例如对于x=«(f+y)cos 0,参数方程』 1 如果》是常数，0是参数,那么y=a(t—~)sin 0,可以利用公式si『0+cos20=l消参；如果0是常数，(是参数，那么适当变形后可以利用(/n+n)2— (m—riy—^mn消参.破疑难师生互动提“知能"合作探究区I参数方程化为普通方程■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■将下列参数方程化为普通方程:（伪参数）; x=5cos 0v=4sin 0一（0为参数）・【自主解答】(1)由兀=咅|,得》=芒|. 代入y =芒7化简得y=])(xH 1)•①2 +②彳得首+吒—. ⑵由 尸 5cos0,得 < y=4sin 0—1 -X cos &=§,・ 丁+1 sin 0=~~・②•变貳训练将下列参数方程化为普通方程:（伪参数）;x=2 + 3cos 0（0为参数）・（2）］y=3sin0【解】（1）丁兀=》+*, .•・F=d+》+2.把y=F+右代入得兀2=歹+2.又°・°兀=/++，当/>0时，兀=『+*$2；当TV0时，•X=/+：W—2.•：兀三2或xW —2.•••普通方程为/=丁+2（兀三2或xW-2）.|x=2 + 3cos 0,⑵［y=3sin6»x—2 cos 6=~T~可化为？3sin <9=扌.两式平方相加，得（宁）2 + （討=1・即普通方程为（X-2）2+J2=9.根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方(1)0 3')5?)=]' X =A /5COS &+1.(0为参数)(2)F —y+x —1=0, «x=f+l ・(f 为参数)普通方程化为参数方程程.这就是所求的参数方程.【自主解答】⑴将A /3 COS 0+1代入+25 -=1 得： y=2+^/5sin 0.x=\[3cos 0+1,y=\l5sin 0+2 2) （0为参数）,(2)将x=t+1 代Ax2—y+x— 1 =0得: y=x2+x— l=(f+l)2 + /+l — 1 ="+3/+1,|x=r+l,y = F + 3/+1 （伪参数），这就是所求的参数方程.•娈 it ill IS方程.【解】 ffix 2+y 2 + 2x —6y+9 = 0化为标准方程为（x+ 厅+e —3）2=L\x= — 1 +cos 3,[y=3 + sin 3已知 的方程为x 2+y 2+ 2x —6y+9 = 0,将它化为参数 参数方程为 （0为参数）.类型3j利用参数求轨迹方程过A(1,O)的动直线/交抛物线于=8兀于M, N两点，求MN中点的轨迹方程.【思路探究】设出直线MN的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参数方程中T的几何意义及根与系数的关系解题.\x= 1 +fcos g【自主解答】直线MN方程^ (ctHO, t[y=fsin a为参数)代Ay2 = 8%,得rsin2a—8fcos a—8 = 0.设M，N对应参数为j t» MN中点G的参数为&贝肛o= 1. 4cos a刃+沪%=1 + 4cos% sin2a4cos a消去a得于=4(% — 1).I规律方法I1.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.2.涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数/的几何意义.3经过点4(一3, - 倾斜角为的直线/与2+/=25 相交于B、C两点.(1)求弦BC的长;(2)当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；(3)当BC=8时，求直线BC的方程；(4)当a变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程.【解】取为参数（P为/上的动点）,x= —3 + fcos a,则/的参数方程为］_ 3 | .y=—㊁十fsin a,代A X2+/=25,整理，得2, 55t— 3(2cos a+sin a)t—~^=O.V J = 9(2cos GC+sin a)2 + 55>0恒成立，・•・方程必有相异两实根G t2,且+ ?2 = 3(2cos a +sin a),『1・》2= —4 •(1)BC—\t\—纫=寸(^1 +》2)2 — 4如2 = ^9(2cos oc+sin a)2+ 55.(2)TA为BC中点,・・"i+t2=0,艮卩2cos a+sin a = 0, tan a=—2.3故直线BC的方程为y+，= — 2(x+3),即4x+2y+15 = 0・(3) VBC=A J9(2COS a+sin a)2+55 = 8,/• (2cos a+sin a)2=1. • \cos a = 0或tan a= —・•・直线BC的方程是兀=一3或3x+4y+15=0.f +f 3⑷J BC的中点M对应的参数是尸-1于 =(2cos « + sina),・••点M的轨迹方程为3x=—3+^cos a(2cos a+sin a),3 3 (0Wa<7i).y=—空+㊁sin a(2cos a+sin a)3 3 1 .x+/=^(cos 2a+㊁sin 2a),,3 3 1 r、y 十才=^(sin 2a —㊁cos 2a)..•.(x+|)2+(y+|)2=j|.即点M的轨迹是以(一I，一扌)为圆心，以呼为半径的圆.x=3cos 0— 1,⑵幕3sin0+2 （°为参数）;|x——4+3f,y=3-4t（/为参数）;y=Tv?x cos 3"y=Z?tan 3 lx =sin 0j⑸ty=cos 23（t 为参数）;(3) x=i+7, 4r（0为参数）; （0为参数）.x=5cos （p j求过椭圆仁（。
苏教版高二数学选修4-5 平均值不等式 课件(25张)
答 案 :A
-6-
§3 平均值不等式
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12
2 .三 元 均值不等式及其推广
(1)定理 3:
对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc(此式当且仅当a=b=c 时取“=”
的 方 法.
-13-
§3 平均值不等式
题型一 题型二 题型三
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
【变式训练 1】 已知 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=1.
随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做 1-2】 “a>b>0”是“ab<������2+2 ������2”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当 a>b>0 时,������2+2 ������2 > 22������������=ab 成立,当 ab<������2+2 ������2时,不能推出 “a>b>0”,故选 A.
≤
������������ ≤ ������+������ ≤
2
苏教版高中数学选修3-3全套PPT课件
P
α
R O
（4）d>R时，平面α 与球面O没有公共点，它 们不相交，自然也不相切。
例题：已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们 位于球心的同一侧且相距1，求这个球的半径。
B
O2
O1
A
O
5
22
[解]如图，O1A、O2B分别是小圆半径，所以 O2B = 5 ， O1A=
，又OO1、
OO2=分别是球心到截面的距离，且O1O2=1，所以 R2 5 R2 8 1 解得
直线，分别与球面相交于Q、R、S、T四点， 则PQ·PS=PS·PT.
定理1、2、3统称为球幂定理。
平面与球面的位置关系
设α 是一个平面，球面O的半径为R，从球心O 向平面α 作垂线，垂足是P，线段OP的长d就是球心 O到平面α 的距离.平面α 与球面的关系由d决定， 可以分如下几种情况：
（1）d=0时，如图，平面α过球心O，这时平面α与 球面交于一个与球半径一样大的圆，截面圆最大， 这样的圆叫做球面上的大圆（great circle）。
相离、相切、相交
四、圆幂定理类比球幂定理
定理1：从球面外一点P向球面引割线，交
面于Q、R两点；再从点P引球面的任一切 线，切点为S，则PS2=PQ·PR.
定理2：从球面外一点P向球面引两条割线，
它们分别与球面相交于Q、R、S、T四点，则 PQ·PR=PS·PT.
定理3：设点P是球面内一点，过点P作两条
【知识与能力】
在回顾圆的知识的基础上，充分理解球 面的定义和概念.
熟悉球面的对称性，理解中心对称图形、 轴对称图形的、镜面对称图形、旋转对称 图形的性质.
【过程和方法】
观察身边的事物，讨论球面在生活中的 应用，认识研究球面的重要意义. 通过实例和应用计算机辅助学习来掌握 球面，球面对称性.
苏教版 高中数学必修第一册 根式 课件1
利用根式的性质化简或求值
计算下列各式的值：
3 (Hale Waihona Puke )－43；6 (2)
3－π6；
8 (3)
x－28；
4 (4)
－44；
(5) 4 －a8
(6) 3 1－ 23＋4 1－ 24+ ( 3 2)3 .
6 (2) 3－π6＝|3－π|＝π－3；
8 (3)
x－28＝|x－2|
x－2 x≥2
＝
.
2－x x<2
3.用根式表示下列各式中的 x： (1)已知 x6＝2013，则 x＝________. (2)已知 x5＝－2013，则 x＝________. [分析] 解答此类问题应明确 n 次方根中根指数对被开方 数的要求及 n 次方根的个数要求．
[解析] (1)由于 6 为偶数，所以 x＝±6 2013 (2)由于 5 为奇数，所以 x＝5 －2013＝－5 2013
n次方根的概念 【例1】 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.
4
(2)若 x－2有意义，求实数 x 的取值范围. (1)解析 81的平方根为－9或9， 即a＝－9或9，－8的立方根为－2，即b＝－2， ∴a＋b＝－11或7. 答案 7或－11
4
(2)解 ∵ x－2有意义，∴x－2≥0，∴x≥2，
[答案] (1)±6 2013 (2)－5 2012
4.1.1 根式
1.n次方根、n次根式
1.a的n次方根的定义 一般地，如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示
n的奇偶性 n为奇数
a的n次方根的表示符号 na
±n a
苏教版高中数学选修3-4-4.6.5 高次方程的根式解-教学案设计
高次方程的根式解【教学目标】1．掌握定理，阿贝尔的重要结论。
2．熟练运用定理，阿贝尔的重要结论解决具体问题。
3．亲历高次方程的根式解的探索过程，体验分析归纳得出定理，阿贝尔的重要结论，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：掌握定理，阿贝尔的重要结论。
难点：定理，阿贝尔的重要结论的实际应用。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习高次方程的根式解，这节课的主要内容有一个美好的希望、消息有好有坏、群论解决问题，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解定理，阿贝尔的重要结论内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习定理，它的具体内容是：为了使一个n次方程可用根式解，必须且只需它的伽罗瓦群是可解群它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：为了使一个n次方程可用根式解，必须且只需它的伽罗瓦群是_____。
解析：根据定义可以得知答案：可解群。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：请同学们写出伽罗瓦群的具体内容。
（3）接着，我们再来看下阿贝尔的重要结论内容，它的具体内容是：高于四次的一般方程不能用根式求解。
它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
例：_____的一般方程不能用根式求解解析：根据定义可以获得答案：高于四次。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：阿贝尔的重要结论中最重要的群是_____和_____。
三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了定理，阿贝尔的重要结论（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测1．请写出伽罗瓦群的定义。
2．请写出阿贝尔的重要结论。
3．请写出定理的具体内容。
高次方程的根式解【学习目标】1．掌握高次方程的根式解的解法。
2．熟练运用高次方程的根式解。
3．亲历高次方程的根式解探索过程，体验分析归纳得出结论的过程，发展探究、交流能力。
【学习重难点】重点：掌握高次方程的根式解的解法。
苏教版高中数学高一《根式》 精品课件 苏教
若a=0，则a的n次方根为0； 若a<0，则a的n次方根不存在.
8
知识探究（三）：根式的性质
思考1: ( 3 2)3, ( 5 2)5, ( 4 2)4分别等于什么？一般
地 ( n a )n等于什么？
(n a)n a
思考2: 3 (2)3 , 5 25 , 4 24 , 4 (2)4 分别等于什么？ 一般地 n an等于什么？
例2 化简下列各式 (1) 5 2 6 4 9 ; (2) ( a 1)2 (1 a)2 3 (1 a)3 .
10
作业 P59习题2.1A组：1.
11
当n是奇数时 n an a ; 当n是偶数时 n an | a |
思考3:对任意实数a，b，等式 n a n b n ab
成立吗 ？
9
理论迁移
例1 求下列各式的值 (1) 3 64 ; (2) (2)4 ; (3) 3 (8)3 ;
(4) (10)2 ; (5) 4 (3 )4 ; (6)8 (a 1)8 .
5
知识探究（二）：根式的概念 思考1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次 方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立 方根分别是什么数？怎样表示？
思考2:设a为实常数，则关于x的方程 x3=a， x5=a分别有解吗？有几个解？
思考3:一般地，当n为奇数时，实数a的n次方 根存在吗？有几个？
问题提出
t
p
1 2
5730
1.据国务院发展研究中心2000年发表 的《未来20年我国发展前景分析》判断, 未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平 均增长率可望达到7.3%.那么在2010年, 我国的GDP可望为2000年的多少倍?
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第三，证明了一个判定定理:
定理 为了使一个n次方程可用根式解， 必须且只需它的伽罗瓦群是可解群.
例如，当n>4时，对称群Sn不可解，由此理科 推出阿贝尔的重要结论—高于四次的一般方程不能 用根式求解.
在群论里发展了一整套方法，可以具体确定一 个n次方程的伽罗瓦群，又能实际判别一个群是否可 解，这样就彻底解决了高次方程的根式解问题.
一个困扰数学界多年的老大难往年提，终于画 上了圆满的句号.
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
• 伽罗瓦在1832年的一次决斗中，结束 • 了年轻的生命，他在生前写过一些文 • 章论述他的发现，但因太深奥，叙述 • 太简单，令人费解.
专家劝告伽罗瓦，应该谢一份比较详细的说明 阐述他的发现，决斗前夜，伽罗瓦为自己的研究写 了一份说明，交给朋友，得以保存和流传，而伽罗 瓦本人却在第二天不幸去世.
§ 4.6.5 高次方程的根式解
在数学理论和数学应用中，方程永远是 一个重要话题，一个方程能否用简单的方法 求解，更是人们关注的对象.
1.一个美好希望
对于一元一次方程
ax+b=0(a≠0),
它的解为 x b a
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0),
其求根公式
b b 2 4ac x
结果断言“不能”，未免使人觉得有些扫兴，但是， 这个否定的结论，却能一锤定音，告诉后来人，不 必再浪费精力苦苦追寻五次或更高次一般方程的根 式解了，因为它根本不存在.
• 在阿贝尔的结果中，不能用根式求解，是对“一 般”的次数大于四的方程来说的.某些特殊情形可 用根式解，与此并无矛盾.例如，高斯的二项方程 是一类可用根式解的特殊高次方程，后来被叫做 阿贝尔方程.
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
美好愿望能否实现？
这就是著名的高次方程根式解问题.
2.消息有好有坏
在16世纪和17世纪，欧洲传来好消息：三次方 程解法和四次方程解法相继发现，都是利用根式解 出的.
五次以上呢？ 1801年，德国数学家高斯（C.F.Gauss,17771855)在他的《算式研究》中，考察了方程xp-1=0. 其中p是素数，这样的方程叫做二项方程，他证明了 这类方程一定能用根式解. 高斯还将上述结果应用于解答经典的几何难题.例如， 他借助方程x17-1=0的根式解，得到了著名的利用 直尺和圆规17等分圆周的方法.
挪威数学家阿贝尔（N.H.Abel,1802~1829)早在 中学时代就已阅读高斯等数学家关于方程的著作， 并且尝试自己动手研究.
起初，阿贝尔以为他已经利用根式，解出了一 般五次方程，但他很快发现原来的想法有错误.
然后，阿贝尔走上一条相反的思路，试图证明 这样的方程不可能有根式解.
终于，在1826年，阿贝尔成功证明了，高于四 次的一般方程不能用根式求解.
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注意到，解这些方程所用的运算，不外乎加、
减、乘、除、乘方、开方.
这样就使人们产生一个美好希望：只用四则运
算和开方运算，是否也能解出三次、四次、五次或 更高次的方程？
如果一个方程的每个根都能利用方程的系数， 通过有限次四则运算和开方运算得出，就说这个方 程可用根式求解，简单说，这个方程可用根式解.
在随后的几十年里，渐渐地，他的理论被理解 和阐述得清清楚楚.
按照伽罗瓦的方法，如何判定一个高次方程可 用根式解呢？
大致说来，要点如下：
第一，根据一个n次方程的对这个群 叫做方程的伽罗瓦群.
一般n次方程的伽罗瓦群是n阶对称群Sn. 对于一个特殊的n次方程，由于满足某些附加条件， 使它的对称性受到限制，因而方程的伽罗瓦群可能 是Sn 的某个子群.
• 有些高次方程能用根式解，有些不能用根式解， 究竟什么情形能，究竟什么时候不能？
• 可否找到一个明确的判别方法？
• 这是根式解问题的最后一大悬念.
3.群论解决问题
• 在阿贝尔之后，出现了另外一位年轻的数学家伽 罗瓦（E.Galois,1811~1832).
• 伽罗瓦是法国人，中学时代爱好数学，并且致力 于数学研究，他仔细阅读了高斯、阿贝尔和另外 一些前辈数学家的有关著作，在前人工作的基础 上，伽罗瓦创造出自己的一套方法，能够判定证 明的高次方程可用根式解.