苏教版高中数学选修3-44.6.5高次方程的根式解PPT课件
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• 伽罗瓦在1832年的一次决斗中，结束 • 了年轻的生命，他在生前写过一些文 • 章论述他的发现，但因太深奥，叙述 • 太简单，令人费解.
专家劝告伽罗瓦，应该谢一份比较详细的说明 阐述他的发现，决斗前夜，伽罗瓦为自己的研究写 了一份说明，交给朋友，得以保存和流传，而伽罗 瓦本人却在第二天不幸去世.
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
2a
注意到，解这些方程所用的运算，不外乎加、
减、乘、除、乘方、开方.
这样就使人们产生一个美好希望：只用四则运
算和开方运算，是否也能解出三次、四次、五次或 更高次的方程？
如果一个方程的每个根都能利用方程的系数， 通过有限次四则运算和开方运算得出，就说这个方 程可用根式求解，简单说，这个方程可用根式解.
• 有些高次方程能用根式解，有些不能用根式解， 究竟什么情形能，究竟什么时候不能？
• 可否找到一个明确的判别方法？
• 这是根式解问题的最后一大悬念.
3.群论解决问题
• 在阿贝尔之后，出现了另外一位年轻的数学家伽 罗瓦（E.Galois,1811~1832).
• 伽罗瓦是法国人，中学时代爱好数学，并且致力 于数学研究，他仔细阅读了高斯、阿贝尔和另外 一些前辈数学家的有关著作，在前人工作的基础 上，伽罗瓦创造出自己的一套方法，能够判定证 明的高次方程可用根式解.
美好愿望能否实现？
这就是著名的高次方程根式解问题.
2.消息有好有坏
在16世纪和17世纪，欧洲传来好消息：三次方 程解法和四次方程解法相继发现，都是利用根式解 出的.
五次以上呢？ 1801年，德国数学家高斯（C.F.Gauss,17771855)在他的《算式研究》中，考察了方程xp-1=0. 其中p是素数，这样的方程叫做二项方程，他证明了 这类方程一定能用根式解. 高斯还将上述结果应用于解答经典的几何难题.例如， 他借助方程x17-1=0的根式解，得到了著名的利用 直尺和圆规17等分圆周的方法.
第二，通过研究群的结构，发现有一类重要的 特殊群，叫做可解群，
第三，证明了一个判定定理:
定理 为了使一个n次方程可用根式解， 必须且只需它的伽罗瓦群是可解群.
例如，当n>4时，对称群Sn不可解，由此理科 推出阿贝尔的重要结论—高于四次的一般方程不能 用根式求解.
在群论里发展了一整套方法，可以具体确定一 个n次方程的伽罗瓦群，又能实际判别一个群是否可 解，这样就彻底解决了高次方程的根式解问题.
一个困扰数学界多年的老大难往年提，终于画 上了圆满的句号.
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
§ 4.6.5 高次方程的根式解
在数学理论和数学应用中，方程永远是 一个重要话题，一个方程能否用简单的方法 求解，更是人们关注的对象.
1.一个美好希望
对于一元一次方程
ax+b=0(a≠wk.baidu.com),
它的解为 x b a
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0),
其求根公式
b b 2 4ac x
结果断言“不能”，未免使人觉得有些扫兴，但是， 这个否定的结论，却能一锤定音，告诉后来人，不 必再浪费精力苦苦追寻五次或更高次一般方程的根 式解了，因为它根本不存在.
• 在阿贝尔的结果中，不能用根式求解，是对“一 般”的次数大于四的方程来说的.某些特殊情形可 用根式解，与此并无矛盾.例如，高斯的二项方程 是一类可用根式解的特殊高次方程，后来被叫做 阿贝尔方程.
挪威数学家阿贝尔（N.H.Abel,1802~1829)早在 中学时代就已阅读高斯等数学家关于方程的著作， 并且尝试自己动手研究.
起初，阿贝尔以为他已经利用根式，解出了一 般五次方程，但他很快发现原来的想法有错误.
然后，阿贝尔走上一条相反的思路，试图证明 这样的方程不可能有根式解.
终于，在1826年，阿贝尔成功证明了，高于四 次的一般方程不能用根式求解.
在随后的几十年里，渐渐地，他的理论被理解 和阐述得清清楚楚.
按照伽罗瓦的方法，如何判定一个高次方程可 用根式解呢？
大致说来，要点如下：
第一，根据一个n次方程的对称性，可用适当方 法作出一个置换群.为了纪念伽罗瓦，人们把这个群 叫做方程的伽罗瓦群.
一般n次方程的伽罗瓦群是n阶对称群Sn. 对于一个特殊的n次方程，由于满足某些附加条件， 使它的对称性受到限制，因而方程的伽罗瓦群可能 是Sn 的某个子群.
专家劝告伽罗瓦，应该谢一份比较详细的说明 阐述他的发现，决斗前夜，伽罗瓦为自己的研究写 了一份说明，交给朋友，得以保存和流传，而伽罗 瓦本人却在第二天不幸去世.
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
2a
注意到，解这些方程所用的运算，不外乎加、
减、乘、除、乘方、开方.
这样就使人们产生一个美好希望：只用四则运
算和开方运算，是否也能解出三次、四次、五次或 更高次的方程？
如果一个方程的每个根都能利用方程的系数， 通过有限次四则运算和开方运算得出，就说这个方 程可用根式求解，简单说，这个方程可用根式解.
• 有些高次方程能用根式解，有些不能用根式解， 究竟什么情形能，究竟什么时候不能？
• 可否找到一个明确的判别方法？
• 这是根式解问题的最后一大悬念.
3.群论解决问题
• 在阿贝尔之后，出现了另外一位年轻的数学家伽 罗瓦（E.Galois,1811~1832).
• 伽罗瓦是法国人，中学时代爱好数学，并且致力 于数学研究，他仔细阅读了高斯、阿贝尔和另外 一些前辈数学家的有关著作，在前人工作的基础 上，伽罗瓦创造出自己的一套方法，能够判定证 明的高次方程可用根式解.
美好愿望能否实现？
这就是著名的高次方程根式解问题.
2.消息有好有坏
在16世纪和17世纪，欧洲传来好消息：三次方 程解法和四次方程解法相继发现，都是利用根式解 出的.
五次以上呢？ 1801年，德国数学家高斯（C.F.Gauss,17771855)在他的《算式研究》中，考察了方程xp-1=0. 其中p是素数，这样的方程叫做二项方程，他证明了 这类方程一定能用根式解. 高斯还将上述结果应用于解答经典的几何难题.例如， 他借助方程x17-1=0的根式解，得到了著名的利用 直尺和圆规17等分圆周的方法.
第二，通过研究群的结构，发现有一类重要的 特殊群，叫做可解群，
第三，证明了一个判定定理:
定理 为了使一个n次方程可用根式解， 必须且只需它的伽罗瓦群是可解群.
例如，当n>4时，对称群Sn不可解，由此理科 推出阿贝尔的重要结论—高于四次的一般方程不能 用根式求解.
在群论里发展了一整套方法，可以具体确定一 个n次方程的伽罗瓦群，又能实际判别一个群是否可 解，这样就彻底解决了高次方程的根式解问题.
一个困扰数学界多年的老大难往年提，终于画 上了圆满的句号.
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
§ 4.6.5 高次方程的根式解
在数学理论和数学应用中，方程永远是 一个重要话题，一个方程能否用简单的方法 求解，更是人们关注的对象.
1.一个美好希望
对于一元一次方程
ax+b=0(a≠wk.baidu.com),
它的解为 x b a
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0),
其求根公式
b b 2 4ac x
结果断言“不能”，未免使人觉得有些扫兴，但是， 这个否定的结论，却能一锤定音，告诉后来人，不 必再浪费精力苦苦追寻五次或更高次一般方程的根 式解了，因为它根本不存在.
• 在阿贝尔的结果中，不能用根式求解，是对“一 般”的次数大于四的方程来说的.某些特殊情形可 用根式解，与此并无矛盾.例如，高斯的二项方程 是一类可用根式解的特殊高次方程，后来被叫做 阿贝尔方程.
挪威数学家阿贝尔（N.H.Abel,1802~1829)早在 中学时代就已阅读高斯等数学家关于方程的著作， 并且尝试自己动手研究.
起初，阿贝尔以为他已经利用根式，解出了一 般五次方程，但他很快发现原来的想法有错误.
然后，阿贝尔走上一条相反的思路，试图证明 这样的方程不可能有根式解.
终于，在1826年，阿贝尔成功证明了，高于四 次的一般方程不能用根式求解.
在随后的几十年里，渐渐地，他的理论被理解 和阐述得清清楚楚.
按照伽罗瓦的方法，如何判定一个高次方程可 用根式解呢？
大致说来，要点如下：
第一，根据一个n次方程的对称性，可用适当方 法作出一个置换群.为了纪念伽罗瓦，人们把这个群 叫做方程的伽罗瓦群.
一般n次方程的伽罗瓦群是n阶对称群Sn. 对于一个特殊的n次方程，由于满足某些附加条件， 使它的对称性受到限制，因而方程的伽罗瓦群可能 是Sn 的某个子群.