弧长公式扇形面积公式及其应用含经典习题

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

弧长及扇形的面积

圆锥的侧面积

二. 教学要求

1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。

2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。

三. 重点及难点

重点：

1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。

2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。

难点：

1、弧长公式、扇形面积公式的推导。

2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

［知识要点］

知识点1、弧长公式

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是

的计算公式：，°的圆心角所对的弧长l R，于是可得半径为的圆中，n说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，

不要错写成。时，计算20°的圆心角所对的弧长l10例如，圆的半径R＝，（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

知识点2、扇形的面积

如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积

°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360

。°的扇形面积的计算公式是1，由此得圆心角为°的扇形面积是n 为

，所以又得到扇形面积，扇形面积又因为扇形的弧长

的另一个计算公式：。

知识点3、弓形的面积

（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。（2）弓形的周长＝弦长＋弧长

）弓形的面积3

（．

面

积

知识点4、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，

那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全

面积

说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

知识点5、圆柱的侧面积

圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，

若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积

知识小结：圆锥与圆柱的比较圆柱圆锥名称

图形

由一个直角三角形旋转得到由一个矩形旋转得到的，如矩形图形的形成过程ABCD绕直线SOA 绕直线SOAB旋转一周。的，如Rt△旋转一周。两个底面和一个侧面一个底面和一个侧面

图形的组成

矩形侧面展开图的特征扇形

面积计算方法

【典型例题】

例1. （2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，则阴影部分的面积是（）

A. B.

C.

D.

内接于扇的圆心角为直角，正方形OCDE例2. （2003.福州）如图所示，已知扇形AOB，ED交ED的延长线于F⊥OB，D分别在OA，及AB弧上，过点A作AFC形AOB，点，E 1，那么阴影部分的面积为（）F垂足为，如果正方形的边长为

例3. 如图所示，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，以BC 为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。

例4. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米

（1）求扇形的弧长。

（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？

。

模拟练习题

一、选择题．

）2л，则这个扇形的半径是（ 1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为

D. 2A. 4 лB. 2 C. 47л

°，则扇形的面积是所在图面积的（）2. 扇形的圆心角是60

A. C.

B. D.

扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（）3.

A. 90° D.180

B. °

C.

．已知大圆半NO，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M，两同心圆的圆心是4.

）的面积是扇形径是小圆半径的3倍，则扇形OABOMN的面积的（

倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9A. 2倍，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（）5. 半圆O的直径为6cm

B. A.

C.D.

用一个半径长为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（）6 D. 6cm

A. 2cm

B. 3cm

C. 4cm

3 ：）2，这个圆锥的轴截面的顶角是（7. 圆锥的全面积和侧面积之比是D. 120°C. 90°

A. 30°

B. 60°

∶18. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为）2，则它们的高之比为

（

：A. 2：1 B. 32 D. 5C. 2：：

为高的圆锥为底面圆半径，BC＝如图，在△ABC中，∠C Rt∠，AC > BC，若以AC9.

）为高的圆锥的侧面积为S，以BC为底面圆半径，ACS，则（的侧面积为21 C. S < S D. S、S的大小关系不确定＝A. SS B. S > S2*******

二、填空题，扇形的面积cm 90°，则扇形的半径是，其圆心角是1. 扇形的弧长是12лcm2.

是cm. 2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是

2.

，半径为8cm，则扇形周长为 3. 已知扇形面积是12cm旋转一周得到一绕直线ACABCA ＝90°，把Rt△43ABC4 在△中，AB＝，AC＝，∠，则SABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为Rt个圆锥，其全面积为S；把△21。S：S＝21°的扇形铁板做一个圆锥形要用一块圆心角为，2402cm5. 一个圆柱形容器的底面直径为。cm 的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要

有．

的三等分点，则阴分别是C，D°，半径为6. 如图，扇形AOB的圆心角为606cm，影部分的面积是。

7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分面积为。

三、计算题

1. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC ，以A为圆心画弧，交AB于点D，交AC延长线于点F，交BC于点E，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（л取3）。

2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S，另一个圆锥的侧面积是S，21

如果圆锥和圆柱等底等高，求．