小站教育gre数学—排列组合公式及例题讲解
排列组合公式公式解释
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算不同元素的组合方式。
它在组合数学、概率论、统计学等领域中经常被应用。
本文将详细介绍排列组合的概念以及相关公式，并给出一些实际应用的例子。
1. 排列的概念及公式排列是指从n个元素中选取r个元素进行排序的方式。
这个过程中，每个元素只能使用一次，并且顺序不同即为不同的排列。
排列通常用P(n, r)表示，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * … * 2 * 1。
n的阶乘表示从n个元素中选取所有元素进行排列的总数，而(n-r)!表示剩余元素的阶乘，即可以从n个元素中选取r个元素进行排列的总数。
排列的计算公式可以帮助我们高效地计算大量元素的排列情况。
例如，从10个数中选取3个数进行排列，即P(10, 3)，可以通过计算10! / 7!得到结果。
2. 组合的概念及公式组合是指从n个元素中选取r个元素进行组合的方式。
与排列不同，组合不考虑选取元素的顺序，因此不同顺序的元素组合被视为同一种组合方式。
组合通常用C(n, r)表示，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n!仍表示n的阶乘，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示剩余元素的阶乘。
组合的计算公式可以帮助我们统计不同元素组合的数量。
例如，从10个数中选取3个数进行组合，即C(10, 3)，可以通过计算10! / (3! * 7!)得到结果。
3. 排列组合的应用排列组合在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1. 抽奖问题假设有10个人参加抽奖，每个人的抽奖号码是从1到10之间的整数。
如果我们想要知道抽取出来的3个人的号码的所有可能情况，可以使用组合的方法计算。
结果为C(10, 3) = 120。
3.2. 选课问题假设有10门课程可以选择，每个人可以选择其中的5门进行学习。
如果我们关心的是不同学生选择不同课程的情况，可以使用排列的方法计算。
gre数学技巧之排列组合知识点
gre数学技巧之排列组合知识点gre数学技巧：排列组合知识点GRE数学排列组合知识点你了解多少?新gre更侧重基本能力的考察真正提高考生的英语水平，虽然新gre数学考试难度系数增大，但是新gre数学最大也跑不出高三知识范围，在这里小编提醒考生的是，难度对我们不构成威胁，作为考生要把的强项发挥到极致，把新gre 数学排列组合部分经常考察的考点弄明白。
1.排列(permutation): 从N个东东(有区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个并作排列,共有几种方法：P(M,N)=N!/(N-M)!例如:从1-5中取出3个数不重复,问能组成几个三位数?解答：P(3,5)=5!/(5-3)!=5!/2!=5*4*3*2*1/(2*1)=5*4*3=60也可以这样想从五个数中取出三个放三个固定位置那么第一个位置可以放五个数中任一一个,所以有5种可能选法，那么第二个位置余下四个数中任一个,....4.....，那么第三个位置……3……所以总共的排列为5*4*3=60。
如果可以重复选(即取完后可再取),总共的排列是5*5*5=1252.组合(bination):从N个东东(可以无区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个(不作排列,即不管取得次序先后),共有几种方法：C(M,N)=P(M,N)/P(M,M)=N!/(M-N)!/M!C(3,5)=P(3,5)/P(3,3)=5!/2!/3!=5*4*3/(1*2*3)=10可以这样理解：组合与排列的区别就在于取出的M个作不作排列-即M的全排列P(M,M)=M!，那末他们之间关系就有先做组合再作M的全排列就得到了排列所以C(M,N)*P(M,M)=P(M,N),由此可得组合公式.*质:C(M,N)=C((N-M),N)即C(3,5)=C((5-2),5)=C(2,5)=5!/3!/2!=10以上是有关备考新gre数学考试排列组合的基本介绍，小编认为备考新gre考试的考生，不需要浪费太多的时间在备考新gre数学上，因为数学使我们的强项，但是也不能疏忽大意，要不基本的数学知识词汇弄清楚，难点要攻克，争取把我们的优势发挥到最好。
数学排列组合知识点精要讲解
数学排列组合知识点精要讲解在我们的数学世界中，排列组合是一个既有趣又实用的知识领域。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决各种各样看似复杂的计数问题。
首先，让我们来理解一下什么是排列。
排列指的是从给定的元素中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么第一个位置有 5 种选择，第二个位置剩下 4 种选择，第三个位置则剩下 3 种选择。
所以总的排列数就是5×4×3 ＝ 60 种。
排列的计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！这里的“！”表示阶乘，比如 5! ＝ 5×4×3×2×1 。
接下来，再说说组合。
组合与排列不同，它不考虑选取元素的顺序。
还是上面那个例子，如果是从 5 个不同的数字中选取 3 个进行组合，那么组合的数量就会比排列少。
因为在组合中，只要元素相同，不管顺序如何，都算作同一种情况。
组合的计算公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！为了更好地理解排列组合，我们来看几个实际的例子。
假设要从 10 个人中选出 3 个人参加比赛，这就是一个组合问题。
因为选出的 3 个人去参加比赛，他们的顺序不影响结果。
但如果是要从 10 个人中选出3 个人分别参加不同的比赛项目，这就是一个排列问题，因为不同的比赛项目，人员的顺序是有影响的。
在解决排列组合问题时，有一些常见的方法和技巧。
比如插空法，如果有一些元素要求不能相邻，那么我们就先排好其他元素，然后在这些元素形成的空隙中插入不能相邻的元素。
还有捆绑法，当有一些元素必须相邻时，我们可以把它们看作一个整体，先和其他元素一起排列，然后再考虑内部的排列。
另外，在一些复杂的问题中，可能需要分类讨论。
把问题分成不同的情况，分别计算每种情况的排列组合数，最后再把结果相加。
排列组合在实际生活中的应用也非常广泛。
比如在彩票抽奖中，计算中奖的可能性就用到了排列组合的知识。
GRE排列组合计算
排列3个彩球的排列（不重复出现）排列的任务是确定个不同的元素的排序的可能性。
从右边的示意图可看出，3个不同颜色的彩球一共有6种不同的排列方式，因此有如下定理：“个不同的元素可以有种不同的排列方式，即的阶乘。
”因此上面的例子的算法是3 ! = 6。
另一个问题，如果从个元素中取出个元素，这个元素的排列是多少呢？公式如下：例如，在赌马游戏中一共有8匹马参加比赛，玩家需要在彩票上填入前三位胜出的马匹的号码，按照上面的公式， ＝ 8， ＝ 3，玩家一共可以填出的3匹马号的排列数为：因为一共存在336种可能性，因此玩家在一次填入中中奖的概率应该是：以上提到的都是在不发生重复的情况下的排列。
如果在个元素中取出个元素进行排列，这个元素可以重复出现，那么排列数则有如下公式：还是上面的例子，可以重复出现，这意味着玩家可以在前三名的位置上填入同一匹马号，因此在这种情况下可能出现的排列总数为：83 = 512另外，也可以记为[2][2]这时的一次性添入中奖的概率就应该是：（当然，同一匹马同时获得1，2，3名的情况在现实中是不存在的）另一个来自数字技术的例子，在二进制中只有0和1两种状态，一个有位的二进制数字可以有2x种排列方式，也即可以表达2x个不同的数字。
组合和排列不同的是，在组合中取出元素的顺序则不在考虑之中。
从个元素中取出个元素，这个元素可能出现的组合数为：最常见的例子应该是六合彩游戏了。
在六合彩游戏中从49个球中取出6个进行组合的可能性一共有：如同排列，上面的例子是建立在如下前提的（即球从摇奖机中出来后不再放回去，或者说组合不发生重复)，但如果球摇出来后再放回摇奖机中，这时的组合的可能性则是：类似的例子比如连续掷两次骰子，获得的两个点数的组合可能性一共有：另外也可以记为[3][3]。
排列组合公式排列组合公式
• C((r-n)+n-1,r-n)=C(r-1,r-n)=C(r-1,n-1)
排列组合公式排列组合公式
放球问题
• 设r ≥ n，把r个相同的球放入n个不同的盒子 中，要求每一盒至少包含q个球，方法数？
• 现在每个盒中放入q个球，再放剩下的r-qn 个球
排列组合公式排列组合公式
组合
• 无重组合 • 可重组合 • 从{a,b,c}中选取2个不同元素，选法数是多
少？ • 从{a,b,c}中选取5个元素，元素可以相同，
选法数是多少？
排列组合公式排列组合公式
3、无重组合（Combination）
• n个元素的r-无重组合数 • 无重组合数与无重排列数的关系 • 计算 • r=0时 • r=n时 • r>n时
形成多少个三角形？
排列组合公式排列组合公式
例题
• 用26个英文字母能构成多少个含有3个、4个或5个元音的 长为8位的单词？（其中，一个字母出现在单词中的次数 不限）
排列组合公式排列组合公式
例题
• 用4个a，4个b，2个c和2个d这12个字母能组成多少个具 有12个字母的字？
• 第一个球有n种选法，第二个球有n-1种，等 等，乘法原理
• P(n,r)
排列组合公式排列组合公式
放球问题
• 把r个不同的球放入n个不同的盒子，一个盒 中可以放多个球，也允许空盒。放球的方法 数为多少？
• 第一个球有n种选法，第二个球有n种，等等 ，乘法原理
• nr • 这里n和r的大小没有限制
排列组合公式排列组合公式
放球问题
• 设n≥r，把r个相同的球放入n个不同的盒子 使得每盒至多装一个球，方法数？
gre排列组合问题
gre排列组合问题GRE考试中可能涉及排列组合问题，以下是一些相关概念和解题方法：1. 排列（Permutation）：从n个不同元素中，任取m （m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!。
2. 组合（Combination）：从n个不同元素中，任取m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
计算公式为：C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。
在解决GRE中的排列组合问题时，可以按照以下步骤进行：1. 明确题目要求：首先需要明确题目是要求解决排列问题还是组合问题，以及其他具体要求。
2. 理解问题模型：根据题目要求，理解问题的模型和背景，例如涉及的元素数量、需要进行的操作等。
3. 建立数学方程：根据排列或组合的定义和计算公式，建立相应的数学方程进行求解。
4. 执行计算：使用相应的计算方法（如阶乘、组合数公式等）进行计算，得到结果。
5. 整合答案：将计算结果整合为问题的答案。
需要注意的是，在解决排列组合问题时，需要注意以下问题：1. 排列与组合的区别与联系：排列需要考虑元素的顺序，而组合则不需要考虑元素的顺序；同时，排列和组合的计算公式不同。
2. 特殊情况的处理：例如，相同元素的排列或组合问题、有限制条件的排列或组合问题等。
3. 数学基础知识的掌握：涉及阶乘、组合数等数学概念和计算方法需要熟练掌握。
排列组合计算公式举例说明
排列组合计算公式举例说明排列组合是数学中常用的计数方法，用于计算一些集合中的元素的不同组合和排列的总数。
排列是从集合中选择一定数量的元素进行组合，并按照一定的顺序进行排列。
组合是从集合中选择一定数量的元素进行组合，不考虑元素的顺序。
下面将分别说明排列和组合的计算公式，并给出具体的例子。
一、排列：排列的计算公式是P(n,r)=n!/(n-r)!，其中P表示排列，n表示集合中的元素总数，r表示选择的元素数量，!表示阶乘。
例1：有5只猫排成一排，问有多少种不同的排列方式。
解：根据排列的计算公式，可以得到P(5,5)=5!/(5-5)!=5!/0!=5!=5×4×3×2×1=120，所以有120种不同的排列方式。
例2：有10本书，从中选出3本书排成一排，问有多少种不同的排列方式。
解：根据排列的计算公式，可以得到P(10,3)=10!/(10-3)!=10!/7!=10×9×8=720，所以有720种不同的排列方式。
二、组合：组合的计算公式是C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)，其中C表示组合，n表示集合中的元素总数，r表示选择的元素数量，!表示阶乘。
例1：有6只猫，从中选择3只猫，问有多少种不同的组合方式。
解：根据组合的计算公式，可以得到C(6,3)=6!/(3!×(6-3)!)=6!/(3!×3!)=6×5×4/(3×2×1)=20，所以有20种不同的组合方式。
例2：有8个人，从中选出4个人组成一个委员会，问有多少种不同的组合方式。
解：根据组合的计算公式，可以得到C(8,4)=8!/(4!×(8-4)!)=8!/(4!×4!)=8×7/(2×1)=28，所以有28种不同的组合方式。
排列组合在实际生活中有很多应用，例如：1.彩票中奖号码的排列组合：在选择彩票号码时，我们有时会从1到49中选择6个数字组成一组号码，这就是一种排列组合的问题。
数学组合知识点讲解
数学组合知识点讲解排列组合公式/排列组合计算公式排列p------和顺序有关组合c-------不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.排列把5本书分给3个人，有几种分法组合1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.p(n，m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n，m)表示.c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).排列(pnm(n为下标，m为上标))pnm=n(n-1)....(n-m+1);pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;pn1(n为下标1为上标)=n组合(m(n为下标，m为上标))m=pnm/pmm;m=n!/m!(n-m)!;n(两个n分别为上标和下标)=1;1(n为下标1为上标)=n;m=n-m2008-07-0813：30公式p是指排列，从n个元素取r个进行排列。
公式c是指组合，从n个元素取r个，不进行排列。
《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
排列组合计算公式怎么算
排列组合计算公式怎么算排列组合是概率和统计中的一个基本概念。
它与对象的排列和组合方式有关，用于计算可能的结果的数量。
在实际应用中，排列组合常被用于数学、计算机科学、工程等领域。
本文将介绍排列和组合的基本概念，以及如何计算排列组合的公式。
排列是指从给定的对象集合中选取若干对象，按照一定的顺序进行排列。
组合是指从给定的对象集合中选取若干对象，不考虑其顺序。
下面将详细介绍这两种概念。
一、排列：排列是指从给定的对象集合中选取若干对象，按照一定的顺序进行排列。
假设有n个不同的对象，要从中选取r个对象进行排列，可以得到排列的公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，P(n,r)表示从n个对象中选取r个对象进行排列的可能性，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。
例如，假设有5个不同的球，要从中选取3个进行排列，那么可计算得到：P(5,3) = 5! / (5-3)!= 5! / 2!= 5×4×3×2×1 / 2×1= 5×4×3= 60所以，从5个不同的球中选取3个进行排列的可能性有60种。
排列也可以用数学符号表示为P(n,r)。
二、组合：组合是指从给定的对象集合中选取若干对象，不考虑其顺序。
假设有n个不同的对象，要从中选取r个对象进行组合，可以得到组合的公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)其中，C(n,r)表示从n个对象中选取r个对象进行组合的可能性，n!表示n的阶乘，r!表示r的阶乘。
例如，假设有5个不同的球，要从中选取3个进行组合，那么可计算得到：C(5,3) = 5! / (3!(5-3)!)= 5! / (3!×2!)= 5×4 / (2×1)= 10所以，从5个不同的球中选取3个进行组合的可能性有10种。
【小站教育】GMAT数学知识点专题五 - 排列组合与概率
n n 专题五：排列组合与概率1. Permutation & combination: 排列与组合n ①P m n= m !/(m - n )! 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
② C m= m !/ n !(m - n )! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
n m -n ③C m = C m④ 加法原理： 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 中方 法完成，则这件事可由(m +n )种方法来完成。
例：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机还有战斗机与民航，轮船有小 鹰号和泰坦尼克号，问有多少种走法？⑤ 乘法原理：某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 中方 法完成，则这件事可由 m x n 种方法来完成。
例：到美利坚去，先乘飞机，再坐轮船，其中飞机还有战斗机与民航，轮船有小鹰号和泰坦尼克号，问有多少种走法？2. Probability: 概率①第一步：概率基本原理（古典定义）P(A)=A 所包含的基本事件数/基本事件总数。
例 1：某班有男生 30 名，女生 20 名，问从中随机抽取一个学生，是男生的概率有多大》挑取两个全是男生的概率是多大呢？ 1 1 2 2 【解析】 P 1 ( A ) = C 30 / C 50 , P 2 ( A ) = C 30 / C 50②第二步：使用加法或者乘法原则 ③第三步：减法原则3. 伯努利公式：用于计算重复独立时间发生概率公式：P = C k × ��k× (1 − ��) n−k例：掷一枚均匀硬币 2n 次，求出现正面 k 次的概率【解析】P = C k × 0.5k × (1 − 0.5)2n −k。
排列与组合的计算公式讲解
排列与组合的计算公式讲解排列与组合，这可是数学世界里相当有趣的一部分呢！咱先来说说排列。
排列呀，就是从给定的元素中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如说，从 5 个不同的水果里，选 3 个排成一排，这就叫排列。
那排列的计算公式是啥呢？咱记好了哈，A(n, m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如说 5! 就是 5×4×3×2×1 。
我给您举个例子哈。
有一次我去超市买水果，看到苹果、香蕉、橙子、草莓和芒果。
我就想，如果我要选 3 种水果带回家，能有多少种不同的排列方式呢？按照排列公式，那就是 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! =5×4×3 = 60 种。
哇，原来有这么多种选择呢！再来说说组合。
组合呢，就是从给定的元素中，选取若干个元素组成一组，不考虑顺序。
还是拿水果举例，从 5 个水果里选 3 个组成一组，这就叫组合。
组合的计算公式是 C(n, m) = n! / [m!×(n - m)!] 。
比如说，还是那 5 种水果，我这次不考虑顺序，只要选 3 种，那组合的方式就是 C(5, 3) = 5! / (3!×(5 - 3)!) = 10 种。
那排列和组合有啥区别呢？简单说，排列是要考虑顺序的，组合不考虑。
比如说，从 A、B、C 三个字母中选两个进行排列，那 AB 和BA 是两种不同的排列；但要是组合的话，AB 和 BA 就算是一种。
咱在实际生活中，排列组合的应用可多啦。
比如说，安排座位，这就是排列；从一堆东西里选几个出来，不考虑顺序，就是组合。
再举个例子，学校组织运动会，要从 10 个同学里选 3 个参加跑步比赛，这就是组合；但要是决定这 3 个同学的出场顺序，那就是排列啦。
总之，排列组合的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多联系实际，就能很好地掌握啦。
就像我们在生活中面对各种选择一样，有时候顺序重要，有时候不重要，搞清楚这一点，排列组合也就不难理解啦！希望您通过我的讲解，能对排列组合的计算公式有更清楚的认识，在数学的世界里畅游得更欢快！。
gre数学排列组合公式
小马过河国际教育
摘要：gre数学排列组合经常会考到的，所以gre数学排列组合公式非常重要，考生如果想拿到这类题型的分数，必须要先掌握gre数学部分排列组合概念和基本公式。
下面小马过河小编就给大家简单地介绍一下相关知识。
排列(Permutation)组合(Combination)
(一)概念
1.排列与组合的区别：
将一个事件内的元素的顺序调换，如果这个事件不变，那么是组合问题;如果这个事件改变，那么是排列问题。
排列问题要考虑位置关系，组合问题不需要考虑位置关系。
2.乘法原理与加法原理：
乘法原理：要完成一件事情，如果要分为n个步骤，第k类方法有m*k种方法，那么完成这件事情的方法总数为：m1*m2*m3……mn。
加法原理：要完成一件事情，如果有n类方法，第k类方法有m*k种方法，那么完成这件事情的方法总数为：m1+m2+m3……+mn。
(二)基本公式：
从n个不同的元素中任取m个不同的元素的排列数为：
从n个不同的元素中任取m个不同的元素的组合数为：
组合性质：
gre数学排列组合公式其实除了考察考生的公式运算能力，也比较锻炼考生的逻辑思维。
只要考生平时多注意练习和总结，相信这部分一定不成问题。
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(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列组合公式及例题方法PPT课件
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.转化法（插拔法）
解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多 少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排, 在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一 个,即可将白球分成8份,显然有 C种171 不同的放法,所以名 额分配方案有 种C17.1
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊
的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所 涉及问题是排列问题. 插空法
解 先排学生共有 A种88 排法,然后把老师插入学生之间 的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
例题 例题2 1例题4 例题
例题3 例题6
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3
1.排列的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.
3.排列数公式: Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
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分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有 C种453 ,正副班长,团支部书
排列组合公式讲解
排列组合公式讲解排列组合是数学中一个很有趣也很实用的部分，它能帮我们解决好多生活中的问题呢。
咱先来说说排列。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，有多少种排法？这就是排列问题。
排列的公式是：A(n, m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
举个例子吧，咱们班要选 3 个同学去参加比赛，有 5 个同学报名，那选法有多少种？按照排列公式，A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5 × 4 × 3 = 60 种。
这就意味着有 60 种不同的选人方式。
再来说说组合。
组合就是从一堆东西里选出几个，不考虑顺序。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个，不管怎么排，有多少种选法？这就是组合问题。
组合的公式是：C(n, m) = n! / [m! × (n - m)!] 。
就像学校要从 10 个社团里选 4 个参加活动，有多少种选法？用组合公式 C(10, 4) = 10! / [4! × (10 - 4)!] = 210 种。
还记得有一次，我们学校组织运动会，要从 8 个比赛项目中选 3 个作为班级的参赛项目。
这时候就得用组合，因为选出来就行，不考虑比赛项目的顺序。
我们算出来有 56 种选法。
大家就开始讨论，到底选哪 3 个项目能让我们班更有优势。
有的同学说选跑步，因为咱们班短跑厉害；有的说选跳远，因为有个同学跳得特别远。
最后经过一番讨论和分析，我们选了跑步、跳远和跳绳。
其实排列组合在生活中的应用可多啦。
比如买彩票，号码的排列组合就决定了你中不中奖；还有安排座位，从一堆座位里选几个给特定的人坐，这也涉及到排列组合。
总之，排列组合虽然听起来有点复杂，但只要咱们掌握了公式，多做几道题，就能熟练运用啦。
说不定以后在解决实际问题的时候，它就能派上大用场呢！。
【小站教育】GRE数学—排列组合公式及例题讲解
GRE 数学—排列组合公式及例题讲解排列 A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5 本不同的书分给3 个人,有几种分法. "排列"把5 本书分给3 个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Anm(n 为下标，m 为上标)）Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n 为下标1 为上标）=n组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)）Cnm=Anm/Amm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n 为下标1 为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式A 是指排列，从N 个元素取R 个进行排列。
排列组合和排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列组合例题与解析
排列组合例题与解析【公式】r n!P n= (n-r)!rr n! P n n-rC n= r!(n-r)! = r! =C n例题分析：1．首先明确任务的意义例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，C（2,10）*2*P（2,2）=90*2*2，因而本题为360。
例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。
若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，∴ 本题答案为：=56。
2．分析是分类还是分步，是排列还是组合注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择；第三类：A在第三垄，B有一种选择，同理A、B位置互换，共12种。
例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
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百度文库 - 让每个人平等地提升自我GRE数学—排列组合公式及例题讲解排列 A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5 本不同的书分给3 个人,有几种分法. "排列"把5 本书分给3 个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Anm(n 为下标，m 为上标)）Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n 为下标1 为上标）=n组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)）Cnm=Anm/Amm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n 为下标1 为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式A 是指排列，从N 个元素取R 个进行排列。
公式C 是指组合，从N 个元素取R 个，不进行排列。
N-元素的总个数R 参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N 倒数r 个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从 n 到（n-r+1)个数为 n－（n-r+1)＝r举例：Q1: 有从1 到9 共计9 个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123 和213 是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列A”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997 之类的组合，我们可以这么看，百位数有 9 种可能，十位数则应该有9-1 种可能，个位数则应该只有9-1-1 种可能，最终共有9*8*7 个三位数。
计算公式＝A（3，9)＝9*8*7,(从9 倒数3 个的乘积）Q2: 有从1 到9 共计9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213 组合和312 组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1 设有3 名学生和4 个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例 2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3 类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9 种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11 人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共 10 人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2 名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有 8 盆花：①从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2 盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5 位高中毕业生，准备报考3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5 个学生中每人都可以在3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有 3 种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽2 3象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例 2 由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000 的 偶数共有( )A.60 个B.48 个C.36个 D.24 个解 因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有 A 1 ；小于 50 000 的五位数，万位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有 A 1 ;在首末两位数排定后，中间 3 个位数的排法有 A 3 ，得 A 1 A 3 A 1 ＝36(个)3 3 3 2由此可知此题应选 C.例 3 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里，每 格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少 种?解： 将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不 相同的填法有 3 种，即 214 3，3142，4123；同样将数字 1 填入第 3 方 格，也对应着 3 种填法；将数字 1 填入第 4 方格，也对应 3 种填法，因 此共有填法为33A 1=9(种).例四 例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例 4 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型与乙型电视机各 1 台，则不同的取法共有()A.140 种B.84 种C.70 种D.35种解：抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有 C 1 ·C 2种；甲 4 5型 2 台乙型 1 台的取法有 C 2 ·C 1 种 4 5根据加法原理可得总的取法有C 22 2 1 4·C 5+C 4·C 5=40+30=70(种 )可知此题应选 C.8 5 4 2 10101010例 5甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程，甲公司承包 3 项，乙公司承包 1 项，丙、丁公司各承包 2 项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从 8 项工程中选出 3 项工程的方式 C 3种；乙公司从甲公司挑选后余下的 5 项工程中选出 1 项工程的方式有 C 1种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的 4 项工程中选出 2 项工程的方式有 C 2种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的 2 项工程中选出 2 项工程的方式有 C 2种.根据乘法原理可得承包方式的种数有 C 3 8×C 1 ×C 2 ×C 2 = ×1=1680(种). 5 4 2(四)二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中 它是常用的基础知识 ，从 1985 年至 1998 年历届高考均有这方面的题 目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空 题.例 6 在(x- )10 的展开式中，x 6 的系数是( )A.-27C 6B.27C 4C.-9C 6D.9C 410x 6解设(x- )10 的展开式中第 γ+1 项含 x 6，因 T γ+1=C γ 10-γ(-) γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第 5 项含 x 6，第 5 项系数是 C 4 (- )4=9C 4 10 10故此题应选 D.例 7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的 x ２的系 数等于解：此题可视为首项为 x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前 5 项的和，则其和为在(x-1)6 中含 x 3 的项是 C 3 x 3(-1)3=-20x 3，因此展开式中 x 2的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例 8 若(2x+ )4=a +a x+a x 2+a x 3+a x 4，则(a +a +a )2-(a +a )2的值为0 1 2 3 4 0 2 4 1 3( )A.1B.-1C.0D.2解：A.例 9 2 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检，每校分配 1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6 种B.12 种C.18 种D.24 种解分医生的方法有A2 ＝2 种，分护士方法有C2 =6 种，所以共有6×22 4＝12 种不同的分配方法。