参数方程完全解析非原创
参数方程及其图形(很全面的)
1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))3.螺旋线(Helical curve) 圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 85.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=06.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t7.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*209.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)10.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^311.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*36012.圆螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=014.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）15.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做16.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b17.4叶线（一个方程做的，没有复制）18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =020.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t21.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=023. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)24.长短幅圆旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)26. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)29.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)31.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x32.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)33.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/234.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/235.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))。
高考数学中的参数方程解析技巧
高考数学中的参数方程解析技巧高中数学中，参数方程是一个比较重要的知识点，它在高考中也经常出现。
在考场上如何快速解析参数方程是一个必备的技巧。
本文将从以下几个方面探讨高考数学中的参数方程解析技巧。
一、掌握参数方程的基本概念和性质首先，我们需要掌握参数方程的基本概念和性质。
参数方程就是用一个或多个变量来表示一组解的方程，通常是用二元函数表示。
例如，设：x=f(t) , y=g(t) ，则称x，y是由参数t确定的一组函数或者向量。
又如，曲线的参数方程可以表示为：x=cos t, y=sin t。
同时，我们还需要了解参数方程的基本性质。
比如，当参数t取遍一个区间时，对应的点以一定的方式运动，从而构成一个曲线(或者说路径)。
因此，参数方程很适合用来表示一些曲线、轨迹等形状。
二、常见的参数方程解题方法1、画图法：画出参数曲线的关键点和性质，如切线斜率、弧长等，利用图形解决问题。
2、换元法：将复杂的参数方程化简成简单的形式，以便求解。
比如，将参数方程中的sin t，cos t换成tan t，以求得此函数的导数。
3、消元法：当问题中只需求出一种变量的值时，可以通过解方程组，消元得到所求的变量。
例如，已知x=f(t) , y=g(t)，求y=f(x) 时，可以用消元法解得。
4、向量法：参数方程中的x，y一般可以看作是向量的i,j分量。
因此，我们可以构造出向量的形式，利用向量的性质解题。
三、解析参数方程的常见技巧1、化简参数方程：通过变形，将参数方程化为指数函数、三角函数等常见函数形式，以便于求导。
2、求导、求导数：通过求导，可以求出参数曲线的切线斜率、曲率等性质，以便于解析问题。
3、曲率半径：利用曲率半径和曲率公式，可以求出参数曲线上任意一点的曲率半径。
4、求交点、对称点：通过等式联立，求得参数方程下两曲线的交点坐标。
通过在参数方程下的对称关系求得参数曲线下的对称点。
四、例题分析1、设直线 L ： y=x+k（k > 0），曲线 C 的参数方程为 x=cost ，y=sin(t+θ). 试确定θ的取值范围，并解决直线 L 在曲线 C 上的截距。
高考参数方程解题技巧
高考参数方程解题技巧极坐标和参数方程是高中数学中重要的知识点,也是高考考查的一个重要内容。
下面是店铺为你整理关于高考参数方程解题技巧的内容，希望大家喜欢!高考参数方程解题技巧1、利用导数研究函数的单调性问题设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)>0，则f(x)为增函数;如果f'(x)<0则f(x)为减函数。
反之亦然。
高考常以函数单调区间、单调性证明等问题为载体，考查导数的单调性质和分类讨论思想的应用。
(20)(安徽文本小题满分14分)设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R, 其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).(Ⅰ)求g(t)的表达式;(Ⅱ)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.20.(福建文本小题满分12分)设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R，t>0).(Ⅰ)求f(x)的最小值h(t);2)恒成立，求实数m的取值范围. (Ⅱ)若h(t)<-2t+m对t∈(0，x2x22、利用导数求解函数极(最)值问题设y=f(x)为可导函数，函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零或不存在且该点两侧的导数异号;定义在闭区间上的初等函数必存在最值，它只能在区间的端点或区间内的极值点取得。
高考常结合求函数极值(最值)、参数取值范围、解决数学应用等问题考查导数最值性质在函数问题中的应用。
19.(北京理本小题共13分)如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S. A为r，计轴，上底(I)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域;(II)求面积S的最大值.19.(湖南理本小题满分12分)如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0ο<θ<90ο)，且sinθ=2，点P到平面α5的距离PH=0.4(km).沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用.从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为a万元/km.当山坡上公路长度为lkm(1≤l≤2)时，2其造价为(l2+1)a万元.已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5(km)，OA=.(I)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小; (II) 对于(I)中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小.(III)在AB上是否存在两个不同的点D'，E'，使沿折线PD'E'O修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价，证明你的结论.AOEDB P H3、利用导数的几何意义解决有关切线问题函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)是曲线y=f(x)在点(x0.f(x0))处切线的斜率。
数学人教A版选修4-4单元整合学案：第二讲参数方程 含解析 精品
单元整合知识网络专题探究专题一曲线的参数方程与普通方程的互化(1)将直线的参数方程转化为普通方程，需要消去参数t，其一般步骤为：①将参数t用变量x表示；②将t代入y的表达式；③整理得到x，y的关系，即为所求的普通方程．(2)参数方程与普通方程的区别与联系．曲线的普通方程F(x，y)＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量x与y之间的直接联系；而参数方程x＝f(t)，y＝g(t)(t为参数)是通过参数t反映坐标变量x与y之间的间接联系．曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数和两个方程，变数的个数比方程的个数多1，从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的．(3)参数方程与普通方程是同一曲线的两种不同形式．参数方程普通方程，可见普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式．【应用1】已知圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，那么圆的参数方程为()A．cos,sin x ry rϕϕ=⎧⎨=⎩B ．(1cos ),sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩ C ．cos ,(1sin )x r y r ϕϕ=⎧⎨=+⎩ D ．(1cos 2),sin 2x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩ 解析：如图，设圆心为O ′，连接O ′M.∵O ′为圆心，∴∠MO ′x ＝2φ.∴cos 2,sin 2.x r r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩ 答案：D【应用2】求在下列条件下普通方程4x 2＋y 2＝16对应的参数方程．(1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0,4)的直线的斜率k 为参数．提示：对于(1)，可以直接把y ＝4sin θ代入已知方程，解方程求出x 即可；对于(2)，可寻找斜率k 与此方程任一点的坐标之间的关系来求解．解：(1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ. 所以x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)设M (x ，y )是曲线4x 2＋y 2＝16上异于A 的任一点，则y －4x＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0. 所以2228,44164k x k k y k ⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩(k 为参数)，易知A (0,4)也适合此方程．另有一点0,4.x y =⎧⎨=-⎩. 所以所求的参数方程为2228,44164k x k k y k ⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩(k 为参数)和0,4.x y =⎧⎨=-⎩ 专题二 曲线参数方程的应用曲线的参数方程通过参数反映坐标变量x ，y 之间的间接关系．其中的参数一般具有相应的几何意义或物理意义．利用参数来表示曲线的方程时，要充分注意参数的取值范围．常用参数方程研究最值问题、求轨迹方程、证明恒等式等．【应用1】求点M 0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M 与点M 0距离的最小值)．解：把双曲线方程化为参数方程sec ,tan x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． 设双曲线上的动点为M (sec θ，tan θ)，则|M 0M |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝tan 2θ＋1＋tan 2θ－4tan θ＋4＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，当tan θ－1＝0，即tan θ＝1时，|M 0M |2取最小值3，此时有|M 0M |＝3，即点M 0到双曲线的最小距离为 3.【应用2】椭圆x 216＋y 24＝1上有P ，Q 两点，O 为椭圆中心，OP ，OQ 的斜率分别为k OP ，k OQ ，且k OP ·k OQ ＝－14. (1)求|OP |2＋|OQ |2的值；(2)求线段PQ 中点的轨迹方程．提示：利用椭圆的参数方程，设出P ，Q 的坐标，再依题意求解．解：(1)设P (4cos θ1,2sin θ1)，Q (4cos θ2，2sin θ2)．因为k OP ·k OQ ＝－14， 所以2sin θ14cos θ1·2sin θ24cos θ2＝－14.所以cos(θ1－θ2)＝0.所以θ1－θ2＝k π＋π2(k ∈Z )． 所以sin 2θ1＝cos 2θ2，cos 2θ1＝sin 2θ2. 所以|OP |2＋|OQ |2＝16cos 2θ1＋4sin 2θ1＋16cos 2θ2＋4sin 2θ2＝20，即|OP |2＋|OQ |2＝20.(2)设PQ 的中点为(x ，y )，则12122(cos cos ),sin sin .x y θθθθ=+⎧⎨=+⎩ 所以x 24＋y 2＝(cos θ1＋cos θ2)2＋(sin θ1＋sin θ2)2＝2＋2cos(θ1－θ2)＝2. 所以PQ 中点的轨迹方程为x 28＋y 22＝1.。
参数方程讲义
参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程1．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率．2．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，求k 的值．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，求PF 的值．4．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t ，y ＝3t (t 为参数)，求直线l 与曲线C 相交所截的弦长．题型一 参数方程与普通方程的互化例1 (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．(2)在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A ，B 两点，求AB 的长．思维升华 消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．(1)求直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．题型二 参数方程的应用例2 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．思维升华 已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例3 (2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值．思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π4)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点． (1)求圆心的极坐标； (2)求△P AB 面积的最大值．1．将参数方程化为普通方程是解决问题的一般思路，体现了化归思想．2．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.A 组 专项能力提升(时间：50分钟)1．求直线⎩⎨⎧x ＝1－12t ，y ＝32t(t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长．2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，求切线的倾斜角．3．已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程．4．(2015·湖北)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求AB 的长．5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin(θ＋π4)＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)7．(2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．8．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．。
高中数学参数方程知识点详解(讲义+过关检测+详细答案)
5．【答案】D
【解析】 x2 t, y2 1 t 1 x2, x2 y2 1,而t 0, 0 1 t 1,得0 y 2 .
4
4
6.【答案】D
【解析】圆
x=2 cos，
的圆心为原点，半径为
y =2 sin
2，
则圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离为 9 ，小于半径 2，故直线与圆相交. 5
D．(1, 3)
2.已知某曲线的参数方程为 xy==ccooss2， +1，则该曲线是（
）
A．直线
B．圆
C．双曲线
3.若一直线的参数方程为
x
x0
1 2
t
（t 为参数），则此直线的倾斜Байду номын сангаас为（
y
y0
3t 2
A．30º
B. 60º
C．120º
4．若点
P(4，a)在曲线
x＝
t 2
(t 为参数)上，点 F(2，0)，则|PF|等于(
)
y＝2 t
A．4
B．5
C．6
D．抛物线 ） D．150º
D．7
5．与参数方程为
x
t
(t为参数) 等价的普通方程为（ ）
y 2 1 t
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1(0 x 1) 4
C. x2 y2 1(0 y 2) 4
D． x2 y2 1(0 x 1, 0 y 2) 4
y2 b2
1（ a
0 , b 0 ）的参数方程为：
x a sec
y
b
tan
（
为参数，
[0, 2 ) 且
, 2
3 2
高中数学知识点精讲精析 参数方程
3.4参数方程1、定义一般地，在直角坐标系中如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数，反过来，对于t 的每个允许值，由函数式所确定的点P 都在曲线上，那么方程叫做曲线C 的参数方程．t 叫参变量． 2． 直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点.此时2||cos 1v α==，0||||||P P tv t ∴==，因而||t 恰好为线段0PP 的长度。
事实上，若规定了直线l 的方向，则t 的几何意义如下：当0t >时，0P P 与l 有相同的方向，且0||t P P =；当0t <时，0P P 与l 有相反的方向，且0||t PP =-；当0t =时，P 与0P 的重合.由此可见，直线的参数方程的标准式是直线的参数方程的特殊形式，它的特点是参数t 的几何意义非常明显，在解决有关线段长度的问题时显得十分简便. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221tt + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 3.直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）4．圆的参数方程1）圆的参数方程的推导（1）设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0POP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系：当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化． 设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别表示 成以θ为自变量的函数？根据三角函数的定义，cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩， ①显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。
高考数学中的参数方程问题解析
高考数学中的参数方程问题解析在高考数学中，参数方程是一个比较重要的概念。
我们知道，对于平面上的一条曲线，我们可以使用直角坐标系下的函数来表示它。
但是，在一些特殊情况下，我们使用参数方程会更加方便。
本文将从基础概念出发，对高考数学中的参数方程问题进行解析，希望对广大考生有所帮助。
一、基础概念1、参数在代数中，我们经常使用字母来代表某个数。
例如，我们常常用x来表示未知数。
在参数方程中，我们同样使用字母来代表一个数，这个数我们称之为“参数”。
2、参数方程参数方程是用参数表示函数中每一个元素的表达式。
例如，平面上的一个点可以用它在x轴和y轴上的坐标表示，也可以用参数方程表示。
对于坐标为(x,y)的点，可以用以下参数方程表示：x = 2ty = t + 1其中，t是任意实数。
3、消参在有些时候，我们需要将参数方程转化成直角坐标系下的函数表示。
这个操作被称为“消参”。
假设有一个参数方程：x = ty = 2t + 1我们可以将x的值带入y的式子中，得到：y = 2x + 1这个式子就是原来参数方程所表示的曲线在直角坐标系下的表达式。
二、常见问题1、判断曲线的类型我们已经知道，参数方程可以描述平面上的任意一条曲线。
但是，不同的参数方程所描述的曲线类型可能不同。
例如，以下参数方程可以描述一个抛物线：x = ty = t²以下参数方程可以描述一个圆：x = cos(t)y = sin(t)对于每一个参数方程，我们需要分析它所描述的曲线的性质，才能正确理解和解决问题。
2、一次代数式在高考数学中，我们经常需要求一个参数方程所表示的曲线在直角坐标系下的方程。
如果这个曲线可以表示成一次代数式，那么求解就比较简单了。
例如，以下参数方程：x = 2t + 1y = 3t - 5我们可以将x和y联立，解出t的值，再将t的值带入任一方程中，得到:y = 3x - 11这个式子就是原来参数方程所表示的曲线在直角坐标系下的方程。
参数方程_精品文档
参数方程参数方程是一种数学描述形状的方法，通过给定参数的范围，可以得到一系列点的坐标，进而得到形状。
在许多科学和工程领域中，参数方程被广泛应用。
什么是参数方程参数方程是一种使用参数变量来描述形状的方法。
通常情况下，我们使用的坐标系是直角坐标系，其中一个点的坐标由它在 x 轴和 y 轴上的投影得到。
但是在参数方程中，我们使用参数变量 t 来表示一个点的位置。
通过改变参数 t 的值，我们可以得到一系列点的坐标，这些点连接在一起可以形成一个曲线。
参数方程的表示方法参数方程可以用以下形式表示：x = f(t)y = g(t)这里的 f(t) 和 g(t) 是两个关于参数变量 t 的函数。
通过给定参数 t 的范围，我们可以计算出相应的 x 和 y 坐标。
参数方程的例子让我们来看一个简单的例子：绘制一个圆。
圆的参数方程可以表示为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中 r 是圆的半径，t 是参数变量，在范围[0, 2π] 内变化。
通过改变参数 t 的值，我们可以计算出圆上一系列点的坐标，从而绘制出整个圆。
参数方程的优点参数方程有一些独特的优点，使它在某些情况下比直角坐标系更有用：1.参数方程可以轻松地描述曲线的弯曲和扭曲，而直角坐标系可能需要更复杂的表达式。
2.参数方程可以很容易地绘制出一些具有特殊形状的曲线，如椭圆、双曲线等。
3.参数方程可以轻松地描述一些与时间相关的现象，如物体在空中的轨迹。
参数方程的应用参数方程在科学和工程领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.物理学中，参数方程可以用来描述物体在空间中的运动轨迹，如抛体运动、行星运动等。
2.工程学中，参数方程可以用来描述曲线的形状，如航线规划、平面曲线设计等。
3.计算机图形学中，参数方程可以用来描述二维和三维模型的形状，如计算机动画、三维建模等。
参数方程的总结参数方程是一种描述形状的方法，通过使用参数变量 t，我们可以得到一系列点的坐标，从而形成曲线或者其他形状。
高考参数方程知识点讲解
高考参数方程知识点讲解高考数学中，参数方程是一个比较重要的知识点。
参数方程是一种以参数形式表示的函数，通过引入一个或多个参数，可以更灵活地描述图形在坐标平面上的运动轨迹。
接下来，我们将对参数方程的相关知识点进行讲解。
1. 参数方程的概念及表示方式在解析几何中，参数方程是用参数表示一个集合点的位置所满足的运算关系。
一般来说，参数方程通过引入独立变量（或称为参数），从而将平面上的点与参数之间建立起一种对应关系。
参数方程的标准形式可以写作：x = f(t)，y = g(t)，其中x和y是平面上的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。
2. 参数方程的图形表示参数方程可以用于描述一条曲线在平面上的运动轨迹。
以二维平面为例，我们可以通过改变参数t的取值范围，使得曲线上的点在平面上运动。
通过适当地选择参数的取值范围，可以得到曲线的各个特点，例如曲线的形状、方向等。
3. 参数方程与直角坐标方程的转换在解题时，有时我们需要将参数方程转换为直角坐标方程，或者将直角坐标方程表示为参数方程。
这种转换可以帮助我们更好地理解和分析问题。
将直角坐标方程转换为参数方程时，我们可以通过引入适当的参数，将曲线上的点与参数建立起一一对应的关系，从而得到参数方程的表示式。
相反地，将参数方程转换为直角坐标方程时，我们需要通过消元法或代数运算将参数方程表示为关于x和y的等式。
这样，在直角坐标系下，我们可以得到曲线的方程。
4. 参数方程的应用参数方程在物理学、力学等领域有着广泛的应用。
通过引入参数，我们可以更好地描述和分析运动过程中物体的位置、速度、加速度等物理量。
在几何学中，参数方程可以用于描述曲线的性质和形状。
例如，通过引入角度参数，我们可以得到单位圆的参数方程，进而分析圆的性质。
参数方程也可以用于描述曲线的运动轨迹、曲率等特征。
此外，参数方程还可以用于解决几何题。
在解题过程中，我们可以通过构造合适的参数方程，将问题转化为方程组求解或参数边界求解等数学问题。
高中数学第二讲参数方程本讲高考热点解读与高频考点例析学案含解析新人教A版选修429
(t 为参数 )，消去参数得 y＝ x·tan α.
y＝ tsin α
设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 kx－ y＝ 0. 由圆 C 的方程 (x＋6)2＋ y2＝25 知，圆心坐标为 (－ 6,0)，半径为 5.
又 | AB | ＝ 10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 36k2 90 1＋ k2＝ 4 ，
马鸣风萧萧整理
(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3cos α， sin α)．
因为 C2 是直线，所以 | PQ| 的最小值即为 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值，
| 3cosα＋ sin α－ 4|
π
d(α)＝
2
＝ 2 sin α＋ 3 － 2 ，
π
31
当且仅当 α＝ 2kπ＋6(k∈ Z) 时，d(α)取得最小值， 最小值为 2，此时 P 的直角坐标为 2， 2 .
x2 y2
x＝2＋ t，
3． (全国卷Ⅰ )已知曲线 C： 4 ＋ 9 ＝ 1，直线 l： y＝ 2－ 2t (t 为参数 )．
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求 | PA| 的最大值与 最小值．
x＝ 2cos θ，
解： (1)曲线 C 的参数方程为
(θ为参数 )．
y＝3sin θ
直线 l 的普通方程为 2x＋ y－ 6＝ 0.
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
5 (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ， 3sin θ)到 l 的距离为 d＝ 5 |4cos θ＋ 3sin θ－ 6| ，
数学参数方程知识点总结8篇
数学参数方程知识点总结8篇第1篇示例：数学中的参数方程是一种常用的描述曲线、曲面的方法，它的应用非常广泛，涉及到几何、物理、工程等各个领域。
掌握数学参数方程的知识对于深入理解数学的原理和应用非常重要。
下面将对数学参数方程的相关知识点进行总结。
一、参数方程的定义参数方程是指用一个或多个参数表示的方程。
通常情况下，参数方程用t表示参数。
比如一个二维曲线的参数方程可以表示为x=f(t),y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别表示曲线上点的横坐标和纵坐标关于参数t 的函数。
1. 描述曲线的形状参数方程可以用来描述各种不规则曲线，如螺旋线、心形曲线等。
通过选择合适的参数函数，可以绘制出各种形状独特的曲线。
2. 计算曲线的长度对于参数方程表示的曲线，可以利用微积分的知识计算曲线的长度。
通过计算曲线上相邻两点之间的距离，对其进行积分求和，可以得到曲线的长度。
曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标。
利用参数方程表示的曲线可以通过求导计算出曲线的曲率，并进一步研究曲线的几何性质。
4. 综合应用在物理学、工程学等领域中，参数方程的应用非常广泛。
比如在物体运动学的研究中，可以用参数方程描述物体在空间中的运动轨迹，从而计算速度、加速度等物理量。
三、参数曲面方程除了参数方程可以描述曲线外，参数方程也可以用来描述曲面。
一个三维曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v), y=g(u,v), z=h(u,v)，其中f(u,v)、g(u,v)、h(u,v)分别表示曲面上点的三个坐标关于参数u,v的函数。
四、常见参数曲线1. 抛物线：x=t, y=t^2。
这个参数方程描述了抛物线的形状，t的取值范围可以确定抛物线的长度和位置。
2. 圆弧：x=a\cos t, y=a\sin t。
这个参数方程描述了以原点为圆心、半径为a的圆的圆弧。
五、总结第2篇示例：数学中的参数方程是一种描述曲线或曲面的方法，它利用参数表示曲线或曲面上的点的位置。
参数方程完全解析(非原创)
（2）
∴当
，即
时，
.
选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按 ctrl 点击打开)
9
解析：∵点 P 是椭圆
上的点，∴ 可设
，q?[0，2p].
P 到 l 的距离
.
当
时，即
时，
，此时 P 点坐标为
.
当
即
时，
，此时 P 点坐标为
.
总结升华：利用参数方程求最值是很常见的一种方法，利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。
举一反三：
【变式 1】求椭圆 【答案】：设
上的点到直线 : 到 的距离为 ，则
（3）化为普通方程，并作图
（4）若 t≥0， 化为普通方程，并作图.
【答案】：（1）若点 P 在曲线上，则可以用参数 t 表示出 x, y，即可以求出相应 t 值.
所以，令 同理，令
， ∴t 无解，∴ 点 P1 不在曲线 C 上. ， ∴ 点 P2 在曲线 C 上.
6
（2）∵Q 在曲线 C 上， ∴
进行三角代换转化为参数方程。
解析：配方得圆的标准方程
令 总结升华：
， 得圆的参数方程为
圆与椭圆的普通方程转化为圆与椭圆的参数方程一般都是利用 举一反三： 【变式】化普通方程为参数方程。
（q 为参数）. 进行三角代换。
（1） 【答案】：（1）配方得圆的标准方程
（2） ，
令 （2）变形得
， 得圆的参数方程为
都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程
，叫做曲线的普通方程。
2. 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）
(2021年整理)高中数学参数方程知识点大全
（完整）高中数学参数方程知识点大全编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）高中数学参数方程知识点大全）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）高中数学参数方程知识点大全的全部内容。
高考复习之参数方程 一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程。
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化。
会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程(1）标准式 过点Po （x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l(如图）的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2）一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00（t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， | t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.直线参数方程的应用 设过点P 0（x 0，y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数)若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则 （1）P 1、P 2两点的坐标分别是（x 0+t 1cos α，y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α）； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1—t 2|;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=|221t t +｜ （4）若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0。
掌握参数方程的基本原理
掌握参数方程的基本原理参数方程是一种描述曲线的方法，通过给出曲线上每个点的坐标与某个参数之间的关系来定义曲线。
参数方程在数学、物理等领域有广泛的应用，掌握其基本原理对于理解和解决相关问题具有重要意义。
1. 参数方程的定义参数方程由两个或多个参数组成的函数表达式所组成。
常见的参数方程形式为：$x = f(t)$$y = g(t)$其中，$x$和$y$分别表示曲线上某点的$x$坐标和$y$坐标，$t$为参数。
2. 参数方程的优势相对于直角坐标方程，参数方程有以下优势：- 灵活性：参数方程可以描述复杂的曲线形状，包括曲线弯曲和自交等特点。
- 直观性：通过参数方程，可以直观地理解曲线上每个点与参数之间的关系。
- 精确性：参数方程可以表示无法通过直角坐标方程表示的曲线，如椭圆、双曲线等。
3. 参数方程的绘制为了绘制参数方程所描述的曲线，可以采取如下步骤：1. 选择参数范围：确定参数$t$的取值范围，一般需要根据曲线的形状和要求进行选择。
2. 计算坐标值：根据参数方程中的函数表达式，计算出曲线上每个点的坐标值。
3. 绘制曲线：根据计算所得的坐标值，在坐标系中绘制曲线。
4. 参数方程的应用参数方程在科学研究和工程应用中得到广泛的应用，如：- 物理学：参数方程可以描述粒子的运动轨迹，如抛物线运动、圆周运动等。
- 图形学：参数方程可用于绘制各种复杂的曲线和曲面，如贝塞尔曲线、球面等。
- 工程建模：参数方程可以描述建筑物、机械零件等的形状，有助于工程设计和分析。
5. 参数方程的拓展除了描述二维曲线外，参数方程还可以拓展到三维曲线和多维曲线的描述，为更复杂的几何问题提供了解决方法。
综上所述，参数方程是一种描述曲线的方法，具有灵活性、直观性和精确性等优势。
掌握参数方程的基本原理对于理解和运用数学、物理等领域的知识具有重要意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
参数方程目标认知学习目标：1.了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；2.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。
重点、难点：理解参数方程的概念及转化方法，重点掌握直线和圆的参数方程及椭圆的参数方程，并能利用它们解决一些应用问题；以及利用参数建立点的轨迹方程。
知识要点梳理:知识点一：参数方程1. 1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
2. 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等.把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化围。
互化时，必须使坐标x, y的取值围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的。
知识点二：常见曲线的参数方程1．直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。
（当在上方时，，在下方时，)。
（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：（为参数，为为常数，）；其中的几何意义为：若是直线上一点，则。
（3）若直线l的倾角a=0时，直线l的参数方程为.2．圆的参数方程（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。
（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3. 椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。
（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。
如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。
（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。
椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
4. 双曲线的参数方程双曲线（,）的参数方程为（为参数）。
5. 抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为（是参数）。
参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。
6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：（1）圆的渐开线的参数方程（是参数）；（2）摆线的参数方程（是参数）。
规律方法指导1.参数方程作为选考容，试题容涉及参数方程与普通方程的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及在解题中的应用中。
由于该容在高考试题的特殊位置，仅以填空题的形式出现一般为容易题或中等题。
以考察基础知识，基本运算为主。
2. 加强消参的技巧性学习，注意等价性，消参常用的方法有代入法、三角法、加减法等。
3.从数的角度理解，圆与椭圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆、椭圆问题提供了一条新的途径.经典例题精析类型一：参数方程与普通方程互化 1.已知圆的方程是，将它表示为圆的参数方程形式。
思路点拨:将圆的方程配方得圆的标准方程，然后利用平方和公式进行三角代换转化为参数方程。
解析：配方得圆的标准方程令，得圆的参数方程为（q为参数）.总结升华：圆与椭圆的普通方程转化为圆与椭圆的参数方程一般都是利用进行三角代换。
举一反三：【变式】化普通方程为参数方程。
（1）（2）【答案】：（1）配方得圆的标准方程，令，得圆的参数方程为（q为参数）.（2）变形得，令，得椭圆的参数方程为（q为参数）.2．把参数方程化为普通方程(1) (，为参数)；(2)(，为参数）；(3) (,为参数)；(4)(为参数).思路点拨:（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；（2）利用三角恒等式进行消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的围。
解析：（1）∵，把代入得；又∵,, ∴,,∴所求方程为：(,)（2）∵,把代入得.又∵，∴,. ∴所求方程为(,).（3）（法一）：,又，,∴所求方程为(,).（法二）：由得,代入,∴（余略）.（4）由得, ∴,由得,当时，；当时，，从而.法一:，即（），故所求方程为（）法二: 由得，代入得，即∴再将代入得，化简得.总结升华：1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。
2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值围，一般来说应分别给出、的围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.举一反三：【变式1】化参数方程为普通方程。
（1）(t为参数) ；（2）（t为参数）.【答案】：（1）由得，代入化简得.∵, ∴,.故所求方程为（，）（2）两个式子相除得，代入得，即.∵，故所求方程为().【变式2】（1）圆的半径为_________ ；（2）参数方程(表示的曲线为（）。
A、双曲线一支，且过点B、抛物线的一部分，且过点C、双曲线一支，且过点D、抛物线的一部分，且过点【答案】：（1）其中，，∴半径为5。
（2），且，因而选B。
【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（）。
A、B、C、D、（2）为锐角，直线的倾斜角（）。
A、B、C、D、【答案】：（1），相除得，∴倾斜角为，选C。
（2），相除得，∵，∴倾角为，选C。
3．已知曲线的参数方程（、为常数）。
（1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型；（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。
思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。
解析：（1）方程可变形为（为参数，为常数）取两式的平方和，得曲线是以为圆心，为半径的圆。
（2）方程变形为（为参数，为常数）,两式相除，可得，即,曲线是过点且斜率的直线。
总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。
因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。
举一反三：【变式1】已知椭圆的参数方程为（为参数），求出此椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率和准线方程.【答案】：由题意得:,, 得. ∴, .即:椭圆的长轴长为26，短轴长为10，焦点坐标为(0,-12)和(0,12)，离心率为，准线方程为：和.【变式2】已知曲线C的参数方程为（t为参数）（1）判断点P1（1，2），P2（0，1）与曲线C的位置关系（2）点Q(2,a)在曲线l上，求a的值.（3）化为普通方程，并作图（4）若t≥0，化为普通方程，并作图.【答案】：（1）若点P在曲线上，则可以用参数t表示出x, y，即可以求出相应t值.所以，令，∴t无解，∴点P1不在曲线C上.同理，令，∴点P2在曲线C上.（2）∵Q在曲线C上，∴.（3）将代入y=3t2+1,如图.（4）∵t≥0, ∴ x=2t≥0, y=3t2+1≥1, 消去t，，∴ t≥0时，曲线C的普通方程为(x≥0, y≥1).点评:在（4）中，曲线C的普通方程的围也可以只写出x≥0, 但不能写成y≥1，这是因为是关于x的自变量，y为因变量的函数，由x的围可以确定y的取值围，但反过来不行.即:所得曲线方程为y=f(x)或x=g(y)形式时，可以只写出自变量的围，但对于非函数形式的方程，即F(x,y)=0，一般来说，x,y的围都应标注出来.【变式3】已知圆锥曲线方程为。
（1）若为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。
（2）若为参数，为常数，求此曲线的离心率。
【答案】：（1）方程可化为消去,得：∴曲线是抛物线，焦点到准线距离即为。
（2）方程化为，消去，得，∴曲线为椭圆，其中，，，从而。
类型二：圆渐开线以及摆线 4.已知圆渐开线的参数方程是，则基圆面积是_______。
解析：，面积为16举一反三：【变式1】半径为10的基圆的渐开线方程是___________;【答案】：（为参数）[变式2]摆线的参数方程为，则一个拱的宽度是_________，高度是_________。
【答案】：半径，一个拱宽度为一个圆的周长为16，高度为直径16类型三：求最值 5.P是椭圆上的点，求P到直线的距离的最大值与最小值，并求出达到最值时P点的坐标.思路点拨:利用参数方程求最值。
解析：∵点P是椭圆上的点，∴可设，q?[0，2p].P到l的距离.当时，即时，，此时P点坐标为.当即时，，此时P点坐标为.总结升华：利用参数方程求最值是很常见的一种方法，利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。
举一反三：【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。
【答案】：设到的距离为，则（当且仅当即时取等号）。
∴点到直线的最小距离为，此时点，即。
【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个.【答案】：已知圆方程为，设其参数方程为（）则圆上的点到直线的距离为，即，∴或又，∴，从而满足要求的点一共有三个.【变式3】椭圆接矩形面积的最大值为_____________.【答案】：设椭圆上第一象限的点，则当且仅当时，取最大值，此时点.【变式4】已知实数x, y满足,求:（1）x2+y2的最大值（2）x+y的最小值.【答案】：原方程配方得，表示以为圆心，2为半径的圆.用参数方程表示为:（q为参数，0≤q≤2p）.（1）∴当，即时，(x2+y2)max=16.（2）∴当，即时，.选校网.xuanxiao.高考频道专业大全历年分数线上万大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)。