第二章 有限元法的直接刚度法-1梁单元

（2-6）
2.1直梁的有限元分析
节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力， 如果取整个结构为研究对象，节点力是内力；而节点载荷是结构在节 点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。
f1
1
f
f
2 2 3
f1
1
3
f4
4
f2 2
f3 3
f 4 4 T
（2-7）
弯曲变形
工程实例
F1
F2
纵向对称面
对称弯曲——外力作 用于梁的纵向对称面内， 因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵对称面内的平 面曲线。
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并 不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
。 见式（2-23）、（2-24）和（2-25）
图2.5 三个单元的受力图
2.1直梁的有限元分析
q11
12 6l 12 6l f1
mq2111
m21
2EI l3
6l
12
6l
4l 2 6l 2l 2
6l 12 6l
2l 2 6l 4l 2
f122
mqq322222 m32
• 按照杆件结构划分单元的原则，对图2.1(a)所示结构划分 的单元如图2.1(b)所示
(a) 单元的节点位移
图2.1
(b) 单元的节点力
2.1直梁的有限元分析
任取一单元进行分析。根据材料力学的知识，梁单元上每个节点
的节点位移分量有2个：挠度 f 和转角 ，一般规定，向上为正，逆
时针为正。写成列阵形式见式（2-1），表示节点的节点位移。
2.1直梁的有限元分析
a11 的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移
分量等于0时，对应的第1个节点力分量。
a21的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移
分量等于0时，对应的第2个节点力分量。
a31 的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移
分量等于0时，对应的第3个节点力分量。
2.1直梁的有限元分析
根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的前提下，节点力 和节点位移之间是线性关系。所以，单元的节点力和节点位移的关系 可以表示为：
qi a11 fi a12i a13 f j a14 j mi a21 fi a22i a23 f j a24 j q j a31 fi a32i a33 f j a34 j m j a41 fi a42i a43 f j a44 j
12 6lf
f
2
2 6l2 4l 22
) )
2EI
l3 2EI
l3
(12 f2 6l2 (6lf2 4l 22
12 f3 6l3 ) 6lf3 2l 23 )
（2-29）
2.1直梁的有限元分析
同理，分别选取节点3、节点4为研究对象，分析受力，列平衡方程
式（2-27），解得 Z 3 、M 3 和 Z 4 、 M 4 ，整个结构共得到8个平
写成矩阵形式： qi a11 a12 a13 a14 fi
mi
q
j
m j
a21 aa3411
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24 a34 a44
f
i j j
（2-9） （2-10）
2.1直梁的有限元分析
简写为: pe K e e
（2-11）
其中 pe为单元节点力列阵， e为单元节点位移列阵，K e称为
2.1直梁的有限元分析
： 对梁单元分析受力，列平衡方程，解得
同理，可求出单元q刚mj j度矩26EllE阵2II aKa4322e
（2-21） 中的第三、四列元素，从而得到
单元刚度矩阵 K e 。
a11
K e a21
aa3411
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
12EI
2EI l3
12
6l
12
6l
6l 4l 2 6l 2l 2
12 6l 12 6l
6l f2
2l 2 6l 4l 2
f233
mqq343333
m43
EI l3
12
6l
12
6l
6l 4l 2 6l 2l 2
12 6l 12 6l
6l f3
Z1
M
1
q11
2EI l3
(12
f1
m11
2EI l3
(6lf1
6l1 12 f2 4l 21 6lf2
6l2 ) 2l 22 )
（2-28）
选取节点2为研究对象，分析受力，列平衡方程式（2-27），解得
Z
2
M
2
q12
q22
2EI l3
m12
m22
2E l3
(12 f1 6l1 I (6lf1 2l 21
衡方程，称为有限元的基本方程，写成矩阵形式为：
Z1
12 6l 12
6l
0
0
0 0 f1
M
1
6l
4l 2
6l
2l 2
0
0
0
0
1
Z2
12 6l 12 12 6l 6l 12
6l
0 0 f2
M
2
Z3
M
3
Z4
M 4
2EI l3
6l 0 0 0 0
AB=BC=CD=l，
IAC=2I，ICD=I。
(b) 直梁的有限元模型
图2.1 直梁
2.1.1划分单元
• 两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可按 以下原则选取：
1、杆件的交点一定要选为节点。 2、阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。 3、支承点和自由端要取为节点。 4、集中载荷作用处要取为节点。 5、欲求位移的点要取为节点。 6、单元长度不要相差太多。
2l
2
l 3 12 6l 12 6l
6l
2l 2
6l
4l
2
2.1直梁的有限元分析
从式（2-22）可以看出，单元刚度矩阵 K e是一个对称矩阵，
即 aij a ji 。
将单元刚度矩阵K e的公式，即式（2-22），应用于三个实际的梁
单元，如图2.5所示，得到每个单元的节点力和节点位移的关系分别
2l 2 6l 4l 2
f
3 4 4
（2-23） （2-24）
（2-25）
2.1直梁的有限元分析
单元的节点力和节点位移的关系，通常采用分块的方法表示，
如2号单元的节点力和节点位移的关系见式（2-24），可表示为如下
形式：
p22 p32
EI l3
K K
2 22
2 32
K K
2 23
2 33
2 3
（2-26）
2.1直梁的有限元分析
2.1.3 建立节点平衡方程式
取图2.1(b)中各节点为研究对象，如图2..6所示，列平衡方程式：
Fy M
0 0
（2-27）
图2.6 各节点的受力图
2.1直梁的有限元分析
选取节点1为研究对象，分析受力，列平衡方程式（2-27），解得
p e qi
mi
qj
m T （2-4） j
2.1直梁的有限元分析
梁单元上每个节点的节点载荷有2个：横向力 Z 和力偶 ，
i 一般M规定， 向上为Z正， 逆时针M为正。写成列阵形式见式
（2-5），表示 节点的节点载荷。
同理：
Qi
MZ ii
Zi
M i T
（2-5）
Q e Zi Mi Z j M j T
i
f
i i
f
i
i T
（2-1）
图2.2(a)所示梁单元有、两个节点，共有4个节点位移分
量：f i、 i、f
移列阵。
、j
j，可用一个列阵表示，式（2-2）称为单元的节点位
e fi i f j j T （2-2）
2.1直梁的有限元分析
根据材料力学的知识，梁在外力作用下，横截面上的内力有2个：
力，如图2.4所示。
求单元刚度矩阵 K e的第二列元素，
由叠加原理，可得：
fi
fi' i
' i
fi"
" i
qil 3
3EI qil 2
2EI
mil 2 2EI mi l EI
0 1
（2-19）
解方程（2-19）得：
qi
mi
6EI l2 4EI
l
a12 a22
（2-20）
图2.4 单元刚度矩阵第2列元素的意义
（2-30）
简记为
Q K
（2-31）
2.1直梁的有限元分析
其中： Q ——整个结构的节点载荷列阵（包括外载荷、约束反
力）； ——整个结构的节点位移列阵；K ——结构的整体刚度
矩阵，又称总刚矩阵。
整体刚度矩阵具有下列性质和特点： • 对称性： Kij K ji 。
• 奇异性：K 0 ，K 1 不存在，这是因为尚未加入边界约束条件之前，
2l 2 0 0 0 0
6l 6l 12 6l 0 0
4l 2 4l 2 6l 2l 2 0 0
6l 12 6 6l 3l
6 3l
2l 2 6l 3l 4l 2 2l 2
3l l2
0 6 3l 6 3l
0 3l l2 3l 2l 2
2
f
3
3
f4
4
a41的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移
分量等于0时，对应的第4个节点力分量。
单元刚度矩阵 K e中元素 aml的物理意义：单元第 l 个节点位 移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第 m个节点力分
量。
2.1直梁的有限元分析
求单元刚度矩阵 K e的第一列元素，由叠加原理，可得：
知识点： 直梁和平面刚架的直接刚度法
重点： 梁单元杆和刚架单元的自由度 单元的坐标变换
难点：直接刚度法的计算过程与物理意义
Ⅰ. 关于梁和弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
单元刚度矩阵。单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系
的矩阵。
单元刚度矩阵 K e 中各元素的物理意义：
(a) 单元的节点位移 图2.3 单元刚度矩阵第1列元素的意义
2.1直梁的有限元分析
j i 在 点固定，令 点有如图2.3(a)所示的位移，即
有 fi 1，i 0 ，f j 0， j 0。代入公式（2-10）中，得
mil 2 2EI
，
" i
mi l EI
解方程（2-15）得：
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qil 3 3EI
mil 2 2EI
1
qil 2 2EI
mil EI
0
qi
mi
12EI l3
6EI l2
a11 a21
（2-14） （2-15） （2-16）
2.1直梁的有限元分析
对梁单元分析受力，如图2.3（c）所示，列平衡方程
qi q j 0 mi m j qil 0
（2-17）
图2.3 (c) 单元的节点力
解方程（2-17）得
qj
m
j
qi qil mi
12EI l3
a31
6EI l2
a41
（2-18）
2.1直梁的有限元分析
单元刚度矩阵K e 中第二列元素的物理意义是：
fi 0 ，i 1 ， f j 0 ， j 0 时，作用在单元节点上的节点
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线 与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。
本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。
(2) 梁的基本形式 悬臂梁
简支梁
外伸梁
2.1直梁的有限元分析 (a) 直梁模型
以直梁为例来说 明有限元法的直接刚 度法。
如图2.1(a)所示
直梁，已知E、I、 Z、M，
a14 a24 a34 a44
l3 6EI
l2
12E
l3 6EI
I
6EI
l2 4EI
l 6EI
l2 2EI
12EI l3
6EI l2
12EI
l3 6EI
6EI
l2 2EI
l
6EI l2
4EI
l2
l
l2
l
（2-22）
12 6l 12 6l
EI
6l
4l 2
6l
剪力 Q 、弯矩 M。所以，梁单元上每个节点的节点力有2个，用 q、m
来表示，规定： q 向上为正，m 逆时针为正。写成列阵形式见式（2-
i 3），表示 节点的节点力。
pi
mqii
（2-3）
q q m 列图阵2表.2示(b，)所式示（梁2-单4）元称共为有单4个元节的点节力点分力量列：阵。i、 i、 j、m，j 可用一个
f ii
f
' i
f
" i
1
' i
" i
0
（2-13）
其中，f i'
移， fi 、
i、 为图i' 为2.3图（2b.3）（所b）示所m示i单独qi作单用独所作产用生所的产位生移的。位
图2.3 (b) 节点i的节点力
2.1直梁的有限元分析
教材有误
可得到
fi'
qil 3 3EI
，i'
qil 2 2EI
，f i"
qi a11 a12 a13 a14 1 a11
mi
q
j
m j
a21 aa3411
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24 a34 a44
000
aa3211 a41
（2-12）
由式（2-12）可知，单元刚度矩阵 K e 中第一列元素的物理意义：
为了使梁单元产生如图2.3(a)所示的位移，作用在单元节点上的节点 力。