2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克(江西吉安)高一年级试题答案及评析

第十六届中国东南地区数学奥林匹克

江西·吉安

高一年级第一天

2019年7月30日 上午8：00-12：00

1．求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有2()(1)(1)a b ab b kab +++≥．

2．如图，两圆1Γ，2Γ交于A ，B 两点，C ，D 为1Γ上两点，E ，F 为2Γ上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交．设CF 与1Γ，2Γ分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1Γ，2Γ分别交于点()M D ≠，()N E ≠．

证明：若ALM ∆的外接圆与BKN ∆的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等．

3．函数**:f →N N 满足：对任意正整数a ，b ，均有()f ab 整除(){}

max ,f a b ．是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论．

4．将一个25⨯方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示．

现有一个固定放置的918⨯方格表．若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由．

第十六届中国东南地区数学奥林匹克

江西·吉安

高一年级第二天

2019年7月31日 上午8：00-12：00

5．称集合{1928,1929,1930,,1949}S =L 的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除．用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数．试比较x ，y 的大小，并说明理由．

6．设a ，b ，c 为给定的三角形的三边长．若正实数x ，y ，y 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值．

7．设ABCD 为平面内给定的凸四边形．证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形A B C D ''''，使得点P 在直线AB 与A B ''上，点Q 在直线BC 与B C ''上，点R 在直线CD 与C D ''上，点S 在直线DA 与D A ''上．

8．对于正整数1x >，定义集合()(){}

,,,mod 2x p S p p x p x v x αααα=≡为的素因子为非负数且，其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和．约定()11f =． 今给定正整数m ．设正整数数列1a ，2a ，L ，n a ，L 满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +--=++L ．

（1）证明：存在常数A ，B ()01A <<，

使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有*

n ∈N ，n a Q <． 第十六届中国东南地区数学奥林匹克

参考答案

1．原不等式

()()

2221(1)a b b a b b kab ⇔++++≥

()221(1)b ab b b kb a ⎛⎫⇔++++≥ ⎪⎝

⎭ 单独考虑左边，左边可以看成是一个a 的函数、b 为参数，那么关于a 取最小值的时候有

()()2231(1)1(1)(1)b ab b b b b b a ⎛⎫⎛⎫++++≥++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

于是我们只需要取32

(1)k b b -≤+即可．

设32(1)()b f b b +=，那么23(1)(2)()b b f b b +-'=，演算可知2b =是f 的极小值点，那么min 27(2)4

f f ==，即max 274

k =，取极值时有1a =，2b =． 评析1．不等号的左边和右边都不对称，但是右边只是一个2kab ，所以可以考虑一下类似于分离变量的方

法把a 或2b 挪到左边去．本答案用的是把a 挪到左边的方法．把2

b 挪到左边也有类似的做法，但是会变得比较复杂，有兴趣的同学不妨一试．

该题做法非常多，本篇答案给出的做法只是一种以高中课本知识即可解决的方法，但是如果不想用到函数求导这种比较偏流氓的方法的话，纯粹不等式的方法也是可行的．比如， ()(1)(1)11222222b b ab ab b b a b ab b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1/31/31/3

33131222222b b ab ab b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2274ab = 2．如图．记G 为CF ，DE 的交点，ALM ∆和BKN ∆的外接圆圆心为A O ，B O ．取两圆切线上任意一点为1H ，切线另一边的任意一点为2H ，连接CD ．LN ，AB ，MK ，EF ，A B O O ，

由于180DCA DBA FBA FEA ∠+∠=∠+∠=︒，我们有180DCA FEA ∠+∠=︒，即//CD EF ．另外，由圆幂定理我们有~GLN GEF ∆∆，~GKM GDC ∆∆，

于是我们有GLN GDC GEF GKM ∠=∠=∠=∠，即//LN MK ．

另一方面，那么因为//CD EF ，我们有

180180180LGM CDG EFG CAM EAL LAM ∠=∠+∠=-∠+-∠=-∠︒︒︒，即G 在A O e 上．同理G 在B O e 上．由于A O e 与B O e 相切，我们知道G 在A B O O 上．

那这个时候G 在LK ，MN ，A B O O 上，我们知道12GKN NGH MGH GLM ∠=∠=∠=∠，故//LM KN ．由于//LM KN ，我们知道LMKN 是一个平行四边形，那么LGM KGN ∆≅∆，那么两个三角形的外接圆半径相等，ALM ∆和BKN ∆的外接圆半径相等．