材料力学课件：梁的强度计算
《梁应力强度计算》课件
《梁应力强度计算》课件一、梁的基本概念1.1 梁的定义梁是一种受弯和/或受剪的受力构件，常用于桥梁、建筑、机器结构等工程中。
1.2 梁的分类（1）按材料分类：钢梁、木梁、混凝土梁等。
（2）按截面形状分类：矩形梁、工字梁、T型梁、I型梁等。
（3）按受力状态分类：简支梁、悬臂梁、连续梁等。
二、梁应力强度计算的基本原理2.1 弹性理论弹性理论是研究弹性体在外力作用下的应力、应变及位移分布的数学理论。
对于梁的应力强度计算，主要应用弹性力学中的平面应变问题和平面应力问题。
2.2 截面应力梁截面上的应力分布不均匀，通常最大应力出现在截面中性轴上，称为截面应力。
2.3 弯曲正应力弯曲正应力是梁截面上与中性轴垂直的应力，其计算公式为：σ= M·y / I，其中M为弯矩，y为截面上的点到中性轴的距离，I为截面的惯性矩。
2.4 剪切应力剪切应力是梁截面上与中性轴平行的应力，其计算公式为：τ= V·x / A，其中V为剪力，x为截面上的点到中性轴的距离，A为截面的面积。
三、梁应力强度计算的方法3.1 静力法静力法是通过对梁受力的分析，确定各部分的受力情况，根据力的平衡条件求解应力。
适用于简单梁结构。
3.2 弹性解析法弹性解析法是利用弹性力学的公式，通过计算梁的弯曲正应力和剪切应力，判断梁的应力强度。
适用于求解复杂梁结构的应力强度。
3.3 有限元法有限元法是利用计算机模拟梁的结构，将梁划分为若干个小的单元，通过对每个单元的应力分析，求解整个梁的应力强度。
适用于求解大型复杂梁结构的应力强度。
四、梁应力强度计算实例4.1 简支梁受集中载荷假设一根简支梁，跨度为L，截面惯性矩为I，截面面积为A，受集中载荷P作用。
求解梁的最大弯曲正应力和剪切应力。
（1）计算弯矩M：M = P·L / 2。
（2）计算截面应力σ：σ= M·y / I。
（3）计算剪切应力τ：τ= V·x / A，其中V为剪力，x为截面上的点到中性轴的距离。
材料力学课件：梁的强度计算
max [ ]
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脆性材料梁，因其抗拉强度和抗压强度相差甚大
故要对最大拉应力点和最大压应力点分别校核强度：
t max [ t ]
c max [ c ]
4
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5.4.2 弯曲切应力的强度条件
max
max
S
* z max
这说明b点比c点更危险。所以 ，对于拉应力，只要校核b点的强 度。
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MB MA
解： 2.根据危险截面上的正 应力分布确定可能的危险点
截面A上的上边缘各点(例如a 点)和截面B上的下边缘各点(例如d 点)都承受压应力。
但是，截面A上的弯矩MA大于 截面B上的弯矩MB ，而a点到中性 轴的距离ya小于d点到中性轴的距 离yd 。
上述二式就是基于最大正应力的梁弯曲强度计算 准则，又称为弯曲强度条件，式中为弯曲许用应力； ns和nb分别为对应于屈服强度和强度极限的安全因数。
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梁的强度计算
梁的弯曲强度计算准则
根据上述强度条件，同样可以解决三类强度问题 ：强度校核、截面尺寸设计、确定许用载荷。
应用强度条件进行强度计算：
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梁的强度计算
梁的弯曲强度计算步骤
对于拉伸和压缩强度不相等的材料，强度条件 和可以改写为
－拉伸许用应力 －压缩许用应力
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例题 1
圆轴在A、B两处的滚珠轴承可以简化为铰链支座；轴的 外伸部分BD是空心的。轴的直径和其余尺寸以及轴所承受的
试校核：梁的强度是否安全。
横梁弯曲强度计算计算课件
利用有限元分析软件 进行建模和计算
考虑截面尺寸、材料 属性、荷载等因素
结果与讨论
01
02
03
04
结果一
各案例的横梁弯曲强度及安全 系数
结果二
不同截面尺寸对强度的影响
结果三
不同材料属性对强度的影响
讨论
横梁弯曲强度的计算方法、影 响因素以及工程应用中的注意
事项
06
总结与展望
总结
横梁弯曲强度计算在工程中具 有重要应用价值，本课件详细 介绍了相关计算方法和步骤。
横梁弯曲强度计算计算课件
contents
目录
• 横梁弯曲强度计算概述 • 横梁弯曲强度计算公式及解析 • 横梁弯曲强度计算中的参数选取 • 横梁弯曲强度计算的数值模拟方法 • 横梁弯曲强度计算的工程应用 • 总结与展望
01
横梁弯曲强度计算概述
定义与背景
横梁弯曲强度计算是指针对横梁在受到外力作用下，如何计算其弯曲强度的过程。
根据计算结果，可以进行一系列的讨论和分析，如对比不同设计方案或不同材料属性对横梁弯曲强度的影响等。 这些讨论和分析有助于优化设计或改进材料选择。
05
横梁弯曲强度计算的工程应用
工程实例选择
案例一
某桥梁的横梁设计
案例二
某厂房的横梁设计
案例三
某民宅的横梁设计
计算模型建立
基于材料力学和弹性 力学的理论模型
有限元方法在工程中的应用
有限元方法是一种广泛应用于工程领域数值模拟方法，尤其 在结构分析中发挥着重要的作用。它可以用来求解各种复杂 的问题，如结构的静力分析、动力分析、稳定性分析等。
建模及网格划分
建模过程
首先需要建立横梁弯曲强度计算的模型，通常使用有限元软件进行建模。在建 模过程中，需要根据实际问题的需求，定义模型的几何形状、材料属性、边界 条件等。
梁钢筋计算-PPT课件
02
梁钢筋的锚固长度和连接方式必须符合相关规范和标准，以确
保钢筋与混凝土之间的协同工作。考虑 Nhomakorabea工方便性
03
梁钢筋的构造应尽量简化，以便于施工和降低成本。
梁钢筋的分类及作用
纵向受力钢筋
主要承受梁弯矩产生的拉力或压力， 根据受力情况可分为上部纵向受力钢 筋和下部纵向受力钢筋。
箍筋
主要承受梁剪力产生的横向力，并约 束混凝土在受力过程中的横向变形。
考虑施工方便
在满足设计要求的前提下，尽量简 化钢筋的布置和连接，方便施工操 作。
梁钢筋的优化方法
减小加筋率
通过合理调整钢筋直径和间距，降低梁的加筋率，从而节约钢材 和降低成本。
优化钢筋布置
根据梁的受力特点，合理布置受力钢筋和构造钢筋，提高梁的受 力性能。
采用高强度钢筋
在满足设计要求的前提下，优先选用高强度钢筋，提高梁的承载 能力。
检查钢筋安装的位置、数量、间距等是否符合设计要求，固定是否牢 固。
梁钢筋施工中的常见问题及处理方法
钢筋错位
钢筋错位时，应检查钢筋的定位措施是否可 靠，如有问题应及时调整。
钢筋露筋
露筋部位应清理干净，用高一级细石混凝土 填实，并认真养护。
钢筋锈蚀
钢筋锈蚀严重时，应查明原因，采取有效措 施进行除锈，并加强钢筋的防锈措施。
梁钢筋计算是工程师必备技能
对于从事建筑结构设计的工程师来说，熟练掌握梁钢筋计算方法是一项必备技能。
梁钢筋计算的发展趋势与展望
1 2 3
智能化发展
随着人工智能技术的不断发展，未来梁钢筋计算 有望实现智能化，通过输入相关参数即可自动得 出优化后的钢筋配置方案。
精细化设计
随着对建筑结构性能要求的不断提高，未来梁钢 筋计算将更加注重精细化设计，充分考虑各种复 杂因素对钢筋配置的影响。
材料力学-第6章梁的应力分析与强度计算(A)
第5章 梁的应力分析与强度计算(A)
为什么要研究截面的几何性质
第6章 梁的应力分析与强度计算（A）
为什么要研究截面的几何性质
◆ 实际构件的承载能力与变形形式有关，不同 变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关， 而且与截面的几何形状有关。 ◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时， 将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的 大小有关，而且与截面的几何形状有关。
A
ydA A
zC
Sy A
zdA
A
A
如果轴通过图形形心，则图形对这一 轴的静矩等于零。 如果图形对轴的静矩等于零，则这 一轴通过图形形心。
第6章 梁的应力分析与强度计算（A）
为什么要研究截面的几何性质
静矩、形心及其相互关系
S z A1 y C1 A2 y C 2 An y Cn Ai y Ci i 1 n S y A1 z C1 A2 z C 2 An z Cn Ai z Ci i 1
d
第6章 梁的应力分析与强度计算（A）
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
例题2 y
dA
dy
已知：矩形截面b× h 求：Iy， Iz 解：取平行于x轴和y轴的微元 面积
dA bdy
A
dA
y
C z dz
h
z
I z y 2dA
h 2 h 2
3 bh y 2bdy 12
b
dA hdz
I y z dA
2 A b 2 b 2
hb z hdz 12
2
3
第6章 梁的应力分析与强度计算 (A)
材料力学-第6章梁的应力分析与强度计算 (B)
dx＝－yd
式中的负号表示 y 坐标为正的线段产生 压缩变形； y 坐标为负的线段产生伸长 变形。
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力
应用平面假定确定应变分布
dx＝－yd
将线段的长度改变量除以原长dx，即 为线段的正应变，于是得到
dx d y ＝ ＝－y ＝－ dx dx
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力
对称面—— 梁的横截面具有对称轴，所有相同的对 称轴组成的平面，称为梁的对称面(symmetric plane)。
梁的对称面
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力
主轴平面 —— 梁的横截面没有对称轴，但是
加载平面与主轴平面一致
q
FP1
M
FP2
平面弯曲 —— 所有外力（包括力偶）都作用于梁的同一主
轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线位 于外力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力
M l
FP M
怎样确定横截面上的内力分布规律呢？
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
应力是不可见的，但变形却是可见的，而且二 者之间通过材料的物性关系相联系。因此，为了确 定内力的分布规律，必须分析和研究杆件的变形， 必须研究材料受力与变形之间的关系，即必须涉及 变形协调与物性关系两个重要方面。二者与平衡原 理一起组成分析弹性体内力分布规律的基本方法。
第6章 梁的应力分析与强度计算(B)
平面弯曲时梁横截面上的正应力 斜弯曲的应力计算 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力 弯曲强度计算 结论与讨论
《梁的应力强度计算》课件
《梁的应力强度计算》课件一、梁的概述1.梁的定义梁是一种受弯和剪力作用的横向受力构件，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
2.梁的材料梁的材料主要有钢梁和钢筋混凝土梁两种。
3.梁的分类根据截面形状，梁可以分为工字梁、T型梁、I型梁等；根据受力状态，梁可以分为简支梁、悬臂梁、连续梁等。
二、梁的应力计算1.基本概念（1）应力：单位面积上的内力，用σ表示，单位为Pa（帕斯卡）。
（2）应变：物体在受力作用下产生的形变与原长的比值，用ε表示。
（3）泊松比：材料在受力作用下横向应变与纵向应变的比值，用ν表示。
2.梁的应力分布（1）简支梁：在梁的截面上，剪应力分布均匀，正应力分布按三角形分布。
（2）悬臂梁：在梁的悬臂端截面，剪应力为零，正应力按二次曲线分布。
（3）连续梁：在梁的连续跨中截面，剪应力分布均匀，正应力分布按三角形分布。
3.梁的应力计算公式（1）简支梁：剪应力τ=V/I正应力σ=My/I其中，V为梁的剪力，M为梁的弯矩，I为梁的截面惯性矩，y为截面上距离中性轴的距离。
（2）悬臂梁：剪应力τ=0正应力σ=Ml/(2I)其中，l为悬臂梁的长度。
（3）连续梁：剪应力τ=V/I正应力σ=My/I其中，V为梁的剪力，M为梁的弯矩，I为梁的截面惯性矩，y为截面上距离中性轴的距离。
4.梁的强度校核（1）剪切强度校核：τ≤τ_max（2）弯曲强度校核：σ≤σ_max其中，τ_max为材料的剪切强度，σ_max为材料的弯曲强度。
三、梁的变形计算1.基本概念（1）挠度：梁在受力作用下产生的垂直于加载力的线位移。
（2）曲率：梁在受力作用下的弯曲程度，用κ表示。
2.梁的变形计算公式（1）简支梁：挠度f=VL^3/(3EI)其中，V为梁的剪力，L为梁的长度，E为材料的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。
（2）悬臂梁：挠度f=VL^3/(3EI)其中，V为梁的剪力，L为悬臂梁的长度，E为材料的弹性模量，I 为梁的截面惯性矩。
（3）连续梁：挠度f=VL^3/(3EI)其中，V为梁的剪力，L为梁的长度，E为材料的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。
建筑力学基本计算3梁的强度计算
建筑力学基本计算3梁的强度计算1、基本概念和计算要求在计算梁的强度问题时，要注意下列基本概念：1） 惯性矩的有关概念和计算，组合截面的惯性矩计算，抗弯截面系数的计算。
2） 理解中性轴和中性层的有关概念，对理解正应力的分布规律和计算十分重要。
要注意中性轴的确定方法（中性轴必然通过截面形心）。
3） 熟悉纯弯曲时梁横截面上的正应力分布规律，知道最危险点在截面的上、下边缘。
2、基本计算方法梁的强度计算主要是如下几点：1） 利用正应力公式计算截面上任意一点的正应力。
y I M Z⋅=σ2） 由强度条件校核梁的正应力强度。
][maxmaxσσ≤=ZW M3） 由强度条件设计梁的截面。
][maxσMW Z ≥4） 由强度条件计算梁上的最大容许荷载。
Z W M ⋅≤][maxσ3、计算步骤和常用方法考试要求对梁的强度问题主要是针对塑性材料（拉、压性能一样）的单跨静定梁，横截面为简单图形（圆形、矩形或空心圆截面）：1） 在计算正应力时，首先要明确该截面在梁上的位置，以便根据弯矩图确定该截面的弯矩值及正负号；其次要计算该截面对中性轴的惯性矩I Z ，以及所求点到中性轴z 的距离y ，若中性轴位置未定，则应先计算截面形心位置以确定中性轴位置；为了简便起见，通常采取按绝对值计算出正应力的大小，再按弯矩的正负号直观判断；计算最大正应力时，则要求画出弯矩图，以确定最大弯矩值。
2） 在应用强度条件时，首先要考虑最大正应力的计算；其次要能判断梁的危险截面和危险点；再则就是在设计截面时，对矩形截面情况下，必须理清h 与b 的比例关系。
3） 在计算梁上的最大容许荷载时，要理清M max 和荷载之间的关系式，从而可由M max 确定最大容许荷载的值。
4、举例外伸梁受力及其截面尺寸如图（a ）所示。
已知材料的许用拉应力[σ+]=40MPa ，许用压应力[σ-]=70MPa 。
试校核梁的正应力强度。
[解]（1）求最大弯矩作出梁的弯矩图如图（b ）所示。
材料力学——07 梁的弯曲应力与强度计算
（1）矩形截面中性轴附近的材
料未充分利用，工字形截
z
面更合理。
（2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。
2、根据截面模量选择：
为了比较各种截面的合理性，以 来W衡z 量。
截面越合理。
A
越W大z， A
截面形状 矩形
Wz
A
0.167h
圆形 槽钢
工字钢
0.125d (0.27~0.31)h (0.27~0.31)h (d=h)
在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的 切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物性 关系”。
（一）矩形截面
F mn
A m dx n L
分析方法（截面法）：ຫໍສະໝຸດ 1、沿 mm,nn 截面截开，
取微段dx。
B
h
m
n
b
FQ
M
M+dM
FQ
(+)
m
n
(-)
FQ 图
(+)
M 图
1 m
n 2
kl
m
n
弯曲应力/弯曲时的剪应力
纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长 度，这一纵向纤维层称为中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴 中性轴
中性层
（一）变形几何关系：
建立坐标系
m a b n dx
m
a by n
变形前：l bb dx d
变形后：l1 bb
( y)d
伸长量：ll1l (y)d dx
线应变： l ( y)d dx
第七章 梁的弯曲应力与强度计算
7．1梁横截面上的正应力
aP
Pa
A
B
FS
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算一、梁的基本概念梁是指在两个支点上支承荷载并能够产生弯曲的长条形结构。
根据材料的不同，梁可以分为钢梁、混凝土梁等。
计算梁的应力和强度需要了解以下几个基本概念：1.荷载：梁承受的力或力矩称为荷载。
荷载可以是集中力、均布力、集中力矩等多种形式。
2.弯矩：梁在受力作用下产生的弯曲效应称为弯矩。
弯矩大小与荷载和梁的几何特性有关。
3.应力：梁内部产生的力与横截面积之比称为应力。
应力可以分为弯曲应力、切应力、正应力等多种形式。
4.强度：梁材料的最大承受能力称为强度。
强度可以用来评估梁的安全性。
二、计算梁的应力梁的弯曲应力是梁内部最重要的应力之一、梁的弯曲应力随着距离中心越远而越大，有最大值和最小值。
计算梁的弯曲应力需要以下步骤：1.确定荷载和荷载点：首先要确定梁所受的各种荷载，包括集中力、均布力等，以及荷载点的位置。
2.画剪力和弯矩图：根据已知的荷载和支座条件，可以绘制梁的剪力和弯矩图。
剪力图表示横截面上剪力的大小和方向，弯矩图表示横截面上弯矩的大小和方向。
3.计算弯曲应力：根据梁的几何尺寸和荷载信息，可以计算出梁上任意截面处的弯曲应力。
根据梁的几何形状和弯矩分布，可以使用弹性力学理论进行计算。
4.判断应力的安全性：计算得到的弯曲应力应与材料的抗弯强度进行比较，以判断梁的安全性。
如果弯曲应力小于抗弯强度，则梁在弯曲方面是可靠的。
三、计算梁的强度梁的强度是指梁材料的最大承载能力。
计算梁的强度需要以下步骤：1.确定梁材料的特性：了解梁材料的力学性质，包括抗弯强度、抗压强度、抗拉强度等。
这些特性可以从材料的标准和试验中获取。
2.根据荷载计算弯矩：根据梁所受的荷载和支座条件，计算出梁上各点的弯曲弯矩。
弯矩大小和分布决定了梁的强度。
3.计算截面的几何特性：根据梁的几何形状，计算出梁截面的相关几何特性，包括截面面积、惯性矩、截面模量等。
这些参数在计算强度时起关键作用。
4.判断强度的安全性：根据弯矩和截面几何特性，计算出梁的强度。
材料力学课件—— 弯曲强度计算
q Ba YB QB左 B MB左
B左截面
C YA - QB左 0
qa 2 YAa - M B左 0
Q B左
YA
3 qa 2
M B左
1 qa2 2
（2）计算各截面内力（续）
qa 2
A
a
YA
q
Ba C YB
QB右 q
MB右B
aC
B右截面
QB右 - qa 0
M B右
qa
1 2
a
0
Q
B右
第五章 弯曲强度计算
第一部分 弯曲内力 (Bending forces)
第一节 概述 第二节 静定梁的基本形式 第三节 平面弯曲时梁横截面上的内力 第四节 剪力图和弯矩图 第五节 剪力、弯矩和分布载荷间的关系 第六节 用叠加法作剪力图和弯矩图 第七节 刚架的弯矩图、轴力图
第一节 概述
构件 （Component, Structural member） 杆 （bar） 梁 （beam）
RB
r
M0b/l M0a/l
m0/l
aM0= Par b
Ax C
B
RA
l
RB
Q
(+)
x
M
(+)
(-)
x
例 为一直齿圆柱齿轮传动轴。该轴可简化为简支梁，当仅考 虑齿轮上的径向力P对轴的作用时，其计算简图如图所示。试 作轴的剪力图和弯矩图。
a
b
aP b
A
C
RA x
l
RB
aP b
A
C
RA x
l
RB
Q
(+)
qa
M B右
1 qa 2 2
梁的强度计算
梁的强度计算
工程中的弯曲构件
桥式吊车
桥式吊车的大 梁可以简化为两端 铰支的简支梁。在 起吊重量(集中力FP) 及大梁自身重量(均 布载荷q)的作用下, 大梁将发生弯曲。
例题
例 题 8-1
q
梁的弯曲强度计算
F 3m
200 C
A
B
D 30
2m
1m
200
c 30 y
y2
z
y1
解：1.截面几何参数计算 截面对z轴 的惯性矩：
3
30 200 Iz 200 30 (157.5 100) 2 12 200 303 200 30 (215 157.5) 2 12 6.01107 m m4
放置方向
y
h
y
z
b b
h
z
截面形状
(3) 等强度梁
使所有横截面上的最大正应力相同或近似相同
P 2 P 2
汽车上使用的叠板簧
车床的车刀架伸臂
P
（1）合理安排梁的受力 分散载荷
P
l 2 l 2
P/2
P/2
l /3
l /3
l /3
Pl 4
1 Pl 6
(M )
(M )q Leabharlann P/l0.2lq
0.6l
l
1 2 ql Pl / 8 8
0.2l
1 2 ql Pl / 10 40
第七章梁的强度和刚度计算整理.ppt
对称截面梁的正应力强
度条件： max
M max Wz
[ ] __ 弯曲许用应力，查表确定。
非对称截面梁的正应力
强度条件：
m
ax
M max Wz
[ ] __ 弯曲许用应力，查表确定。
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二、剪应力强度条件：
max
k
Q A
[ ] __ 材料的许用剪应力，试验确定。
z
bh3 12
10153 12
2810cm4
Sz * yc 10 4.5 5.25 236cm3
2、求K点剪应力：
k
QASz zb
3103 236103 2810104 10101
0.252MPa
3、求最大剪应力：
m
ax
1.5
Q A
1.5 3103 15 10 102
0.3MPa
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(1)横截面上各点均与该面上Q 同向且平行；
(2)剪应力沿截面宽度均匀分布。
从梁微段中取窄条cdmn分析：
N1
A* 1dA
M Iz
Sz; N2
M
dM Iz
Sz;
dT 'bdx;
x 0, N1 N2 dT 0;
' dMSz , dM Q, ' ;
dxI zb dx
QS z ;
6
310
20.5MPa ;
3
3
(4)D截面的正应力强度校核:
max
W1
146.7 10 6
32.7MPa
; max
W2
86.7 10
6
55.3MPa ;
材料力学第五章
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。 （a）
（c） （d）
（b）
图5-9
（e）
解 （1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a） 所示。
材料力学
第五章 弯曲内力与强度计算
一 平面弯曲的概念与实例
二 梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节 平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下， 杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆 件通常称为梁。
（a）
（b） （c）
图5-12
解 （1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪 力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。 由平衡方程求得
FS2 FAy F 0
材料力学——4梁的强度计算
例4.6 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q、M图。
3kN 2kN/m
A C
1m
4m
VA
Q 4.2
(kN) +
E
_3x=2.1m源自6kN mB D1m
VB
_
3.8
解： 1、求支反力 VA 7.2kN VB 3.8kN
2、判断各段Q、M图形状：
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
.m
M
l D
20.5 1 3 3 16kN .m
2
M
r D
16 10 6kN .m
4、确定内力最大值：|Q|max=7kN 在A端；
|M|max=20.5kN.m 在距A端5m处（在F端）。
例题
4.11
作图示梁的内力图
3kN 4.5kN m
2kN m
D
A
C
B
FA 10kN
1m 2m
kN
FL
0xL 0 x L
kNm
例题4 .5
图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
20kN 40kN m
X1 A 1m 35kN
15
20
kN
20
10kN m
4m
2.5
FS x1 20kN
X2
B
0 x1 1
25kN
M x1 20x1
0 x1 1
FS x2 25 10x2
25
M
x2
0
25x2
mn
✓2、变形前垂直于纵向线的横向 线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
▪平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍
梁的强度与刚度计算.
梁的强度与刚度计算.第八章梁的强度与刚度第二十四讲梁的正应力截面的二次矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）第二十六讲弯曲正应力强度计算（二）第二十七讲弯曲切应力简介第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学难点：平行移轴定理及其应用。
教学内容：第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8-1 纯弯曲时梁的正应力一、纯弯曲概念：１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。
２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。
二、纯弯曲时梁的正应力：１、中性层和中性轴的概念：中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。
其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。
３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：（１）、任一点正应力的计算公式：（２）、最大正应力的计算公式：其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩；y---所求应力的点到中性轴的距离。
说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。
§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：１、矩形截面：２、圆形截面和圆环形截面：圆形截面圆环形截面其中：３、型钢：型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。
二、组合截面的二次矩平行移轴定理１、平行移轴定理：截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。
I Z1=I Z+a2A２、例题：例1：试求图示T形截面对其形心轴的惯性矩。
梁的强度和刚度计算.
梁的强度和刚度计算1．梁的强度计算梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《标准》规定的相应的强度设计值。
〔1〕梁的抗弯强度作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下：梁的抗弯强度按以下公式计算：单向弯曲时f W M nx x x ≤=γσ 〔5-3〕双向弯曲时f W M W M ny y y nx x x ≤+=γγσ 〔5-4〕式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩〔对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴〕；W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量；y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到；f ——钢材的抗弯强度设计值。
为防止梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。
需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。
〔2〕梁的抗剪强度一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。
工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。
截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。
在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力到达钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。
因此，设计的抗剪强度应按下式计算v w f It ≤=τ 〔5-5〕式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值；S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩；I ——毛截面惯性矩；t w ——腹板厚度；f v ——钢材的抗剪强度设计值。
图5-3 腹板剪应力当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的方法来增大梁的抗剪强度。
型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。
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MB
险 截面。
MC
MC＝1.17kNm
MB＝0.9kNm
解： 3.计算危险截面上的最 大正应力
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应用最大正应力公式和圆
截面以及圆环截面的弯曲截面 系数公式,可以计算危险截面上 的应力
MB
MC
C截面：
max
M W
32M
D 3
32 1.17kN m 103
(60mm 10-3 )3
55.3106 Pa 55.3MPa
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解： 3.计算危险截面上 的最大正应力
MB
MC
B以右的截面：
max
M W
32M D3 1 4
32 0.9kN m 103
π
60mm 10-3
3
1
40mm
4
60mm
52.9 106 Pa 52.9MPa
Izb
Qmax
通常，全梁最大切应力发生在剪力最 大的梁截面的中性轴上
5
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在进行梁的强度计算时，必须 同时满足正应力强度条件和切应力 强度条件。一般情况下，梁的强度 计算由正应力强度条件控制。因此， 按正应力强度条件设计的截面常可 使切应力远小于许用切应力。所以 一般情况下，总是根据梁横截面上 的最大正应力来设计截面，然后再 按切应力强度条件进行校核。
Iz
max
M max Iz
ymax
M max Wz
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Wz
Iz ymax
称为截面抗弯模量，单位：m3, mm3宽b、高h的矩形WzIz ymax
bh3 12
h 2
bh2 6
直径为d的圆截面
Wz
d 3
32
轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 WZ 从型钢表中查得
强度条件
梁的强度计算
梁的弯曲强度计算步骤
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梁的强度计算
梁的弯曲强度计算步骤
根据梁的弯曲强度设计准则，进行弯曲强度计 算的一般步骤为：
根据梁约束性质，分析梁的受力，确定约束力； 画出梁的弯矩图；根据弯矩图，确定可能的危险截面 ； 根据应力分布和材料的拉伸与压缩强度性能是否相等 ，确定可能的危险点：对于拉、压强度相同的材料（如低碳 钢等），最大拉应力作用点与最大压应力作用点具有相同的 危险性，通常不加以区分；对于拉、压强度性能不同的材料 （如铸铁等脆性材料）最大拉应力作用点和最大压应力作用 点都有可能是危险点。
梁的强度计算
梁的弯曲强度计算准则
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梁的强度计算
梁的弯曲强度计算准则
与拉、压杆的强度设计相类似，工程设计中，为 了保证梁具有足够的安全裕度，梁的危险截面上的最
大正应力，必须小于许用应力，许用应力等于s或b
除以一个大于1的安全因数。于是，有
与拉伸或压缩杆件失效类似，对于韧性材料制 成的梁，当梁的危险截面上的最大正应力达到材料
的屈服应力(s)时，便认为梁发生失效；对于脆性材
料制成的梁，当梁的危险截面上的最大正应力达到
材料的强度极限(b)时，便认为梁发生失效。即
(韧性材料) (脆性材料)
这就是判断梁是否失效的准则。其中s和b都由拉
伸实验确定。
解： 3.计算危险截面上的最大正应力
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C截面：
max
M W
32M D3
55.3MPa
B以右的截面：
max
M W
32M D3 1
4
52.9MPa
MB
4.分析梁的强度是否安全
上述二式就是基于最大正应力的梁弯曲强度计算 准则，又称为弯曲强度条件，式中为弯曲许用应力； ns和nb分别为对应于屈服强度和强度极限的安全因数。
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梁的强度计算
梁的弯曲强度计算准则
根据上述强度条件，同样可以解决三类强度问题 ：强度校核、截面尺寸设计、确定许用载荷。
材料力学
第5章 5-4 梁的强度计算
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5-13, 5-14, 5-16, 5-19, 5-22
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5.4.1 弯曲正应力强度条件
Strength criterion of normal stress in bending
M y
FRA ＝ 5.86kN FRB=5.07kN
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解： 2. 画弯矩图，判断可能 的危险截面
根据圆轴所承受的载荷和
约束力，可以画出圆轴的弯矩
图，如图7－22b所示。根据弯
矩图和圆轴的截面尺寸，在实
心部分C截面处弯矩最大，为
危险截面；在空心部分，轴承
B以右截面处弯矩最大，为危
载荷都标在图中。这样的圆轴主要承受弯曲变形，因此，可 以简化为外伸梁。已知的拉伸和压缩的许用应力相等。
试分析：圆轴的强度是否安全。
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解：1. 确定约束力 因为A、B两处的滚珠轴承可以简化为铰链支座，圆轴上又没 有水平方向的载荷作用，所以，A、B二处都只有垂直方向的约 束力FRA、FRB，假设方向都向上。于是，由平衡方程MA＝0 和MB＝0，求得
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一般讲，梁的强度主要考虑正应力，但在下 列情况下，也校核切应力强度：
1、梁跨度较小，或支座附近有较大载荷 2、T形、工字形等薄壁截面梁 3、焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、 胶合面等进行剪切强度计算
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梁的强度计算
梁的失效判据
max [ ]
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脆性材料梁，因其抗拉强度和抗压强度相差甚大
故要对最大拉应力点和最大压应力点分别校核强度：
t max [ t ]
c max [ c ]
4
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5.4.2 弯曲切应力的强度条件
max
max
S
* z max
应用强度条件进行强度计算：
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梁的强度计算
梁的弯曲强度计算步骤
对于拉伸和压缩强度不相等的材料，强度条件 和可以改写为
－拉伸许用应力 －压缩许用应力
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例题 1
圆轴在A、B两处的滚珠轴承可以简化为铰链支座；轴的 外伸部分BD是空心的。轴的直径和其余尺寸以及轴所承受的