反例在中学数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用摘要：数学是所有科目中对思维要求最缜密的学科之一,它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系，那么，对于数学这门课程，教师如何来教，学生如何来学，方法固然是最重要的。
本篇论文就将浅谈一下反例在数学教学中的作用。
本篇论文是经过在网上查阅大量的相关期刊和在图书馆查阅大量的相关书目,结合自己的学习以及工作阅历最终完成的。
本文的创新点在于通过引用一些非常典型的例题做分析说明，而且例题都涉及到了中学数学的重要章节和必考内容。
本篇论文的目的在于改变现有的教学状态，能够激发学生的学习热情，培养学生的创造能力，鼓励学生要有敢于质疑和敢于探究的科学精神，培养学生良好的思维品质和学习习惯。
【关键词】教学作用构造逆向思维一、反例的含义在数学中，要证明一个命题是正确的，就必须经过严格的推理论证[[1]]。
而要证明一个命题是错误的，非常简单的做法就是举出反例。
反例,顾名思义就是指反面的例子,通常是指能够满足命题条件却不满足命题结论的例子。
在数学教学中，反例的作用不容小觑。
反例在判断对错时很有说服力，因此，在数学教学中重视运用反例，能让学生牢记所学内容，激发学生的学习热情，增加学生的见识，使其灵活多变,也学会换角度思考问题。
二、反例的来源与构造证明一个猜想是合理的、正确的,就必须经过严格的、缜密的推理论证;而证明一个猜想是不正确的,只需找到猜想命题的反例就可以了。
在教学过程中往往会有这样的情形,要说明一个命题是假命题, 教师就会直接给出一个反例, 说明反例虽然符合命题的各种条件, 却不能使命题的结论成立, 教师很少给学生分析甚至不做分析说明反例是如何得到的。
学生非常佩服老师学识渊博,能信手拈来一个又一个非常具有说服力的反例,却只能对老师的才华望其项背。
仿佛舞台上的魔术师,能从口袋里变出很多观众意想不到的东西,观众觉得特别神奇，但却永远也学不会。
所以,在教学过程中,教师应该尽可能地给学生讲解如何来构造反例,让学生知其然,更知其所以然。
反例在中学数学教学中的应用
反例在中学数学教学中的应用
随着数学教学的进步，反例的重要性正在被认识到。
反例是数学中的一种基本概念，它能够帮助学生构建准确的概念，而不是盲目地相信法则。
因此，在中学数学教学中应用反例是一个非常重要的概念。
首先，可以帮助学生理解数学概念。
反例可以帮助学生更准确地掌握概念，而不是把它们当作陈述的基础。
反例是一个能够支持学生理解的可视化图形，给学生一个证明数学概念的可见性，而不是把它们当作一个不透明的基础。
学生可以使用这些反例来更好地理解习题。
其次，反例可以帮助学生掌握技巧。
反例是一个能够给学生一个真实案例，让他们能够更准确地掌握数学技巧和方法的方法。
学生可以利用这些反例来更好地掌握技巧，而无需一味地靠自己思考而失去把握。
另外，反例也可以帮助学生思考深层次的问题。
反例能够帮助学生深入了解数学模式，同时能够帮助他们探索其中的复杂关系。
反例能够帮助学生进行更多的探索，并将探索的结果拓展到更复杂的关系中，从而使学生更加深入地理解数学概念。
最后，反例可以帮助学生构建精确的概念。
学生在使用反例时，可以更加准确地构建出精确的概念，而不是把它们当作一种模糊的概念。
反例能够给学生一个更全面的视角，从而帮助他们建立准确的概念，而不会陷入盲从的观念。
综上所述，反例在中学数学教学中具有重要的作用。
反例可以帮助学生更好地理解数学概念，掌握技巧，思考深层次的问题，并构建
准确的概念。
因此，中学数学教学中应更加重视反例的应用，以帮助学生更加准确有效地学习数学。
浅析构造反例在中学数学教学中的作用与实践
浅析构造反例在中学数学教学中的作用与实践摘要：在高中数学教学过程中，引导学生构造反例、应用反例，其学习便会有拨云见日之感，对数学问题的认知感将迈向全新的境界。
只有全面了解构造反例的办法，才可以更好地培养高中生分析事物与解决问题的水平。
本文结合教学实践，浅谈反例在高中数学教学中的作用，进一步分析如何在教学中构造反例，以及反例应用需要注意的重点。
关键词：高中数学反例构造应用教师在进行数学教学的过程中，相较于正面论证而言，反例则更加拥有特殊的功能。
其原因则是反例更加简洁有效且具有说服力。
但是也因如此，数学反例的论证更加需要具备精深的功底，同时也需要丰富的想象力作为基础。
在高中数学教学过程中，引导学生找出反例，其学习便会有拨云见日之感，对数学问题的认知感将迈向全新的境界。
然而，举反例也并非轻而易举的事，大多时候比论证命题为真命题更加具有难度。
所以理解与研究出构造反例的方法是十分必要的，只有全面了解构造反例的办法，才可以更好地培养高中生分析事物与解决问题的水平。
一、反例在高中数学教学中的作用举反例是中学数学教学中一项非常重要的能够激发学生思维方式的教学，一道数学真命题的证明通常需要具备十分缜密的确定。
但对数学假命题的证明，倘若利用反例进行解释，便会更加易于了解。
在中学数学教学的过程中常常会运用到一些基础性的概念，比如区间、集合等。
然而，如果对上述两种的概念仅仅依靠教材中所提供的进行理解，则并非是一件轻易的事情。
在教学过程，教师不仅仅需要应用到一些正面的例子来阐释言明概念中的内涵属性，还需要技巧性地通过反例加强学生对概念中关键词的了解，因此，我们非常有必要通过反例来进行对这些概念的教学。
比如教师在展开函数的教学使用中，部分学生通常会单纯地片面地以为：“某一变量伴随着另一变量的转换而转换，两者的关系便属于函数关系。
”对此，教师在教学时，为了纠正此错误的理解，则可进行反例证明：“非负数x的平方根y属于函数吗？”然后让学生自主讨论，最后可以得知尽管y和x存在一定关联，但是一旦自变量出现变化后，y并未有唯一确定的值和自变量x对应，因此，可以判定其不符合函数的定义标准。
反例：数学猜想的“天敌”——反例在中小学数学教学中的作用研究
呢？ 这个悖论 曾使得整个数学大厦 动 信任 。
摇 。弓 发 了第 三 次 数 学 危 机 ．直 至 ｌ １３ ９ １年奥 地利 数 学 家 哥 德 尔 证 明 了
纠 正 学 生可 能 出 现 的错 误 认 识 、 主观
这 就是 反 例 的魅 力 与说 服 力 ． 对 臆 断 ．更 能 加 深 学 生 对 平 行 线 的 理
势 ”．在 源 远 流 长 的 数学 史 上 占有 了
一
及 社会 中不 变 因素 的 研 究 ． 力 于追 角 三 角形 在 现 实 生 活 中 是存 在 的 ． 致 这
万 席 之 位 ． 当 今数 学 教 学 中也 独 树 索 宇 宙 的 规 律 ．他 们 认 为 “ 物 皆 个矛 盾 否 定 了毕 达 哥拉 斯 学 派 “ 在 万物
想 的方 法 ． 应 引 导 学 生理 解 两种 方 法 的优 势 与局 限— — 更
无 疑 ， 明是 可 靠 的 、 可 置疑 的和 终 结 的 ， 想是 冒 风 险 的 、 争 议 的 和 暂 时 的 ， 是 证 明 本 身 并 不 能 证 无 猜 有 但
产 生 本 质 上 的新 知 识 ， 而猜 想 可 以 。 们 学 到 的 任 何 新 东西 都 包含 着 猜 想 ， 我 它是 我 们 日常 事 务 中所 关 心 的仅
学科 。
３ ．对 众 猜 想 的 绝 妙 否 定 和 反 例
不 是 在 证 明它 的 正 确性 ． 是 在试 图 探 索条 件或 改 变结论 ．这 对 开拓 学生 而 找 到反 例来 推 翻 它 二 、 例 与 教 学 反 思路 、 培养 其思 维的发 散性 很有 帮 助。
探 索
软 肋 ： 经 过 有 限 次 归纳 、 只 未经 严 格 证 明 得 出 的 结论 不能 断 定 就是 正确 的。 综 上 所 述 。 明 与猜 想是 相 互 补 充 、 互 联 系的 。 师在 引导 学 生进 行猜 想 、 养 学 生猜 想 能 力 的 同 时 ， 证 相 教 培
反例在中学数学解题中的应用
解题研究２０２３年４月上半月㊀㊀㊀反例在中学数学解题中的应用◉西华师范大学㊀潘叶秋㊀㊀摘要:反例教学是指教师根据教学内容和目标,采用概念和例题的典型错误认识或错误解法组织学生探讨错误的原因,从而达到真正掌握数学概念和性质的一种教学方法．本文中通过论述反例在数学解题教学中的作用,探索如何恰当运用反例,引导学生从反面视角看待问题,提高数学课堂效率和教学质量,从而提升学生的逻辑思维能力与数学核心素养．关键词:中学数学;反例;解题㊀㊀判断一个数学命题的正确性,需要严密的证明,而有时候,往往一个精妙的反例就能确定一个命题是否正确．在数学解题中运用反例,就是对数学猜想进行推翻和反驳的过程,教师若能引导学生使用恰当的反例,就可以化繁为简．在教学实践中,反例的学习还能培养学生的数学逻辑思维与数学知识的建构能力．教师应重视反例教学,运用合理的反例技巧,培养学生的解题能力和思维能力[１]．１利用反例取特殊值选择题是数学考试中的必考题型,由于这种题型的特殊性,很多时候能够利用反例来检验所给选项的真伪,进而进行筛选判断．在时间有限的考试中,特殊值法不失为一种好方法．例１㊀如图１,正方形四个顶点的坐标依次为(１,１),(３,１),(３,３),(１,３)．若抛物线y ＝a x ２的图象与正方形有公共点,则实数a 的取值范围是(㊀㊀)．图１A．１９ɤa ɤ３B ．１９ɤa ɤ１C ．１３ɤa ɤ３D．１３ɤa ɤ１解:观察四个选项,A 与B 选项中都有１９,C 与D 选项中都不含有１９,利用特殊值法,当a ＝１９时,抛物线y ＝１９x ２与正方形有公共点(３,１),可排除C ,D 选项．观察A ,B 选项,此时可考虑a ＝３时的情况．当a ＝３时,抛物线y ＝３x ２与正方形有公共点(１,３),成立,由此排除选项B ．故选项A 正确．２利用反例否定结论要证明一个命题为真命题,也就是说要证明这个命题的所有情况都为真,就必须在一般情形下进行论证;而要否定一个命题的真实性,不需要进行严格的论证,只需要举出反例即可,只要有一个条件不符合,那么此命题即为假命题[２]．如何寻求适当的反例来否定结论,需要学生具有较高的思维能力．在教师的指导下,学生若能掌握运用反例思考问题的方法,不仅能帮助学生解题,还有利于拓展学生的思路．例２㊀已知函数f (x )＝x ２＋a x(x ʂ０,a ɪR ),试判断函数f (x )的奇偶性,并说明理由．解:根据a 的取值情况进行分类讨论．(１)当a ＝０时,f (x )＝x ２(x ʂ０),则f (－x )＝(－x )２＝x ２＝f (x ),所以由定义可知f (x )为偶函数．(２)当a ʂ０时,f (x )＝x ２＋a x,取特殊值,令x ＝１,则f (１)＝１＋a ,f (－１)＝１－a ,从而f (１)ʂf (－１),且－f (１)ʂf (－１),所以f (x )既不是偶函数也不是奇函数．综上所述,当a ＝０时,f (x )为偶函数;当a ʂ０且a ɪR 时,f (x )既不是偶函数也不是奇函数．点评:奇偶性是函数的一个重要性质．本题分别对a ＝０与a ʂ０分情况展开讨论．当a ＝０时,依据偶函数的定义来证明;当a ʂ０时,采用举反例的方法进行说明．３利用反例完善解答探求一个命题在什么条件下成立时,我们往往通过直接论证的方式来解答,但得到的答案不一定准确,它可能包含了不满足的条件,此时,我们可以借助反例这一有用的工具,将不满足的情况剔除,使解答更加完善与准确．０５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年４月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀例３㊀设函数f (x )＝x ２＋１－a x ,其中a ＞０．试求a 的取值范围,使函数f (x )在区间[０,＋ɕ)上是单调函数．解:在区间[０,＋ɕ)上任取x １,x ２,使x １＜x ２,则㊀㊀㊀f (x １)－f (x ２)㊀㊀㊀㊀＝x ２１＋１－x ２２＋１－a (x １－x ２)㊀㊀㊀㊀＝x ２１－x ２２x ２１＋１＋x ２２＋１－a (x １－x ２)㊀㊀㊀㊀＝(x １－x ２)(x １＋x ２x ２１＋１＋x ２２＋１－a )．当a ȡ１时,由x １＋x ２x ２１＋１＋x ２２＋１＜１,可得x １＋x ２x ２１＋１＋x ２２＋１－a ＜０．又x １－x ２＜０,则f (x １)－f (x ２)＞０,即f (x １)＞f (x ２)．所以,当a ȡ１时,函数f (x )在区间[０,＋ɕ)上是单调递减函数．当０＜a ＜１时,在区间[０,＋ɕ)上存在两个数x １＝０,x ２＝２a１－a ２,满足f (x １)＝１,f (x ２)＝１,即f (x １)＝f (x ２),所以函数f (x )在区间[０,＋ɕ)上不是单调函数．综上所述,当且仅当a ȡ１时,函数f (x )在区间[０,＋ɕ)上是单调函数,且是单调递减函数．点评:学生往往在得出了函数的某一单调区间后,便认为问题已经解答完毕,容易忽略说明在余下区间上的不单调．这时就可借助反例这一工具,来完善解答．４利用反例寻找解题思路有些问题从正面思考可能较困难,这时候可以引导学生举出反例,寻找解题思路．运用反例来思考问题,可以使思维更加严谨,进而提高分析㊁解决问题的能力．反例的提出不是凭空胡乱捏造,而是要随着问题的思考,对所得的结论进行不断地质疑㊁改进．这有利于促进学生思维能力的发展．例４㊀设a n {}是由正数组成的等比数列,S n 是其前n 次的和．试问是否存在常数c ＞０,使得l g (S n －c )＋l g(S n ＋２－c )２＝l g(S n ＋１－c )成立?并证明你的结论．分析:将a n ＝１代入上式,由计算结果得到此时c 不存在,猜想 常数c 可能不存在 ,即思考能否找到矛盾,证明c 不存在．故用反证法解答后续问题．解:假设结论成立,即假设存在常数c ＞０,使得l g (S n －c )＋l g(S n ＋２－c )２＝l g(S n ＋１－c )成立,则㊀㊀S n －c ＞０,㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀①S n ＋１－c ＞０,②S n ＋２－c ＞０,③(S n －c )(S n ＋２－c )＝(S n ＋１－c )２．④ìîíïïïïï由④式,得㊀S n S n ＋２－S ２n ＋１＝c (S n ＋S n ＋２－２S n ＋１)．⑤由均值不等式以及①②③④式联立,得㊀㊀S n ＋S n ＋２－２S n ＋１＝(S n －c )＋(S n ＋２－c )－２(S n ＋１－c )ȡ２(S n －c )(S n ＋２－c )－２(S n ＋１－c )＝０．因为c ＞０,所以c (S n ＋S n ＋２－２S n ＋１)ȡ０,而由已知易证S n S n ＋２－S ２n ＋１＜０,所以⑤式不成立,矛盾．故不存在常数c ＞０,使得l g (S n －c )＋l g(S n ＋２－c )２＝l g(S n ＋１－c )．点评:本题是一个探索性问题,对学生来说难度偏高．解决这类问题时,举反例虽然不能直接证明结论是否成立而达到解题目的,但通过举反例,能让学生找到解决问题的灵感,从而为问题的解决指明一个方向．在利用反例解题的过程中,教师要引导学生变换思路,不直接证明命题的真假性,而是去思考在什么情况下这个命题是假的,如何去找到这个巧妙的反例．在运用举反例进行条件充分性的判断时,一定要注意题干中隐藏的已知条件,注意选用的反例是否恰当以及是否循序渐进地引入．认清反例在解题中的主次．在解题的过程中,反例并不是解答问题的核心,它只是解题的一个辅助性手段．反例有助于学生形成批判意识,学会对命题进行质疑,让学生在 证明 与 反例 这二者的相互比较㊁不断优化中,全面掌握知识,并不断优化结论,最终解决数学问题[３]．参考文献:[１]王太广．巧用反例益处多 初中数学教学中反例的有效运用研讨[J ]．数理化解题研究,２０２１(２６):２０Ｇ２１．[２]张庆大． 反例法 在中学数学解题中的应用[J ]．中学教学参考,２０２０(１７):１４Ｇ１５．[３]曾春燕,姚静．反例作用的实验研究 以高一数学教学为例[J ]．数学教育学报,２０１５(１):７７Ｇ８１．Z １５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
巧借反例法提高教学实效
巧借反例法提高教学实效摘要：本文主要探讨反例在中学数学教学中的构造模式及其重要性.在数学教学中利用反例能够有效地诱发学生的求知欲，促使其主动积极地学习，对基础知识有更进一步的理解.不仅有利于学生全面正确地理解、掌握数学的基本概念和基本定理，而且促使学生养成善于发现问题、纠正错误的习惯，更能培养学生的发散思维和创造性思维.关键词：反例思维判断力逻辑规律特殊值数学教学美国数学家盖尔鲍姆说：“数学由两大类——证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例.”提出证明，就是根据已知概念和真命题遵照逻辑规律运用正确逻辑方法去证明某个命题的真实性，构造反例，就是为了证明某个命题不真，构造一个且只需构造—个符合于题设条件但命题结论不成立的特例，即反例.本文从数学教学的角度讨论反例的作用.一、培养独立的思维判断力，增强趣味性在中学数学教学中教师不仅要教给学生数学知识，更重要的是要培养学生的能力，尤其是培养学生的创造性思维能力.思维属于认识的高级阶段，要达到培养学生创造性思维能力的目的，必须重视构造反例这一重要途径.构造反例是一个快速而无规则的探索性过程，它有利于活跃学生的思维，广开学生的思路，同时也可培养学生从多方面、多角度认识问题和解决问题的习惯，有效地增强学生思维的敏捷性，逐步增强独立的思维判断力.在教学过程中，适时举一些数学史上的著名反例，不但能培养学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，而且对学生形成概念、系统掌握知识有很大的帮助.如在讲无理数概念时，可以谈谈数的概念的形成和发展，特别是导致数学的第一次危机的反例，古希腊毕达哥斯学派的希帕萨斯发现正方形一边与对角线不能用两整数之比表示，严重冲击了当时希腊人的信条——数是一切事物的本质，整个有规定的宇宙的组织，就是数及数的关系的和谐系统.“宇宙万物只能归结为整数，最多也只能归结为两整数比”.希帕萨斯因此而被抛入大海，成为数学史上的一大悲剧.这一反例的发现，使希萨斯的名字，永远被铭刻在神奇的数学王国的宫墙上.接着叙述无理数数，学生的注意力自然很集中.又如学习数学归纳法时，必须指出：不完全归纳推理，只是给人们提供了一种猜想，其真实性必须通过论证肯定或否定.由于反例在否定命题时具有巨大的作用，因此利用反例可以轻而易举地否定一些著名命题.1640年法国数学家费尔玛猜测所有形如fn=2+1（n 为非负整数）型的数都是素数，验证f=3，f=5，f=17，f=257，f=65537都是素数，因此，当时谁都不知道费尔玛的猜测是否正确，直到1732年，瑞士大数学家欧拉指出f5=641×6700417，从而一举推翻了费尔玛猜想.二、构造独特的解题模式，寻找矛盾构造反例在证伪过程中起到了巨大的作用，而且构造反例是培养学生创造性思维能力的重要途径之一，因此教学中应予以足够的重视.如何构造反例呢？选择特殊值、极端情形或相反情形，常常可使所举反例简洁且易于构造，—般构造反例解题的模式是：问题条件特点解析→（选择特殊值极端相反情形）→构造反例→（得出结论）→原命题不真.我们经常使用的反证法，是首先假定所要证明的结论不成立，然后在这个假定下进行一系列符合逻辑的推理，直到得出一个矛盾的结论，并据此推翻原先的假定，从而确认所要证明的结论成立.其中，寻找矛盾是证题过程的核心所在，而揭露矛盾的一个有效方法，就是构造反例.所以在由这些线段所组成的三角形中必有锐角三角形.三、探寻问题的错误所在，深化理解在中学数学教学过程中，教师不仅要能够运用正确的例子深刻诠释知识点，而且要能够运用一些恰当的反例从另一个角度紧抓住概念或规则的本质，弥补正面教学的不足，进而加深学生对知识的理解，让他们留有深刻的印象.比如，中学数学知识中函数的单调性，数列极限的运算法则，复数等概念和运算法则等，对于刚接触的人来说，对它们的认知常常模糊不清.在教学这些知识点的时候，假如从正面阐述，那么学生就很难理解，如果结合一些反例论述，效果就会事半功倍.（一）有利于帮助掌握定理、公式和法则例3：若a=a，b=b，那么（a+b）=a+b，反之，可否成立？解析：反之不成立.如果直接说明难以入手，而举出反例论述，就可以使学生记忆深深刻.例如：a=+n，b=-n，显然（a+b）存在，但a和b就都不存在了.例4：二项式定理的教学中，刚接触者常习惯于记忆通项公式t=cxa对于形似（3a-4b）的式子，因而认为它的第四项系数是c，这显然是“误入歧途”，实际上应该是c3·（-4）.（二）有利于正确指出错误对学生解题中的错误必须及时予以纠正.偶然性的错误，要求学生仔细思考，让他们自己作出改正或补充；原则性的错误，要求学生明白错误的原因，直到弄懂为止，而指出错误最为有效的办法之一便是举出反例.例5：在平面几何中，“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这个定理中“平行”二字常常被“忽略不计”.这也可举一个反例，举一个四边形abcd，两对角线ac⊥bd，但要证明它不是菱形，这样就可以促使学生深入理解定理中“平行”二字的重要性.又如，设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=/2，已知点p（0，3/2）到这个椭圆上的点的最远的距离是.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点p的距离等于的点的坐标.这是一道高考题，解法颇多，在此我们不加以赘述.下面用反例法剖析一种常见的解题错误.反例在驳斥谬论、揭露诡辩、修正错误上有着重要作用，它有助于学生正确掌握题解方法.面对一个问题的解答，可运用反例检验答案是否正确，假如发现不对，就能够引导我们探寻错误的原因.式并不等价，尽管满足前者时，也能满足后者，但满足后者时，却不能满足前者，所以是错误的，答案应为-5<m≤-4.在当前的中学数学教学中，—般对提出证明比较重视，而对构造反例有所忽视.从思维方法来看，构造反例法是较高层次的思维方法之一，也是发现数学真理的一种重要手段，对于激发学生的学习兴趣、培养学生的发散性思维起着不可估量的作用.所以，在教学过程中，我们应重视反例法的运用.参考文献：[1]吴志华.浅谈反例在高等数学教学中的作用及构造[j].牡丹江教育学院学报，2008，3.[2]曹玉升.反例在高等数学教学中的作用及构造[j].漯河职业技术学院学报，2009，2.[3]孟凡朋.浅谈初中数学教学中反例教学的重要性[j].数学学习与研究，2010，02.[4]陈尔彬.反例与中学数学教学[j].课程教材教学研究（中教研究），2010，z1.[5]胡志祥.应用反例提高素养[j].内蒙古教育，2010，4.。
反例在中学数学教学中应用[论文]
![反例在中学数学教学中应用[论文]](https://img.taocdn.com/s3/m/0d673c8fb9d528ea81c7793d.png)
反例在中学数学教学中的应用摘要：本文对“反例教学法”在数学教学中的运用做了一些研究，利用分析论证的思想介绍了反例在数学教学中的作用，怎样利用反例教学，以及教育工作者在反例教学时应该注意的问题。
充分证明了反例在中学数学教学中不可或缺的重要地位。
关键词：数学反例；课堂教学；学生思维中图分类号：g632 文献标识码：b 文章编号：1002-7661（2013）12-120-02数学中的命题一般可归纳为下述形式，类a具有性质b。
我们要推翻这个命题，只须找到一个元素a∈a，而a不具有性质b，则给予了反驳，使得命题不成立。
也就是说要构造一个例子，这个例子是属于a类的，但不具有性质b，这样的例子，我们叫作反例。
[1]所谓反例，通常是指用来说明某个命题不成立的例子。
在数学中要证明一个命题成立，要严格地论证在符合题设的各种可能的情况下，结论都成立，也就是要求证明必须具有一般性，面面俱到，缺一不可，而要推翻一个命题，却只需之处在符合题设的某个特殊情况下，结论不成立，也就是只要举出一个反例就行。
一、数学反例在历史上的地位任何一个命题，他们要么得到证明，要么被反例推翻，只是时间的迟早而已。
逻辑是证明的工具，严谨的证明是数学的标志，但当逻辑思维在有些问题上无能为力时，反例却能一针见血地指出症结所在，令人耳目一新，拍案叫绝。
可见反例是用来驳斥错误命题的有力工具，通过反例对命题加以否定或完善，对形成正确的结论形成至关重要的作用。
二、反例在数学教学中的作用1、有利于数学概念的形成和加深概念的理解数学概念是整个数学宫殿的基石，因此，它的教学显得尤其重要。
在概念教学中，教师不仅要运用正面的例子来深刻阐明它的本质属性，而且要善于借助反例加深学生对定义中的关键词、句重要性的认识，以弥补正面教学的不足，从而进一步加深对概念的理解。
例如，在进行奇、偶函数概念的教学时，不少学生对概念的理解只是表面的，还没有深入到其本质，教师可提出问题是偶函数吗？可能有的学生会不假思索地回答：是。
反例在初中数学课堂中的有效应用
反例在初中数学课堂中的有效应用作者：王振军来源：《新课程》2020年第36期摘要：在数学教学课堂当中，很多教师会引入“反例”。
在逻辑学中，所谓反例，是相对于某个全称命题的概念。
反例在数学、哲学和自然科学中都有重要的应用。
以反例作为探讨的突破口，对反例在初中数学课堂引入过程中常见的问题，以及反例的应用技巧等进行了相关探索和分析。
关键词：初中数学;反例;应用在初中数学课堂当中反例的引入和应用就是为了能够让学生更好地掌握知识要点、解决难点，也是为了避免学生在日后的习题和考试当中再犯类似的错误。
可以说，反例在初中数学课堂教学活动过程当中占据着一席之地，反例对初中学生数学核心素养的提升也发挥着十分重要的作用。
正是基于这样的一个背景环境，笔者从反例在数学教学中的应用作出一些有效的思考。
一、初中数学教学课堂中反例的引入和应用应该关注的重点问题分析在初中数学课堂当中进行反例教学方法，教师需要掌握一定的技巧，同时也要进行反例试题内容的推敲和选择。
一旦反例选择不当，有可能会产生负面的作用和效果。
为此，在反例应用当中还是有一些重点问题和共性问题值得去阐述和分析。
第一，在初中数学课堂当中进行反例教学，要注意反例的选择。
对于初中学生来说，由于学习方法和数学学习基础的差异性，导致学生在数学学习的过程当中也呈现出了自身的一些特点。
有些学生对于教师举出的反例很容易理解，一点即通;但是有的学生对于教师举出的反例却很难理解，甚至在某种情况下还会效仿反例当中的不良解题方法。
为此，“因人而异”就显得尤为重要了。
教师要根据不同学生的不同特点，选择不同的反例教学方法和反例展示方式。
实际上，差异化的教学方式为的就是让学生能够更好地掌握数学知识的要点和数学解题的技巧。
第二，要积极搭建一种科学的反例构建模式，通过不断地创新和优化来达到反例教学的基础性目标。
初中数学教师在教学活动当中，对于反例的应用也要适当，除了教师自身要善于合理地应用反例以外，还要积极地引导学生进行反例思维的构建。
反例在中学数学教学中的作用
反例在中学数学教学中的作用首先，反例可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念。
在数学中，许多概念是抽象的，不容易直接理解。
通过引入反例，学生可以看到具体的例子，帮助他们形象地理解概念。
例如，在学习数列的收敛性时，引入一个反例可以让学生观察到一个不收敛的数列，从而理解收敛的概念。
其次，反例可以帮助学生发现和理解数学规律和定理。
数学中有许多规律和定理，它们的证明往往需要使用严谨的逻辑推理。
通过引入反例，学生可以发现一些规律不总是成立，从而激发他们思考为什么这些规律不成立，以及真实的规律是什么。
例如，学习三角形的内角和时，学生可能会发现一个反例，一个三角形的内角和大于180度，这有助于他们理解三角形内角和定理的真实含义。
此外，反例可以帮助学生培养他们的逻辑思维和推理能力。
在引入反例时，学生需要运用逻辑思维来找到一个合适的例子，并用推理来解释为何这个例子是一个反例。
通过这个过程，学生可以加深他们对逻辑思维和推理的理解，并且能够更好地运用这些技能解决数学问题。
这对他们在解决其他问题时也非常有用。
此外，引入反例还能帮助学生识别和纠正他们的错误。
在学习数学中，学生可能会犯错误或产生误解。
通过引入一个反例，学生可以发现自己的错误，并更好地理解正确的概念、规律和定理。
这有助于他们避免类似的错误，并帮助他们在学习和应用数学时更准确地思考。
在教学中，教师可以灵活运用反例。
他们可以在讲解新概念时引入反例，以便更好地帮助学生理解和记忆概念。
同时，在复习和巩固知识时，教师也可以通过让学生寻找和讨论反例来检验他们对知识的掌握程度。
这不仅能够加深学生对数学的理解，还能够激发学生的学习兴趣和思维能力。
然而，引入反例也需要一定的谨慎。
教师应该选择合适的反例，避免过于复杂或抽象的例子，以免给学生带来混淆。
此外，教师还应该确保学生充分理解反例的含义和作用，并与他们讨论为何这个例子是一个反例。
只有这样，学生才能真正受益于反例。
总的来说，反例在中学数学教学中具有非常重要的作用。
反例在中学数学中的应用
反例在中学数学中的应用第一章前言在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验：当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功.“要明确一个命题是假命题，只要举出一个满足命题条件，而不满足命题结论的例子就行了.”这在数学中称为举反例.一位学者指出，举一反三和反证法激发人类的隐藏的潜力。
[]1通过举一反三可得到其他的结论，然而当所得出的结论中有的明显不正确时，可以通过反证法来进行相关验证。
一些教育学者表示，正方向的证明体现了概括性的内容，反方向的证明则从另一方面推翻猜想，增强信息的辨识度。
由此可见，反证法是推翻不正确猜想不可缺少的手段。
根据数学改革历程可以看出反证法发挥了十分重要的作用，这是由于研究数学猜想时，定理需要反复论证，而显而易见的错误猜想则需要用反例来推翻。
但是数学的发展离不开论证和反例两个重要工具。
那现在就让我们一起来谈谈什么是反例以及它在中学数学课程安排中的广泛应用.第二章反例的定义与分类2.1反例的相关理论知识反例主要指与命题条件相符，但与结论不相符的事实证明。
换一种说法，指的是证明猜想错误的事实证明。
从某一程度而言，实际存在的事实都能被称作反例，原因是一般事实能够确切地证明猜想的错误性。
然而本文探讨的反例则是与数学教学相关，其特点主要表现为：①.与数学猜想证明相关；②.是具体的实例；③．主要用于推翻数学不正确猜想的手段；④．以正确的数学定理为前提条件。
2.2反例的类型反例与数学猜想的证明相关，返利的出现与种类直接受到猜想内容的影响，所以数学方面的反例主要有下面几种分类：2.2.1 基本反例一般数学猜想主要表现为全称判断和特称判断两种形式，其中全称和特称判断又有肯定和否定之分。
其中互为反例主要包括全称肯定与特称否定等。
[]22.2.2 关于充分必要条件的反证实例充分条件反证主要指对前一情况是后一情况存在的前提条件的反证说明，可用p→q表示，也就是“前一结论是后一结论发生的条件之一”，但不是表示后一结论的发生完全依赖于前一结论。
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用作者：覃礼权来源：《新教育时代》2014年第12期摘要：举反例也就是指出某命题不成立的例子，数学中常常需要利用反例来判断一个命题是假命题。
在数学的发展史上，反例与证明占有同等重要的地位。
在数学教学中，恰当地开发和使用反例，引导学生去构造反例，长期训练学生构造反例的能力，就能为学生找到从模糊错误的思维中通往豁然开朗的桥梁，从而收到事半功倍的教学效果。
关键词：反例数学教学作用我们知道，要判断一个命题是真命题，必须经过严密的论证。
而要判断一个命题是假命题，只要举出一些例子，它符合命题的题设，但是不满足命题的结论就可以了，这就是举反例。
正如美国数学家盖尔鲍姆指出：“数学由两大类——证明和反例组成。
而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例……”。
因为在数学问题的探索中，猜想的结论未必正确，正确的需要证明，谬误的则依靠反例。
[1]因反例具有直观、明显、说服力强等突出特点，决定了它在数学教学中也有着不可替代的作用。
下面笔者就举反例在数学教学中的作用谈几点见解，以供参考。
一、深化学生对数学概念以及数学定理、公式和法则等基础知识的理解和掌握在初中数学概念以及数学定理、公式和法则等的教学中，我们不仅要运用正面的例子加以深刻阐明，而且要运用恰当的反例从另外一个侧面抓住它们的本质，弥补正面教学的不足，从而深化学生对数学概念以及数学定理、公式和法则等基础知识的理解和掌握。
数学领域里，对数学概念的定义的阐述是极其严密的。
并且数学中有许多定理、公式或法则的运用范围都有相应的条件要求或限制。
学生在运用时往往不注意分析具体条件而生搬硬套。
因此教学活动中，教师不仅要讲清这些定理、公式或者法则的运用范围或运用时条件的限制，而且要根据学生的认知状况恰当举反例，帮助学生牢固掌握相应的定理、公式和法则。
初中数学中的一些概念、二次根式的运算法则以及比例的性质等，对于初学的同学来说，对它们的理解常常模糊不清，在讲授这些知识的时候，如果只从正面论述，同学们对知识的理解并不深刻，如果配合一些反例来说明，效果就截然不同。
反例在数学中的价值
反例在数学中的价值摘要本文通过探讨，反例在数学教学中的作用，来阐述反例在数学中的价值，在教学中尤其是数学教学中通过反例不仅可以使学生加深对最基础概念的理解，还可以起到学生对概念理解的全面性、提高学生逆向思维的能力、与纠正错误、发现问题的能力。
关键词数学反例数学教学数学概念数学定理应用在数学思维中，举反例和证明同等重要,它们是同一个问题所具有的不同的两个侧面。
我记得数学曾经指出:“冒着过于简单化的风险,我们可以说数学是由证明与反例这两大类组成,并且以后数学问题中的发现也是朝着证明与构造反例这两个目标在发展[1]。
在数学中反例比正面简洁而且比正面还更有说服力，但要论证反例比较难，要有雄厚的数学知识，一经找到反例则会马上明朗。
然而举反例并不是一件容易的事，对此我自己有深刻的感受，觉得对于某一个命题而言，要构造出它的反例，结果发现，要比证明出它还难。
因此，我们要了解和研究构造反例的方法是必要的，如果你掌握了构造反例的方法，则能对于我们，数学问题的解决能力，有很好的培养，和现在的学生在数学学习中都是采用死记硬背时，而死记硬背都是靠直觉思维，但直觉思维存在着不严密性，所以结论可能是存在不严密或者是错误的。
因此，教师在教学过程中，要引导学生用逆向的思维，来考虑和解决问题。
这样，既可以客服学生呆板的、固定的思维模式，还可以使学生对该问题有更全面的认识。
由此可见教师在教学过程中根据学生的心理特点,抓住机会恰当地利用反例,可以消除学生思维的定势错觉[2]。
以前的教科书无一例外都是围绕所学知识的理论体系建立、书上的例题基本上全是从正面先进行证明，再给出结论，最后给予总结，从而引出定理，基本上不出现反例,导致学生产生惯性思维，一看到问题不管合不合理，首先在脑海中出现的是直接证明,直接从题目、正面入手，不管横不能得出结论，就算是证明不出结论，而很少想到可不可以举出一个反例来否定该命题。
所以在教学中，教师要充分认识到这点，引用反例的价值，戒除学生的惯性思维，并且间接提高学生逆向思维、发散思维等能力。
在反例中求正解——谈初中数学教学中对反例的应用
教学改革反例教学在初中数学教学中起着很重要的作用，反例可有效的巩固所学的概念和定理，同时还能增强学生对数学知识的兴趣，更能对学生的抽象逻辑思维的训练得到很大的帮助。
对于教学而言，反例能有效的提升教学质量，还能从例子中深刻的理解知识点。
对解决数学问题而言，利用反例无疑是掌握数学学习最有效，最能加深学生印象的一种教学方法。
在生活中，我们有时会能遇到一些问题，使我们百思不得其解，这个时候就要发挥人大脑思维的作用了，如果我们从正面想不通，为何不试一试从反面去解决那，也许真的会有意外的收获。
反例能激发的学生思维，使学生愿意去尝试、去思考。
人的思维还具有灵活性，它能判断或选择一种最直接最简捷的方法去解决问题，在初中数学教学中，教师不仅要培养学生这种用反例去解决实际问题的能力，还应锻炼学生对反例的充分运用。
反例还能培养学生的逆向思维。
一、中学数学中反例的作用及应用在学习中学数学时，我们有时会遇到许许多多的数学问题，有的答案较多，有的给出没用的条件，还有的需要判断命题的真假，这些题往往是学生头疼的问题，那么是否能举出一个恰当的反例来证明是解决问题的关键点。
在一些数学考试中，我们能看出现在的题型大多是开放性的，有些题型是需要学生用反例去证明它，或是只有举出反例才更容易理解，那么当学生再遇到相似的数学问题时，才懂得如何思考，找到解题的入口点。
运用反例能提高课堂效率，正确而充分的反例可以对解决问题起到事半功倍的效果，教师在数学教学过程中，运用反例增强课堂的互动性，让学生在快乐的课堂学习环境下，充分发挥学生学习的自主性、积极性，使学生愿意思考，乐于挑战，从而增强学生对中学数学学习的兴趣。
运动反例优化学生的解决问题能力，数学解题的过程实质上是一种技巧，这种技巧可以提升学生的解题效率，还能有效的发展学生的发散性思维。
针对一个问题，学生在解决问题之前，应充分进行假设，思考和尝试，这样才能有效的锻炼学生解决数学问题的能力，和增强数学素养。
反例在中学数学教学中的应用
反例在中学数学教学中的应用
在中学数学教学中，反例被广泛应用于证明或推翻某些数学命
题或结论。
例如：
1. 证明“所有的偶数都可以分解为两个质数之和”这个命题不
成立，可以举出反例：偶数38只能分解为19和19两个质数之和，
而19并不是偶数。
2. 常用于证明“存在性”的定理，即某件事情“存在的”证明。
通过举出反例，可以证明一些东西的“存在性”不成立。
3. 在数学归纳法的证明中，反例也经常被用到。
如果一个数学
结论在某个特定的情况下不成立，那么它在全部情况下都不成立。
4. 在代数、几何、概率等领域的证明中，反例通常是非常有用
的工具，可以通过举出一个反例来反驳一个假设或证明一个结论的
不正确性。
总之，反例在中学数学教学中是一个关键的概念，它不仅可以
帮助学生更好地理解数学思维和证明方法，而且也可以帮助他们更
好地理解概念和理论。
浅谈反例在中学数学教学中的作用
鞲 ｆ 鞋翼｛ ： ｛ Ｅ塞嚣怠｝ 的 作 用
◇甘 肃 武 威市 第 一 中学 张 桢 霞
【摘 要 】反例在 中学教学 中有 着非常重要 的地位 ，文章 结合 一些 实例讨论 了反 例在 中学数 学教 学中的作用 ，并指 出 了在 使 用和 构 造 反 倒 时 应 注 意 的 问题 。
数 学 家 Ｂ·Ｒ ·盖 尔 鲍 姆 说 过 ， “一 个 数 学 问 题 如 果 用 一 个 反 例 予 以解 决 ，给 人 的 刺 激 犹 如 一 出好 戏 剧 ，使 人 得 到 享 受 和 兴 奋 ， 为 数 学 做 出 许 多 最 优 雅 的和 艺 术 性 很 强 的 贡 献 ，属 于 这 个 流 派 。 ” 在 中 学 阶段 的 数 学 教 学 中 ，数 学 反 例 的应 用 是 一 种 必 然 的 教 学 手 段 ，适 当地 应 用 反 例 加 强 对 学 生 构 造 反 例 能 力 的培 养 ，将 直 接 有 效 地 推 动 教 学 质量 的 提 高 ，使 新 课 程 标 准 下 的 教 学 理 念 真 正 得 以 体 现 ， 实 现
导 动 手 实 践 、 自主 探 索 与 合 作 交 流 学 习 数 学 的 重 要 方 式 。 那 么 ，教 师 在 教 学 过 程 中 要 凸 显学 习 过 程 的 探 究 性 ， 就 应 注 重 创 设 问题 情 境 ， 引 发 矛 盾 冲 突 ，激 发 学 习 兴 趣 ， 激 活 探 究 欲 望 ，提 供 探 究 材 料 ，构 建 探 究 性 活 动 过 程 ，让 学 生 在 活 动 中 探 究 ，在 探 究 中 体 验 ，在 体 验 中发 现 ，从 而 实 现 合 作 探 究 ， 自主 构 建 。 数 学 反 例 在 中 学 教 学 中 的 应 用 恰 好 迎 合 此 理 念 ， 它 是 激 发 学 生 学 习 兴 趣 ，培 养 学 生 创 新 能 力 ，开 发 学 生 创 造 性 思 维 的 一 种 必 不 可 少 的教 学 方 法 。
数学人教版七年级下册无理数 ---反例教学案例
无理数--------初中数学反例教学案例平乐县实验中学陈大杰有些命题，要判断它是错误的，只要列举一个满足命题的条件，但结论不成立的例子，就足以否定这个命题，这样的例子就是通常意义下的反例。
我在讲授七年级下册6.3“实数”时，练习中有一道选择题：下列命题①两个无理数的和是无理数；②两个无理数之差是无理数：③有理数与无理数之和是无理数：④两个无理数之积是无理数。
其中正确的有（）个A）1；B）2；C）3；D）4；生1：选C。
师：为什么？生1：只有②错了。
师：为什么②错了？能不能举个例子？生1：√2—√2=0，差为有理数。
师：其它的都对了吗？生2：①也错了。
师：为什么①也错了？生2：√3+（-√3）=0，和为有理数。
师：③、④都对了吗？生：对了。
师：刚才我们举了一个例子说明命题①、②是不对的。
这样满足命题的条件，但结论不成立的例子，是否定这个命题一种很好的方法，这种方法叫“举反例”。
大家一定很喜欢。
还有其它例子说明①②是错的吗？生：有，（很多）师：那么，能不能举反例说明③、④是错的？生：不能。
师：真的不能吗？生：真的。
师：为什么？谁来说说？生3：一个无理数是无限不循环小数，加上一个有理数，当然还是无限不循环小数；同理，两个无限不循环小数相乘的积，当然还是无限不循环小数。
所以，我们没有办法举反例说明它们错误。
师：大家同意吗？生齐：同意。
师：看来，大家不仅会举反例，还会从正反两个方面思考问题，真是好样的！我们还要注意：举反例，一定要牢牢抓住条件，符合条件的反例，才能推翻命题。
教师在进行教学时，不但要合适地使用反例，更严重的是要善于引导学生正确构建反例，敢于和善于发现问题或提出问题，爱护、支持和鼓励学生中的一切含有创造因素的思想和活动，从而提高学生的思维能力。
这实际上是为学生创设了一种探索情景。
在教学时，反例的构建要根据学生的认知发展水平和已有的知识结构逐层深入地进行，把某些难度较大的问题分解为一些小的梯度题。
反例的作用及几种构造方法（PDF）
/ 教学笔记 /数学中的反例是指符合某个命题的条件，而不符合该命题结论的例子。
当一个数学命题被提出后，一是通过一系列的正确推理，对命题作出证明；一是寻求反例（一个足够），否定这个命题。
1 反例的作用1.1 反例可用来判断命题的真假在数学中要证明一个命题为真命题，必须经过严密的推理；而要否定一个命题，只要举出一个符合命题条件但与命题结论矛盾的例子就可以了。
费尔马（F e r m a r t ）是17世纪法国杰出的数学家，他曾提出猜测：形如122+=nn A ，当n 是自然数时，nA 是质数。
过了半个多世纪，欧拉（E u l e r ）首先找到一个反例，计算出当n =5时，n A 不是质数，即：70041764142949672972125×==+，是一个合数。
欧拉（Euler）通过反例否定了费尔马的这个猜想，用反例判断命题真假的作用由此而见。
【命题1】周期函数之和仍是周期函数，非周期函数之和仍是非周期函数。
【分析】取x x f πsin )(=，周期为2，x x g sin )(=，周期为π2，但是x x x g x f sin sin )()(+=+π为非周期函数。
又可取x x x g x x x f +=−=sin )(,sin )(均为非周期函数，但是它们的和x x g x f sin 2)()(=+显然是周期为π2的周期函数。
从上面的反例可以判定命题1是假命题。
1.2 反例可用来构造证明一个命题对于一个命题，从一方面看，它的反例可以起到否定这个命题的作用。
如果没有找到反例，也不能说明命题为真命题，因为有可能反例是存在的，只是没有找到它而已。
从另一方面看，一个命题的反例，有时也是其否命题的极好证明。
【命题2】质数是有限多个。
【分析】如果质数仅有有限多个，那么就可以把它们全部写出来，不妨设为n p p p p ,,,,321L ，此外再没有其他的质数了。
现构造一数：1321+=n p p p p A L 。
初中数学教学中反例的运用
不可盲 目地运用反例教学 ， 教师设计 的反例的 内容 在 当前数学 课堂教学 中， 教师 为突 出新课程 教学理念 ， 使学 重 目的性原则 ，
生掌握更多的数学 知识 点 ， 从而 忽略了采取有效 的教学方法进行 必须要与 当天 的数学知识点挂钩 ，要能够使学生在反例 的学 习中
教学 ， 使初 中数学教 学中存在很多 问题 ， 这些 问题严 重影响 了数 达到巩 固知识点 、 准确把握知识结构 中重点和疑难点的 目的。 强化
学课堂教学有效性 的发挥 。 反例教学作 为初 中教学 中的一种事半 目的性 原则， 才能使学生在学习过程 中内化数学知识 ， 提高教学 的
功倍 的教学方法 ， 即是改变事物 的本来属性 ， 用 与 之 相 反 的 甚 至 有 效 性 。
错误 的思想来引导学生思考 ， 突出学 生对正确知识 的认 识。这种 教学方法 能够 让学生通过错 误的认识提 高学生对 数学 问题 的认
学习中对 于一些重要 的数学 概念 和数 学术 语 、 符号等不能正确 的 升学生的学习能力 。在课堂上 ，要积极为学生创设反例教学 的情 理解其 中的含 义， 对于数学概念的应用容易 出现概念理解上的错 景 ， 把课堂真正地交 给学生 ， 与学生建立平等 的沟 通 ， 教会学 生敢
勇于思考 ， 敢于提问 ， 让学生 的能力得 到有效 的发展 ， 误。 因此 ， 运用反例教学帮助学生正确 的理解数学概念 ， 加深学生 于挑战权威 ，
三、 运用反例教学实现数学课堂的互动教 学， 提高教学效率 初中数学教学 中， 必须坚持 以“ 学生 为本 ” ， 从学生 的特点 和实 学的学习不仅应该掌握科学知识 ， 注重学习技能的训练 ， 还要 主动
识度 ， 加深理解 ， 培养数学思维 ， 提高课 堂教学效率 那么 ， 在初 中 际情况出发 ， 一切教学 方法 的改革为学生服务 ， 促进 学生成才。数
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用作者：范鑫来源：《考试周刊》2013年第75期摘要：随着教育教学工作的不断深入，反例教学在数学教学中的重要性已越来越被广大师生重视和认可。
在日常数学教学中，教师经常会发现按照正常逻辑顺序讲解的知识学生听得似懂非懂，这大大降低了教学效率，更浪费了宝贵的教学时间，而如果能恰当适时地构造反例，不仅能使学生全面地理解数学概念、法则、公式、定理等，还能培养学生的思维品质。
本文从恰当运用反例，帮助学生理解和掌握数学概念，深化理解，证明猜测，以及恰当构建反例，培养学生的创造性思维四个方面谈谈在初中数学教学中恰当运用反例的重要性。
关键词：初中数学教学反例数学概念创造性思维新的数学课程标准将数学思维作为数学教学的一个重要分支纳入到数学教学总体目标中，这足以表明数学思维的重要性。
只有巧妙使用在反例，才能对学生的智力活动起到定向纠错、提炼升华的作用。
一、恰当运用反例，帮助学生理解和掌握数学概念二、巧用反例，深化理解要证明一个命题正确，必须经过严密的推理证明，而要否定一个命题却只要能举出一个与结论矛盾的例子即可。
在学习公式、定理时，有的学生常常不注意条件，在解题中常常出错。
这时，教师可以借助反例使学生深入思考，避免解题时再犯同样的错误。
在讲解三角形全等判定时可以设计这样一题：“有两边和其中一边的对角对应相等的两三角形全等吗？”三角形全等判定，明确至少具有三个元素，对应相等的两三角形全等。
因为学生对“边角边”判定三角形全等已理解，主观上提出此问，大多数学生很难准确作出判断。
如图，BC=BC′，并且AB=AB，∠A=∠A，但△ABC和△ABC′显然是不全等的。
这样的反例可以使学生理解此定理中夹角中的“夹”的深刻含义，达到准确掌握和运用定理的目的。
又如，为了让学生更好地掌握“一元二次方程”的概念，可以设计这样一道练习题：下面列方程是一元二次方程的有（）学生对选项A和B有争议，我们可以让学生对照概念对选项A、B进行讨论。
反例教学在初中数学中作用
反例教学在初中数学中的作用【摘要】数学中的反例，是指符合某个命题的条件而又不符合该命题结论的例子. 也就是说反例是一种指出某命题不成立的具体例子. 在有关数学概念的教学中，举反例是一种即简便又有实效并极富科学性的方法. 教学实践证明，恰当运用反例进行教学，有助于学生深刻理解和掌握所学基础知识，培养学生思维的缜密性、灵活性、发散性和创新性，反例教学在数学教学中起着非常重要的作用，值得我们对此进行研究.【关键词】初中数学；课堂教学；反例教学在初中教学中，反例的构建是教学中一种非常重要的教学手段和方式，反例教学有着其极其重要的作用，在这几年的数学教学中，我对反例教学的感触也非常深刻，我觉得反例教学有其极其重要的作用，但在实施过程中也有着好多需要解决的问题和技巧，以下结合自身教学体会，简述反例教学在初中数学教学中的作用.一、反例是强化概念和公式教学的有力工具数学是一门严密的科学，它有自己独特的思维特点和逻辑推理体系.不能凭直观或想当然去理解它，这样往往会“失之毫厘，差之千里”，而在数学教学中，让学生掌握严密的逻辑推理与思维特点的同时，还要让学生掌握各类反例，这才会更深刻地掌握数学基础知识，以及提高数学修养与培养科学研究能力. 学习概念、公式，学生往往抓不住概念的本质，至于概念、公式成立的条件，则更容易忽视，也较为模糊，采用反例教学，能有效地解决这个问题.例如，在教授圆柱圆锥的体积公式后，可问学生：“圆锥的体积等于圆柱体积的三分之一吗？”同学们议论纷纷，有的说对，有的说错，争得面红耳赤. 此时可让两名同学上讲台分别实验说明各自的理由. 一学生取底面和高分别相等的圆柱和圆锥，验证例题是正确的；一学生取了底面积和高分别不相等的圆柱和圆锥，验证例题是不正确的. 通过演示和讨论，同学们明白了若说圆锥体积是圆柱的，必须有“等底等高”这个前提条件. 这样教学，既能加深印象，又可进一步强化对圆锥体积计算公式的理解和认识.二、反例是否定命题简捷而有效的方法要证明一个命题不成立，可以从正面直接证明，也可以举一个反例来证明.在学习数学概念时，需要让学生记住引入概念的正例，同时还需要记住几个与概念相悖的反例，以便从不同的角度加深对概念的理解.在初中数学中，更多的是让学生利用举反例的方法来做一些判断题.例如，让学生判断以下命题是否为真命题：（1）如果两个角互补，那么这两个角，一个是锐角，一个是钝角；（2）面积相等的两个三角形是全等三角形.这些数学语言对学生而言比较抽象，容易混淆，如果通过举反例的方法来解答就比较容易.对于问题（1），只需举出反例“两个直角互补”；对于问题（2），只需举出反例“rt△abc的两直角边均为2，面积为2，rt△def的两直角边为1和4，面积也为2.它们的面积相等但不全等”.由此可见，举反例的优点在于：只需找出一个反例就可以说明命题是错误的.所以，在平时的教学中，应鼓励学生寻找反例，引导学生从反面去思考问题，从而快速地解答一些题目.三、利用反例可加强学生对错解的辨析学生在解题过程中囿于对知识的理解、掌握不深刻，对问题的思考不全面，以及一些紧张情绪等，这一切导致了学生对题目的判断失误，而且这种失误很难通过正面途径检查出来，而运用反例采取“预防为主”的方针，能够收到良好的效果.例如，对于一些初中学生要判断命题“如果a是实数，那么a2 > 0”的真假，只要举一反例a = 0，而a2 = 0，这可能是中学生遇到的第一个反例，但多年的教学告诉我们即使到了初三，还有相当多的学生，仍在犯这样荒唐的错误.通过举反例，能十分简洁地识别出数学问题的错误和漏洞.四、反例教学可以逐步培养学生敢于质疑，勇于探索的数学品质苏霍姆林斯基曾经说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者. 在儿童的精神世界里，这种需要特别的强烈. ”一般来讲，数学课本中的例题所提供的解题思路清楚明确，这样不利于训练学生的数学思维，尤其是长时间的机械性记忆与模仿使学生缺失了一种勇于探索、敢于质疑的数学品质. 为了培养和训练学生这方面的能力，我们在例题教学中适当设置反例，故意制造假象，让学生透过假象，找出正确的解题思路，这样可促使学生运用所学知识，多层次、多侧面地进行分析研究，从而可以培养学生的发散思维和探究能力，取得更为积极的效果. 例如我们在学习分式方程的解法时，课本都是给出解方程的具体、规范的步骤，而按部就班的教学必然使学生容易出现问题的环节暴露不出来，同时无形之中也缺少了学生自己去探索、去发现的情境.五、能实现教学相长在教学中，教师不仅是讲授者和组织者，而且是讨论中的一员，学生的思维如果都活跃起来，他们在思考问题的深度和广度上往往会超越教师，使教师和学生之间相互学习成为可能.俗话说：正难则反. 在中学数学中，这种思路比比皆是，如反证法、对立事件的概率公式、排除法、互为逆否命题的关系等. 反例法教学，使用得当，的确能收到比正面切入更好的效果.总之，数学反例是数学课堂教学中的一个调节器，在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们巩固和掌握定理、公式和法则，培养他们思维的缜密性、灵活性、发散性、深刻性、创新性和全面性.【参考文献】[1]张光华.反例在教学中的作用.中学数学，1995年第8期.[2]吴海宁.对一个反例教学的思考.中小学数学（初中版），2010年第10期.[3]朱国祥. 浅谈数学反例教学的功能.西部科教论坛，2010年。
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毕业论文题目反例在中学数学教学中的作用学生姓名张栓学号1109014150 所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)11级2班指导教师张琳2015 年 5 月15 日陕西理工学院毕业论文反例在中学数学教学中的作用张栓（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业（师范类）11级02班，陕西汉中 723000）指导老师：张琳[摘要]主要阐述反例在中学数学教学中的几点功能，应用反例进行教学时应注意的几个问题及反例的背景类型等方面的内容。
在数学教学中利用反例可以有效的激发学生的求知欲，通过反例能使学生加深对基础知识的理解，反例不仅有助于学生全面正确的理解，掌握数学的基本概念和基本定理，而且是纠正错误，发现问题的重要途径。
[关键词]：反例中学数学教学作用1 引言在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。
用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。
它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。
当一个数学问题被提出来后，它面临着两种抉择：一是根据已知的公理、定义、定理等经过一系列的正确推理，推证命题成立；一是从一些迹象判断该命题不成立，然后寻求一个满足命题的条件，但使结论不成立的例证，从而否定这个命题。
后者即为通常所说的反例，重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。
2 数学反例在中学教学中的应用背景《数学新课程标准》的基本理念的核心内容有这样一条：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动。
内容的呈现应采取不同的表达方式以满足多样化的学习要求。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、主动探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，数学学习活动应当是一个生动的、主动的和富有个性的过程。
本条理念说明了要赋予数学学习活动以生命的活力，要发展学生的实践能力和创新精神。
数学教育不能再单纯地依赖模仿与记忆，要转变过去封闭、被动、接受性的学习方式，倡导动手实践、自主探索与合作交流学习数学的重要方式。
那么教师在教学过程中要凸显学习过程的探究性，应注重创设问题情境，引发矛盾冲突，激发学习兴趣，激活探究欲望，提供探究材料，构建探究性活动过程，让学生在活动中探究，在探究中体验，在体验中发现，合作探究，自主构建。
数学反例在中学教学中的应用恰好迎合此理念，它是激发学生学习兴趣，培养学生创新能力，开发学生创造性思维的一种必不可少的教学方法。
3 反例的来源与构造证明一个猜想是真实可靠的，必须经过严格的推理证明才能得出结论;而要证明一个猜想是假的,就只需要找到这个猜想命题的反例.在数学学习中,有这样一种现象：教师为了说明一个命题是假命题, 就举出一个例子, 说出这个例子虽然满足命题的条件, 但是不能满足命题的结论,这就是常用的反例证明。
但是反例是怎样获得的呢?与获得证明的方法一样,反例的获得也需要经过一系列深层次的思维活动,其方法包括:观察与实验,归纳,分析与综合,概括与抽象等,反例决不是凭空得到的。
从概念的定义入手分析获得反例是最常用的一种方法，概念是反映事物本质属性的思维形式。
在数学问题中,若首先给出一个概念的定义,然后判断一个猜想是否正确,则反例的获得就常常需要从定义入手分析。
数学中的反例作为简明而又有力的否定方法,它不仅在培养逆向思维能力中占有重要地位，而且在纠正错误结论、澄清概念、开拓数学新领域中也起到了非常重要的作用，正如美国数学家盖尔鲍姆所说：“数学是由两大类－证明和反例组成，而数学的发展也是朝着这两个目标的即提出证明和构造反例。
”4 数学反例的概念与类型数学中的反例，是指符合某个命题的条件而又不符合该命题结论的例子。
也就是说反例是一种指出某命题不成立的具体例子。
从某种意义上来说，所有的例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题不成立。
但是我们所说的数学反例，应该注意这样几点：①是相对于数学命题而言；②是具体的实例；③是反驳与纠正错误数学命题的一种方法；④是它建立在数学上已经证实了的理论与逻辑推理的基础上。
一般来说，一个假命题的反例有多个，我们在举反例时，只选其中一个有代表性的就可以了。
反例是相对于命题而言，它的产生与分类和数学命题的结构密切相关，因此在数学上的反例可以分为以下几种类型：4.1 基本形式的反例数学命题有以下4种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断。
全称肯定判断（所有，都有，）与特称否定判断（有，不是，）可以互为反例。
例如对任何自然数n都有nn的值为1，这是全称肯定判断，但当0n时，1，这是特称否定判断，这就是反例。
4．2充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例充分条件的假言判断是断定某事物情况是另一事物情况充分条件的假言判断，可以表述为因为某某所以某某。
即“有前者，必有后者”。
但是“没有前者，不一定没有后者”。
必要条件的假言判断，可表述为因为某某不存在，故某某也不存在，即“没有后者，就没有前者”。
但是“有了前者，不一定有后者”。
可举反例“有了前者，没有后者”说明之。
这种反例称为关于必要条件假言判断的反例。
4．3 条件变化型反例数学命题的条件改变时，结论不一定正确，为了说明这一点所举出的反例称为条件变化型反例。
条件变化有多种，有减少条件，有增加条件，有变化条件，考查这几种情况下结论的变化，对数学科学的研究与教学是很有益的。
5 反例在数学教学中的作用反例的寻找为新兴学科的发展提供了源泉，被誉为大自然的几何学的分形(Fractal)理论,是现代数学的一个新分支,但其本质却是一种新的世界观和方法论.它与动力系统的混沌理论交叉结合,相辅相成.它承认世界的局部可能在一定条件下.过程中,在某一方面(形态,结构,信息,功能, 时间,能量等)表现出与整体的相似性,它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以 是连续的,因而拓展了视野. 虽然分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特1975 年首 先提出的, 但最早的工作可追朔到 1875 年, 德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续但处处不可微的函数,集合论创始人康托德国数学家)构 造了有许多奇异性质的三分康托集.1890 年,意大利数学家皮亚诺构造了 填充空间的曲线.1904 年,瑞典数学家科赫设计出类似雪花和岛屿边缘 的一类曲线.1915 年,波兰数学家谢尔宾斯基设计了象地毯和海绵一 样的几何图形.这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例,但它们正是分形几何思想的源泉.以后,这一领域的研究工作没有引起更多人的注意,先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来.5.1运用反例进行教学，能够帮助学生正确全面地理解数学概念数学概念的教学，不仅要运用正面的例子加以深刻阐明，而且要通过合适的反例，从另一个侧面抓住概念的本质，使学生对所学概念进一步反思，从而达到深刻理解和掌握该概念的目的。
例1：关于函数的概念，不少学生片面地认为：一个变量随着另一个变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系，为了帮助学生澄清、纠正这一错误认识，可向学生提出这样的两个问题：(1)人的身高与年龄成函数关系吗？(2)若tan cot y x x ， 则y 是x 的函数吗？结果不少学生都认为(1)人的身高与年龄有关系，因而人的身高与年龄构成函数关系。
而(2)中由于tan cot y x x =1，因变量y 不随x 的变化(1y )，故y 不是x 的函数。
老师学生一起参与讨论。
发现问题(1)里，尽管人的身高与年龄有关系，但年龄并不能确定人的身高，即当自变量(人的年龄)发生变化时，因变量(身高)没有完全确定的值和它对应，因此不符合函数的定义。
而在问题(2)里，对每一个给定的x 值(在x 的定义域内)，y 随x 总有唯一确定的值(1y )和它对应，只不过当x 变化时，y 的值始终不变罢了。
由此使学生认识到y 是x 的函数，并非一定要求y 随x 的变化而变化。
通过所举两个反例的学习，学生便自觉地体会到：对变量x 的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质。
教学中，概念、定理、公式一般采用正面阐述的形式，学生往往对一些关键性词语认识不够，对所给条件理解不透彻，不能抓住它的本质属性，只是机械地记忆概念、定理的名称和公式的结构。
如果遇到概念、定理、公式的名称相近或结构类似，就容易造成理解上的混淆。
比如“36的平方根是多少？”有的同学会不假思索回答：“6”。
说明他们没有把“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”这个概念搞清楚。
此时只要举出反例“(6)(6)36”，就加深了理解，很有说服力。
再如：“定理：对角线相等且互相平分的四边形是矩形”与“定理：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”内容很相近，公式22a b 与2()a b 结构形式相近，学生搞不清楚。
因此在教学中，诸如此类的问题，讲述时多举反例，（也可鼓励学生举反例），达到强化理解的作用。
5.2引入反例进行教学，能够增强学生发现问题、纠正错误的观念。
学生在解题中经常出现差错且不易发现、纠正。
对此，可以引入反例，让学生学习、讨论，帮助他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法。
例2：学生在判断两个相关联的量是否成反比例的量时，往往不是很清楚，如下面的一个实例：小美总共要做10道数学题，已经做了的题和没有做的题是否是成反比例的。
错解：已经做了的题和没有做的题是成反比例的。
有大多数的学生认为这是对的，他们没有充分理解成反比例的三个条件，这个题只满足了前面的两个而没有满足第三个：两个量的乘积一定。
这个题是两个量的和一定，此刻学生便清楚地意识到上面错解的原因，从而更加深刻的理解成反比例的三个条件。
例3：学生解有关分式方程去分母时，往往会出现漏乘现象，如下面的一个实例：解方程：2111x错解:方程两边同乘以(1)x ，得： 2(1)1x , 即0x经检验知0x 是原方程的解。
学生们看完后竟有一半人认为这个解答正确，理由是由把0x代入方程两边相等。
于是，我又举了一个简单的分式方程412x 如何去分母？此刻学生便清楚地意识到上面错解的原因是去分母时漏乘(方程右边未乘以(1)x )，于是学生便迅速地得出正确解法。
通过上面两个例子的教学，例2:使学生能更好的理解成反比例的三个条件是缺一不可的，要同时满足三个条件才是成反比例的量。
例3:加深了学生对解分式方程去分母不要漏乘的印象。
同时，也使学生认识到，解答结果对并不能保证解题过程的正确。