高斯定理的应用

简析高斯定理在电场中的应用

高斯定理是物理学中电学部分的重要定理之一，在简化计算具有对称性的电场中有着重要应用，例如均匀带电的平面、直线、圆柱体、球面、球体等的电场的计算. 如果不理解高斯定理，不熟练掌握高斯定理的应用技巧，就会感到高斯定理深不可测. 下面，笔者就几年来的教学体会对高斯定理及其在电场中的应用作以简要分析.

三、高斯定理在电场中的应用

［例题1］设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为σ=9.3×10-8C/m 2，放置在真空中，求空间任一点的场强.

解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3)带电面右半空间的场强与左半空间的场强，对带电平面是对称的.

为了计算右方一点A 的场强，在左取它的对称点B ，以AB 为轴线作一圆柱，如图-3所示. 对圆柱表面用高斯定理，

图-3

⎰∑=

+=⋅=s

e e e q ds E 0

εφφφ两个底面侧面 (1)

0=侧e φ (2) ES e 2=两个底面φ (3)

圆柱内的电荷量为

∑=S q σ (4)

把(2)、(3)、(4)代入(1)得

02εσ=

E =12

81085.82103.9--⨯⨯⨯V/m=5.25×103 V/m ［例题2］设有一根无限长块均匀带正电直线，电荷线密度为λ=5.0×10-9C/m ，放置在真空中，求空间距直线1m 处任一点的场强.

解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在无限长块均匀直线上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与直线垂直向外的方向上存在(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)以直线为轴线的圆柱面上各点的场强数值相等，方向垂直于柱面(如图-4).

图-4

根据场强的分布，我们以直线为轴作长为l ，半径为r 的圆柱体.把圆柱体的表面作为高斯面，对圆柱表面用高斯定理：

⎰∑=

+=⋅=s

e e e q ds E 0

εφφφ两个底面侧面 (1)

r l E E S e πφ2==侧侧 (2) 0=两个底面e φ (3)

圆柱内的电荷量为

∑=l q λ (4)

把(2)、(3)、(4)代入(1)得

r E 02πελ

=

=1

1085.814.32100.5129⨯⨯⨯⨯⨯--V/m=89.96 V/m ［例题3］设有一半径为R 的均匀带正电球面，电荷为q ，放置在真空中，求空间任一点的场强. 解：由于电荷均匀分布在球面上,因此,空间任一点P 的的场强具有对称性,方向由球心O 到P 的径矢方向(如果带负电荷，电场方向相反)，在与带电球面同心的球面上各点E 的大小相等.

根据场强的分布，我们取一半径为r 且与带电球面同系同心的球面为为高斯面，如图-5所示.

图-5

若R r <，高斯面2S 在球壳内，对球面2S 用高斯定理得 ⎰∑=

⋅=⋅=s

e q r E ds E 0

24επφ球内

因为球壳内无电荷，∑=0q ，所以

0=球内E

若R r >，高斯面1S 在球壳外，对球面1S 用高斯定理得∑=q q ，故有

24επq

E R =

2

04r

q E πε=

由此可知，均匀带电球面内的场强为零，球面外的场强与电荷集中在球心的点电荷所产生的场强相同.

四、高斯定理在电场中的一般应用步骤: (1) 判断电场的分布特点；

(2) 合理作出高斯面，使电场在其中对称分布；

(3) 找出电场在高斯面内的垂直面积⊥S ； (4) 分析高斯面内的电荷量q ； (5) 应用高斯定理求解(⎰∑=

⋅=s

s e q

ds E 0

)

(εφ内).

我们知道，用电场的叠加原理也可以计算连续分布的电荷所产生的场强，但是高斯定理以其简单明了的步骤最终赢得读者的喜爱.

第四讲：高斯定理的应用

高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比较方便应用高斯定理求出场强。

步骤：

1．进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；

2．根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②穿过该高斯面的电通量

容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量n 与E 平行或垂直，n 与E 平行时，E 的大小要求处处相等，使得

E 能提到积分号外面； 3．计算电通量

⎰⎰⋅S d E

和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。

应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原

理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。

利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。

例1． 均匀带电球壳的场强。

设有一半径为R 、均匀带电为Q 的薄球壳。求球壳内部和外部任意点的电场强度。

解：因为球壳很薄，其厚度可忽略不计，电荷Q 近似认为均匀分布在球面上。由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。

以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为

E r dS E S d E S

S

e 2 4π=⋅=⋅=

Φ⎰⎰

⎰⎰