平面向量练习题(附答案)

平面向量练习题

一．填空题。

１. +++等于＿_＿_＿___．

２．若向量ａ＝(３，2），b ＝（0,-1)，则向量２b －a 的坐标是____＿＿__．

３．平面上有三个点Ａ(1，３），B （2,2),C (7,x ),若∠AB Ｃ =90°,则x 的值为＿_____＿_.

4.向量ａ、ｂ满足|ａ｜=1,|b |=2,(ａ+ｂ)⊥(2ａ－ｂ)，则向量a 与b 的夹角为_＿_＿_＿__． ５．已知向量a ＝(1，2)，b ＝（3,１)，那么向量2a －2

1b 的坐标是__＿_＿＿___. 6．已知A (－1，2),Ｂ(2，４），Ｃ(４，－3）,Ｄ(x ，1),若AB 与CD 共线,则|BD |的值等于__＿＿＿_＿_.

７．将点A (2,4)按向量a ＝（－5，－2)平移后,所得到的对应点A ′的坐标是__＿_＿＿.

8． 已知a ＝(1,－2), b ＝(１,x),若a ⊥b ,则ｘ等于＿＿____

9. 已知向量a , b 的夹角为 120，且｜a ｜=２,| b |=５,则（2a － b )·a =____＿_

１0． 设a ＝(2，－3), b =（x ，2x),且3a ·b =4,则x 等于_____

１1. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥,则ｘ+2y 的值为＿ ___＿

12. 已知向量a ＋3 b , a -4 b 分别与7a －5 b ，7a -2 b 垂直，且｜ａ｜≠0,｜ b |≠0,则a 与b 的夹角为__＿_

１3． 在△ＡＢC 中，O 为中线A Ｍ上的一个动点,若AM=2，则()

OA OB OC +的最小值是 ．

14.将圆222=+y x 按向量v =（2,1)平移后,与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .

二.解答题。

１5．设平面三点Ａ（1，0)，B （0,1），C （2，5）.

(1）试求向量2＋的模； (2）试求向量与的夹角;

（3)试求与BC 垂直的单位向量的坐标．

1６．已知向量a =(θθcos ,sin )(R ∈θ),ｂ=(3,3)

（１）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底

(2)求｜a －b |的取值范围

17．已知向量a 、ｂ是两个非零向量，当a +t ｂ(t ∈R)的模取最小值时，

（１)求ｔ的值

（２)已知a 、b 共线同向时,求证b 与a +t ｂ垂直

18. 设向量)2,1(),1,3(-==,向量垂直于向量,向量 平行于,试求,时=+的坐标.

１9．将函数y=-ｘ2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2-x －２的图象的两个交点关于原点对称.(如图）求平移向量a 及平移后的函数解析式.

２０．已知平面向量).2

3,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和ｔ,使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且

(1)试求函数关系式k =f （t ）

(2)求使ｆ(t ）>０的t 的取值范围.

１． 2.（－3,－4） 3.７ 4.90° 5.(21，321

)．

6．73． ７.（-3,2）. 8.－2 9.12

10．31

-

１1．0 12. 9０° １３.2- １４.51

--或 15.(１)∵ =(0－1，1－0）＝(-1,１),=（2-1，５-0)=(1,5）．

∴ 2+AC ＝2（－1,1）+（１,5)＝(-1,7)．

∴ |２AB ＋|=

227)1(+-＝50. （2)∵ |AB |=221)1(+-＝2.||=2251+＝26，

·=(-1）×1＋1×5=4.

∴ ｃos θ ＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝1313

2. （３）设所求向量为＝(x ，ｙ),则x ２+y 2=１． ① 又 ＝(2-0,５－1）＝(２，4）,由⊥，得2 x +4 ｙ =0. ②

由①、②,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，-55)或（－552，55）即为所求．

１6.【解】(1）要使向量ａ、b 不能作为平面向量的一组基底,则向量ａ、ｂ共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故

)(6Z k k ∈+

=ππθ,即当)(6Z k k ∈+=ππθ时,向量a 、b 不能作为平面向量的一组基

底 （２）

)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a

而32cos 3sin 332≤+≤-θθ

∴ 132||132+≤-≤-b a

17.【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-

=时a+t ｂ(t ∈R ）的模取最小值

(2)当a 、b 共线同向时,则0=α,此时

|||

|b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b

∴b ⊥（ａ+t ｂ)

1８.解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x 即：73=-x y ②

联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………１0分 )6,11

(),7,14(=-==∴于是

.

19．解法一：设平移公式为

⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=,得到

k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，

把它与

22--=x x y 联立, 得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y

设图形的交点为(ｘ1，y 1),（ｘ2,y 2)，