数学建模淋雨问题论文

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淋雨问题论文

摘要

本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人在雨中奔跑时淋雨的多少与奔跑速度、降雨的方向以及雨线的方向与跑步的方向是否在同一平面内等因素的关系，得出结论：若雨迎面落下，则以最大速度跑完全程淋雨量最少；如果雨从背面吹来，分两种情况: (雨从背面吹来时与人体夹角为α)当tan2/15

α>时，跑步

α<时，跑得越快越好;当tan2/15

速度，则以降雨速度的水平分量奔跑时淋雨量最少。若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，则可将雨速方向分解为与人跑速度同向的速度和与人跑速度方向垂直的速度. 同向速度即平面共面，可看成模型二、三的情况，垂直速度可看成模型一的情况。

关键词

淋雨量，雨速大小与方向，跑步速度。

正文

1.问题概述

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量就越少。

将人体简化成一个长方体，搞a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚

m

降雨量w=2cm/h,记得跑步速度为v，按以下步骤进行讨论：

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为x，如图1，建立总淋雨量与速度v以及参数a、b、c、d、u、w、θ之间关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算0

θ=时

θ=，30

的总淋雨量

（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α,如图2，建立总淋雨量与速度v以及参数a、d、c、d、u、w、α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算30

α=时的总淋雨量。

(4)以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）进行作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。

2.模型假设

2.1将人体简化成一个长方体，高a=1.5m,宽b=0.5m.厚c=0.2m；设

m 雨量w=2cm/h ，记跑步速度为v ；

2.2雨中跑步为匀速直线，不考虑风、雨水等阻力问题

2.3雨的密度相同，不考虑风、雷电等因素的影响，雨速为常数且方

向不变。

3.符号的说明

t ：时间 Q ：总降雨量

1Q :顶部降雨量 2Q ：前表面降雨量

3Q ：后表面降雨量

S : ：淋雨的面积 L ：单位升 αθ、 ：雨速方向与人速方向的最小夹角

4.模型建立与求解

4.1模型一的建立与求解

淋雨量的定义：文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上

的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以

直观地表示降雨的多少。淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到的

雨的体积，可表示为单位时间单位体积上淋雨的多少与接收雨的面积

和淋雨的时间的乘积。

设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积

S=2ab 2ac bc ++

雨中奔跑的所用的时间: t m

d

v =

总降雨量: t 360Q S ω

=⨯⨯

带入相关数据，解得

2S=2.2t 200(s)2.444(L)

Q =≈（m ）

4.2模型二的建立与求解

当雨迎面吹来时，雨线和跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为

θ。则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量。

（如图1）建立总淋雨量与速度v 及参数,,,,,,a b c d u ωθ之间的关系如下:

(1)考虑顶部淋雨量：设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ，

（00090θ<<）由图可知，雨速在垂直方向上的分量与v 无关，

故顶部单位时间单位面积的淋雨量为：cos ωθ，顶部的面积是

b c •，淋浴时间为d v

于是顶部淋雨量为：1Q =cos /360bc d v ω

θ••

（2）考虑前部淋雨量:由图可知，雨速的水平分量是且与方

向相反，人相对于雨的水平速度是：usin v θ+

故前部单位时间单位面积淋雨量为：sin /(u sin )/v u v u

ωθωωθ+=+（即人本身的淋雨量加上人相对于雨速的淋雨量）

又因为前部的淋雨面积是a b •：，时间是：d v

故前部的淋雨量是：[]21Q (u sin )/360v u ωθ=+（a b ）(d/v) 综上

所

述，可得总淋雨量[]121Q=Q +Q cos /+(u sin )/360360

bc d v v u ωθωθ=••+（a b ）(d/v)

带入相关数据求得：

40cos 300sin +75v Q=72v

θθ+ 由v Q （）函数可知，

总淋雨量与人跑步速度v 以及雨线与人的夹角θ两者有关。

对函数v Q （）求导得

240cos 300sin Q =-72v θθ+’（）

显然，Q ’<0,故Q 是v 的减函数，Q 随v 的增大而减小。

因此，速度m v=v 5/m s =总淋雨量最小。

（i ） 当0=0θ，带入数据，解得：

Q 1.153L ≈（）

（ii ） 当0

=30θ，带入数据，解得：

Q 1.403L ≈（）

4.3模型三的建立与求解

若与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，且与人体的夹角

是，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量。（如图2）

建立总淋雨量与速度v 及参数,,,,,,a b c d u ωα之间的关系如下： (1)考虑顶部淋雨量：设雨从背面吹来时与人体夹角为α，

（00090α<<）由图可知，雨速在垂直方向上的分量与v 无关，

故顶部单位时间单位面积的淋雨量为：cos ωα，顶部的面积是

b c •，淋浴时间为d v

于是顶部淋雨量为：1Q =

cos /360bc d v ωα••