三角形奥数1练习题及答案

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【奥数题】人教版小学数学六年级上册三角形中的计算奥数思维拓展(试题)含答案与解析

三角形中的计算奥数思维拓展一．选择题（共8小题）1．三角形ABC（如图），D是AB边的中点，E是AC边的中点，阴影部分的面积是三角形ABC的面积的（）A．B．C．D．2．如图，点E、F是所在边的中点，那么阴影部分的面积是平行四边形的（）。

A．B．C．3．在如图等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC、的中点，阴影部分的面积是三角形ABC的面积的（）A．B．C．D．无法确定4．如图，AE＝EB，AC＝3AF，那么，三角形AEF的面积是三角形ABC的面积的（）A．B．C．D．5．如图，阴影部分的面积占大三角形ABC面积的（）A．B．C．D．无法确定6．如图，把三角形ABC的一条边延长一倍到D，把它的另一条边延长2倍到E，得到一个较大的三角形，那么，三角形ABC的面积是三角形ADE的面积的（）A．B．C．D．7．如图中，DE＝2BE，那么阴影部分面积是长方形面积的（）A．B．C．8．如图，在三角形ABC中，E、D、G分别是AB、BC、AD的中点，图中与三角形ADE面积相等的三角形还有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共8小题）9．如图中阴影部分的面积是12平方厘米，BD：CD＝4：5，三角形ADC的面积是平方厘米。

10．如图，三角形ABC的面积27cm2，，三角形AED的面积是cm2。

11．如图，AD＝DB，AE＝EF＝FC。

已知阴影部分的面积是5平方厘米，三角形ABC的面积是平方厘米。

12．如图，直角梯形ABCD的上底是5厘米，下底是7厘米，高是4厘米，且三角形ADE、ABF和四边形AECF的面积相等，则三角形AEF的面积是．13．如图每个小长方形的长2厘米，宽1厘米，阴影部分面积占长方形面积的%．14．在△ABC中，BD＝2DC，AE＝BE，已知△ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于平方厘米。

15．如图梯形中E是BC的中点，F是DC的中点，线段EF把梯形分成甲、乙两个部分，面积比是21：4，那么梯形的上底AB与下底CD的长度比是。

小学奥数4-3-1 三角形等高模型与鸟头模型(一).专项练习

小学奥数三角形等高模型与鸟头模型(一) 精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b =baS 2S 1DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【考点】三角形的等高模型【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：CD BAABF CABDGC例题精讲4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：（1）（2）（3）（4）（5）⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【答案】⑴答案不唯一：CD BAABF CABDGC⑵ 答案不唯一：（1）（2）（3）（4）（5）⑶答案不唯一：【例 2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？DCBA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．于是：三角形ABD 的面积12=⨯高26÷=⨯高三角形ABC 的面积124=+⨯（）高28÷=⨯高三角形ADC 的面积4=⨯高22÷=⨯高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍．【答案】43、3【例 3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．ED CA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)．【答案】6【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．【答案】25【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．CDE【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120121202⨯⨯=．【答案】120【例 4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ．∵AE EB =， ∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【答案】28【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．E D GCBBF CG E【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48．【答案】48【例 5】长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？EDEED【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】（法1）特殊点法．由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF ∆与ADG ∆的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的113848+=，为33613.58⨯=．（法2）寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如右上图．可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=，即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影．【答案】13.5【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【答案】15【例 6】如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？EDCBA【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC 的高，ED是三角形EBC 的高，于是：三角形ABC 的面积1226BC BC =⨯÷=⨯三角形EBC 的面积32 1.5BC BC =⨯÷=⨯ 所以三角形ABC 的面积是三角形EBC 的面积的4倍．【答案】4【例 7】如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与△BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】 △AEC 、△AFC 、△ABF ．【答案】△AEC 、△AFC 、△ABF ．【巩固】如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与△ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？EDCBA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】 3个，△AEC 、△BED 、△DEC ．【解析】【答案】3个，△AEC 、△BED 、△DEC ．【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODCBA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】 △ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO ．【答案】△ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO【例 8】如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？A B E C DC E B A【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【关键词】迎春杯【解析】连接CE ，∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S =V V又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ===V V V ．【答案】4【例 9】如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是平方厘米．AA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【关键词】2008年，四中考题【解析】连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【答案】30【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】 ABD V ，ABC V 等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABC S BD S BC ==V V , 所以ABD S V =111809022ABC S ⨯=⨯=V (平方厘米)．同理有190303ABE ABD AE S S AD =⨯=⨯=V V (平方厘米)，34AFE ABE FE S S BE =⨯=V V 3022.5⨯= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．【答案】22.5【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCY DCB S S =V V ，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCY DCB ABCD S S S ==⨯=V V Y (平方厘米)．【答案】24【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=，三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=．【答案】3【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】 ∵F 是AC 的中点∴2ABC ABF S S =同理2ABFBEFS S=∴486246BEFABCSS =÷=⨯÷÷=(平方厘米)．【答案】6【例 10】如图所示，A 、B 、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大15平方厘米。

四年级三角形内角和奥数练习题

四年级三角形内角和奥数练习题[问题一] 一个三角形的两个内角和是85，你知道这是一个什么三角形吗？想：根据两个内角和是85和三角形的内角和是180，可知第三个内角是180-85=95，所以这是一个钝角三角形。

解：180-85=95答：这是一个钝角什么三角形。

[试一试]1、一个三角形的两个内角和是110，你知道这是一个什么三角形吗？00000000000２、在△ABC中，已知∠A是∠B的3倍，且∠A比∠B 大60，这个三角形各个角是多少度？你知道这是一个什么三角形？3、一个等腰三角形的顶角是一个底角的2倍，这个三角形各个角是多少度？[问题二]在一个三角形中，已知∠1是∠2的2倍，∠2是∠3的这是一个什么三角形？想：根据∠2是∠3的001。

这个三角形各个角是多少度？31，可知∠3是∠2的3倍，而且∠1是∠2的2倍，因为三角形的内300000角和是180，所以∠2=180÷=30，∠1=30×2=60，∠3=30×3=90。

解：∠2=180÷=30 ∠1=30×2=60 ∠3=30×3=90答：这个三角形各个角分别是30、60和90，这是一个直角三角形。

[试一试]1、一个三角形的最大角是最小角的5倍，另一个角是最小角的3倍，这是一个什么三角形？2、在一个三角形中，已知∠1的度数是∠2的2倍，∠2的度数是∠3的3倍。

这个三角形各个000000000 角是多少度？这是一个什么三角形？3、已知一个三角形的一个内角是72，是另外一个内角的4倍，这个三角形是什么三角形？[问题三]同学们知道三角形的内角和是180，你能运用这个知识分别求出四边形、五边形、六边形的内角和吗？想：如图，把四边形、五边形、六边形分成若干个三角形，因为一个三角形的内角和是180，所以四边形、五边形、六边形分别是180×2、180×3、180×4。

解：四边形的内角和：180×2=360五边形的内角和：180×3=540六边形的内角和：180×4=720答：四边形、五边形、六边形的内角和分别是360、540、720。

小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(一).专项练习及答案解析

板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b =baS 2S 1DCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【考点】三角形的等高模型【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：例题精讲4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型CD BAABFCABDGC⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：（1）（2）（3）（4）（5）⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【答案】⑴答案不唯一：CD BAABF CABDGC⑵ 答案不唯一：（1）（2）（3）（4）（5）⑶答案不唯一：【例 2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？DCBA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．于是：三角形ABD 的面积12=⨯高26÷=⨯高三角形ABC 的面积124=+⨯（）高28÷=⨯高三角形ADC 的面积4=⨯高22÷=⨯高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍．【答案】43、3【例 3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．ED CA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)．【答案】6【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．【答案】25【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．ACDE F【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120121202⨯⨯=．【答案】120【例 4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH V V ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【答案】28【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．E GCBBCG E【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48．【答案】48【例 5】长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？EEE【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】（法1）特殊点法．由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF ∆与ADG ∆的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD 面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的113848+=，为33613.58⨯=．（法2）寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如右上图．可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=，即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影．【答案】13.5【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【答案】15【例 6】如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？ED CBA【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC的高，ED 是三角形EBC 的高，于是：三角形ABC 的面积1226BC BC =⨯÷=⨯三角形EBC 的面积32 1.5BC BC =⨯÷=⨯所以三角形ABC 的面积是三角形EBC 的面积的4倍．【答案】4【例 7】如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】 △AEC 、△AFC 、△ABF ．【答案】△AEC 、△AFC 、△ABF ．【巩固】如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与△ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？ED C BA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】 3个，△AEC 、△BED 、△DEC ．【解析】【答案】3个，△AEC 、△BED 、△DEC ．【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODC B A【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】 △ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO ．【答案】△ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO【例 8】如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECD DCEB A【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【关键词】迎春杯【解析】连接CE ，∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S =V V又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ===V V V ．【答案】4【例 9】如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是平方厘米．AA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【关键词】2008年，四中考题【解析】连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【答案】30【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】 ABD V ，ABC V 等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABC S BD S BC ==V V , 所以ABDS V =111809022ABC S ⨯=⨯=V (平方厘米)．同理有190303ABE ABD AE S S AD =⨯=⨯=V V (平方厘米)，34AFE ABE FE S S BE =⨯=V V 3022.5⨯= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．【答案】22.5【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积． ABC DZ Y【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCY DCB S S =V V ，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCY DCB ABCD S S S ==⨯=V V Y (平方厘米)．【答案】24【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FED CBA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=，三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=．【答案】3【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】 ∵F 是AC 的中点 ∴2ABC ABF S S =V V 同理2ABF BEF S S =V V∴486246BEF ABC S S =÷=⨯÷÷=V V (平方厘米)．【答案】6【例 10】如图所示，A 、B 、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大15平方厘米。

八年级奥数全等三角形试题及答案

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。

国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。

下⾯是为⼤家带来的⼋年级奥数全等三⾓形试题及答案，欢迎⼤家阅读。

1．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是（）A. 62°B. 31°C. 28°D. 25° 2．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是 ( )A. 6B. 9C. 12D. 15 3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A. 30°B. 40°C. 20°D. 35° 4．如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A. 4B. 5C. 6D. ⽆法确定 5．如图，在和中，，若添加条件后使得≌，则在下列条件中，不能添加的是（）．A. ，B. ，C. ，D. ， 6．如图，某同学把⼀块三⾓形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配⼀块完全⼀样的玻璃，那么最省事的办法是（）A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去 7．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN = 74°，∠DBC = 41°，则∠ADC的度数为（）．A. 49°B. 47°C. 45°D. 43° 8．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75° 9．如图，AD是△ABC中∠BAC的⾓平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是． 10．如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD=___________cm. 11．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的⾼，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的⾯积等于_____． 12．如图，△ABC≌△DEF，已知∠A＝50°，∠B＝60°，则∠F＝____度. 13．如图，△ABC中，BA=BC，∠ABC=40°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点O，E在BC边上，F在AC边上，将∠A沿直线EF翻折，使点A与点O恰好重合，则∠OEF的度数是_____． 14．如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE．若∠A=40°，则∠FDE=__________°． 15．如图，点C、D在BE上，BC=DE，∠1=∠2，要使得△ABD≌△AEC，还需要添加⼀个边或⾓的条件，你添加的条件是__________． 16．如图，直线l上有三个正⽅形a，b，c，若a，c的边长分别为5和12，则b的⾯积为_________________. 17．如图，在 ABC中，∠ABC=45°，AD,BE是 ABC的⾼，AD,BE相交于点F.求证：BF=AC． 18．⑴已知：如图1，等腰直⾓三⾓形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的外⾓平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD=AB+AC ⑵对于任意三⾓形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外⾓平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．图1 图2 19．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉⼝附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这⾥安装⼀盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌⼀样远，并且到两条路的距离也⼀样远，请你⽤尺规作出灯柱的位置点P。

奥数之图形问题及答案

奥数之图形问题及答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998图形问题(一)1.如图，在三角形ABC中，D是AB的中点，E是DB的中点，F是BC的中点，如果三角形ABC的面积是96cm2，那么三角形AEF的面积是多少平方厘米CFA D E B解：三角形ABF与三角形ABC有公用的顶点A，并且它们的底BC和BF在同一条直线上，所以它们的高相等，而三角形ABF的底BF只有三角形ABC的底BC的一半，所以三角形ABF的面积等于三角形ABC的一半，是96÷2＝48(cm2)。

同理，三角形AFD的面积是48÷2＝24(cm2)，三角形DEF的面积是24÷2＝12(cm2)，因此，三角形AEF的面积是24＋12＝36(cm2)。

答：三角形AEF的面积是36 cm2。

2.如图所示，大正方形的边长为12 cm，小正方形的边长为10 cm，求阴影部分的面积。

解：阴影三角形的面积无法直接求出，可以用两个正方形面积的和，减去阴影部分周围三个三角形的面积。

所以，阴影部分的面积是122＋102－12×(12＋10)÷2－102÷2－12×(12－10)÷2＝144＋100－132－50－12＝50(cm2)。

答：阴影部分的面积是50 cm2。

3.把三角形ABC的边AB三等分，AC四等分，如图。

已知三角形ADE的面积是1 cm2，求三角形ABC的面积是多少平方厘米AE DB C解：三角形AEC的面积是三角形AED的4倍，三角形ABC的面积是三角形AEC的3倍，所以三角形ABC的面积是三角形AED的4×3＝12倍，是12(cm2)。

4.一个任意四边形ABCD，将各边延长一倍，得到四边形EFGH如图。

已知四边形ABCD的面积是5 cm2，那么四边形EFGH的面积是多少平方厘米HEA DB C GF解：连接BD、BE，三角形ABD、ABE、BEF的面积相等，所以三角形AEF的面积是三角形ABD的2倍，同理，三角形CHG的面积是三角形BCD的2倍，所以三角形AEF与CGH面积的和是四边形ABCD的2倍；同理，三角形EDH与BFG面积的和也是四边形ABCD的2倍。

全等三角形奥数竞赛题

全等三角形奥数竞赛题一．填空题（共1小题）1．如图，三角形ABC中，BD平分ABC∠，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于．二．解答题（共19小题）2．如图所示．ABC∠=∠．=．求证：BCH ABC ∆的高AD与BE相交于H，且BH AC3．已知：如图，A，F，C，D四点在同一直线上，AF CD=．求AB DE，且AB DE=，//证：CBF FEC∠=∠．4．如图，B E∆全等吗？为什么？∠=∠，AB EF=，BD EC=，那么ABC∆与FED5．如图，ABC∠的∆是等边三角形，D、E分别是BC、AC上的点，CD AE=．求APB 度数．6．如图：在ABC ∆中，B ∠，C ∠相邻的外角的平分线交于点D ．求证：点D 在A ∠的平分线上．7．已知ABC ∆中，::3:4:2A B C ∠∠∠=，AD 、BE 是角平分线．求证：AB BD AE BE +=+．8．如图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，交CD 于F ，//FG AB 交BC 于G ．试判断CE ，CF ，GB 的数量关系，并说明理由．9．如图，BN 是ABC ∠的平分线，P 在BN 上，D 、E 分别在AB 、BC 上，180BDP BEP ∠+∠=︒，且BDP ∠、BEP ∠都不是直角．求证：PD PE =．10．如图，ABC ∆中，60B ∠=︒，BAC ∠，ACB ∠的平分线AD ，CE 交于点O ，说明AE CD AC +=的理由．11．如图，在ABC ∆中，BD CD =，AG 平分DAC ∠，BF AG ⊥，垂足为H ，与AD 交于E ，与AC 交于F ，过点C 的直线CM 交AD 的延长线于M ，且EBD MCD ∠=∠，AC AM =．求证：12DE CF =．12．如图，BE 、CF 是ABC ∆的高，它们相交于点O ，点P 在BE 上，Q 在CF 的延长线上且BP AC =，CQ AB =，（1）求证：ABP QCA ∆≅∆．（2）AP 和AQ 的位置关系如何，请给予证明．13．已知ABC ∆与△A B C '''中，AC A C =''，BC B C =''，110BAC B A C ∠=∠'''=︒（1）试证明ABC ∆≅△A B C '''．（2）若将条件改为AC A C =''，BC B C =''，70BAC B A C ∠=∠'''=︒，结论是否成立？为什么？14．在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ．（1）如图1，MDN ∠的两边分别与AB 、AC 相交于M 、N 两点，过D 作DF AC ⊥于F ，DM DN =，证明：2AM AN AF +=；（2）如图2，若90C ∠=︒，60BAC ∠=︒，9AC =，120MDN ∠=︒，//ND AB ，求四边形AMDN 的周长．15．如图，点D是ABC∠=︒∆三条角平分线的交点，68ABC（1）求证：124ADC∠=︒；（2）若AB BD AC∠的度数．+=，求ACB16．已知如图，在ABC∠=︒，AD、CE是ABC∆的角平分线，并且它们交于点O，B∆中，60（1）求：AOC∠的度数；（2）求证：AC AE CD=+．17．如图，在梯形ABCD中，//AD BC，E为CD的中点，AD BC AB+=．则：（1）AE、BE分别平分DAB∠、ABC∠吗？为什么？（2）AE BE⊥吗？为什么？18．如图ABC==．=，AD DE BE=，BC CD∆中，点D在AC上，E在AB上，且AB AC（1）求证BCE DCE∠的度数．∆≅∆；（2）求EDC19．如图，BD、CE分别是ABC=，∆的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP AC 点Q在CE上，CQ AB=．求证：（1）AP AQ=；（2）AP AQ⊥．20．（1）如图1，ABC∆也是等边三角形．连∆为等边三角形，点P是BC上任意一点，APF接CF，求PCF∠的度数；（2）如图2，四边形ABCD为正方形，点P是BC上任意一点，四边形APFM也是正方形．连接CF，求PCF∠的度数；（3）如图3，五边形ABCDE为正五边形，点P是BC上任意一点，五边形APFMN也是正五边形．连接CF，直接写出PCF∠的度数；（4）对于正n边形ABCDEF⋯，在相同条件下，PCF∠的度数为（用含n的式子表示）．参考答案一．填空题（共1小题）1．如图，三角形ABC 中，BD 平分ABC ∠，AD 垂直于BD ，三角形BCD 的面积为45，三角形ADC 的面积为20，则三角形ABD 的面积等于25．解：延长AD 交BC 于E ，如图所示：BD 平分ABC ∠，AD 垂直于BD ，ABD EBD ∴∠=∠，90ADB EDB ∠=∠=︒，在ABD ∆和EBD ∆中，ABD EBD BD BD ADB EDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABD EBD ASA ∴∆≅∆，AD ED ∴=，ABD ∴∆的面积EBD =∆的面积，CDE ∆的面积ACD =∆的面积20=，ABD ∴∆的面积EBD =∆的面积BCD =∆的面积CDE -∆的面积452025=-=．故答案为：25．二．解答题（共19小题）2．如图所示．ABC ∆的高AD 与BE 相交于H ，且BH AC =．求证：BCH ABC ∠=∠．【解答】证明：ABC ∆ 的高AD 与BE 相交于H ，90ADB AEB ∴∠=∠=︒，90DBH DHB ∠=︒-∠，90HAE AHE ∠=︒-∠，DHB AHE ∠=∠ ，DBH HAE ∴∠=∠，BH AC = ，ADC BDH ∴∆≅∆，AD BD ∴=，CD HD =，45BCH ABD ∴∠=∠=︒．3．已知：如图，A ，F ，C ，D 四点在同一直线上，AF CD =，//AB DE ，且AB DE =．求证：CBF FEC ∠=∠．【解答】证明：AF CD = ，AF FC CD FC ∴+=+即AC DF =．//AB DE ，A D ∴∠=∠．AB DE = ，∴在ABC ∆和DEF ∆中AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．()ABC DEF SAS ∴∆≅∆．BC EF ∴=，ACB DFE ∠=∠．在BCF ∆和EFC ∆中BC EF ACB DFE FC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCF EFC SAS ∴∆≅∆．CBF FEC ∴∠=∠．4．如图，B E ∠=∠，AB EF =，BD EC =，那么ABC ∆与FED ∆全等吗？为什么？解：ABC FED ∆≅∆，理由是：BD EC = ，BD CD CE CD ∴-=-，BC DE ∴=，在ABC ∆和FED ∆中，AB EF B E BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC FED SAS ∴∆≅∆．5．如图，ABC ∆是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，CD AE =．求APB ∠的度数．解：CD AE = ，AC AB =，60ACD BAE ∠=∠=︒，()ADC BEA SAS ∴∆≅∆CAD ABE ∴∠=∠，6060120APB CAD AEB ABE EBC ACB ABC ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒．6．如图：在ABC ∆中，B ∠，C ∠相邻的外角的平分线交于点D ．求证：点D 在A ∠的平分线上．解：过D 作DE BC ⊥于E ，DF AB ⊥，交AB 延长线于F ，作DG AC ⊥，交AC 延长线于G ，BD 是CBF ∠的角平分线，DE BC ⊥，DF AB ⊥，DE DF ∴=，同理可得DE DG =，DF DG ∴=，又DF AB ⊥ ，DG AC ⊥，∴点D 在BAC ∠的角平分线上．7．已知ABC ∆中，::3:4:2A B C ∠∠∠=，AD 、BE 是角平分线．求证：AB BD AE BE +=+．【解答】证明：延长AB 到F ，使BF BD =，连DF ，F BDF ∴∠=∠，::3:4:2A B C ∠∠∠= ，80ABC ∴∠=︒，40ACB ∠=︒，40F ∴∠=︒，F ACB ∠=∠，AD 是平分线，BAD CAD ∴∠=∠，在ADF ∆和ADC ∆中，AD AD DAF DAC F C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，ADF ADC ∴∆≅∆，AF AC ∴=，BE 是角平分线，1402CBE ABC ∴∠=∠=︒EBD C ∴∠=∠，BE EC ∴=，BE AE EC AE AC AF AB BF AB BD ∴+=+===+=+．AB BD AE BE ∴+=+．8．如图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，交CD 于F ，//FG AB 交BC 于G ．试判断CE ，CF ，GB的数量关系，并说明理由．解：CE CF GB ==．理由如下：（1）90ACB ∠=︒ ，90BAC ABC ∴∠+∠=︒．CD AB ⊥ ，90ACD CAD ∴∠+∠=︒．ACD ABC ∴∠=∠．AE 平分BAC ∠，BAE CAE ∴∠=∠．CEF BAE ABC ∠=∠+∠ ，CFE CAE ACD ∠=∠+∠，CEF CFE ∴∠=∠．CE CF ∴=（等角对等边）．（2）如图，过E 作EH AB ⊥于H ，AE 平分BAC ∠，EH AB ⊥，EC AC ⊥，EH EC ∴=（角平分线上的点到角两边的距离相等）．EH CF ∴=．//FG AB ，CGF EBH ∴∠=∠．CD AB ⊥ ，EH AB ⊥，90CFG EHB ∴∠=∠=︒．在Rt CFG ∆和Rt EHB ∆中CGF EBHCFG EHB CF EH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，Rt CFG Rt EHB(AAS)∴∆≅∆．CG EB ∴=．CE GB ∴=．CE CF GB ∴==．9．如图，BN 是ABC ∠的平分线，P 在BN 上，D 、E 分别在AB 、BC 上，180BDP BEP ∠+∠=︒，且BDP ∠、BEP ∠都不是直角．求证：PD PE =．【解答】证明：过P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于N 点，由角平分线性质，得PM PN=180BDP BEP ∠+∠=︒ ，180BDP PDM ∠+∠=︒，PDM PEN ∴∠=∠，在Rt DPM ∆和Rt EPN ∆中90PMD PNE PDM PEN PM PN∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，Rt DPM Rt EPN(AAS)∴∆≅∆PD PE ∴=．10．如图，ABC ∆中，60B ∠=︒，BAC ∠，ACB ∠的平分线AD ，CE 交于点O ，说明AE CD AC +=的理由．【解答】证明：在AC 上取AF AE =，连接OF，则()AEO AFO SAS ∆≅∆，AOE AOF ∴∠=∠；AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠，1(180)602ECA DAC B ∴∠+∠=︒-∠=︒，则180120AOC ECA DAC ∠=︒-∠-∠=︒；120AOC DOE ∴∠=∠=︒，60AOE COD AOF ∠=∠=∠=︒，（对顶角相等）则60COF ∠=︒，COD COF ∴∠=∠，又FCO DCO ∠=∠ ，CO CO =，()FOC DOC ASA ∴∆≅∆，DC FC ∴=，AC AF FC =+ ，AC AE CD ∴=+．11．如图，在ABC ∆中，BD CD =，AG 平分DAC ∠，BF AG ⊥，垂足为H ，与AD 交于E ，与AC 交于F ，过点C 的直线CM 交AD 的延长线于M ，且EBD MCD ∠=∠，AC AM =．求证：12DE CF =．【解答】证明：BED ∆ 和CMD ∆中EBD MCD BD DC EDB MDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BED CMD ∴∆≅∆，12ED MD EM ∴==，又AG 平分DAC ∠，DAG CAG ∴∠=∠，BF AG ⊥ ，90AHE AHF ∴∠=∠=︒，在AEH ∆和AFH ∆中EAH FAH AH AH AHE AHF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AEH AFH ∴∆≅∆，AE AF ∴=，又AC AM = ，AC AF AM AE ∴-=-，EM CF ∴=，12DE CF ∴=．12．如图，BE 、CF 是ABC ∆的高，它们相交于点O ，点P 在BE 上，Q 在CF 的延长线上且BP AC =，CQ AB =，（1）求证：ABP QCA ∆≅∆．（2）AP 和AQ的位置关系如何，请给予证明．【解答】证明：（1）BE 、CF 是ABC ∆的高，即90AEB ∠=︒，90AFC ∠=︒，90ABP BAE ∴∠+∠=︒，90ACQ BAE ∠+∠=︒，ABE ACQ ∴∠=∠，在ABP ∆与QCA ∆中，BP AC ABE ACQ CQ AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABP QCA ∴∆≅∆．（2）PA AQ ⊥．证明：由ABP QCA ∆≅∆得BAP Q ∠=∠，90Q BAQ ∠+∠=︒ ，90BAP BAQ ∴∠+∠=︒，即90PAQ ∠=︒，PA AQ ∴⊥．13．已知ABC ∆与△A B C '''中，AC A C =''，BC B C =''，110BAC B A C ∠=∠'''=︒（1）试证明ABC ∆≅△A B C '''．（2）若将条件改为AC A C =''，BC B C =''，70BAC B A C ∠=∠'''=︒，结论是否成立？为什么？【解答】证明：（1）如图1，作CD BA ⊥于D ，C D A B ''''⊥．110BAC B A C '''∠=∠=︒ ，70CAD C A D '''∴∠=∠=︒，ADC ∴∆≅△()A D C AAS '''，CD C D ''∴=．在Rt BDC ∆与Rt △B D C '''中，BC B C ''=，CD C D ''=．Rt BDC Rt ∴∆≅△()B D C HL '''，B B '∴∠=∠．∴在ABC ∆与△A B C '''中，BAC B A C B B BC B C '''∠=∠⎧⎪'∠=∠⎨⎪''=⎩ABC ∴∆≅△()A B C AAS '''．（2）若将条件改为AC A C ''=，BC B C ''=，70BAC B A C '''∠=∠=︒，结论不一定成立，如图2所示，ABC ∆与△A B C '''中AC A C ''=，BC B C ''=，70BAC B A C '''∠=∠=︒，但ABC ∆与△A B C '''显然不全等．14．在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ．（1）如图1，MDN ∠的两边分别与AB 、AC 相交于M 、N 两点，过D 作DF AC ⊥于F ，DM DN =，证明：2AM AN AF +=；（2）如图2，若90C ∠=︒，60BAC ∠=︒，9AC =，120MDN ∠=︒，//ND AB ，求四边形AMDN 的周长．【解答】证明：（1）过点D 作DG AB ⊥于G ，如图1，AD 平分BAC ∠，DF AC ⊥，DF DG ∴=，在Rt DFN ∆和Rt DGM ∆中，DF DG DN DM=⎧⎨=⎩Rt DFN Rt DGM(HL)∴∆≅∆，MG NF∴=又AG AF = ，2AM AN AG MG AN AF NF AN AF ∴+=++=++=；（2）过点D 作DE AB ⊥于E ，如图2，在四边形ACDE 中，360609090120EDC ∠=︒-︒-︒-︒=︒，120EDN MDE ∴∠+∠=︒，又120EDN NDC ∠+∠=︒，MDE NDC ∴∠=∠，AD 平分BAC ∠，DE DC ∴=，在MDE ∆和NDC ∆中，DEM DCN DE DC MDE NDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()MDE NDC ASA ∴∆≅∆，DM DN ∴=，//ND AB ，30NDC B ∴∠=∠=︒，60DNC ∠=︒，1801203030MDB ∴∠=︒-︒-︒=︒，MDB ∴∆为等腰三角形，MB MD ∴=，90ADM ∴∠=︒，2AM DM ∴=，在Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，218AB AC ∴==，2123AM AB ==，163BM AB DM ===，同理：6AN DN DM ===，∴四边形AMDN 的周长为1266630+++=．15．如图，点D 是ABC ∆三条角平分线的交点，68ABC ∠=︒（1）求证：124ADC ∠=︒；（2）若AB BD AC +=，求ACB ∠的度数．解：（1）证明：68ABC ∠=︒ ，18068112BAC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，AD ，CD 是角平分线，1()562DAC ACD BAC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()18056124ADC DAC ACD ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．（2）解：在AC 上截取AE AB =，连接DE，AC AB BD =+ ，EC BD ∴=，在ABD ∆和AED ∆中，AB AE DAC BAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD AED ∴∆≅∆，BD ED ∴=，DE EC ∴=，EDC ECD ∴∠=∠，1342ACB EDC ECD AED ABD ABC ∴∠=∠+∠=∠=∠=∠=︒．16．已知如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 是ABC ∆的角平分线，并且它们交于点O ，（1）求：AOC ∠的度数；（2）求证：AC AE CD =+．【解答】（1）解：60B ∠=︒ ，18060120BAC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，AD 、CE 是ABC ∆的角平分线，11()1206022OAC OCA BAC ACB ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，在AOC ∆中，180()18060120AOC OAC OCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒；（2）证明：如图，在AC 上截取AF AE =，AD 是ABC ∆的角平分线，OAE OAF ∴∠=∠，在AOE ∆和AOF ∆中，AE AF OAE OAF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOE AOF SAS ∴∆≅∆，AOF AOE ∴∠=∠，180********AOE AOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒ ，60AOF ∴∠=︒，1206060COF AOC AOF ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ，60COD AOE ∠=∠=︒，COD COF ∴∠=∠，CE 是ABC ∆的平分线，OCD OCF ∴∠=∠，在COD ∆和COF ∆中，COD COF CO CO OCD OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()COD COF ASA ∴∆≅∆，CF CD ∴=，AC AF CF =+ ，AC AE CD ∴=+．17．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，E 为CD 的中点，AD BC AB +=．则：（1）AE 、BE 分别平分DAB ∠、ABC ∠吗？为什么？（2）AE BE ⊥吗？为什么？【解答】（1）解：AE 、BE 分别平分DAB ∠、ABC ∠．理由：延长AE 、BC 交于点F ．//AD BF ，D ECF ∴∠=∠，在ADE ∆和FCE ∆中，D ECF DE EC AED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，ADE FCE ∴∆≅∆，AD CF ∴=，DAE F ∠=∠，AE EF =，AD BC AB += ，BC CF BC AD BF AB ∴+=+==，AB BF = ，AE EF =，BE ∴平分ABF ∠，BAF BFA DAE ∠=∠=∠，EA ∴平分DAB ∠．（2）结论：BE AE ⊥．证明：由（1）可知：BA BF =，AE EF =，BE AF ∴⊥（三线合一），即BE AE ⊥．18．如图ABC ∆中，点D 在AC 上，E 在AB 上，且AB AC =，BC CD =，AD DE BE ==．（1）求证BCE DCE ∆≅∆；（2）求EDC ∠的度数．【解答】（1）证明：在BCE ∆和DCE ∆中DE BE CE CE BC CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩()BCE DCE SSS ∴∆≅∆．（2）解：AD DE = ，A AED ∴∠=∠；2EDC A AED A ∴∠=∠+∠=∠，设A x ∠=，根据题意得，5180x =︒，解得36x =︒272EDC A ∴∠=∠=︒．19．如图，BD、CE分别是ABC∆的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP AC=，点Q在CE上，CQ AB=．求证：（1）AP AQ=；（2）AP AQ⊥．【解答】证明：（1）BD AC⊥，CE AB⊥（已知），90BEC BDC∴∠=∠=︒，90ABD BAC∴∠+∠=︒，90ACE BAC∠+∠=︒（直角三角形两个锐角互余），ABD ACE∴∠=∠（等角的余角相等），在ABP∆和QCA∆中，BP AC ABD ACE CQ AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABP QCA SAS∴∆≅∆，AP AQ∴=（全等三角形对应边相等）．（2）由（1）可得CAQ P∠=∠（全等三角形对应角相等），BD AC⊥（已知），即90P CAP∠+∠=︒（直角三角形两锐角互余），90CAQ CAP∴∠+∠=︒（等量代换），即90QAP∠=︒，AP AQ∴⊥（垂直定义）．20．（1）如图1，ABC∆为等边三角形，点P是BC上任意一点，APF∆也是等边三角形．连接CF，求PCF∠的度数；（2）如图2，四边形ABCD为正方形，点P是BC上任意一点，四边形APFM也是正方形．连接CF，求PCF∠的度数；（3）如图3，五边形ABCDE为正五边形，点P是BC上任意一点，五边形APFMN也是正五边形．连接CF，直接写出PCF∠的度数；（4）对于正n边形ABCDEF⋯，在相同条件下，PCF∠的度数为90(2)90nn︒⨯-︒+（用含n的式子表示）．解：（1）证明：ABC ∆ 和APF ∆都是等边三角形，AB AC ∴=，AP AF =，60BAC PAF ∠=∠=︒，BAC PAC PAF PAC ∴∠-∠=∠-∠，BAP CAQF ∴∠=∠，在ABP ∆和ACQ ∆中，AB AC BAP CAF AP AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABP ACF SAS ∴∆≅∆，60ACF B ∴∠=∠=︒，6060120PCF ∴∠=︒+︒=︒；（2）如图2，在AB 上取BQ BP =，连接QP ，45BQB ∠=︒，90BAP APB ∠+∠=︒ ，90CPF APB ∠+∠=︒，BAP CPF ∴∠=∠，四边形APFM 也是正方形，AP PF ∴=，四边形ABCD 为正方形，AB BC ∴=，AQ PC ∴=，在AQP ∆和PCF ∆中，AQ PC QAP CPF AP PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AQP PCF SAS ∴∆≅∆，45CFP CPF QAP QPA ∴∠+∠=∠+∠=︒，18045135PCF ∴∠=︒-︒=︒，（3）如图3，在AB 上取BQ BP =，连接QP，五边形ABCDE 为正五边形，108B ∴∠=︒，在AQP ∆和PCF ∆中，AQ PC QAP CPF AP PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AQP PCF SAS ∴∆≅∆，36CFP CPF QAP QPA ∴∠+∠=∠+∠=︒，18036144PCF ∴∠=︒-︒=︒，（4）同理可得()AQP PCF SAS ∆≅∆，(2)180[180]2n CFP CPF QAP QPA n -⋅︒∴∠+∠=∠+∠=︒-÷，(2)18090(2)180[180]290n n PCF n n -⋅︒︒⨯-∴∠=︒-︒-÷=︒+．故答案为：90(2)90n n ︒⨯-︒+．。

直角三角形奥数题

直角三角形培优21.已知一个Rt △的两边长分别为6和7，则第三边长的长是。

2.直角三角形的周长是62 ,斜边的中线长为1,则它的面积为____________.3.如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为522cm 和42cm ，则直角三角形的两条直角边的和是 cm .4. 在△ABC 中，AB=5cm ，BC=6cm ，BC 边上的中线AD=4cm ，则∠ADC 的度数是度5．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。

另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。

6.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC.你能说明BE 与DF 相等吗？7.如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋D BCAABCDE F12A小河北B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？8、如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90o ，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点。

MN 、AC 的位置关系如何？证明你的猜想。

9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．NMDCB10. 已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F．（1）求证：GE=GF；（2）若BD=1，求DF的长．11.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长1BD线于点E．求证：CE＝212、如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P到点0的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB的面积最大为______________.13、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则则∠1+∠2等于__________.14.已知，如图△ABC是边长4cm的等边三角形. 动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发. 设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形? BAC PQTHANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

七-八年级三角形的奥数题及其答案复习课程

七-八年级三角形的奥数题及其答案《三角形综合》例题1：AD，EF，BC相交于O点，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝OF．求证：△AEB ≌△DFC例题2：P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF⊥DC，PE⊥BC．求证：AP⊥EF．例题3：△ABC的高AD与BE相交于H，且BH＝AC．求证：∠BCH＝∠ABC．例题4：在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，∠PAQ＝45°．求证：PQ＝PB＋DQ．例题5：过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线，AD⊥BD 于D，AE⊥CE于E．求证：ED∥BC．例题6：如图，P是等边三角形ABC内部的一点，PA＝2，PB＝32，PC＝4，求ΔABC的边长.例题7：如图（ l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点P满足∠APD ＝∠APB =α。

且∠B P C ＝∠CPD ＝β，则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点．( l ）在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点P，且满足α≠β。

( 2 ）在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法） .( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点P1、P2（如图（ 2 ) ) ，证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点。

例题8：已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。

（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。

练习试题：1．如图，在ABC△中，ABC∠和ACB∠的平分线相交于点O，过点O作EF BC∥交AB于E，交AC于F，过点O作OD AC⊥于D．下列四个结论：1902BOC A∠=∠①°+；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD m AE AF n=+=，，则AEFS mn=△；④EF不能成为ABC△的中位线．其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）2．如图1，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，DMCS∆、DACS∆和DBCS∆分别表示△DNC、△DAC、△DBC的面积。

小学奥数教程：三角形(一)全国通用(含答案)

小学奥数教程：三角形(一)全国通用(含答案)一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，每两条线段之间都有一个角。

二、三角形的分类根据边长关系，三角形可以分为以下几类：1. 等边三角形：三条边的长度都相等。

等边三角形：三条边的长度都相等。

2. 等腰三角形：两条边的长度相等，另一条边的长度不等。

等腰三角形：两条边的长度相等，另一条边的长度不等。

3. 直角三角形：其中一个角为直角，即90度。

直角三角形：其中一个角为直角，即90度。

4. 锐角三角形：三个角都是锐角，即小于90度的角。

锐角三角形：三个角都是锐角，即小于90度的角。

5. 钝角三角形：其中一个角是钝角，即大于90度的角。

钝角三角形：其中一个角是钝角，即大于90度的角。

三、三角形的性质三角形有一些特点和性质：1. 内角和：三角形的内角和等于180度。

内角和：三角形的内角和等于180度。

2. 外角和：三角形的外角和等于360度。

外角和：三角形的外角和等于360度。

3. 角平分线：三角形的内角的平分线相交于三角形的内心。

角平分线：三角形的内角的平分线相交于三角形的内心。

4. 中线：三角形的三条中线相交于三角形的重心。

中线：三角形的三条中线相交于三角形的重心。

5. 高线：三角形的三条高线相交于三角形的垂心。

高线：三角形的三条高线相交于三角形的垂心。

四、三角形的计算计算三角形的面积和周长时，可以根据不同类型的三角形采用不同的方法：1. 等边三角形：面积和周长可以直接计算。

等边三角形：面积和周长可以直接计算。

2. 等腰三角形：根据底边和腰的长度计算面积和周长。

等腰三角形：根据底边和腰的长度计算面积和周长。

3. 直角三角形：使用勾股定理和正弦、余弦、正切等三角函数计算面积和周长。

直角三角形：使用勾股定理和正弦、余弦、正切等三角函数计算面积和周长。

4. 一般三角形：使用海伦公式计算面积，根据边长计算周长。

一般三角形：使用海伦公式计算面积，根据边长计算周长。

初中八年级奥数竞赛-专题18 直角三角形_答案.doc

专题18 直角三角形例1 （1）12或30；6或30；提示：()22125x x ++=，得3x =；由()22251x x +=+，得12x =，（2）103 提示：作DE ⊥AB 于E ，设CD =x ，则BE =13-5=8，DE =x ，BD =12-x ，由()222812x x +=-，得103x =．例2 B 提示：过B 作BD ⊥AC 延长线于D 点，设CD =x ，BD =y ，可求得：x =y ，则∠BCD =45°，故∠BCA =135°．例3 ∠ACB =75°提示：过C 作CQ ⊥AP 于Q ，连接BQ ，则AQ =BQ =CQ ．例4 提示：过E 作EG ⊥AB 于G ，先证明Rt △EAG ≌Rt △ABC ，再证明△EFG ≌△DF A ．例5 连接AC∵AD =DC ，∠ADC =60°，∴△ADC 是等边三角形，DC =CA =AD ，以BC 为边向四边形外作等边三角形BCE ，即BC =BE =CE ，则∠BCE =∠EBC =∠CEB =60°，∴∠ABE =∠ABC +∠EBC =90°，连接AE ，则22222AE AB BE AB BC =+=+，易证△BDC ≌△EAC ，得BD =AE ，故222BD AB BC =+．例6 过A 作AE ⊥BC 于E ，设DE =x ，BD =u ，DC =v ，AD =t ，则()()2222222AE b v x c u x t x =--=-+=-，故2222t b v ux =-+，2222t c u ux =--，消去x 得222b u c v t uv u v +=-+，即222b BD c CDAD BD DC a+=-⋅． A 级1．14 2．3 3．135°4．提示：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，则△ACD ≌△EBD ，∴BE =AC =13，AE =12，又AB =5，则∠BAD =90°，5．D 6．C 7．C 8．B 9．提示：△ADC ≌△BEA ，∠BPQ =60°． 10．（1）（2）略（3）提示：AB ，AP ，BP ，CP ，之间的关系是22AP AB BP CP -=⋅11．提示：满足提议的点有4个，作别分别为：8161,,,,,1552⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 12．10． B 级1．60132．135° 提示：将△P AC 绕A 点顺时针旋转90°， 3．32或42 提示：分类讨论。

初中奥数讲义_全等三角形附答案

全等三角形全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．利用全等三角形证明问题，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形：例题求解【例1】如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AC＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中正确的结论是 (把你认为所有正确结论的序号填上)． (广州市中考题) 思路点拨对一个复杂的图形，先找出比较明显的一对全等三角形，并发现有用的条件，进而判断推出其他三角形全等．注两个三角形的全等是指两个图形之间的一种‘对应”关系，“对应’两字，有“相当”、“相应”的含意，对应关系是按一定标准的一对一的关系，“互相重合”是判断其对应部分的标准．实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，但其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻拆、旋转等方法得到，这种改变位置，不改变形状大小的图形变动叫三角形的全等变换．【例2】在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB的取值范围是( )A．1<AB<9 B．3<AB<13 C．5<AB<13 D．9<AB<13(连云港市中考题)思路点拨线段AC、AD、AB不是同一个三角形的三条边，通过中线倍长将分散的条件加以集中．【例3】如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝A C，点Q在CE上，CQ=AB求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．(江苏省竞赛题)思路点拨 (1)证明对应的两个三角形全等；(2)在(1)的基础上，证明∠PAQ=90°【例4】若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．( “五羊杯”竞赛题改编题)思路点拨运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，解题的关键是由高的特殊性，分三角形的形状讨论．注有时图中并没有直接的全等三角形，，需要通过作辅助线构造全等三角形，完成恰当添辅助线的任务，我们的思堆要经历一个观察、联想、构造的过程．边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件使之组合可得到关于三角形全等判定的若干命题，其中有真有假，课本中全等三角形的判定方法只涉及边、角两类元素．【例5】如图，已知四边形纸片ABCD中，AD∥ BC，将∠ABC、∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，你能获得哪些结论?思路点拨折痕前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论．注例5融操作、观察、猜想、推理于一体，需要一定的综合能力．推理论证既是说明道理，也是探索、发现的逄径．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，需要注的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：(1)给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；(2)从题设条件无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．学力训练1．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C边上的高，且AB= A′B′，AD＝A′D，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件(只需要填写一个你认为适当的条件) ． (黑龙江省中考题)2．如图，在△ABD和△ACE中，有下列4个论断：①AB=AC；②AD＝AC；③∠B=∠C；④BD=CE，请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题(用序号○○○→○的形式写出) ． (海南省中考题)3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形．4．如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于O，则∠DOE的度数是．5．如图，已知OA=OB，OC=OD，下列结论中：①∠A=∠B；(②DE＝CE；③连OE，则OE平分∠O，正确的是( )A．①② B．②③ C．①③ D．①②③6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于( )A．DC B． BC C．AB D．AE+AC (2003年武汉市选拔赛试题)7．如图，AE∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有( )对A．5 B．6 C． 7 D．88．如图，把△A BC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数． (贵州省中考题)9．如图，在△ABE和△ACD中，给出以下4个论断：①AB=AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中3个论断为题设，填人下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填人下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．已知：求证：(荆州市中考题)10．如图，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交B C延长线于M，求证：∠M=21（∠ACB －∠B ）． (天津市竞赛题)11．在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝．12．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝36°，那么∠BED ． (河南省竞赛题)13．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交A C 于点F ，给出3个论断：①DE=FE ；②AE ＝CE ；③FC ∥AB ，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出3个命题，其中正确命题的个数是． (武汉市选拔赛试题)14．如图，AD ∥BC ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD=4，BC=2，那么AB= ．15．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝m ，PC ＝n ，AB=c ，AC=b ，则（m+n ）与(b+c)大小关系是( )A ．m+n> b+cB ． m+n<b+cC ．m+n= b+cD ．不能确定16．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB>AD ，下列结论中正确的是( ) A ．A B －AD>CB －CD B ．AB －AD ＝CB —CDC ．AB —AD<CB —CD D ．AB －AD 与CB —CD 的大小关系不确定． (江苏省竞赛题) 17．考查下列命题( )(1) 全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；(2) 两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等； (3) 两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等； (4)两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有( )A ．4个B ．3个C ． 2个D ．1个18．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE=21(AB+AD)，求∠ABC+∠ADC 的度数． (上海市竞赛题)19．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论． 20．如图，已知AB=CD=AE ＝BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDC 的面积． (江苏省竞赛题)21．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AF+CD ． (武汉市选拔赛试题)22．(1)已知△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB= A ′B ′，BC= B ′C ′，∠BAC ＝∠B ′A ′C ′=100°，求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′；(2)上问中，若将条件改为AB＝A′B′，BC= B′C′，∠BAC＝∠∠B′A′C′=70°，结论是否成立?为什么?。

七八年级三角形的奥数题及其答案

七八年级三角形的奥数题及其答案Prepared on 21 November 2021《三角形综合》例题1：AD，EF，BC相交于O点，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝OF．求证：△AEB ≌△DFC例题2：P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF⊥DC，PE⊥BC．求证：AP⊥EF．例题3：△ABC的高AD与BE相交于H，且BH＝AC．求证：∠BCH＝∠ABC．例题4：在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，∠PAQ＝45°．求证：PQ＝PB＋DQ．例题5：过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线，AD⊥BD 于D，AE⊥CE于E．求证：ED∥BC．例题6：如图，P是等边三角形ABC内部的一点，PA＝2，PB＝32，PC＝4，求ΔABC的边长.例题7：如图（ l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点P满足∠APD ＝∠APB =α。

且∠B P C ＝∠CPD ＝β，则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点．( l ）在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点P，且满足α≠β。

例题8：已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB ＝OC 。

（1）如图1，若点O 在BC 上，求证：AB ＝AC ；（2）如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：AB ＝AC ；（3）若点O 在△ABC 的外部，AB ＝AC 成立吗请画图表示。

练习试题：1．如图，在ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作EF BC ∥交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ．下列四个结论：1902BOC A ∠=∠①°+； ②以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切； ③设OD m AE AF n =+=，，则AEF S mn =△；④EF 不能成为ABC △的中位线．其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）2．如图1，AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，DMC S ∆、DAC S ∆和DBC S ∆分别表示△DNC 、△DAC 、△DBC 的面积。

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三角形奥数1练习题及答案班别：姓名：成绩：1．一个三角形的三个内角中 A 、至少有一个钝角B 、至少有一个直角 C 、至多有一个锐角 D、至少有两个锐角．下列长度的三条线段能组成三角形的是A、，4，B、，6，11C、 1，2，3D、，6，10. 如图在△ABC 中，∠ACB=900，CD是边AB上的高。

那么图中与A、∠BB、∠ACDC、∠BCDD、∠BDCAD第题B∠A相等的角是C4．如图，ＡＣ⊥ＢＤ，ＤＥ⊥ＡＢ，下列叙述正确的是Ａ、∠Ａ＝∠ＢＢ、∠Ｂ＝∠ＤＣ、∠Ａ＝∠ＤＤ、∠Ａ＋∠Ｄ＝９００5.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和为 A.180°B.360°C.540°D.720°BC第题EDAABCDF16.等腰三角形两边长分别为，7，则它的周长为 A、13B、 1C、 13或1D、不能确定.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,EAF∠AFD=158°, 则∠EDF=________度. A．58° B．68° C．78° D．32°BDC8.一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 A 、三角形B、四边形C、五边形D、六边形.能将三角形面积平分的是三角形的A、角平分线B、高C、中线D、外角平分线B第题CA10.如图，AB∥CD，∠A=700，∠B=400，则∠ACD= A、50 B、00 C、00 D、 1100二，填空11.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是12.一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是_____边形；一个多边形的各内角都等于1200度，它是_____边形。

13.已知△ABC为等腰三角形，①当它的两个边长分别为cm和cm时，它的周长为_____；②如果它的周长为1cm，一边的长为cm，则腰长为_____.14.如果一个多边形的每一外角都是240，那么它边形BA80EDxy15.如图，∠1=∠2=30，∠3=∠4，∠A=80，则x?，2第题C16.如图飞机要从A地飞往B地,因受大风影响,一开始就偏离航线18°，飞到了C地，已知∠ABC=10°，现在飞机要达到B地需以_____的角飞行.17.如图，△ABC中，高AD与CE的长分别为2㎝，4㎝求AB与BC的比是多少？BDCAE18.如图,△ABC中,BD是∠ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于E,∠A=60°,∠BDC=95°,求△BDE各内角的度数. AE319.如图，△ABC中，∠A=36°，∠ABC=40°，BE平分∠ABC，∠E=18°，CE平分∠ACD吗？为什么？20.如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P的度数.CAPD1-5.DBCCB-10BBBCB 11. ①、6、②4、6、11 ③4、8、11. ④6、8、11 12.,6;13.19;14. 十五15.110°130°16.28° 1因为s?ABC?12AB?CE?12BC?AD高AD=2㎝CE=4ABBC?AD21CE?4?218.略19. 解：设AP与BC交于K，∵在△ACK与△BPK中，∠AKC=∠PKB，∴∠P+∠3=∠1+∠C，即∠P=∠1-∠3+∠C，① 设AD与BP 交于F，同理有∠P=∠4-∠2+∠D，② 由于∠1=∠2，∠3=∠4，则①+②得，2∠P=∠C+∠D=32°+28°=60°，∴∠P=30°故答案为：30°．5㎝所以一年级奥数题图形的变化规律在下图的一组图形中，”？”处应填什么样的图形？图形的等份划分在右图中画一条直线，把图形分成形状相同、大小相等的两部分。

找数字规律按规律填数：15、11、13、13、11、15、9、17、7、、、21、3猜猜他几岁？小亮今年7岁，爸爸比他大30岁，三年前爸爸是多少岁？填数字计算在下面的○中填上数字，使得每一条线上的三个○中的数字加起来都等于15找规律画图试一试，把图中的形状继续画下去○△□□□○△□□□数线段分组与组式如下图所示把1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分成两部分，再组成两个数，填入下面的两个方框里，使两个数的和等于99999奇与偶傍晚开电灯，小虎淘气，一连拉了7下开关。

请你说说这时灯是亮了还是没亮？我们还不妨接着问，拉8下呢？拉9下呢？拉10下呢？甚至拉100下呢？你都能知道灯是亮还是不亮吗？判断下列说法的对与错：有一个角是直角的三角形叫直角三角形。

有两条边相等的三角形叫等腰三角形。

既有一个直角，又有两条边相等的三角形叫直角等腰三角形或叫等腰直角三角形。

填空格如下图所示。

在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的四个数相加都得34。

速算在1、2、3、4、5、6、7之间放几个”+”号，使它们的和等于100，试试看。

1 =100分组与组式某公园里有三棵树，它们的树龄分别由1、2、3、4、5、6这六个数字中的不同的两个数字组成，而且其中一棵的树龄正好是其他两棵树龄和的一半，你知道这三棵树各是多少岁吗？速算计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10区分图形下图中的两个图形，有哪些相同点，有哪些不同点？请你仔细观察、分析。

数一数数一数，下图中有几个正方形、几个等边三角形、几个圆？时间问题汽车每隔15分钟开出一班，哥哥想乘9时10分的一班车，但到站时，已是9时20分，那么他要等分钟才能乘上下一班车。

抽屉问题把16只鸡分别装进5个笼子里，要使每个笼子里鸡的只数都不相同，应怎样装？请把每只笼子里的鸡的只数分别填入下面五个方框中。

数一数环形跑道上正在进行长跑比赛。

每位运动员前面有7个人在跑，每位运动员后面也有7个人在跑。

跑道上一共有个运动员？趣味题三个人吃3个馒头，用3分钟才吃完；照这样计算，九个人吃9个馒，需要分钟才吃完？分糖吃林林、红红、芳芳三个小朋友买糖吃。

林林买了7粒，红红买了8粒，芳芳没有买。

三个小朋友要平分吃，芳芳一共付了1元钱，其中给林林角，给红红。

填图形把1，2，3，5，7，8填入下面的圈圈中，使得每个三角形上的三个数相加的和相等，要怎么填呢？一年级奥数题答案图形的变化规律解：仔细观察可发现，第一行和第二行中的最右边的完整图形是这样变来的：将最左边的半个图形，往右平移到中间图形位置，然后再去掉两个图形的重合部分。

按这个规律可知”？”处就填：图形的等份划分解：图中共有18个正方形小格，若分成大小相等的两部分时，每一部分应包含有9个正方形小格。

还可以看出，此图中有一条”斜线”边缘。

经尝试可做出如虚线所示的划分。

找数字规律解：这一排数的规律应该一个数隔一个数来看，分成两组依次为：15、13、11、9、7、……11、13、15、17、……所以两个空里面应该填19、5猜猜他几岁？解：因为爸爸比小亮大30岁，所以爸爸今年有30＋7=37。

因此三年前爸爸的年龄37－3=3填数字计算解：因为每条线上的三个○里的数之和都等于15，所以要求第三个数，就必须用15减去已知的两个数的和。

初一三角形练习题1．一个三角形的三个内角中A 、至少有一个钝角B 、至少有一个直角C 、至多有一个锐角 D、至少有两个锐角．下列长度的三条线段能组成三角形的是CA、，4，B、，6，11C、 1，2，3D、，6，103. 如图在△ABC中，∠ACB=900，CD是边AB上的高。

图中与∠A相等的角是A、∠BB、∠ACDC、∠BCDD、∠BDCB4．如图，ＡＣ⊥ＢＤ，ＤＥ⊥ＡＢ，下列叙述正确的是 AD０第题Ａ、∠Ａ＝∠ＢＢ、∠Ｂ＝∠ＤＣ、∠Ａ＝∠ＤＤ、∠Ａ＋∠Ｄ＝９０5.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和为 A.180°B.360°C.540°D.720°A AAADFBFE ECBCBD第题D C第题4题图题图题图 10题图6.等腰三角形两边长分别为，7，则它的周长为 A、13B、 1C、 13或1D、不能确定7.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=158°, 则∠EDF=________度. A．58° B．68° C．78° D．32°8.一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 A 、三角形B、四边形C、五边形D、六边形.能将三角形面积平分的是三角形的A、角平分线B、高C、中线D、外角平分线 10.如图，AB∥CD，∠A=700，∠B=400，则∠ACD= A、50 B、00 C、00 D、 110011.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是 12.一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是边形；一个多边形的各内角都等于1200，它是边形。

13.已知△ABC为等腰三角形，①当它的两个边长分别为cm和cm时，它的周长为_____；②如果它的周长为1cm，一边的长为cm，则腰长为_____.14.如果一个多边形的每一外角都是240，那么它边形15.如图，∠1=∠2=300，∠3=∠4，∠A=800，则x?，y?16.如图飞机要从A地飞往B地,因受大风影响,一开始就偏离航线18°，飞到了C地，已知∠ABC=10°，现在飞机要达到B地需以_____的角飞行.A800E2Dx4EAEBDCyCB 第题15题图 16题图 18题图17题图 17.如图，△ABC中，高AD与CE的长分别为2㎝，4㎝求AB与BC的比是多少？18.如图,△ABC中,BD是∠ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于E,∠A=60°,∠BDC=95°,求△BDE各内角的度数. 19.如图，△ABC中，∠A=36°，∠ABC=40°，BE平分∠ABC，∠E=18°，CE平分∠ACD吗？为什么？20.如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P的度数.CAP1-5.DBCCB-10BBBCB 11. ①、6、②4、6、11 ③4、8、11. ④6、8、11 12.,6; 13.19;14. 十五15.110°130°16.28° 1因为s?ABC?18.略19. ∠ P=DABAD2111AB?CE?BC?AD高AD=2㎝CE=4㎝所以BCCE42221??C??D?。