中考数学压轴题创新题型训练

中考数学压轴题创新题型训练

一．解答题（共30小题）

1．我们都知道，在等腰三角形中．有等边对等角（或等角对等边），那么在不等腰三角形中边与角的大小关系又是怎样的呢？让我们来探究一下．

如图1，在△ABC中，已知AB＞AC，猜想∠B与∠C的大小关系，并证明你的结论；

证明：猜想∠C＞∠B，对于这个猜想我们可以这样来证明：

在AB上截取AD=AC，连接CD，

∵AB＞AC，∴点D必在∠BCA的内部

∴∠BCA＞∠ACD

∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC

又∵∠ADC是△BCD的一个外角，∴∠ADC＞∠B

∴∠BCA＞∠ACD＞∠B即∠C＞∠B

上面的探究过程是研究图形中不等量关系证明的一种方法，将不等的线段转化为相等的线段，由此解决问题，体现了数学的转化的思想方法．请你仿照类比上述方法，解决下面问题：

（1）如图2，在△ABC中，已知AC＞BC，猜想∠B与∠A的大小关系，并证明你的结论；

（2）如图3，△ABC中，已知∠C＞∠B，猜想AB与AC大小关系，并证明你的结论；

（3）根据前面得到的结果，请你总结出三角形中边、角不等关系的一般性结论．

2．在数学学习过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，如果我们把这些类似进行比较、加以联想的话，可能出现许多意想不到的结果和方法，这种把类似进行比较、联想，从而解决问题的方法就是类比法．类比法是一种寻求解题思路，猜测问题答案或结论的发现方法．

如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．

【尝试探索】

①经过三角形顶点的面积等分线有条；

②平行四边形有条面积等分线．

【类比探究】

如图1所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；【类比拓展】

如图2，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S

△ABC ＜S

△ACD

，过点A

画出四边形ABCD的面积等分线，并描述方法．

【灵活运用】

请您尝试画出一种图形，并画出它的一条面积等分线．

3．（合作探究题）在同一平面内三条直线交点有多少个？

甲：同一平面三直线相交交点的个数为0个，因为a∥b∥c，如图（1）所示．乙：同一平面内三条直线交点个数只有1个，因为a，b，c交于同一点O，如图（2）所示．

以上说法谁对谁错？为什么？

4．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；

①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；

②符合①要求的线段必须全部画出；

图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；

图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；

（1）当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为个；

（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（3）当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？

5．一、阅读理解：

在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；

（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；

（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2

证明：如图过A作AD⊥BC于D，则BD=BC﹣CD=a﹣CD

在△ABD中：AD2=AB2﹣BD2

在△ACD中：AD2=AC2﹣CD2

AB2﹣BD2=AC2﹣CD2

c2﹣（a﹣CD）2=b2﹣CD2

∴a2+b2﹣c2=2a•CD

∵a＞0，CD＞0

∴a2+b2﹣c2＞0，所以：a2+b2＞c2

（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．

二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．

6．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：

（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．

（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：

（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．

7．【问题提出】

已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积．

【问题探究】

为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究．

探究一：在Rt△ABC（图1）中，∠ABC=90°，AC=b，BC=a，∠C=α，求△ABC的面积（用含a、b、α的代数式表示）

在Rt△ABC中，∠ABC=90°

∴sinα=

∴AB=b•sinα

=BC•AB=absinα

∴S

△ABC

探究二：

锐角△ABC（图2）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）

求：△ABC的面积．（用含a、b、α的代数式表示）

探究三：

钝角△ABC（图3）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）

求：△ABC的面积．（用含a、b、α的代数式表示）

【问题解决】

用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法是【问题应用】

已知平行四边形ABCD（图4）中，AB=b，BC=a，∠B=α（0°＜α＜90°）

求：平行四边形ABCD的面积．（用含a、b、α的代数式表示）

8．定义：点M，N把线段AB分割成AM、MN，NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．

应用：（1）如图①，已知M、N是线段AB的勾股分割点，AM=6，MN=8，求NB 的长；

（2）如图②，在△ABC中，点D、E在边线段BC上，且BD=3，DE=5，EC=4，直线l∥BC，分别交AB、AD、AE、AC于点F、M、N、G．求证：点M，N是线段FG的勾股分割点

拓展：（3）在菱形ABCD中，∠ABC=β（β＜90°），点E、F分别在BC、CD上，AE、AF分别交BD于点M、N．

①如图③，若BE=BC，DF=CD，求证：M、N是线段BD的勾股分割点．

②如图④，若∠EAF=∠BAD，sinβ=，当点M、N是线段AB的勾股分割点时，求BM：MN：ND的值．