浅谈魔方中的数学思想

浅谈魔方中的数学思想学生姓名：之花127一、引言魔方是一种休闲益智玩具.生活中人们所熟知的魔方(Rubik’s cube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克(Rubik)教授于1974年发明的教学道具.这种方魔(Rubik’s cube)是由333⨯⨯个块方的成组, 个每块方都能绕心中转意任向方的体方立.总来的说,方魔的法玩就是转动魔方令其上每个面的方块颜色一致(还原)或排列组合出有规律的图案.魔方转动一次相当于魔方一层上所有的方块(有限元素)进行了一次数学意义上的变换.所以,魔方的构造与操作过程中蕴含着一定的数学思想.简而言之一些数学思想比如变换、坐标、组合等都可以在魔方上找到现实具体的运用.二、魔方的基础知识（一）魔方的历史与结构生活中人们所常见的魔方(Rubik’s cube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克(Rubik)教授于1974年设计的教学道具.这种魔方是由333⨯⨯个方块组成的,每个方块都能绕中心转任意方向的立方体.经过近40年的发展,原始的传统意义上的魔方已经创造性的衍生出了由方块组成的各个方向都能够转动的多种多样的几何体魔方玩具.在外形设计的角度,传播最早的魔方(Rubik’s cube)也可以称作三阶立方体魔方,继相有还阶二、阶四、阶五等种多数阶的体方立方魔,目前络网上一方魔者好爱计设并造制了高最的阶十七体方立方魔(2011).除体方立方魔外之有还它其体面多方魔和型异方魔.设计各种外形的几何体魔方时使其各个组成部分具有良好的旋转性是基本要求.这就使得魔方的内部结构的设计丰富多样、精简巧妙.1.阶从外形设计来看,立方体魔方每条棱上方块数目就是该魔方的阶数.因此,生活中人们普遍见到玩赏的方魔可称作阶三体方立方魔.最初魔方在作为增加学生空间方位感觉的教学道具设计时,魔方发明人Rubik教授考虑到从数学思维角度来说,222⨯⨯(即二阶立方体魔方)理论上是外形结构最简单的体方立魔方,然而在过经验实后作操现发他,在械机计设的度角上虑考话的,333⨯⨯魔方在部内造构上是最易容现实块方各度角转旋并备具最单简械机构结的体方立魔方.2.轴中心块棱块角块如图1所示，在拆开三阶立方体魔方后,可以观察到它的内部构造.一个以可各向方动转的项六头接在处的魔方的心中.其上个六头接是即方魔的轴.一个块方分别用螺丝、垫片、弹簧固定在每个接头,这个方块称为中心块.所以从内部构造的度角阶三方魔被也作称阶三轴六魔方.六个中心块被固定在魔方的六个轴上,而同一面上的四个中心块可以绕垂直或.所以中心块之间的相互位置不会在转魔方过程于这个面的两个轴旋转90180中改变.综上,块心中的色颜以可定确它面在所的色颜,这就示表在面该它其块方的色颜的断判上以应块心中的色颜为准基.图1实际上,魔方是由333126⨯⨯-=个方块（除去中心的一块）组成.除了以上所说的6个中心块以外,其它20个方块中:12个方块是两个面涂有颜色,它们的正确位置和朝向将由两个中心块决定,称之为棱块;8个方块有三个面涂有颜色(以下把涂有颜色的面称为有色面),它们的正确位置和朝向由三个中心块决定,称之为角块.如图1在计设上块棱和块角都有具出突的脚小,块棱的侧两有都装弧的口缺,这些脚小和口缺与都块心中扣紧在一起.这样棱块和角块就能够随着所在层的转动而向各个方向转动,并且紧扣在中心块上而不会在转动时从魔方上脱落. （二）魔方的玩法魔方的作操,即针时顺或针时逆动转魔方的某层一或层两90,180,270,360.作操单简得使玩方魔起来看易容.不过玩过的人都明白玩魔方并不容易,而且玩魔方需要记忆一些步骤.对大部分人来说初始接触的魔方都是三阶魔方,它有正方体的外形,6个面上都有9个有色块.大体上而言使每个面的有色块的颜色都相同是玩魔方的游戏目标,也就是还原魔方.自然的,各个有色块是组成魔方的方块的一部分.实际操作魔方,即转动魔方的过程中,方块之间能够互换位置或者方块自身会变换朝向.事实上,Rubik教授在制造出世界上第一个魔方后随意转动之后想要还原魔方就花费了三个多月的时间.还原魔方的困难之处就在于:移动一个方块时伴随着其它多个方块的移动(中心块除外).在还原的初始阶也许这构不成较大的困难，然而随着多数方块达到正确的位置,这时新的转动必然会使这些方块离开正确的位置,如何在转动中不断还原已完成好的部分是个难题.在学数的域领就应对着有元限的换变和逆换变问题.今当的方魔是一种不仅闲休的力智具玩,玩方魔更展发为成了技竞动运.为作技竞动运的魔方法玩富丰样多.种各魔方玩的界世录记不断被新刷,如快最原还魔方录记者持保为生出于亚利澳大岁18Feliks Zemdegs,他的最快记录为6.77秒(2010年).魔方的种类除了传播最早的魔方(Rubik’s cude)也可以称作三阶立方体魔方,相继还有二阶、四阶、五阶等多种阶数的立方体魔方, 前目络网上些一魔方者好爱计设并造制了高最的阶十七体方立魔方.除体方立魔方外之有还它其体面多魔方和型异魔方.魔方的数轴、向轴、数阶、状形在魔方者好爱断不试尝与造创中得变富丰彩多.三、魔方中的数学思想（一）排列组合的思想“意随的动转魔方使魔方的面个六原还能可吗?”通过魔方旋转其上的色块一共可以组合出多少种图案,利用组合的数学思想,我们可以得到魔方可以变换8128!312!243,252,003,274,489,856,000322⨯⨯⨯=⨯⨯种案图.首先,易容到想果如动不转魔方层间中,魔方的个六块心中的置位会不变改,相对的旋转上下两层相当于旋转中间层.通过这种方式可以固定魔方的空间位置,即立建一个间空系标坐.其次,在这个系标坐中8个块角的置位全列排为8!,又因为每个角块有3三个有色面,所以角块所有的图案组合为88!3⨯中.同理,魔方上的棱块有12个,每个棱块有2个有色面,棱块全部图案有1212!2⨯个.再次,魔方上不存在以下的操作结果:只有一个角块或一个棱块的有色面变换了朝向,只有一对角块或者一对棱块相互交换了位置.所以除以322⨯⨯.最后得到以上结果.如果人的平均寿命为100年每秒转动魔方3下,除去重复的图案,每个人吃饭睡觉都在转,46亿人经过4542亿年时间就可以转出所有不同的图案.所以通过随意转魔方而还原魔方有人可能终其一生都无法完成.“拆开重新组装的魔方一定正确吗?”首先,6个中心块固定在魔方中心的六个接头上.其次,剩下的20个方块有:8个角块和12个棱块.8个角块的位置,以及每个角块有3个有色面,一共有88!3⨯种安装角块的方式.同理,共有1212!2⨯种安插12个棱块的方法.魔方有8128!312!2519,024,039,293,878,272,000⨯⨯⨯=种组装方法.相对于魔方转动变换出的图案种类魔方组装的图案要多很多.对比上文可以得到正确组装一个魔方的概率为112.可以想到,在复原魔方的过程中试图通过拆卸魔方方块而简化复原步骤的办法是不可行的.（二）群论的思想1.魔方中的对称生活中,几何体的镜面对称(关于某个平面的对称)是很常见的,魔方的结构也体现了这种对称性.然而,对称的含义远远超出了镜面对称,需要用到群论的思想作为研究的工具.关于面平称对,若一个体何几被某面平成劈分部两,其中任一分部都是另一分部于关给所面平的面镜像映,则该体何几关于面平称对,即该体何几成面镜称对.关于线直称对,若一个体何几上的点每于关线直的点称对在该体何几上,则个这体何几关于该直线对称,即这条直线是该几何体的二阶对称轴.反过来讲,如果一个几何体具有二阶对称轴,那么该几何体围绕轴转3602后与本身重合.类似的,若几何体围绕一条直线旋转360n后与本身重合,则这条直线称为该几何体的n 阶对称轴.关于点称对,即心中称对,若段线AB的点中点为O,则点段,A B于关点O成心中称对.如果某体何几上的每点一个都以可在该体何几上找到于关给点定O成心中称对的点,那么就称该体何几关点于O称对.如图2体方正有具4阶轴称对(如图2()a)、2阶轴称对(如图2()b)、3阶轴称对(如图2()c),同时正方体关于中心(即正方体体对角线的交点)点对称.三阶魔方的外形正是这种具有仅次于球体的对称性质的正方体.图22.魔方中的变换魔方的变换为旋转魔方是方块位置的变换,而在立体空间中,平移、旋转和镜面映像为三种不改变几何体大小的空间运动.在空间中任取一直线a,若空间中点P与点Q关于直线相互对应,则点Q或点P绕轴a转一个确定的角度ϕ后与另一个相重合.所以间空换变转旋是一一应对的换变.同时,在转旋化变中持保了转旋点的轴到离距不变.设合集M,P是M的一个集子,A为M的一个换变,若集子P中每点一个的在换变A用作为仍下的P中点.则集子P是变不的或称对的,或者说换变A画刻了集子P的称对性.设()S P为集合M中保持P不变的所有变换的集合,则()S P满足以下的性质:①()S P给定S P中任意两个元素依次作用于P后依然保持P不变,即在()运算顺序后,()S P的该运算满足封闭率;②()S P中该运算满足结合律;③()S P含S P中必有含等恒换变,有意任素元与等恒换变运作持保变不,则()有位单元;④对()S P中必有一个元素y,使之与x运算后为恒等S P中任一元素x,()变换,则x为y的逆元.3.群的一般概念设空非合集G 中定规一个算运“”,若该算运足满下以的个四质性, 群就为说{;}G .① 封闭律,,,a b G a b G ∀∈∈;② 结合律,,,,()a b c G a b c a b c ∀∈=;③ 单位元,,,,e G a G e a a e a e ∃∈∀∈==使有称为单位元;④ 逆元律,a G b G,b a=a b=e,b a ∀∈∃∈，使称为的逆元.据此上文所描述的对称的变换的全体在规定运算后构成一个群,则称该群为对称变换群.通过构建对称变换群的形式来研究几何体的对称性是有效的,例如：三阶魔方的外形是正六面体,因此正六面体对称群成为了魔方的变换研究方面的数学依托.4.魔方群构造魔方有上种六色颜和类三块方, 块角有3个面色有,3个面色有着随块角的动转而换互置位,每交换一次要动转120,此为3阶对称轴的性质,棱块有2个有色面,每交换一次转动180,这是2阶对称轴的性质.一般的以可用字数来1,2,,n 表代量变12,n x x x ,从而可以用数字的置换代替变量12,n x x x 的置换.如正三角形的称对换变用可字数1,2,3的换置表示:123,123I ⎛⎫= ⎪⎝⎭123123123123,,,132321213r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12123123,,231312ρρ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以三角正形的称对换变为群{}612312,,,,,S I r r r ρρ=.若把魔方每一个有色面用数字标记出来(中心块除外),则有48个有色面被标记.如果任何两个有色块能够相互调换位置,则48个有色面的置换的数目就是48!.称这些换置的体全为48次换置群,作记48S .到得可:面六正体的称对群是48S ,则面六正体的称对群的阶为48!.魔方换变的体全为称群方魔(下文证明）.群方魔是48S 群子的一个.原因于在魔方在上块角能只与块角生发置位的换互,不能与块棱进行置位换互,同样块棱也只可以和块棱行进换互位置.3图例如, 顺时针把图3中的1,2,3,4所在面转动90时,就会得到如下置换:12345678123240202113263419113139,,,,41238567201232403421132639191131⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1234用示来表魔方面色有1,2,3,4动转90的换置,则()()()()()12345678123240202113263419113139,a = 自然地,可以写出其它5个面上顺时针旋转90置换:()()()()()910111213141516244427718463214529219,b =()()()()()171819202122232491394814633431243845,c =()()()()()29303132252627281232402046373114135816,d =()()()()()3738394033343536482033042225254717331,e =()()()()()454647484142434417929372315283618103038,f = 可以得到, 群方魔由是a 、b 、c 、d 、e 、f 六个换置在48S 群子中成生的.由一个素元A 成生的群称为群环循.形如,,,,E A AA 111,,.A A A ---的素元成构群环循.这些素元为称A 的幂方,即0,E A =1,A A =2,.AA A =魔方变换112344123A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1,2,3,4表示有色块旋转90,212343412A ⎛⎫= ⎪⎝⎭表示转动为180,22111A A A A ==则有.2341111,,,A A A A 用分别1,2,3,4表示旋转90,180,270,360.上述的六个置换,,,,,a b c d e f 可生成群,,,,,M a b c d e f =,M 就是魔方群.即M 中含有所有的魔方变换.不难想到, 原还魔方的程过使魔方从始初态状,过经干若后的魔方换变,到回始初态状的程过中体现了魔方变换的循环以及魔方变换的逆变换.魔方变换都可以多次重复操作中实现魔方状态的循环.例如,如图5中所示魔方依次完成图中所示的旋转可以现实魔方一层点顶、小弯拐、字一、字十的案图循环.4图5.魔方群性质魔方是由26个方块组成的立方体.6在魔方的个面上每个面有9个有色面,共6954⨯=个有色面.26而魔方的个方块中,3有个有色面的是角块,2有个有色面的是边块,1只有个有色面的是中心块.8魔方共有个角块,126个棱块和个中心块.一个简单的事实是:魔方中间层不进行旋转时,6魔方的个中心块的位置是不变的.因此,中心块可以代表它所在的面,这也建立了一个固定的参考系.图5一般地,魔方还原步骤使用一套公式体系来表示魔方变换的基本操作.首先,6魔方有个面:前、后、上、下、左、右,分别对应字母F B D U L R 、、、、、.应90用这些字母来表示其对应面顺时针旋转的操作(顺时针是魔方在操作者的面前的顺时针方向).6如图,U 展示魔方上操作的方式.图6根据以上的描述中心块建立了一个固定的参考系,如果用,,,,,u d f b l r 表示对应面的中心块,则角块可以用xyz 表示其方位,其含义为:位于x 面y 面z 面相交处的方块.如ufl 表示u (上)面f (前)面l (左)面相交的方块.类似地,用xy 表示棱块,含义为:x 面y 面相交处的边块.()()db d b 如表示下面后面相交的方块.若魔方的变换合成运算顺序是从左到有的.{}12,,,,,,,M M U D F B L R ∀∈即12,M M 表示先操作1M 2M 在操作.如RU 如表示先旋转R ,U 在旋转.用c 表示魔方状态,即各方块和有色面的方位,用()M c 表示魔方在状态c 经过M 操作后所生成的新状态.同时,合成运算是从左向右的,有()()()()1221M M c M M c =.定理1 魔方的全部旋转变换的集合,规定合成作为运算,构成一个群,称为魔方群.证明 ,,,,,G U D F B L R =设是魔方全部旋转变换的集合.G 中的任何元素都能够表示为若干基本旋转的合成,则G 中任意两个元素的合成仍然是有限个基本宣战的合成.所以G 中的合成运算满足封闭律.用c 表示魔方状态,则123,,,M M M G ∀∈有:()()()()()()()()()()()()()()()()()()123312321123231321M M M c M M M c M M M c M M M c M M M c M M M c ====c 因为为魔方的任意状态,()()123123M M M M M M =得到,所以运算满足结合律. c 若魔方状态转动M 的作用下不发生改变,M 则是单位转动,故单位元存在. 若12n M M M M =为生成元的乘积{}{},,,,,,1,2,,i M U D F B L R i n ∈∈,则111121n M M M M ----=所以逆元律成立.所以,,,,,,G U D F B L R =是一个群,称为魔方群.同时魔方群G 的生成元可以用有色面的置换来表示,,,,,,G a b c d e f =即. ⑴交换性1引理 n S 中的不相交循环是可交换的.2引理 n S 中的所有置换都是一系列不相交循环的乘积.定理2 n S 中的不相交置换是可交换的.证明 设,f g 是n S 中不相交的置换.2根据引理1212,n m f f f f g g g g ==， i f 和i g 为互不相交的循环,{}{}1,2,,,1,2,,i n j m ==.1根据引理可知这些循环是可交换的,所以有12121212n m m n f g f f f g g g g g g f f f g f ===,证毕. 推论1 魔方群的对面旋转是可交换的.证明 魔方群,,,,,G D F B L R =中,相对面旋转变换是不相交的.根据定理2,相对面的旋转变换是可交换的,则有,,UD DU FB BF LR RL ===.⑵作用 传递性 轨道用*F 表示魔方的有色面的集合,*B 表示魔方的方块的集合,F E 表示魔方棱块上的有色面的集合,F V 表示魔方角块上的有色面集合,B E 表示魔方上棱块集合,B V ,,:表示魔方上角块的集合显然有**,,F F F F B B B B F E V E V B E V E V ==∅==∅定理3 魔方群G 分别作用在*F 和*B 上.证明 魔方群,,,,,G U D F B L R =,有:()()****,,G F F M G c F M c M c F ⨯→∀∈∈=∈,即,其中,c 表示魔方上有色面的的方位.若魔方状态c 转动0M 的作用下不发生改变,则()()00M c M c c ==; 12,,M M G ∀∈有:()()()()1221M M c M M c =.魔方群G 作用在*F 上同理可以证明魔方群G 作用在*B 上.推论2 魔方群G 分别作用在F E 、F V 、B E 、B V 上.定理4 魔方群G 在F E 、F V 、B E 、B V 上的作用是传递的.证明 以魔方前面左下方的角块为例,用dfl 表示.操作旋转:1M FFFDBBBD -=,后dfl 角块将沿着转动的路径通过全部角块的位置,最终返回起始点.因此B V 中随意在的两个元素G 的作用下都可以完成传递,因此G 在B V 上的作用是传递的.同,样的可以证明G 在F E 、F V 、B E 上的作用是传递的.魔方群G 在*F 和*B 上的作用是不传递的.因为角块不能传递到棱块的位置,角块上的有色面也不能传递到棱块上面,反之亦然.引理3 X 的子集是一个传递的G 集合当且仅当它是一个轨道.引理4 任何一个G 集合X 可唯一的划分为传递G 集合的并.推论3 魔方群G 在*F :上有两个轨道F E 和F V ,在*B :上有两个轨道B E 和B V . ⑶共轭 换位子魔方的还原是一个复杂的旋转操作过程,因为需要到数目较多的置换合成.若没有计划的随意乱转,一定会把魔方状态便得更加复杂.一下描述共轭和换位子在魔方还原中的作用.4引理 {}()()()(),,,1,2,,,,.h n g h S i j n g i j g h i h j ∈∈==若共轭在魔方还原中是一种常见的手法.引理4说明g 把i 映射到j ,则g 的共轭h g 把()h i 映射到()h j .这种性质在魔方还原中有重要的应用.5定理 n S 中两个元素有相同的轮换结构,则它们相互共轭.4推论 魔方群G 中的生成元U ,D ,F ,B ,L ,P 相互共轭.在论群中, 子位换是以可来用量衡合集素元的性换交, 来起看与方魔原还有没点一系关,事实上,换位子在魔方还原中反而起着简化还原步骤的作用.根据上文每个旋转作用是由5个长度为4的不相的交循环合成的.在还原魔方时,每旋转一次,就有5420⨯=个有色面重新排列,因此在无规律的连续旋转后的魔方状态会十分混乱,人们希望尽可能的保持已经还原的部分不变,在这方面换位子的重要性就显现出来了.魔方群中换位子定义的实际操作构成,假设g 和h 是魔方相邻两面的旋转,[]11,g h ghg h --=表示在转动gh 之后再旋转11g h --,最后因为g 和h 旋转而改变的部分方块或有色面可以复原到旋转之前.从而换位子简化了魔方的还原过程.在实践中可以验证:[]2.g h 可以交换3个棱块的位置而不改变角块的位置；[]3.g h 交换2对角块的位置而不改变棱块的位置.一下给出魔方实际操作中的例子: []()[]()()23,,,U F uf ur fl U F ufl fdl fur ubr ==.同时还有比较复杂的换位子的例子,如包含共轭的复合换位子:()()()112,,,,B F R L urf ufl ulb F D U urf ubr ufl ulb --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦.四、小结本文概述方魔中的学数想思.运用论群和组合学数的法方想思以可到得下以论结: 方魔可出转8128!312!243,252,003,274,489,856,000322⨯⨯⨯=⨯⨯种同不的案图;在6种本基换变F ,B ,D ,U ,L ,R 的础基上可以造构群方魔,,,,,G U D F B L R =;且群方魔G 中的元成生F ,B ,D ,U ,L ,R 互相扼共;如果用*F 表示方魔的面色有合集,*B 表示方魔的块方合集,F E 表示方魔块棱上的面色有合集,F V 表示方魔块角上的面色有合集,B E 表示方魔上块棱合集,B V 表示方魔上块角合集.则有: 群方魔G 别分用作在*F 和*B 上; 群方魔G 别分用作在F E 、F V 、B E 、B V 上; 群方魔G 在F E 、F V 、B E 、B V 上的用作是的递传; 群方魔G 在*F 和*B 上的用作是不递传的;群方魔G 在*F 上有个两道轨:F E 和F V ;在*B 有上个两道轨:B E 和B V .。