幂指对函数

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幂、指、对函数的增长比较(上课)

(4)若 0<lgm<1，即 1<m<10 时，y＝(lgm)x 在 R 上是减函数，所以(lgm)1.7>(lgm)2.1；若 lgm＝1，即 m＝10 时，(lgm)1.7＝(lgm)2.1；若 lgm>1，即 m>10 时，y＝(lgm)x 在 R 上是增函数，所以(lgm)1.7<(lgm)2.1.
0.848 1.138 1.379 1.585
o
1
2
x
3.结合函数的图像找出其交点坐标.
x 从图像看出 0 1 2 3 4 y=log 5 26 7 8 … x的图像与另外两函数的图像没有交点， x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 … y=2 且总在另外两函数图像的下方， 2 2 0 1 4 9 16 x 25 36 y= x 49 64 … y=x 的图像与 y=2 的图像有两个交点(2，4)和（4，16）. 4.根据图像,分别写出使不等式
[方法总结]
Hale Waihona Puke (1)我们常把指数的这种快速剧增形象地称
为“指数爆炸”． (2)在计算器或计算机中，1.10×1012 常表示成 1.10E＋12. (3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)， y＝logax(a>1) 和 y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着 x 增长，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1) 则增长会越来越慢，因此，总会存在一个 x0，当 x>x0 时，就有 logax<xn<ax.

指数对数幂函数知识点总结9篇

指数对数幂函数知识点总结9篇第1篇示例：指数对数幂函数是高中数学中非常重要的内容之一，它在实际生活中有着广泛的应用。

指数对数幂函数是一种特殊的函数形式，通过指数、对数、以及幂运算的组合，可以描述各种复杂的变化关系。

在本文中，我们将对指数对数幂函数的相关知识点进行总结，帮助大家更好地理解和掌握这一重要内容。

一、指数函数指数函数是以自然常数e为底的幂函数，一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数的特点是底数a是一个固定的正数，指数x可以是任意实数。

指数函数的图像通常表现为一条逐渐增长或逐渐减小的曲线，其增长趋势取决于底数a的大小。

指数函数的性质有：1. 当底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当底数a小于1且大于0时，函数呈现下降趋势。

2. 指数函数在x轴上的水平渐近线为y=0，在y轴上的垂直渐近线为x=0。

3. 在0<a<1时，指数函数是单调递减的；在a>1时，指数函数是单调递增的。

4. 指数函数的导数为f'(x)=a^x * ln(a)，导数的值等于函数在该点的斜率。

1. 对数函数的图像是一条左开右闭的单调增函数。

2. ln(x)函数在x=1处的值为0，log(x)函数在x=1处的值也为0。

4. 对数函数的反函数是指数函数，即对数函数与指数函数是互为反函数的关系。

三、幂函数幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n为一个实数。

幂函数可以是单项式函数、分式函数以及多项式函数的基础函数形式。

幂函数的性质有：1. 当n为偶数时，幂函数呈现奇次函数的特点，曲线两侧对称于y 轴；当n为奇数时，幂函数呈现偶次函数的特点。

四、指数对数幂函数的综合应用指数对数幂函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用。

在生态学中，人口增长规律可以用指数函数来描述；在物理学中，无阻射下的自由落体运动可以用幂函数来描述；在金融领域中，复利计算和收益增长也可以用指数函数和对数函数来分析。

幂指对函数及方程

幂、指、对函数及方程方法指导：一、幂函数1. 幂函数的定义函数(k y x k =为常数，)k ∈Q 称为幂函数，其中x 是自变量，前面的系数为1．2. 幂函数的图像研究pq y x =的图像特点，其中p q是既约分数（最简分数）．3. 幂函数的性质（1）对于一切幂函数，当0x >时，总有0y >，所以幂函数在第一象限均有图像，且幂函数图像不可能出现在第四象限．（2）幂函数一定过点(1,1)．（3）当0k >时，k y x =在(0,)+∞上递增，图像过点(0,0),(1,1)；① 当01k <<时，k y x =向x 轴正方向递增；② 当1k >时，k y x =向y 轴正方向递增．当0k =时，k y x =是一条不过点(0,1)的直线；当0k <时，k y x =在(0,)+∞上递减，图像过点(1,1)，图像向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近．（4）在1x =的右侧由上至下k 递减．二、指数函数1. 指数运算法则（1） (0,)x y x y a a a a x y +⋅=>∈R 、（2） ()(0,)x y xy a a a x y =>∈R 、（3） ()(0,0,)x x x a b a b a b x ⋅=⋅>>∈R2. 指数函数的定义函数(0,1,)x y a a a x =>≠∈R 称为指数函数．3. 指数函数的图像4. 指数函数的性质（1）函数图像在x 轴上方，函数值恒大于零，故函数图像不可能在三、四象限．（2）指数函数的图像经过点(0,1)，01a =．（3）函数定义域为R ，值域为(0,)+∞．（4）非奇非偶函数（5）无零点（6）函数(1)x y a a =>在(,)-∞+∞内是增函数；函数(01)x y a a =<<在(,)-∞+∞内是减函数．（7）在1a >时，第一象限内1y >，增长速度十分惊人；第二象限内01y <<，增长缓慢；在01a <<时，第一象限内01y <<；第二象限内1y >．（8）无最值（9）函数图像与x 轴无限接近，x 轴叫做函数的渐近线．（10） x y a =的图像与1()x y a=的图像关于y 轴对称．三、指数方程（1）同底型：()()()()(0,1)f x g x a a f x g x a a =⇔=>≠．（2）基本型：① ()()log (0,1,0)f x a a b f x b a a b =⇔=>≠>；② ()()()lg ()lg (0,1,0,1)f x g x a b f x a g x b a a b b =⇔=>≠>≠．（3）代换型：① 20x x Aa Ba C ++=，令x t a =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解； ② 2220()()0x x x x x x a a Aa Ba b Cb A B C b b ++=⇒++=，令()x a t b= （注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4）图解型：一般不可直接求解的可利用图象法求近似值．四、对数1. 对数的定义若(0,1)b a N a a =>≠，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．注意底数的范围是(0,1)(1,)+∞；真数的取值范围是(0,)+∞．2. 对数的性质若0,1,0,0,0,0,1a a M N n b b >≠>>>>≠，那么（1）零和负数没有对数（2） log 1a a =，log 10a =，log a N a N =（3） log ()log log a a a MN M N =+，log ()log log a a a M M N N =- （4） log log n a a M n M =，log log m n a a n b b m =（5） log log log a b a N N b =（换底公式），特别地1log log a b b a=【拓展公式】 3. 常用的对数以10为底的对数叫做常用对数，通常写做lg N ；以无理数 2.71828e =为底的对数叫做自然对数，通常写做ln x ．五、对数函数1. 对数函数的定义函数log (0,1,0)a y x a a x =>≠>称为对数函数．2. 对数函数的图像3. 对数函数的性质（1）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都在y 轴右侧．（2）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都经过点(1,0)．（3）函数定义域(0,)+∞，值域R ．（4）非奇非偶函数．（5）对数函数log (1)a y x a =>在(0,)+∞上是增函数，函数值开始增长较快，到了某一值后增长速度变慢；对数函数log (01)a y x a =<<在(0,)+∞上是减函数，函数值开始减小较快，到了某一值后减小速度变慢．（6）对数函数log (1)a y x a =>，当1x >时，0y >；当01x <<时，0y <；对数函数log (01)a y x a =<<，当1x >时，0y <；当01x <<时，0y >．（7） y 轴是对数函数的渐近线．（8）当1a >时，底数越大，图像越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图像越靠近x 轴．（9）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠与指数函数(0,1)x y a a a =>≠互为反函数．六、对数方程（1）同底型：()0log ()log ()(0,1)()0()()0()()a a f x f x g x a a g x f x g x f x g x >⎧⎪=>≠⇔>⇔=>⎨⎪=⎩．（2）基本型：log ()(0,1)()b a f x b a a f x a =>≠⇔=．（3）代换型：2log ()log ()0a a A f x B f x C ++=，令log ()a t f x =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4）图解型：一般不可直接求解的可利用图像法求近似值．典型题解：幂、指、对函数的图像及性质特殊方程1.比较下列各题中两个值的大小（1）323()4和233()4 （2）0.63()4-和0.64()3-（3）0.62()5-和1 （4）12π和1()2π 2．若4333423494434334log log log log (log log )()log log x ⋅=+-+，则x =（）． A ．4 B ．16 C ．256 D ．813．如图，幂函数223()Z m m y xm --=∈的图像关于y 轴对称，且与x 轴y 轴均无交点，求此函数解析式．4. 关于x 的方程lg 3x x +=，103xx +=的根分别为,αβ．则αβ+=__________．5．使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是______.6.方程2log (4)3x x +=实数解的个数是（）A 0B 1C 2D 37．已知关于x 的方程2212730x x a a ---+=有一个根是2，求a 的值和方程的其余的根．8．已知1(1)()22,x x f x --+=-则1(2)f -=_________.9.若关于x 的方程2(3)24log log x x a +-=的根在区间（3,4）内，则a 的取值范围为______. 10.设集合1{420,},x x A a x R +=-+=∈若A 为单元素集，求实数a 的取值范围.。

指对幂函数知识点

指对幂函数知识点指对幂函数是高中数学中的重要知识点，理解和掌握它们对于解决数学问题具有关键作用。

首先，咱们来聊聊指数函数。

指数函数的一般形式是 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1）。

其中，a 被称为底数，x 是指数。

当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减；当 a ＞ 1 时，函数单调递增。

比如说，y ＝ 2^x 就是一个典型的指数函数，因为 2 ＞ 1，所以它是单调递增的。

随着 x 的增大，y 的值增长得越来越快。

指数函数有一些重要的性质。

它的图像恒过点（0, 1)，因为任何非零数的 0 次幂都等于 1。

而且，指数函数的值域是（0, ＋∞），定义域是 R，也就是全体实数。

接下来看看对数函数。

对数函数是指数函数的反函数，一般形式为y ＝logₐ x（a ＞ 0 且a ≠ 1）。

如果有指数式 a^y ＝ x，那么对应的对数式就是 y ＝logₐ x。

同样，当 0 ＜ a ＜ 1 时，对数函数单调递减；当a ＞ 1 时，单调递增。

对数函数也有自己独特的性质。

它的定义域是（0, ＋∞），值域是R。

图像恒过点（1, 0)，因为logₐ 1 ＝ 0。

再说说幂函数。

幂函数的一般形式是 y ＝x^α，其中α是常数。

幂函数的图像和性质会因α的不同而有所差异。

当α ＞ 0 时，幂函数在第一象限内的图像是上升的；当α ＜ 0 时，图像是下降的。

比如，y ＝ x²是一个α ＝ 2 的幂函数，图像是一个开口向上的抛物线，对称轴是 y 轴。

对于指对幂函数，它们之间也存在着一些关系。

比如，指数函数和对数函数互为反函数，通过函数图像的对称关系可以直观地理解这一点。

在实际应用中，指对幂函数的用处可不少。

在物理学中，比如研究放射性物质的衰变、人口增长模型等；在经济学中，分析经济增长趋势；在计算机科学中，算法的时间复杂度分析也会用到。

要学好指对幂函数，得多做练习题，加深对概念和性质的理解。

比如，通过求解指数方程、对数方程，或者利用指对幂函数的性质来比较大小、求最值等。

幂函数、指函数与对函数PPT课件

D. b > a > 1 O
思路二:
1b a
x
数形结合
26
题型三：幂函数性质的应用
3.比较下列各组数的大小：
< 1
1
(1)1.32 ____ 1.4 2
解后反思两个数比较
(2)0.261
_>____
0.271
大小，何时用幂函数模
(3)(5.2)2 _<____(5.3)2
型，何时用指数函数模
即 log2 a log2 b 0 log2 1
a b 1 所以答案选C． 25
能力提升
变②：若0 < loga 2 < logb 2,则
C
()
A. 0 < a < b < 1 y
B. 0 < b < a < 1
1
C. a > b > 1
x=2
y= logb x
y= loga x
解析式 y = a x ( a > 0, a≠1)
y
图象 0<a<1
y a>1
1
（描点）
1
0
x
0
x
y = log a x ( a > 0, a≠1)
y 0<a<1
y a>1
01
x
01
x
定义域
R
(0 , +∞)
值域
(0 , +∞)
R
定点
都过点(0,1)
都过点(1,0)
范围
x<0时,y>1；x>0时,y>10；<x<1时 x>0时 x<0时 y>0

指、对、幂函数

专题：指、对、幂函数一、知识点总结(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs a a a r s Q r r s ab a b a b r Q x y a a a x =+=>∈=>∈=>>∈=>≠=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。

指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;.log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,0)log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ⋅=+=-=>≠>>=>≠⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=>≠>⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩⎩为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且y x x αα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧=⎪⎨⎪⎩⎩幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。

性质：见表2对数运算公式1、x N N a a x=⇔=log ； 2、a aNa =log . 3、01log =a ，1log =a a .4、当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=⎪⎭⎫⎝⎛； ⑶M n M a na log log =. 5、换底公式：abb c c a log log log =()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 6、ab b a log 1log =()1,0,1,0≠>≠>b b a a .二、课前热身1. 计算：33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++=_______________2. 若函数f (x )＝a |x －2|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝13，则f (x )的单调递减区间是________3. 设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是_______________4. 方程|3x－1|＝k 有两解，则k 的范围为________5. 设1a >，函数log a y x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =________ 6. 若函数f (x )＝xa －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a =________7. 已知12,x x-+=则1122x x-+=8. 设)0(2)log (2>=x x f x ,则=)log (232f三、典例分析例1：计算：（1）11203217(0.027)()(2)1)79----+-；（2）132123321().40.1()a b --- （3）2lg 225lg 5.02161.1230++-+-；（4）2log 43774lg 25lg 327log +++【变式演练】（1）已知1>>b a 且310log log =+a b b a ，求a b lob b a log -的值。

指对幂函数知识点总结

〖2.１〗指数函数【２.1.1】指数与指数幂的运算(1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时,a的n;当n 是偶数时,正数a 的正的nn 次方根用符号表示;0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根.这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时，a 为任意实数;当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质:n a=;当n为奇数时,a=；当n为偶数时,(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >.０的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数. (3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r srs aa a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.１.2】指数函数及其性质(4）指数函数〖2．2〗对数函数【2．2.１】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a xN=,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>.（２）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =,log b a a b =．（3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ，即10log N ；自然对数:ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）.(４）对数的运算性质如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法:log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log aa aM M N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈④log a NaN =⑤loglog (0,)bn a a nM M b n R b =≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a bN N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(６)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数,函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.３〗幂函数（1)幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象．幂函数是偶函数时,图象分布在第一、y ,图象只分布在第一象限.②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质,p 和q Z ∈)，若p 为奇数q 为奇数时,则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时,若01x <<，其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方，当1α<时,若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >,其图象在直线y x =下方．。

幂、指、对函数的知识要点及提醒

幂、指、对数函数的知识要点及提醒一、幂函数幂函数)(Q k x y k ∈=的定义域、值域、奇偶性、单调性因幂指数的不同而不同. 0>k 时，函数的图像都经过点)0,0(和)1,1(，在),0(+∞上是增函数.0<k 时，函数的图像都经过点)1,1(，在),0(+∞上是减函数.0=k 时，函数的图像是直线1=y ，去掉点)1,0(.能画出幂函数k x y =⎭⎬⎫⎩⎨⎧----∈31,21,31,21,3,2,3,2,1,0k 的图像.二、指数函数指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的定义域为R .值域为),0(+∞.恒过定点)1,0(.当1>a 时，在R 上是增函数，当10<<a 时，在R 上是减函数(增减性)，指数函数既不是奇函数也不是偶函数.指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x 对任意实数y x ,满足)()()(y f x f y x f =+.三、对数的概念及运算1 如果)1,0(≠>=a a N a b ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作N b a log =. 根据定义可知：对数的真数N 的范围是),0(+∞，底数a 的范围是),1()1,0(+∞ . 对数的性质：01log =a ，1log =a a ，b a b a =log ，N a N a =log .注意：任意一个实数都可以写成对数的形式，如233log 2-=-；任意一个正实数都可以写成指数的形式，如3log 223=.2 已知R n N M a a ∈>>≠>,0,0,1,0，则 N M N M a a a log log )(log +=⋅. N M N M a a alog log log -=. N n N a n a log log =. 3 换底公式：)1,0,1,0(log log log ≠>≠>=b b a a aN N b b a . 1log log =⋅a b b a ,)0(log log ≠=m b mn b a n a m .特别地, )0(log log ≠=n b b a n a n . 四、反函数 (1)若函数)(x f y =存在反函数，则)(1x f y -=的定义域为)(x f y =的值域.)(1x f y -=的值域为)(x f y =的定义域.(2) 求反函数的步骤：①由)(x f y =求得)(1y fx -=.②求)(x f y =的值域.③交换y x ,写出)(1x f y -=，并注明其定义域.(3) 互为反函数的两个函数)(x f y =与)(1x f y -=的图像关于直线x y =对称.点),(b a P 关于直线x y =对称的对称点为),(a b Q .若点),(b a P 在函数)(x f y =的图像上，则点),(a b Q 在)(1x fy -=的图像上. (4) 若函数)(x f y =的反函数是它本身，即)()(1x f x f=-，则函数)(x f y =的图像关于直线x y =对称.反之，也成立.五、对数函数(1) 对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的定义域为),0(+∞，值域为R . 1>a 时在),0(+∞上是增函数；10<<a 时在),0(+∞上是减函数. 对数函数既不是奇函数也不是偶函数.(2) 对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像在y 轴右侧，恒过点)0,1(.函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 对任意正实数y x ,都有)()()(y f x f xy f +=成立.六、简单的指数方程和对数方程)1,0(≠>=a a b a x ，若0≤b ，方程无解；若0>b ，b x a log =.换元(令)1,0(≠>=a a a t x )转化为关于t 的一元二次方程02=++r qt pt .注意t 的范围！ )1,0(log ≠>=a a b x a 的解为b a x =.换元(令)1,0(log ≠>=a a x t a )转化为关于t 的一元二次方程02=++r qt pt . 解对数方程一定要检验！七、图像变换平移变换：将)(x f y =的图像沿x 轴方向平移h 个单位，得到)(h x f y +=的图像.0>h 是向左平移，0<h 是向右平移.将)(x f y =的图像沿y 轴方向平移k 个单位，得到k x f y +=)(的图像.0>k 是向上平移，0<k 是向下平移.翻折变换：)(x f y =的图像关于y 轴对称，它在y 轴右侧的图像与)(x f y =的图像一样. )(x f y =的图像都在x 轴及其上方，)(x f y =的图像在x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方.。

指数对数幂函数知识点总结8篇

指数对数幂函数知识点总结8篇第1篇示例：指数对数幂函数是高等数学中重要、常用的一类函数。

它们是解决数学问题和建立数学模型中不可或缺的工具。

在学习指数对数幂函数的知识时，需要掌握函数的定义、性质、图像、导数等方面的内容。

本文将对指数对数幂函数进行系统总结，以便读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、指数函数指数函数是形如y = a^x（其中a>0且a≠1）的函数，其中a称为底数，x称为指数。

指数函数的图像通常是一个以底为a的指数曲线，其特点是随着x的增大，y值迅速增大。

指数函数的性质有：1.当底数a>1时，函数y = a^x是递增函数；当0 0时，函数y = a^x是减函数。

2.指数函数的定义域是所有实数，值域是所有大于0的实数。

3.指数函数的图像通常是通过点(0,1) 并且随着x的增大发生指数增长。

4.指数函数满足f(x) * f(y) = f(x+y)。

5.指数函数的反函数是对数函数，即y = loga(x)。

3.对数函数的图像是一个S形曲线，随着x的增大，y值逐渐增大。

5.对数函数的导数为1/x*ln(a)。

三、幂函数幂函数是形如y = x^a（其中a为常数）的函数，其特点是x的次方为a。

幂函数的性质有：3.幂函数的特殊情况之一是y = x^2，即二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线。

第2篇示例：指数对数幂函数是数学中常见的一类函数，主要包括指数函数、对数函数和幂函数。

在数学中，这些函数在图像、性质和应用等方面都有着重要的作用。

本文将从定义、性质和应用三个方面对指数对数幂函数进行总结。

一、指数函数指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数且a>0且a≠1，x为指数。

指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。

指数函数的图像呈指数增长或指数衰减的特点，当底数a>1时为指数增长；当底数0<a<1时为指数衰减。

指数函数的特点包括：单调性、奇偶性、零点、渐近线等。

幂指对

幂指对函数性质及运用一、幂函数1、幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 是常数2、幂函数的定义域：若()*N n n k ∈=，其定义域是一切实数；例如：3x y =、2x y =若()互质、、n m m N m n mnk ,2,*≥∈=，则m n m nx x =，其定义域满足：奇次方根被开方数为实数，偶次方根被开方数为非负数；例如：3232x x y ==、4343x x y ==若()*Nn n k ∈-=，则n nxx1=-；例如：5-=x y 、6-=x y 若()互质、、n m m N m n m n k ,2,*≥∈-=，则m n m n x x 1=-；例如：32321x x y ==-、43431xx y ==-后两种情况只需注意分母不为0，其他与前两种情形类似 3、幂函数的性质：所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1，1）．k ＞0时，图像过（0，0）和（1，1）；且在第一象限随x 的增大而上升, 函数在区间[)+∞,0上是单调增函数。

k ＜0时，图像过（1，1）；且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间),0(+∞上是单调减函数，向右无限接近x 轴，向上无限接近y 轴。

幂函数qpy ）（1（2）1qp>时，过(0,0)点，且随x 的增大，函数图像向y 轴方向延伸。

在第一象限是增函数。

（3）1qp=时，图像是直线y=x 。

在第一象限内是增函数。

（在整个定义域内都是增函数）（4）10qp>>时，随x 的增大，函数图像向x 轴方向延伸。

在第一象限是增函数。

（5）0qp<时，随x 的增大，函数图像与x 轴、y 轴无限接近，但永不相交。

在第一象限是减函数。

4、同步例题分析及巩固例1、下列各式中表示幂函数的有（）A 、123y x = B 、x y x = C 、23y x = D 、2x y = E 、y = F 、0.5y x = G 、y =变式训练：判断下列函数那些是幂函数（1）x2.0y = （2）51x y = （3）3x y -= （4）2x y -=例2、求函数()10323-=+--y x x x 的定义域.变式训练：1）函数23y x =的定义域是2）函数25.0)32()(-++=x x x f 的定义域是例3、讨论函数54x y =的定义域、值域、奇偶性、单调性变式训练： 1）、下列结论正确的是（）A 、幂函数的图象一定过原点B 、当0<α时，幂函数α=x y 是减函数 C 、当0>α时，幂函数α=x y 是增函数 D 、函数2x y =既是二次函数，也是幂函数 2）、下列函数中，在()0,∞-是增函数的是（）A 、3x y = B 、2x y = C 、x1y = D 、23x y =3）、函数52x y =的单调递减区间是：；函数1y x=在定义域内是减函数吗？（填对与错）.例4、幂函数y=(m 2-3m-3)x m在区间()+∞,0上是减函数，求m 的值变式训练：1）、函数()22211m m y m m x --=--是幂函数，求m 的值.2）、已知1322)()(+-+=m mx m m x f ，当m 取什么值时，（1）)(x f 是正比例函数；（2）)(x f 是反比例函数.例5、比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1；（2）（－2）32-，（－107）32，1.134-；（3）3.832-，3.952，（－1.8）53；（4）31.4，51.5.变式训练：1）、若0<a ，则a a a -5,5,5.0的大小关系是（） A.a a a5.055<<- B.a a a -<<55.05 C.a a a 555.0<<- D.a a a 5.055<<-2）、比较大小：（1）0.7521，0.7621；（2）(-0.95)31，(-0.96)31；（3）0.313.2，0.314.2例6、已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．二、指数函数与对数函数1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a xy a 的图象与性质如下：2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数，其图象关于直线x y = 对称。

指对幂函数图像总结

指对幂函数图像特征总结（必修一）
————以第一象限为研究对象
指数函数图像：
在第一象限：底大图高！0<b<a<1<d<c
对数函数图像：
在第一象限做一条y=1的直线，此时观察
其与图像的交点：底大图右!
0<c<d<1<a<b
指数函数与对数函数共同特征：当a>1时，函数在定义域内单调递增；当0<a<1时，函数在定义域内单调递减。

幂函数图像特征总结：
在x=1的右侧，作一条垂直于x轴的直线，指大图高！当a<0时，图像为双曲线，图像单调递减；
当a>0，图像单调递增。

{a>1,图像为向上的抛物线，下凸函数
0<a<1,图像为向下的抛物线，上凸函数。

幂函数指数函数和对数函数知识点梳理

幂函数指数函数和对数函数知识点梳理一、幂函数1.定义：幂函数是形如f(x)=x^n的函数，其中n为常数，x为自变量，n可以是整数、分数或实数。

2.性质：-当n为正偶数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的抛物线形状。

-当n为正奇数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的直线形状。

-当n为负偶数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的抛物线形状。

-当n为负奇数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的直线形状。

-当n=0时，幂函数f(x)=x^0恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。

3.应用：-幂函数常用于描述成比例关系，如面积和边长的关系、体积和边长的关系等。

-幂函数还用于经济学、物理学、化学等学科中的一些数学模型。

二、指数函数1.定义：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。

2.性质：-指数函数的值域为正实数，图像始终位于y轴的上方。

-当a>1时，指数函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的曲线形状。

-当0<a<1时，指数函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的曲线形状。

-当a=1时，指数函数f(x)=1^x恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。

3.应用：-指数函数常用于描述指数增长或指数衰减的情况，如人口增长、放射性物质衰变等。

-指数函数还用于描述复利、投资和经济增长等问题。

三、对数函数1. 定义：对数函数是形如f(x)=loga(x)的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。

2.性质：-对数函数的定义域为正实数，值域为实数。

-对数函数的图像呈现开口向右的曲线形状。

-对数函数关于直线y=x对称。

-对数函数的导数为1/x。

3.应用：-对数函数常用于解决指数方程和指数不等式，将复杂的指数问题转化为相对简单的对数问题。

-对数函数还广泛应用于科学、工程、经济等领域的数据处理和模型建立。

综上所述，幂函数、指数函数和对数函数是高中数学中的重要函数类型。

4、高三一轮复习：幂指对函数

k < 1幂函数【知识要点】一、幂函数的定义：形如k x y =（k 为常数，∈k Q ）的函数叫做幂函数。

二、幂函数在第一象限的图像：【注】掌握幂函数在第一象限的图像，并据此结合定义域和奇偶性即可画出幂函数的图像。

三、幂函数的性质：1、幂函数在第一象限必有图像，在第四象限没有图像；2、幂函数恒过定点)1,1(；当0>k 时，幂函数还过定点)0,0(；3、当0>k 时，幂函数在),0[∞+单调递增；当0<k 时，幂函数在),0(∞+单调递减；反之亦然。

【例题解析】1、画出下列幂函数的大致图像：（1）21x y =；（2）4x y =；（3）31x y =；（4）3-=x y ；（5）32x y =；（6）2-=x y ；（7）21-=x y ；（8）23x y =；（9）3x y =。

2、判断下列命题的真假：（1）幂函数0x y =的图像是一条直线；（×）（2）幂函数的图像与坐标轴至多一个交点；（√）（3）幂函数要么是奇函数，要么是偶函数；（×）（4）若一个幂函数是奇函数，则它必经过原点；（×）（5）若一个幂函数是奇函数，则它在定义域内单调递增；（×）（6）如果一个幂函数的图像不经过)1,1(-，则它一定不是偶函数；（√）（7）如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个函数一定相同；（8）任何两个不同的幂函数的图像最多有三个交点。

（√）3、已知函数a x y =（∈a Q ）的图像当10<<x 时在直线x y =的上方，当1>x 时在直线x y =的下方，则a 的取值范围是}1|{Q ∈<a a a 且。

4、已知幂函数)237(3251)1(t t x t t y -+⋅+-=（∈t Z ）是偶函数，且在区间),0[∞+单调递增，求整数t 的值。

【解】由题意得：113=+-t t ，解得：0=t 或1=t 或1-=t ；当0=t 时，57x y =不是偶函数，所以0=t 不满足题意；当1=t 时，58x y =是偶函数，所以1=t 满足题意；当1-=t 时，52x y =是偶函数，所以1-=t 满足题意。

指、幂、对函数增长的比较(绝对精品)

总结:要点点拨
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【目标回顾】
1. 2. 3. 通过学习，是否理解并掌握了三种函数增长的差异；通过学习，是否学会了简单的数据分析；通过学习，是否掌握了数形结合思想的应用.
作业:巩固提升
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
作业
参见学案，请及时完成.
结语:勇往直前
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
人要学会走路，也得学会摔跤，而且只有经过摔跤才能学会走路。 ——马克思
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y=2x
y=x2 y=log2 x
2
1 04 41源自89 1.584 9
16 16
16 16 2
32
25
64
36
128
49
256
64 3
…
… …
2.321 9 2.584 9 2.807 3
二：请用图形计算器或计算机软件作图，并观察图像，体会它们增长的快慢？
探究②:得结论
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
图像观察结果
越来越慢 x轴平行一样
慢于快于远快于
反馈:学以致用
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
解析：5个.
数形结合，转化为图像交点问题.
解析：2个.
数形结合，转化为图像交点问题.
小结：通过解答以上两个小题，请同学们理解并掌握数形结合思想在函数研究中的应用.
y=2x
函数值的变化量 y=x100
y=log2x
3.321 928 1 3.321 928 1 1.584 962 5 0.736 965 6 0.485 426 8 0.362 570 1 0.152 003 1 0.137 503 5 0.125 530 9

指对幂函数知识点总结

指对幂函数知识点总结一、指数函数指数函数的表达式为＼（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ≠1\））。

（一）图像特征1、当＼（a ＞ 1\）时，函数图像单调递增，且过点＼（（0, 1)＼）。

2、当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，函数图像单调递减，同样过点＼（（0, 1)＼）。

（二）性质1、定义域为＼（R\），值域为＼（（0, ＋＼infty)＼）。

2、当＼（x ＞ 0\）时，若＼（a ＞ 1\），则＼（a^x ＞ 1\）；若＼（0 ＜ a ＜ 1\），则＼（0 ＜ a^x ＜ 1\）。

当＼（x ＜ 0\）时，若＼（a ＞ 1\），则＼（0 ＜ a^x ＜ 1\）；若＼（0 ＜ a ＜ 1\），则＼（a^x ＞ 1\）。

（三）指数运算1、＼（a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）2、＼（＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＼）3、＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）4、＼（a^0 ＝ 1\）（＼（a ≠ 0\））二、对数函数对数函数的表达式为＼（y ＝＼log_a x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ≠ 1\））。

（一）图像特征1、当＼（a ＞ 1\）时，函数在＼（（0, ＋＼infty)＼）上单调递增。

2、当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，函数在＼（（0, ＋＼infty)＼）上单调递减。

（二）性质1、定义域为＼（（0, ＋＼infty)＼），值域为＼（R\）。

2、当＼（a ＞ 1\）时，＼（＼log_a x ＞ 0\）等价于＼（x ＞1\）；＼（＼log_a x ＜ 0\）等价于＼（0 ＜ x ＜ 1\）。

当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，＼（＼log_a x ＞ 0\）等价于＼（0 ＜ x ＜ 1\）；＼（＼log_a x ＜ 0\）等价于＼（x ＞ 1\）。

（三）对数运算1、＼（＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N\）2、＼（＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N\）3、＼（＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M\）4、＼（＼log_{a^b} M ＝＼frac{1}｛b} ＼log_a M\）（四）对数与指数的关系若＼（y ＝＼log_a x\），则＼（x ＝ a^y\），它们互为反函数，图像关于直线＼（y ＝ x\）对称。

指对幂函数知识点总结

指对幂函数知识点总结在数学的学习中，指对幂函数是非常重要的一部分内容。

理解和掌握它们的性质、图像以及运算规律，对于解决数学问题、提高数学素养有着至关重要的作用。

接下来，让我们一起深入地了解一下指对幂函数的相关知识。

一、指数函数指数函数的一般形式为＄y ＝ a^x$ （＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$）。

（一）性质1、定义域：＄R$ ，即实数集。

2、值域：＄（0, ＋＼infty)＄，函数值恒大于零。

3、单调性：当＄a ＞ 1$ 时，函数在＄R$ 上单调递增；当＄0 ＜a ＜ 1$ 时，函数在＄R$ 上单调递减。

（二）图像特点1、当＄a ＞ 1$ 时，图像经过点＄（0, 1)＄，且在＄R$ 上呈上升趋势，从左至右逐渐上升。

2、当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，图像同样经过点＄（0, 1)＄，但在＄R$ 上呈下降趋势，从左至右逐渐下降。

（三）指数运算规则1、＄a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$ （＄a ≠ 0$）二、对数函数对数函数的一般形式为＄y ＝＼log_a x$ （＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$）。

（一）性质1、定义域：＄（0, ＋＼infty)＄，真数必须大于零。

2、值域：＄R$ ，即实数集。

3、单调性：当＄a ＞ 1$ 时，函数在＄（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，函数在＄（0, ＋＼infty)＄上单调递减。

（二）图像特点1、当＄a ＞ 1$ 时，图像经过点＄（1, 0)＄，且在＄（0, ＋＼infty)＄上呈上升趋势。

2、当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，图像经过点＄（1, 0)＄，在＄（0, ＋＼infty)＄上呈下降趋势。

（三）对数运算规则1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$（四）指对数的互化当＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$ 时，＄a^y ＝ x$ 等价于＄y ＝＼log_a x$ 。

高三指对幂函数讲义(供参考)

幂、指、对函数综合复习一、指数与指数函数（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（4）指数函数图像与性质二、对数与对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且（5）对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．说明：反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（7）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．三、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．四、例题分析例1 已知函数223nn y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．当0n =时，2233n n --=-不是偶数；当1n =时，2234n n --=-为偶数；当1n =-时，2230n n --=为偶数；当2n =时，2233n n --=-不是偶数；当3n =时，2230n n --=为偶数；所以n 为1-，1或3．此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．在幂函数()f x 的图象上，例2 已知点点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．解：设()m f x x =，则由题意，得2m =，∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1(2)4n =-，∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知：（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >；（2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．例3、已知函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．分析：函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式．解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．又∵(3)(5)f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312m -<<．又∵m ∈Z ，∴0m =或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．故m 的值为1，2()f x x =．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．练习、若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围．正解（分类讨论）：（1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<；（2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，，解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞．现在把例1中的指数1-换成3看看结果如何．练习、若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．解：由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．例4、关于x 的不等式232255|x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是。

指对幂函数比较大小

指对幂函数比较大小
幂函数是函数中的一种特殊形式，它的形式为 y=x^n，其中 x 为自变量，n 为常数指数。

在比较两个幂函数的大小时，需要考虑指数大小、自变量取值范围等因素。

首先，当幂函数的指数相同时，可以通过比较其自变量取值范围的大小来判断它们的大小关系。

例如，比较 y=x^2 和 y=x^2/3 在x>0 时的大小关系，可以将两个函数的导数相减，即：
y=x^2 的导数为 2x
y=x^2/3 的导数为 (2/3)x^-1/3
当 x>0 时，2x > (2/3)x^-1/3，因此 y=x^2 大于 y=x^2/3。

其次，当幂函数的指数不同时，需要考虑指数的大小关系。

通常情况下，指数越大，函数值增长越快。

因此，如果两个幂函数的指数不同时，可以比较它们的指数大小来判断它们的大小关系。

例如，比较 y=x^3 和 y=x^4 在 x>0 时的大小关系，可以将两个函数的导数相减，即：
y=x^3 的导数为 3x^2
y=x^4 的导数为 4x^3
当 x>0 时，3x^2 < 4x^3，因此 y=x^4 大于 y=x^3。

总之，比较幂函数的大小需要考虑指数大小、自变量取值范围等因素，并且可以借助导数的概念来进行推导。

- 1 -。

幂指对函数的增长比较ppt课件

11
比较大小
[例 2] 比较下列各组值的大小：
(1)log1
2
45与
log1
2
67；
(2)0.8－0.1 与 1.250.2；
(3)log32.5 与 log52.5； (4)(lgm)1.7 与(lgm)2.1(m>1)．
[分析] 充分利用函数的图像和性质(如单调性等)来比较
两数的大小．
12
[解析] (1)y＝log1 x 在(0，＋∞)上递减，
1 o 1234 x
4
一般地，对于指数函数 y=ax (a>1)和幂函数 y=xn (n>0),在区间
（x0，0+∞）10 上，无20论n比a大30多少，尽4管0 在x的一5定0 变化范围
y内=2，x a1x会10小24于x1.n0,5但×由10于6 a1x.0的7×增1长09 快1.于10x×n1的01增2 长1.1，3×因10此15 总存在
2.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像.
x
0.2 0.6 1.0 1.4
y
y=x2 y=2x
y=2x 1.149 1.516 2 2.639
5
y=x2 0.04 0.36 1 1.96
4
y=log2 x -2.322 -0.737 0 0.485
3
1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
6
知能自主梳理
7
在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)， y＝xn(n>0)都是________(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着 x 的增大，y ＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于 y＝ xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个 x0 ，当 x>x0 时，就有 logax________xn________ax.

幂函数指对数函数精品

幂函数、指(对)数函数【复习指导】1.αx k y ⋅=是幂函数时必须1=k ;αx y a =>,0时在),0(+∞上是增函数; ),0(,0+∞=<在时ααx y 上是减函数. 用幂函数的单调性比较两指数式的大小时,要化为同次幂.2.x y a y a a x log ,1==>与时是增函数 x y a y a a x log ,10==<<与时是减函数.用指(对)数函数的单调性比较两个指(对)式的大小时，要化为同底。

3.把握幂函数、指(对)数函数的图象特征,并与单调性结合起来加以应用. 4.注意估计数值的大小,特别是正、负,大于1还是小于1.一：函数性质〖练习1〗解析式与定义域（基本题）01．某工厂产量的月增长率为p ；则当年12月份的产量比1月份的产量的增长率为______ 02．函数x x f a log )(=，对于任意正实数y x ,都有( ):A )()()(y f x f xy f = :B )()()(y f x f xy f += :C )()()(y f x f y x f =+ :D )()()(y f x f y x f +=+03．若指数函数)(x f y =的反函数过点)1,2(-；则此指数函数是( ):A xy )21(= :B x y 2= :C x y 3= :D x y 2.0=04．若函数)1,0(31≠>+=-a a a y x 的反函数的图象必过定点( ):A )1,3( :B )2,3(a + :C )2,4( :D )1,4(05．函数xx y --=312lg的定义域是__________ 06．已知点)1,(-a 在函数x y a log =的图象上；则函数ax y =的定义域为( ):A ),0[+∞ :B ),0(+∞ :C }0{≠x x :D R07．定义在R 上的奇函数)(x f 满足)3()3(x f x f -=+，当)3,0(∈x 时，xx f 2)(=；则_____)5(=-f ，_____,)0(=f〖练习2〗值域（基本题-中等题）08．函数131-=x y 的值域是______09．要使函数)1(log +=x y a 的值域为R ；则∈x ( ):A R :B ),1(+∞- :C ),0(+∞ :D ),1(+∞ 10．下列函数中，值域为),0(+∞的是( ):A 215-=x y :B xy -=13.0 :C x y 21-= :D 15.0-=x y11．已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f .求)()()(32x f x f x g +=的最值.12．设b x a x x f a ++=1log 2)(log 2)(22，当8)(,21min -==x f x 时（1）_______=a 、________=b ;（2）0)(>x f 的解集为A ；求______________=A ;（3）集合φ=∈≤-=B A R x t x x B 且},21{；求________∈t〖练习3〗奇偶性与对称性（中等题）13．已知函数)1lg()(22+++=x x x x f ，若M a f =)(；则=-)(a f ( ):A M a -22 :B 22a M - :C 22a M - :D M a 22- 14．已知)(x f 是偶函数；则)1(log )()(2++⋅=x x x f x F a 的图象关于( )对称:A x 轴 :B y 轴 :C 直线x y = :D 原点15．函数a x y -=2lg 关于直线1=x 对称；则_____=a16．设1,0≠>a a ；则函数xa y =和xay )1(=的图象关于_______对称；函数x y a log =和x y a1log =的图象关于_______对称17．当1,0≠>a a 时，函数xa y =和函数)(log x y a --=的图象关于( )对称 :A x 轴 :B y 轴 :C 直线x y = :D 直线x y -= 18．设指数函数xxb x f a x f ==)(,)(21的反函数依次为)(),(1211x f x f --；若0lg lg =+b a则)(11x f -、)(12x f -的图象位置关系是( ):A 关于直线x y =对称 :B 关于原点对称 :C 关于x 轴对称 :D 关于y 轴对称〖练习4〗函数图象（中等题）19．将xy 2=的图象( )再作关于直线x y =对称的图象，可得到)1(log 2+=x y 的图象 :A 先向左平行移动1个单位 :B 先向右平行移动1个单位 :C 先向上平行移动1个单位 :D 先向下平行移动1个单位 20．函数)1(-=x f y 的图象如右图，它在定义域R 上单调递减给出下列四个结论：①1)0(=f ②1)1(<f ③0)1(1=-f④0)21(1>-f其中正确结论的个数是:A 4 :B 3 :C 2 :D 121．方程x x 2log 12=+-的解共有( )个:A 0 :B 1 :C 2 :D 3 22．方程xx 3)4(log 2=+的实数根的个数是( )个:A 0 :B 1 :C 2 :D 3 23．（1）方程)1,0(≠>+=a a a x x a 有两相异实数根；求_______∈a （2）方程a x x a +=有两相异实数根；求_______∈a （3）方程a x x a +=仅有一不同实数根；求_______∈a23．已知方程3lg =+x x 的解为1x ，方程310=+xx 的解为2x ；则=+21x x ( ) :A 6 :B 3 :C 2 :D 124．已知方程02=+x x的实数根为a ，2log 2=+x x 的实数根为b ，x x =5.0log 的实数根为c ；则c b a ,,的大小顺序是( ):A a c b >> :B a b c >> :C c b a >> :D c a b >> ※25．已知函数12)(-=xx f ，当c b a <<时，有)()()(b f c f a f >>；则正确的结论是( ):A ca22> :B ba22> :C c a22<- :D 222<+c axy 11〖练习5〗单调性（中等题）26．下列函数中，在区间)1,0(上是增函数的是( ):A 2-=x y :B x y 32log = :C x y )23(= :D x y )32(=27．如果函数x y a )1(2log -=在),0(+∞上是减函数；则∈a ( ) :A 1>a :B 2<a :C 2>a :D 21<<a28．已知)1(log )(+=x x f a ，若)0,1(-∈x 时，0)(<x f ；则)(x f 是( ) :A 增函数 :B 减函数 :C 奇函数 :D 偶函数29．函数)26(log 26.0x x y -+=的单调递增区间是( ):A ]41,(-∞ :B ),41[+∞ :C ]41,23(- :D )2,41[30．已知函数)3(log )(25.0a ax x x f +-=在区间),2[+∞上是减函数；则∈a ( ) :A )4,(-∞ :B ]4,4(- :C ),2[)4,(+∞--∞ :D )2,4[-31．设1>>>c b a ；则下列不等式中不正确的是( ):A c c b a > :B c c b a log log > :C ba c c > :D c cb a log log >32．已知xa x f =)((1,0≠>a a )，在区间]2,2[-上的函数值总小于2；则∈a 2log ( ):A )1,21()0,21( - :B )1,22()21,0( :C )21,0()0,21( - :D ),21()21,(+∞--∞※33．已知函数)log (log )(22x x x f a a +-=的定义域为)21,0(；则_______∈a〖练习6〗综合题34．函数)(x f y =的图象与xy 2=的图象关于直线x y =对称；则函数)4(2x x f y -=的递增区间是__________35．函数)2lg(2x x y -=的值域是______；单调减区间是______36．已知关于x 的方程222-x a 0371=+--x a 有一根是2；则这个方程的其余根是_______ 37．对于给定的函数xxx f --=22)(；有下列四个结论：①)(x f 的图象关于原点对称 ②)(x f 在R 上是增函数③3log )2(21=-f④)(x f 有最小值0其中正确结论的序号是______38．已知函数)0,1,0(log )(>≠>-+=b a a bx bx x f a （1）求)(x f 的定义域（2）讨论)(x f 的奇偶性（3）讨论)(x f 的单调性（4）求)(x f 的反函数)(1x f -二：指(对)数方程〖练习11〗(基本题)解下列方程39．方程151=-x 的解为________；40．方程3)3(log 2=+x 的解为________；41．方程xx 23=的解为________；42．方程)1(log )1(log 23-=-x x 的解为________；○小结：⇔=)()(x g x f a a ___________________ ⇔=)(log )(log x g x f a a ___________________43．方程2)3(32x x =的解为________；44．方程1)1lg()lg(2++=+x x x 的解为________；45．方程x x 2544⋅=+的解为________； 46．方程02lg lg 32=++x x 的解为________；47．方程980)31(3=-x x 的解为________；※48．方程5log 16log 24=+x x 的解为________；三:比较大小方法一:函数的单调性〖练习1〗比较下列数的大小01．22)45____()35(-- 02．π1313____303．e 22log ____3log 04．52log ____3log 21205．21_____2log 3 06．1_____332log 2方法二：间接法______中间函数及中间数(0,1±) 〖练习2〗(提高题)07．当b a ,满足何条件时0log >b a○小结：0log >b a ⇔08．比较下列数的大小（1）322)52,..(,..31log --π（2）)1).((log log ,log ,)(log 22d x x x x d d d d <<09．已知0log log 22>>b a ；试比较1,,b a 的大小. 10．已知02log 2log >>b a ；试比较1,,b a 的大小.11．已知33)21()3(x x +<-；则________∈x ※12．已知3131)21()3(--+<-x x ；则________∈x13．已知3232)21()3(--+<-x x ；则________∈x四：图象及最值〖练习3〗（基本题）14．已知b a y x+=(1,0≠>a a )的图象经过第一、二、三象限；则______∈a 、________∈b15．)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象与)1,0(log ≠>=b b x y b 的图象关于x 轴对称;则b a ,之间关系是________16．)1,0(≠>=a a a y x的图象与)1,0(≠>=b b b y x 的图象关于y 轴对称;则b a ,之间关系是________ 17．)1,0(≠>=a a a y x的图象与)1,0(log ≠>=b b x y b 的图象关于x y =轴对称;则b a ,之间关系是________18．)1,0(≠>=a a a y x的图象与)1,0(log 2≠>=b b x y b 的图象关于x y =轴对称;则b a ,之间关系是________19．在下列图象中，二次函数bx ax y +=2与指数函数xaby )(=的图象只可能是( )〖练习4〗（提高题）20．如果)12(log )()1(2+=-x x f a 在)0,21(-上恒有0)(>x f ;则_______∈a 。