初中数学动点问题归纳(精品)

x

A O

Q

P B

y 动点问题

题型方法归纳

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点

1、（2009年齐齐哈尔市）直线3

64

y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、段OA 运动，速度

同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线为每秒1个单

位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．

（1）直接写出A B 、两点的坐标；

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当48

5

S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 解：1、A （8，0） B （0，6）

2、当0＜t ＜3时，S=t 2

图（3）

A

B

C O

E

F A

B C

O D

图（1）

A

B

O

E

F

C 图（2）

y M C

D 当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t

提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；

第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）

如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．

（1）求⊙O 的直径；

（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿

BC 方向运动，设运动时

间

为)20)((<

EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形． 注意：第（3）问按直角位置分类讨论

3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边

P Q

A B

C

D

形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°

当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

二、

特殊四边形边上动点

4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC

△为O 的

重叠部分．．．．

的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积三角形），解答下列问题：

（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；

（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒；

（3）求y 与x 之间的函数关系式．

提示：第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。

5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形

ABCO 是菱形，点A 的坐标为（3-，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y

轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．

O

M B H A

C

x

y

图（1）

O M

B H A

C

x

y

图（2）

（1）求直线AC 的解析式；

（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （0S ），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直

线OP 与直线AC

所夹锐角的正切值．

注意：第（2）

问按点P 到拐点B 所用时间分

段

分类；

第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO 与∠ABM 互余，画出点P 运动过程中， ∠MPB=∠ABM 的两种情况，求出t 值。 利用OB ⊥AC,再求OP 与AC 夹角正切值.

6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(33，2)，C （0，2)．动点D 以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动．过点E 作EF 上AB ，交BC 于点F ，连结DA 、DF ．设运动时间为t 秒． (1)求∠ABC 的度数；

(2)当t 为何值时，AB∥DF； (3)设四边形AEFD 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数关系式；

②若一抛物线y=x 2+mx 经过动点E ，当S<23时，求m 的取值范围(写出答案即可)．

注意：发现特殊性，DE ∥OA