MATLAB数学建模估计水塔的水流量问题

估计水塔的水流量

自动化12K2 许杨旸

摘要：在估计某地区的用水速度和日总用水量的时候，在已知某时间t下的水位h，以及水塔直径，求出t时刻的水体积，由于没有具体函数，故用差商方法近似求出水体积对时间t的导数即用水速度，再利用三样条插值方法求出不同时刻的用水速度。最终，通过数值积分方法求出日用水总量I。

符号及含义：t：时刻；h：水位高度；D：水塔直径；V：水体积；dV：水流速度；I：日用水总量。

一、提出问题

某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。

表2给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。

表2 水塔中水位原始数据

二、求解问题

1、水塔中的水体积计算

求解的问题的关键是求解出用水的速度，即单位时间内的用水体积，由于水塔可以近似成圆柱体，所以水塔的体积V可近似成：

V=π

4

D2ℎ

式中D为水塔直径D=17.4m，h为水位高度。

其中，在三个无法得到水位的时刻，其水位高度用一个负数表示，即该时刻水位为负值，显然现实当中无法出现这样的情况，现在我们用-1表示其水位。

现在开始计算水塔的体积:

输入t=[0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900 ...

7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032 ...

12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037 ...

19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908];

h=[9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814 8.686 ...

8.525 8.388 8.220 -1 -1 10.820 10.500 ...

10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662 ...

8.433 8.220 -1 10.820 10.591 10.354 10.180];

D=17.4；V=pi/4*D^2*h;

最终求得V= [2.3011 2.2540 2.2133 2.1698

2.1358 2.0959 2.0654 2.0271 1.9946 1.9546

-0.2378 -0.2378 2.5729 2.4968 2.4278

2.3627 2.2954 2.2373 2.1829 2.1213 2.0597 2.0053 1.9546 -0.2378 2.5729 2.5184 2.4620 2.4207]。

2、水塔中水流速度的估计

水塔中的水流速度是水塔中水体积对时间的导数，由于没有具

体的函数，所以这里利用差商的方法近似求出导数，使用Matlab

提供的gradient（）求出齐导数，也就是水流速。

由于在两个时段无法得到具体的水位，因此，计算水塔流速时

分成三个时段计算，分别是:第一段，从0时刻到8.967时刻；第

二段，从10.954时刻到20.893时刻；第三段，从22.958时刻到25.908时刻。

输入：

t1=t(1:10);t2=t(13:23);t3=t(25:28);

v1=v(1:10);v2=v(13:23);v3=v(25:28);

dv=-[gradient(v1,t1) gradient(v2,t2)

gradient(v3,t3)];

得到导数的近似值，如下:

dv= 51.1204 47.6090 41.5072 38.2242 36.4474

34.6895 33.8858 34.9411 36.9837 38.4487

70.5862 72.5251 72.7683 65.3094 61.7918

60.9942 57.2190 55.7095 57.2190 58.3251 57.5553

59.0599 54.6395 48.1906 44.8752

再利用插值，得到水流速度的连续曲线输入： t=[t1 t2 t3];

h=0.01;

ti=min(t):h:max(t);

dvi=interp1(t,dv,ti,'spline');

这里使用三次样条插值方法，得到图形如下：

3、日用水总量的计算

日用水总量是对水流速度的积分，积分区间为[0,24]。由于没有具体的函数，所以这里采用数值积分。输入：

0510

15202530

Time(h):

V e l o c i t y (c u b i c m e t e r /h

ti=0：0.01：24；

dvi=interp1（t，dV，ti，‘spline‘）；

I=trapz（ti，dvi）

得到日用水总量：

1256.0m3

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