一次函数和二次函数相交的问题

类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小

如图，已知直线y=x 与抛物线y=2

1

x 2交于A 、B 两点．（1）求交点A 、B 的坐标；

（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=2

1

x 2的函数值为y 2．

若y 1＞y 2，求x 的取值范围．

类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小

如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．

练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．

练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点．

A

B

C O

x

y

（1）求一次函数和二次函数的解析式．

（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？ （3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值． （4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．

类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。

如图，一次函数y=x-2

1

与x 轴交点A 恰好是二次函数与x 的其中一个交点，已知二次函数图

象的对称轴为x=1，并与y 轴的交点为（0，1）．（1）求二次函数的解析式；（2）设该二次函数与一次函数的另一个交点为C 点，连接BC ，求三角形ABC 的面积．

练习1：如图，A （-1，0）、B （2，-3）两点在一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2

+bx-3的图象上．

（1）求m 的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y 轴于C ，求△ABC 的面积．

变式：已知一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2+bx-3的图象交于两点A （-1，0）、B （2，-3），且二次函数与y 轴交于点C ，P 为抛物线顶点．求△ABP 的面积．

练习2：如图，一次函数的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=21

x 2+bx+c 的

图象与一次函数y=21

x+1的图象交于B ，C 两点，与x 轴交于D ，E 两点，且D 点坐标为（1，

0）．

（1）求二次函数的解析式；（2）求线段BC 的长及四边形BDEC 的面积S ；

1.附加题：已知：如图，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数y=的图象交于点A （3，2）

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；

（3）M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MN ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．

,

2.如图，过y 轴上点A 的一次函数与反比例函数相交于B 、D 两点，B （﹣2，3），BC ⊥x 轴于C ，四边形OABC 面积为4．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点D 的坐标；

（3）当x 在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）

3.如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A

的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．

（1）直接写出k，m的值；

（2）求梯形ABCD的面积．

4.如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A

的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．

（1）试确定反比例函数的关系式；

（2）求△AOC的面积．