特殊值法

例谈特殊值法在初中数学解题中的应用

辨证法认为：矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性中，一个普通成立的命题，对于特殊情形也必然成立；反之,对于特殊情况不成立的命题，对于普通的情形也不成立。将这一原理用到数学的解题与学习中。这就是特殊值法。特别是对于选择题与填空题这一类题，只注重结果而不需要解题过程。根据这一特点，如果善于应用特殊值法，会起到事半功倍的效果。教学中，经常有学生对于公式记忆不清楚，或是混淆，运算又不仔细严谨，若能巧妙的运用特殊值法就可以避免上述情况的发生，快速并准确地得出正确的结论。下面举例说明：

一.字母取特殊值:

1.应用于代数式的求值：

例1：已知：a=1999x+2000, b=1999x+2001, c=1999x+2002,则bc ac ab c b a ---++222的值是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

题中并没有对字母x 的取值范围限定，隐含的条件是在实数范围，故令x=-1,则a=1, b=2, c=3,那么原式的值=3,选D

例2:已知a,b,c 是∆ABC 的三边,则ab c b a 2222--+的值( )

A.大于0

B.小于0

C.等于0

D.不确定

解题中,可以a=2,b=3,c=4,这样可以确定原代数式的值是负值,故B

小结：例1,例2通过运用特殊值法,避免代数式因式分解，三角形三边关系这些学生较难处理的问题，代之以简单的计算，简化了问题的求解过程，提高解题效率。

2.应用于比较大小：

例3：已知a,b 为实数,且ab=1,设11+++=b b a a M ,1

111+++=b a N ,比较M,N 的大小关系.\

A.M > N

B.M

C.M=N

D.不确定

解题中,a,b 满足是互为倒数的实数关系,我们不妨令a=b=1,则很容易就得出M=N 的关系,选C

例4:若3)1(,0a a -≤则的化简结果为( ) A 1)1(--a a B.a a --1)1( C.a a --1)1( D.1)1(--a a 解题中,因为a ≤0,令a=0,所以1)1(3=-a ,从而A,D 无意义,排除掉

而当a=0时,C 式代入求值的解是-1,这与算术平方根的取值范围矛盾,也排除,,故选C

小结：在代数式的求值或比较大小时，对于一定取值范围内的某一字母的取值，特殊值“0”是判断题或是探索条件型选择题最典型的情况，解题中我们要充分考虑“0”的特殊性，用“0”作为判断工具，远离命题设置的陷阱以及繁杂的公式，使问题简单化。

二..一般状态取特殊值:

例5:如图:E 是平行四边形ABCD 对角线AC 上任一点,则下列结论结论正确的是

( )

解题中,因为E 是AC 上的任意一点,设E 是AC 是的中点,则B,D,E 三点共线,那么C 点到BE 的距离与C 点到DE 的距离相等,从而可知, DEC BEC S S ∆∆=,故选B 例6:如图:正方形ABCD 的对角线BD 上一点E,且BE=BC,P 为CE 上任一点,作PQ ⊥BC 于点Q,PR ⊥BE 于R,,则PQ+PR 的值为( )

解:将P 点置于E 点,则P 点与E 点重合,且BE=BC=1,

故 PQ=BESin ∠QBP=22，所以,：PQ+PR=2

2，故选A 小结:把某条线段上的任意点问题做特殊处理的重要方法是：把这个任意点置于次线段的中点或次线段的两个端点位置来考虑，从而化抽象为具体，化陌生为熟悉，快速准确地得出结果。

三.一般图形取特殊图形

在一些平面几何问题中，常会遇到动点等可变条件，对于这种情况要直接求解有时比较困难，我们可以选取特殊图形或一般图形的极限状态去分析判断。 特殊的情况出发考虑问题，再利用特殊情况与一般情形的共性解决问题。

例7．已知：矩形ABCD 以C 为圆心，CA 为半径画圆弧分别交AB 、AD 延长线于点E ，点F ，连接EB ，FD ，若把直角∠BCD 绕点C 旋转角度θ（0º〈θ〈90º〉，使得该角的两边分别交线段AE ，AF 于点P ，点Q ，则22CP CQ +等于（ ）

A ．PE QF .2 B.22PE QF + C.2)(PE QF + D. PE QF PE QF .22++

B C D A.22 B.21 C.23 D.3

2 A.ABCD AED BEC S S S 21>+∆∆ B.DEC BEC S S ∆∆= C.ABCD AED DEC S S S 21>+∆∆ D.ABE DEC BEC S S S ∆∆∆=+

观察到本题是一道选择题,故我们往往可以将一般的情况特殊化.对于θ的取值,不妨取到特殊的0º,如图（2）此时Q 与D 重合,P 与B 重合,由于∆FDC ≌∆CBE,FD=CB,DC=PE 故22CP CQ +=22CB CD +=22PE QF +,选B.

然而，如果将例7改为解答题，而不再给出选项，我们仍可按照前面的思路从特殊推广到一般。这里设FD=DA=CB=a,AB=BE=DC=b,在如图(1)时22CP CQ +=22AP AQ +=22)2()2(PE b QF a -+-=2222)(4PE FQ a PE b QF b a ++⋅-⋅-+

有了特殊情况(θ=0º)得出的结论，解题中可以帮助我们明确接下来要证明

a PE

b QF b a ⋅-⋅-+22=0，而∆DCQ ≌∆BCP,易得CB

BP DC DQ =，即BP DC CB DQ ⋅=⋅=b PE b a a QF ⋅-=⋅-)()(，易得b PE b a a QF ⋅-=-⋅22,即得a PE b QF b a ⋅-⋅-+22=0

在上例中,从图形运动的角度考察特殊情况下问题的解决,为一般情况下探求问题的解决指明了方向.

新课程要求在培养学生数学应用意识的同时,还要学会科学的思考问题,只要把握问题的实质特征,我们就能快速找到问题解决的途径.

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