数学实验 12：回归分析

实验 12：回归分析

习题7：

在有氧锻炼中人的耗氧能力y(ml/(min ·kg))是衡量身体状况的重要指标，它可能与以下因素有关：年龄x1,体重x2(kg),1500m 跑的时间x3(min),静止时心跳速度x4（次/min ），跑步后心速x5（次/min ）.对24名40至57岁的志愿者进行了测试，结果如下表（节选），试建立耗氧能力y 与诸因素的之间的回归模型。

（1）若x1~x5中只许选择1个变量，最好的模型是什么？ （2）若x1~x5中只许选择2个变量，最好的模型是什么？ （3）若不限制变量的个数，最好的模型是什么？

（4）对最终模型观察残查，有无异常点，若有，剔除后如何？

1． 模型建立

本题不同小问需要建立不同模型，由于专业知识所限，并且提供的数据较少，难以做出精确符合现实情况的模型，因此这里采用最简单的线性回归法进行拟和,模型基本形式如下：

0111,m m jk j k j k m

y x x x x ββββε≤≤=++

++

+∑

事实上，

∑

中的项（高次项和交互项）对于本题目来讲意义不大，因为所给定的5个自

变量和因变量之间关系比较模糊，几个变量彼此之间的联系也很难说清，因此用自变量的一次线性拟和就足以适应本题的要求。但作为练习，还是将每种回归方法都使用到了，可以用于参考。 具体采用的各个模型将在下面单独说明，这里不再重复。

2． 程序设计 由于本题需要建立多组模型，并且要在不断的调试中发现最合理的，很多命令都要在这个过程中不断使用，这里仅仅给出使用的最基本的命令。

◆ 数据 clear A=[…]; %数据矩阵，略 n=24; y=A(2,:); %提取各个数据 x1=A(3,:);x2=A(4,:);x3=A(5,:);x4=A(6,:);x5=A(7,:);

◆ 绘制散点图（大致判断影响情况） for i=1:5

subplot(2,3,i),plot(A(i+2,:),y,'+'),grid

序号 1 2 3 4 … 21 22 23 24 Y 44.6 45.3 54.3 59.6 … 39.4 46.1 45.4 54.7 X1 44 40 44 42 … 57 54 52 50 X2 89.5 75.1 85.8 68.2 … 73.4 79.4 76.3 70.9 X3 6.82 6.04 5.19 4.9 … 7.58 6.7 5.78 5.35 X4 62 62 45 40 … 58 62 48 48 X5

178 185 156 166 … 174 156 164 146

pause

end

pause

◆单参数回归（第一问）

X=[ones(n,1),x4']; %这里检验的是自变量x4，实际操作时要分别检验x1~x5 [b,bint,r,rint,s]=regress(y',X); %回归分析程序（ =0.05）

b,bint,s, %输出回归系数估计值、置信区间、以及统计量

rcoplot(r,rint) %残差图

Polytool(x3',y',2) %检验一元多项式回归的结果，输出交互式画面

◆双参数回归（第二问）：用逐步回归法找出最合理的两个变量

X5=[x1',x2',x3',x4',x5'];

stepwise(X5,y')；%利用输出的交互式画面，可以选出最佳的两个变量

XX=[x3',x1']; %当得到了最佳的两个变量后（这里假设是x3\x1）

rstool(XX,y','linear') %检验二元情况下的交互项和高次项

◆全部参数回归（第三问）：

X5=[x1',x2',x3',x4',x5']; %仍然用逐步回归法找出最合理的组合方式

stepwise(X5,y')

第五问要求对残差进行分析，并且剔除异常点，可以在该问得到最终模型后，采用regress 得到的残差值和置信区间并根据其绘制残差图，然后再进行剔除操作重新检验。

3．运行结果及分析

散点图

从左上到右下的顺序为x1~x5.可以由点的分布大致看出，除了x3自变量呈现比较明显的负相关趋势以外，对于其他的各个自变量都难以直接观测出其对于因变量的影响。根据这种结果，可以假设自变量x3(1500m 跑后心速)最直接的与锻炼耗氧能力相关，下面通过对各个自变量的单参数回归进行检验。

由单参数回归的结果可以证明X3(1500m 跑后心速)可以最好的反映出y(锻炼耗氧能力)的情况。由β1置信区间可以看出，x1、x2包含0在内，即y 可能与该参数无关，所以不选择，并且两者的p 值已经明显的大于 =0.05，则不考虑x1、x2。比较x3~x5后发现，x3的2

R -决定系数明显的大于x4、x5的，决定系数反映的是在因变量的总变化中自变量引起的那部分的比例，2

R 大说明x3自变量对因变量起的决定作用最大。并且x3的p 和s^2值也都比较小，所以最终确定x3可以最好的反映出y 的情况。

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

可以同之前的仅含一次项的结果进行比较，发现各个参量的置信区间都很宽，且β2的置信区间过0。可以认为二次项的引入是不重要的。 因此采用如下单参数模型描述y 是最准确地：

033y x ββ=+ 其中：0383.4438,-5.6682ββ==

双参数回归：

用stepwise 作逐步回归，部分过程和最终结果如下图：

Coeff. t-stat p-val

12

Model History

R M S E

-6

-4

-2

X X

X X X Coefficients with Error Bars

只取x3自变量的回归结果

Coeff. t-stat p-val

123

Model History

R M S E

-6

-4

-2

X X X X X Coefficients with Error Bars

取x3和x5自变量的回归结果