均值不等式定理求最值

均值不等式定理求最值

复习目标：熟练掌握均值不等式求最值的思想方法和实际应用

一、 基础知识

1、 均值不等式定理

(1)、ab b a b a 2R,22≥+∈、 (当且仅当b a =时取“=”)

(2)、

ab b a R b a 2,≥+∈+、 (当且仅当b a =时取“=”) (3)、2

2,,2

2b a b a ab R b a +≤+≤∈+

(当且仅当b a =时取”=”) 此定理六个方面的应用要多体会掌握。

(4)、abc c b a R c b a 3,333≥++∈+、、 (当且仅当c b a ==时取“=”) (5)、3

3,abc c b a R c b a ≥++∈+、、 (当且仅当c b a ==时取”=”)

2、 均值不等式定理求最值的基本原则

（1）、“一正”：要求在正数条件下或能转化为正数条件的情况下才用均值不等式定理。

(2)、“二定”：即“和定积大与积定和小”原则，这一原则要求：求某些变量的和的最小

值问题应使变量的乘积为定值；而求变量的乘积的最大值问题应转化到变量的和为定值。反之，变量的和为定值必转化为求变量积的最大值问题，变量的积为定值必转化为求变量和的最小值问题。总之，使用均值不等式定理后使变量消去成常数是均值不等式定理求最值的指导思想，也是产生各种技巧的力量源泉。

(3)、“三相等”：即“二”成立原则，这一原则要求验算“二”成立的充要条件，这是保

证所求最值正确与否的关键。完成这一步骤主要看两点：一看“二”成立的充要条件是否有解；二看“二”成立的充要条件有解时的解是否在函数定义域内。如这两点均符合要求，所求函数最值就正确无疑了。

3、均值不等式定理及在求函数最值中的应用是高考热点之一。均值定理的运用最为灵活，往往需灵活变形才能使用。用均值不等式求最值应着重注意三原则：一正、二定、三相等，其中“三相等”就是等号成立的充要条件，这是求解变量取什么值可有最值的唯一途径，应该注意求得的变量是否在函数的定义域内或满足题中的限制条件下，这也是验证这种方法是否可行的唯一办法。如不满足三相等条件，要及时调整解题思路，另寻解题方法。而转到函数单调性和数型结合是常见和有效的方法。其中函数x

b ax y += )0,0(>>b a 型（对a 、b 其它情况可类似讨论）在求函数最值中的应用要掌握，该函数是奇函数且在],0(a b 单调递减，在),[+∞a

b 单调递增。

二、基础训练

1、 函数)0(16>+=x x x y 的最小值是____________,相应=x _____________

2、 函数1222++=x x y 的最小值是____________,相应=x _____________

3、 函数)0(42>+=x x x y 的最小值是____________,相应=x ______________

4、函数

x x y 132+=)0(>x 的最小值是____________,相应=x _____________

5、 函数)10)(1(<<-=x x x y 的最大值是____________,相应=x ___________

6、0、设0

7、 设a,b (0,)∈+∞，且a+b=1, 求

11a b

+的最小值。

8、若ｘ＞0，求函数y = 2

1x x x

++的最小值。

9、若x>3, 求函数y = 13

x - + x 的最小值。

10、函数

)310)(31(<<-=x x x y 的最大值是____________,相应=x _________

三、巩固练习

1、求数

)10)(1(2<<-=x x x y 的最大值及相应的x 值。

2、若正数b a 、满足302=++ab b a ，求ab 的最大值及相应的b a 、值。

3、若函数]),0[,0,0,0)((c x b a s bx x a s y ∈>>>+=，求y 的最小值及相应的x 值。

4、求函数)0(2443232>++=x x x x y 的最小值。

5、求函数)0(2sin )cos 1(π<<+=x x x y 的最大值。

6、求函数222)

1(164++

=x x y 的最小值。

7、设b a ,是正常数，y x ,+∈R ，且

2=+y b x a ,求y x +的最小值。

8、设b a ,是正常数，10<

b x a -+12

2的最小值。

9、已知正数,a b 满足1=+b a ，求b

a b a 11222+++的最小值。

10、已知a >b >0，求)

(162b a b a -+的最小值。

11、设计一幅宣传画，要求画面面积为24840cm ，画面的宽与高的比为λ)1(<λ，画面的上下各留cm 8空白，左右各留cm 5的空白。怎样确定画面的宽与高尺寸，能使宣传画所用纸张最小？

12、已知函数|lg |)(x x f =。若b a ≠，且)()(b f a f =，则b a +的取值范围是（

） )(A ()+∞,1 )(B [)+∞,1 )(C ()+∞,2 )(D [)+∞,2

13、已知函数|lg |)(x x f =。若b a <<0，且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是（

） )(A ()+∞,22 )(B [)+∞,22 )(C ()+∞,3 )(D [)+∞,3

14、已知函数|lg |)(x x f =。若a b <<0，且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是（

）