工程数学 圆柱坐标系与球坐标系
球形和圆柱形坐标系介绍
常用坐标系
1.球坐标系
定义：假设P 点在三维空间的位置的三个坐标是。
那么，0 ≤r是从原点到P 点的距离，0 ≤θ≤π是从原点到P 点的连线与正z-轴的夹角，0 ≤φ< 2π是从原点到P 点的连线在xy-平面的投影线，与正x-轴的夹角。
解释
假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数(r，θ，φ)来确定，
其中：r为原点O与点P间的距离；
θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，通常把它称之为仰角；
φ，为从正z轴来看，自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M 为点P在xOy面上的投影，通常把它称之为方位角；
这样的三个数r，θ，φ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，θ，φ的变化范围为r∈[0,+∞)，φ∈[0, 2π]，θ∈[0, π] ，
与直角坐标系间的转换
1).球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:
X=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
2).反之,直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r,θ,φ)的转换关系为:
r=sqrt(x*2 + y*2 + z*2);
θ= arccos(z/r);
φ=arctan(y/x);
.圆柱坐标系
如图右，P 点的圆柱坐标是（ρ，φ，z）。
ρ是 P 点与 z-轴的垂直距离(相当于二维极坐标中的半径r)，φ是线 OP 在xy-面的投影线与正 x-轴之间的夹角（相当于二维极坐标中的θ），z与直角坐标的z等值，即P点距x-y平面的距离。
与直角坐标系间的转换
x=ρcosφ
y=ρsinφ
z=z。
圆柱坐标系和球坐标系
1.8 圆柱坐标系与球坐标系1.8.1 圆柱坐标系（1）建立圆柱坐标系空间任一点P 的位置由坐标（ρ，φ，z ）确定，如图（a ）所示。
其中：① ρ 是P 点到z 轴的距离，即位置矢量r 在xoy 平面上的投影； ② φ 是正x 轴转到半平面o ABC 的方位角(0≤φ ≤2π)； ③ z 是位置矢量r 在z 轴上的投影，即P 点到xoy 平面的距离。
这三个坐标确定之后，就确定了三个坐标面：① 以z 为轴、ρ为半径的圆柱面；② 正xoz 半平面绕z 轴逆时钟旋转φ角度所得半平面； ③ 距xoy 平面为z 的平行平面。
这三个坐标面交汇于P 点，且在P 点处相互正交。
为反映这一特征，在P 点处分别沿三个坐标增加的方向各取一个单位矢量e ρ、e φ和e z ，三单位矢量有以下特点： ① 三个单位矢量相互正交，且满足右手关系e ρ ⨯ e φ = e ze φ ⨯ e z = e ρ （1.8.1） e z ⨯ e ρ = e φ(b )yxye x (平面))ρ =常数(圆柱面y② 除e z 是常矢外，e ρ和e φ 的方向都有可能随P 点的不同而变化，它们是坐标函数:yx y x e e e e e e φφφφφρcos sin sin cos +-=+=e ρ、e φ、e z 对坐标ρ、φ、z 求偏导⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂0000000z z z zzze ,e ,e e ,e e ,e e ,e e ,e φρφρφρφρφφρφρρ矢量F （ρ、φ、z ）在圆柱坐标系下的表示式z z A A A e e e A ++=φφρρ (1.8.2)（2）线元矢量、面元和体积元当点的位置发生微小变化导致了微分位移，用线元矢量d l 表示z z e e e l d d d d ++=φρφρρ (1.8.3)三个坐标微分增量d ρ、d φ、d z 所形成的体积元d Vz V d d d d φρρ= （1.8.4）两坐标变量的微小变化将形成三个典型面元，它们的正方向分别沿坐标ρ、φ、z 的正方向(a )(b )d zd ρρd φPQ d ld zd ρρd φd zρd φd ρd s zd s ρd s φ⎪⎭⎪⎬⎫===φρρρφρφρd d d d d d d d d z S z S z S (1.8.5)（3）圆柱坐标系中的三度表达式对于连续、可微的标量场f (ρ、φ、z )，按多元函数的全微分链式法则表示微增量z zf f f f d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=φφρρ作改写()z z z z f f f z zff f f e e e e e e d d d 1d d d d ++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=φρφρφρρφρρφφρρ对照梯度定义式 l d d ⋅∇=f f ，得圆柱坐标系下梯度和del 算符的表达式z zff f f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇φρφρρ1 )0(≠ρ （1.8.6） zz ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e φρρφρ1 )0(≠ρ （1.8.7） 按∇与z),,(φρF 的运算还可以得出散度和旋度的表达式：0)(1)(1z),,(≠∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ρφρρρρφρφρzF F F zF （1.8.8）),,(z φρF ⨯∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=φρρρρφρρφρφφρF F F z F z F F z z z )(11e e ezzF F F z φρφρρφρρρ∂∂∂∂∂∂=e e e 11(1.8.9)进而可得标量场的拉普拉斯表达式0)(11z),,(z),,(222222≠∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇⋅∇=∇ρφρρρρρφρφρzff f f f (1.8.10)例1-6 已知z z z e e F -=φρρ),(，试就z =1平面上半径为2的圆形回路及其所围区域，验证斯托克斯定理。
圆柱,圆球坐标系
1 ∂ 1 ∂Fφ ∂Fz ∇ ⋅ F (ρ ,φ ,z) = (ρ Fρ ) + + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z
1
ρ
eρ
eφ ∂ ∂φ ρ Fφ
1
ρ
ez
∇ × F (ρ ,φ ,z )
=
∂ ∂ρ Fρ
∂ ∂z Fz
1.8 圆柱坐标系与球坐标系
CQU
1.8.2 球面坐标系 坐标变量
r ,θ , φ
坐标单位矢量 er , eθ , eφ 位置矢量 线元矢量 面元矢量
= 0, ∂ρ ∂e z = 0, ∂ρ
= −eρ , ∂φ ∂e z = 0, ∂φ
1.8 圆柱坐标系与球坐标系
CQU
圆柱坐标系中的三度表达式
∇ = eρ
∇f =
∂ 1 ∂ ∂ + eφ + ez ∂ρ ρ ∂φ ∂z
∂f 1 ∂f ∂f eρ + eφ + ez ∂ρ ρ ∂φ ∂z
(ρ ≠ 0)
e ρ = cos φ e x + sin φ e y eφ = −sin φ e x + cosφ e y
∂e ρ ∂ρ ∂eφ = 0, ∂e ρ ∂φ ∂eϕ = eφ , =0 ∂z ∂eφ = 0 ∂z ∂e z =0 ∂z ∂e ρ
eρ、eφ、ez对坐标ρ、φ、z求偏导 求偏导
1.8 圆柱坐标系与球坐标系
1.8.1 圆柱坐标系 坐标变量
1
CQU
ρ ,φ , z
r = eρ ρ + ez z
dl = eρ dρ + eφ ρ dφ + e z dz
坐标单位矢量 eρ , eφ , e z 位置矢量 线元矢量 面元矢量
数学课件：1.5 柱坐标系和球坐标系
������ = ������.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
正解∵r= ������2 + ������2 + ������2 = 12 + 12 + ( 2)2 = 2,
z=rcos φ= 2, ∴ cos ������ = 22.
(2)(π,π,π).
解:设点的直角坐标为(x,y,z).
(1)∵(ρ,θ,z)=(2,0,-2), ������ = 2cos0 = 2,
12
2.球坐标系 (1)定义:设空间中一点 M 的直角坐标为(x,y,z),点 M 在 xOy 坐标
面上的投影点为 M0,连接 OM 和 OM0.如图所示,设 z 轴的正向与向量
������������的夹角为������, ������轴的正向与������������0的夹角为������, ������点到原点������的距离 为������, 则由三个数������, ������, ������构成的有序数组 ������, ������, ������ 称为空间中点������的球
A.
2
2,
π 6
,
3π 4
C.
2
2,
π 3
,
π 4
B.
2
2,
π 6
,
π 4
D.
2
2,
π 3
,
3π 4
解析:设 M 的球坐标为(r,θ,φ),
3 = ������sin������cos������, 则 1 = ������sin������sin������,
圆柱坐标系与球坐标系的使用
圆柱坐标系与球坐标系的使用1. 引言在数学和物理学中，我们经常会遇到需要描述三维空间中点的位置的问题。
为了更方便地描述这些点，人们引入了不同的坐标系。
在这篇文档中，我们将会介绍圆柱坐标系和球坐标系，并探讨它们的使用方法和特性。
2. 圆柱坐标系2.1 定义圆柱坐标系是一种二维坐标系，它由一个平面和一个直线上的点组成。
圆柱坐标系使用以下三个坐标来描述一个点的位置： - r：点到坐标系原点的距离（半径）。
- θ：点在平面上的极角，用弧度表示，通常取值范围为[0, 2π)。
- z：点到平面的垂直距离。
2.2 二维平面转换圆柱坐标系可以通过以下公式与直角坐标系（笛卡尔坐标系）相互转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)z = z其中，θ是弧度制的极角。
这些公式使得我们可以在不同坐标系间进行转换。
2.3 三维空间转换要在三维空间中描述一个点的位置，我们可以将圆柱坐标系的极坐标（r，θ）和直角坐标系的z坐标组合起来：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)z = z这种转换使得我们可以在三维空间中更方便地描述点的位置。
3. 球坐标系3.1 定义球坐标系是一种三维坐标系，用于描述点在三维空间中的位置。
球坐标系使用以下三个坐标来描述一个点的位置： - r：点到坐标系原点的距离（径向距离）。
-θ：点在平面上的极角，用弧度表示，通常取值范围为[0, π]。
- φ：点与正z轴的夹角，用弧度表示，通常取值范围为[0, 2π)。
3.2 三维空间转换球坐标系可以通过以下公式与直角坐标系相互转换：x = r * sin(θ) * cos(φ)y = r * sin(θ) * sin(φ)z = r * cos(θ)这些公式使得我们可以在不同坐标系间进行转换，并在三维空间中描述点的位置。
4. 应用场景圆柱坐标系和球坐标系在物理学、工程学和计算机图形学中有很多应用。
其中一些应用包括： - 物理学中的电荷分布和电场计算； - 机械工程中的摆动运动和旋转机构的描述； - 三维计算机图形学中的场景渲染和动画效果。
球面坐标系和柱面坐标系的定义及其应用
球面坐标系和柱面坐标系的定义及其应用球面坐标系和柱面坐标系是数学中关键的方法，经常用来描述和解决一些几何和物理问题，它们与直角坐标系、极坐标系一样，是一种坐标系的表示方式。
一、球面坐标系球面坐标系是以球面为基础的坐标系，它是由半径、极角和方位角确定的。
坐标轴上的点对应着球面上的一个点，可以用三个参数（r、θ、φ）来描述它的位置。
其中，r是从坐标原点到球面上某一点的距离，是一个实数；θ是竖直方向的极角，它的范围在0到π之间；φ是水平方向的方位角，它的范围在0到2π之间。
坐标系的原点是球心，竖直方向的坐标轴是与地球赤道垂直的轴线，水平方向的坐标轴则是经过原点和北极点的轴线。
球面坐标系在物理学和天文学等领域应用广泛，例如测量地球上某一点的纬度和经度、描述电磁场的分布等。
二、柱面坐标系柱面坐标系是一种由高度、半径和角度确定的坐标系，它通常用来描述长方形坐标系缺陷的问题。
柱面坐标系可以是圆柱面坐标系或斜柱面坐标系，但都表示同样的信息。
在圆柱坐标系中，一点的坐标为(r，θ，z)，其中r表示离坐标轴的距离，θ表示与x轴的夹角，z表示高度。
而在斜柱面坐标系中，一点的坐标为(r，θ，z')，其中r和θ用同样的方式表示，z'是某个平面内的高度。
只有当某一平面中的z'为零时，斜柱面坐标系才与圆柱坐标系相同。
类似于球面坐标系的应用，圆柱坐标系和斜柱坐标系在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
例如在计算机图形学中，柱面坐标系被用来描述某些对象的形状和运动，在计算机辅助设计（CAD）中，也被用来表示机械元件的三维空间位置。
总的来说，球面坐标系和柱面坐标系是一组非常实用的工具，它们有助于我们更好地理解和描述现实世界中的各种问题。
了解和掌握这些坐标系的基础和应用，有助于我们更好地应用它们来解决实际问题。
柱坐标系与球坐标系PPT教学课件
＃思想核心： 大一统（“新”所在）
天人感应
“天子受命于天，天下受命于天子”；“古之造文者，三画 连其中，谓之王，三画者，天地人，而连其中，通其道也， 谓之王。”
董仲舒认为道源于天。“天不变，道亦不变。” “天道”就是“三纲五常三”纲：君为臣纲，父为子纲，夫为妻纲
五常：仁、义、礼、智、信
崇
“有为”而治。
独 尊 儒 术
罢黜百家 独尊儒术
董仲舒： 中国古代著名的思想家。 （前179——前104年）广
川人（今河北景县人）向 汉武帝提出“罢黜百家 独尊儒术”的主张，创立 新儒学。
2、董仲舒的新儒学的思想内涵
＃思想来源： 以《公羊春秋》为骨干， 融合阴阳家，黄老之学 以及法家思想而形成的 新的思想体系。
坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
y
• 兴办学校，有利于教 育的发展。
• 确立了儒学在中国的 统治地位。
总结
原 西汉初年，
因
经济残败 百业待兴。
无为不适应集权
原 新儒学的大一统 因 统治者的有为愿望
黄
老 内 治身、治国 之 容 无为而无不为 学
独
尊
内 容
天人感应 实行仁政
儒
术
作 经济恢复 用 国力增强
作 巩固国家统一
用
限制君主权利 儒学独尊地位
柱坐标系和球坐标系 课件
z＝5，
∴(1,1,5)为所求．
点(r，θ，z)是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面 xOy
内实际为极坐标系，且 r≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z 为
任意实数．化点的柱坐标(r，θ，z)为直角坐标(x，y，z)，需
要运用公式yx＝＝rrscions θθ z＝z
转化为三角函数的求值与运算即得．
∴(－1，－1，－ 2)为所求．
首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π，0≤θ ＜2π.
化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用
公式yx＝＝rrssiinn
φcos φsin
θ， θ，
z＝rcos φ
转化为三角函数的求值与1，建立空间直角坐标系 O－xyz.设 M(x，y， z)为空间一点，并设点 M 在 xOy 平面上的投影点 P 的极坐标 为(r，θ)，则这样的三个数 r，θ，z 构成的有序数组(r，θ，z) 就叫作点 M 的 柱坐标 ，这里规定 r，θ，z 的变化范围为 0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞.
图 1－3－1
特别地， r＝常数，表示的是以 z 轴为轴的圆柱面； θ＝常数，表示的是过 z 轴的半平面； z＝常数，表示的是与 xOy 平面平行的平面．
2．球坐标系 设 M(x，y，z)为空间一点，点 M 可用这样三个有次序的 数 r，φ，θ 来确定，其中 r 为原点 O 到点 M 间的距离，φ 为
2．在空间的柱坐标系中，方程 r＝r0(r0 为不等于 0 的常 数)，θ＝θ0，z＝z0 分别表示什么图形？
【提示】 在空间的柱坐标系 中，方程 r＝r0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 r0 的圆柱面，它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的．方程 θ＝θ0 表示与 zOx 坐标面成 θ0 角的半平 面．方程 z＝z0 表示平行于 xOy 坐标面 的平面，如图所示．
圆柱坐标和球坐标的区别
圆柱坐标和球坐标的区别在数学和物理学中，圆柱坐标和球坐标是常用的坐标系。
它们与笛卡尔坐标系相比，有着不同的表示方法和应用场景。
本文将介绍圆柱坐标和球坐标的定义、表示方式以及它们之间的区别。
圆柱坐标圆柱坐标是由一个径向距离、一个极角和一个高度组成的坐标系。
在圆柱坐标中，我们使用$(r, \\theta, z)$来表示一个点，其中r表示径向距离，$\\theta$表示极角，z表示高度。
下面是圆柱坐标系的示意图：z|||______ x///y圆柱坐标系使用极坐标$(r, \\theta)$来表示平面上的点，其中r表示点到原点的距离，$\\theta$表示点与正向x轴之间的夹角。
z表示点在垂直于平面的高度。
在圆柱坐标系中，坐标变换公式如下：$$ x = r \\cos(\\theta) \\\\ y = r \\sin(\\theta) \\\\ z = z $$球坐标球坐标是由一个径向距离、一个极角和一个方位角组成的坐标系。
在球坐标中，我们使用$(r, \\theta, \\phi)$来表示一个点，其中r表示径向距离，$\\theta$表示极角，$\\phi$表示方位角。
下面是球坐标系的示意图：y|\\| \\| \\| \\| \\z ____|_____\\ x/ | // | // | // | // | // |// |球坐标系使用极坐标$(r, \\theta)$来表示与原点的平面上的点，在该点上再使用一个角$\\phi$来确定点的位置。
其中r表示点到原点的距离，$\\theta$表示点与正向z轴之间的夹角，$\\phi$表示点在平面上的投影与x轴之间的夹角。
在球坐标系中，坐标变换公式如下：$$ x = r \\sin(\\theta) \\cos(\\phi) \\\\ y = r \\sin(\\theta) \\sin(\\phi) \\\\ z = r \\cos(\\theta) $$区别圆柱坐标和球坐标之间的区别在于对于点的表示方式和应用场景的不同。
柱坐标系和球坐标系 课件
x＝ρcos θ， 则由y＝ρsin θ，
z＝z，
x＝πcos π， 得y＝πsin π，zΒιβλιοθήκη π，x＝－π， ∴y＝0，
z＝π.
因此，点 N 的直角坐标为(－π，0，π)．
坐标．
已知点 M 的球坐标为(2，34π，34π)，求它的直角 【自主解答】 设点的直角坐标为(x，y，z)．
x＝2sin34πcos34π＝2× 22×－ 22＝－1， 则y＝2sin34πsin34π＝2× 22× 22＝1，
.
(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标 系中的坐标．
(2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
【自主解答】 (1)设 M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，
1＝ρcos θ， 则由1＝ρsin θ， z＝1，
解之得，ρ＝ 2，θ＝π4.
因此，点 M 的柱坐标为( 2，4π，1)． (2)设 N 的直角坐标为(x，y，z)，
建立了空间的点与有序数组 (ρ，θ，z) 之间的一 种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做 柱坐标系， 有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，
其中 ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R.
2．球坐标系
图 1－4－2 建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的 角为 φ.
图 1－4－3
【自主解答】 点 C1 的直角坐标为(1,1， 2)． 设 C1 的球坐标为(r，φ，θ)，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2. 由 z＝rcos φ，∴cos φ＝ 22，φ＝4π 又 tan θ＝yx＝1，∴θ＝π4， 从而点 C1 的球坐标为(2，π4，π4)
球坐标系和柱坐标系
球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系是空间解析几何中常用的坐标系，它们可以用来描述三维空间中的点的位置和方向。
本文将介绍球坐标系和柱坐标系的定义、坐标变换以及其在不同领域的应用。
一、球坐标系球坐标系是一种三维坐标系，用来描述三维空间中的点的位置。
它由径向距离r、极角θ和方位角φ来确定一个点的坐标。
径向距离r表示点到坐标原点的距离，极角θ表示点与正z轴的夹角，方位角φ表示点在x-y平面上投影与正x轴的夹角。
在球坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ,φ)。
坐标变换公式如下：```x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ```球坐标系常见于物理学、天文学和计算机图形学等领域的问题求解。
物理学中常用球坐标系描述粒子在空间中的位置和动量，能够简化很多问题的求解过程。
在天文学中，球坐标系可以用来描述星体的位置和运动轨迹。
二、柱坐标系柱坐标系是另一种常见的三维坐标系，适用于平面内与柱面有关的问题。
柱坐标系由极径ρ、极角θ和高度z来确定一个点的坐标。
极径ρ表示点到z轴的距离，极角θ表示点在x-y平面上的投影与正x轴的夹角，高度z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系中，一个点的坐标可以表示为(ρ,θ,z)。
坐标变换公式如下：```x = ρ * cosθy = ρ * sinθz = z```柱坐标系常见于物理学、工程学和流体力学等领域的问题求解。
在工程学中，柱坐标系常用于描述圆柱形结构的变形和应力分布，能够更直观地理解和解决与柱面相关的工程问题。
在流体力学中，柱坐标系可以用来描述圆柱形容器中的流体流动规律。
综上所述，球坐标系和柱坐标系是在三维空间中描述点的位置和方向的常用坐标系。
它们各自具有独特的特点和应用场景，在不同领域的问题求解中发挥着重要作用。
熟练掌握球坐标系和柱坐标系的定义和坐标变换公式，对于解决相关问题具有重要意义。
柱坐标系与球坐标系简介 课件
22×(－1)＝－4
2，
y＝8sin
3π 4 sin
π＝0，
z＝8cos 34π＝8×－ 22＝－4 2. ∴点 B 的直角坐标为(－4 2，0，－4 2)．
点 C：∵r＝0，
∴x＝0，y＝0，z＝0，即点 C 的直角坐标为(0,0,0)．
8．将下列各点的柱坐标化为直角坐标． P2，π6，1，Q4，23π，－3.
分析：本题考查空间直角坐标、柱坐标、球坐标的概念， 我们要能借此区分三个坐标，找出它们的相同和不同来．
如图所示，点C1的(x，y，z)分别对应着CD，BC，CC1； 点C1的(ρ，θ，z)分别对应着CA，∠BAC，CC1；点C1的(r，φ， θ)分别对应着AC1，∠A1AC1，∠BAC.
标为解(12析，π6：，点1C21)，的点空间C1直的角球坐坐标标为为((612
6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为
( B)
A．点
P(5,1,1)，点
B34 6，3 4 2，
6 2
B．点
P(1,1,5)，点
B3 4 6，3 4 2，
6 2
C．点 P34 6，3 4 2， 26，点 B(1,1,5)
D．点
P(1,1,5)，点
B
26，3
4
6，3
4
2
10．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等 分为十六个扇形区域，顺次记为一区、二区……十六区．设 圆形体育场第一排与体育中心的距离为200 m，每相邻两排的 间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第 四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，求点A的坐标．求 出来：
点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变
圆柱坐标系与球坐标系区别
圆柱坐标系与球坐标系区别圆柱坐标系和球坐标系是数学中常用的两种坐标系统，它们在描述三维空间中点的位置和表示物体的形状方面起着重要作用。
虽然它们都是由三个坐标轴组成的，但圆柱坐标系和球坐标系之间有着一些明显的区别。
本文将介绍这两种坐标系的基本概念、坐标表示以及它们的区别。
圆柱坐标系基本概念与表示圆柱坐标系是由一个竖直的轴和水平的圆柱面坐标面组成的。
在圆柱坐标系中，一个点的位置由距离轴的距离（ρ）、与正x 轴的夹角（θ）和在z 轴上的高度（z）三个坐标值组成。
通过这三个值，就可以唯一确定三维空间中的一个点。
圆柱坐标系中的坐标表示为(ρ, θ, z)，其中，ρ 表示点到轴的距离，θ 表示点在水平圆柱面上的夹角，z 表示点在竖直轴上的高度。
球坐标系基本概念与表示球坐标系也是由一个原点和三个坐标轴组成的，但与圆柱坐标系不同的是，球坐标系的坐标轴是三个互相垂直的轴。
在球坐标系中，一个点的位置由径向距离（r）、与正 x 轴的极角（θ）和与 z 轴的方位角（φ）三个坐标值确定，这样就可以唯一地标识三维空间中的某一点。
球坐标系中的坐标表示为(r, θ, φ)，其中，r 表示点到原点的距离，θ 表示点与正 x 轴的夹角，φ 表示点与正 z 轴的夹角。
圆柱坐标系与球坐标系的区别1.坐标表示方式不同：圆柱坐标系使用(ρ, θ, z) 表示点的位置，而球坐标系使用(r, θ, φ) 表示点的位置。
2.空间范围不同：圆柱坐标系中的坐标范围为0 ≤ ρ < ∞，0 ≤ θ < 2π，-∞ < z < ∞。
而球坐标系中的坐标范围为0 ≤ r < ∞，0 ≤ θ < π，0 ≤ φ < 2π。
3.坐标轴排列方式不同：圆柱坐标系中的坐标轴为竖直轴、水平圆柱面上的径向和竖直轴的高度。
而球坐标系中的坐标轴为径向、极角和方位角。
4.表达形式不同：圆柱坐标系更适合用于描述具有柱状或高度变化较大的物体，如圆柱体或柱状建筑物。
柱坐标系与球坐标系简介课件
z1＝6×cosπ3＝3. ∴点 M 的直角坐标为323，92，3， 设点 N 的直角坐标为(x2，y2，z2)， 则 x2＝6×sin23π×cosπ3＝323， y2＝6sin23π×sinπ3＝92， z2＝6cos23π＝－3. ∴点 N 的直角坐标为323，92，－3， ∴|MN|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22＝6.
2．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则
空间直角坐标(x，y，z)
转换公式
柱坐标 (ρ，θ，z)
x＝_ρ_c_o_s_θ__， y＝_ρ_s_in__θ__， z＝z
球坐标 (r，φ，θ)
x＝_r_s_i_n_φ_c_o_s__θ__ y＝_r_s_in__φ_s_i_n_θ__ z＝ rcos φ
∴(－ 3，1,3)为所求点的直角坐标．
(2)∵(ρ，θ，z)＝
2，π4，5，
x＝ρcos θ＝
2cosπ4＝1，
∴y＝ρsin θ＝ 2sinπ4＝1，
z＝5，
∴(1,1,5)为所求点的直角坐标．
直角坐标与柱坐标的互化
点(ρ，θ，z)是三维空间坐标中的点的柱坐标，在平面 xOy 中实际为极坐标， 且 ρ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上 z 为任意实数．化点的柱坐标(ρ，θ，z)为直
柱坐标系与球坐标系简介
1．空间直角坐标系、柱坐标系与球坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点 O，作两两垂直的三条数轴 Ox， Oy，Oz，使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°，这就是空间直角坐标系．有 序实数组 (x，y，z) 叫点 P 的直角坐标．
(2)柱坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面的射影为 Q，用 (ρ，θ) 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) 表示．这就是柱坐标系．有序数组 _(_ρ_，__θ_，__z_) _叫点 P 的柱坐标．其中 ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞. (3)球坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ.P 在 Oxy 平面的射影 为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为 θ.这样 点 P 的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这就是球坐标系．有序数组(r，φ，θ) 叫作点 P 的球坐标．其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
球坐标系与柱坐标系
4.1.3球坐标系与柱坐标系1．球坐标系、柱坐标系的理解．2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化．[基础·初探]1．球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．图4-1-5(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P 的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.2．直角坐标与球坐标间的关系图4-1-6若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox 轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4-1-6所示．x 2＋y 2＋z 2＝r 2， x ＝r sin_θcos_φ， y ＝r sin_θsin_φ， z ＝r cos_θ. 3．柱坐标系建立了空间直角坐标系O -xyz 后，设P 为空间中任意一点，它在xOy 平面上的射影为Q ，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，这时点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R .图4-1-74．直角坐标与柱坐标之间的关系⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .[思考·探究]1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成．2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？【提示】 在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z 轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________(1)已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4，则点M 的直角坐标为________．(2)设点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，7，则点M 的直角坐标为________．【自主解答】 (1)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2sin 3π4·cos 3π4＝－1，y ＝2×sin 3π4×sin 3π4＝1， z ＝2×cos 3π4＝－ 2.即M 点坐标为(－1,1，－2)． (2)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2×cos π6＝3， y ＝2×sin π6＝1，z ＝7. 即M 点坐标为(3，1,7)．【答案】 (1)(－1,1，－2) (2)(3，1,7) [再练一题]1．(1)已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，8，则它的直角坐标为________．(2)已知点P 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，π4，则它的直角坐标为________．【解析】 (1)由变换公式得： x ＝4cos π3＝2， y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． (2)由变换公式得：x ＝r sin θcos φ＝4sin 3π4cos π4＝2， y ＝r sin θsin φ＝4sin 3π4sin π4＝2， z ＝r cos θ＝4cos 3π4＝－2 2. ∴它的直角坐标为(2,2，－22)．【答案】 (1)(2,23，8) (2)(2,2，－22)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图4-1-8建立空间直角坐标系A —xyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．图4-1-8【思路探究】 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1,1)， 设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)， 其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π， 由公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ得⎩⎨⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)及⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，tan θ＝1及⎩⎨⎧r ＝3，cos φ＝33，结合图形得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.∴点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为(3，φ，π4)， 其中tan φ＝2，0≤φ≤π.化点M 的直角坐标(x ，y ，z )为柱坐标(ρ，θ，z )或球坐标(r ，θ，φ)，需要对公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z以及⎩⎨⎧x ＝r sin θcos φ，y ＝r sin θsin φ，z ＝r cos θ进行逆向变换，得到⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)，z ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，tan φ＝y x (x ≠0)，cos θ＝zr .提醒 在由三角函数值求角时，要先结合图形确定角的范围再求值．[再练一题]2．(1)设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标． (2)设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标．【导学号：98990006】【解】(1)设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得ρ＝2，θ＝π4.因此，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1.(2)由坐标变换公式，可得 r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2.由r cos θ＝z ＝2， 得cos θ＝2r ＝22，θ＝π4.又tan φ＝y x ＝1，φ＝π4(M 在第一象限)， 从而知M 点的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4. [真题链接赏析](教材第17页习题4.1第16题)建立适当的球坐标系或柱坐标系表示棱长为3的正四面体的四个顶点．结晶体的基本单位称为晶胞，如图4-1-9(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)．图形中的点代表钠原子，如图4-1-9(2)，建立空间直角坐标系O -xyz 后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标．(1) (2)图4-1-9【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用．【解】 下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π2，π4； 它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0.1．已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为________． 【解析】 由点A 的柱坐标为(1,0,1)知，ρ＝1，θ＝0，z ＝1，故x ＝ρcos θ＝1，y ＝ρsin θ＝0，z ＝1，所以直角坐标为(1,0,1)．【答案】 (1,0,1)2．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为________． 【解析】 由坐标变换公式，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2.cos θ＝z r ＝22，θ＝π4.∵tan φ＝yx ＝1， ∴φ＝54π.故M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π43．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，这两个点在空间直角坐标系中点的坐标分别为________．【导学号：98990007】【解析】 设P (x ，y ，z )，则x ＝2cos π4＝1， y ＝2sin π4＝1，z ＝5，∴P (1,1,5)．设B (x ，y ，z )，则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324，z ＝6·cos π3＝6×12＝62. 故B (364，324，62)．【答案】 P (1,1,5)，B (364，324，62)4．把A (4，π6，2)、B (3，π4，－2)两点的柱坐标化为直角坐标，则两点间的距离为________．【解析】 点A 化为直角坐标为A (23，2,2)，点B 化为直角坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫322，322，－2. AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3222＋(2＋2)2＝12＋92－66＋4＋92－62＋16＝41－6(6＋2)．所以AB ＝41－6(6＋2). 【答案】41－6(6＋2)我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。
球坐标系和柱坐标系的转换关系
球坐标系和柱坐标系的转换关系一、引言球坐标系和柱坐标系是数学中常用的坐标系之一，它们在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
球坐标系可以描述三维空间中的点的位置，由径向距离、极角和方位角三个参数确定；而柱坐标系则由径向距离、极角和高度三个参数确定。
本文将详细介绍球坐标系和柱坐标系之间的转换关系。
二、球坐标系和柱坐标系的定义球坐标系是通过一个点到原点的距离、与正半轴的夹角和与x轴的夹角来确定该点的位置。
其中，径向距离r表示点到原点的距离，极角θ表示点与正半轴的夹角，方位角φ表示点与x轴的夹角。
柱坐标系是通过一个点到原点的距离、与正半轴的夹角和该点在z 轴上的投影来确定该点的位置。
其中，径向距离ρ表示点到原点的距离，极角θ表示点与正半轴的夹角，高度z表示点在z轴上的投影。
三、球坐标系到柱坐标系的转换为了将球坐标系转换为柱坐标系，我们可以利用以下公式：1. 将球坐标系中的径向距离r转换为柱坐标系中的径向距离ρ：ρ = r * sin(θ)2. 将球坐标系中的极角θ转换为柱坐标系中的极角θ：θ = θ3. 将球坐标系中的方位角φ转换为柱坐标系中的高度z：z = r * cos(θ)四、柱坐标系到球坐标系的转换同样地，我们也可以将柱坐标系转换为球坐标系，具体的转换关系如下：1. 将柱坐标系中的径向距离ρ转换为球坐标系中的径向距离r：r = √(ρ^2 + z^2)2. 将柱坐标系中的极角θ转换为球坐标系中的极角θ：θ = θ3. 将柱坐标系中的高度z转换为球坐标系中的方位角φ：φ = arctan(z / ρ)五、总结球坐标系和柱坐标系是描述三维空间中点的位置的重要坐标系。
它们之间的转换关系可以通过一些简单的公式来实现。
在实际应用中，我们可以根据需要选择合适的坐标系进行计算和分析。
通过掌握球坐标系和柱坐标系之间的转换关系，我们可以更加灵活地处理三维空间中的问题，提高问题求解的效率和准确性。
六、参考文献[1] 高等数学. 第七版. 同济大学数学系编著. 高等教育出版社.[2] 高等代数与解析几何. 第五版. 同济大学数学系编著. 高等教育出版社.。
第一讲 5 球坐标系和柱坐标系
4π (2, ,3) 3
2、设点M的柱坐标为(2,
π
6
,7), 求它的直角坐标。
( 3 , 1, 7)
z
P ( ρ ,θ , z )
z
P ( r ,θ , ϕ )
小结： 小结： 1、球坐标系 、 2、柱坐标系 、
x z
o θ
ρ
θ
r y
y Q x
ϕ
3、 3、与直角坐标系的转换
x = r sin ϕ cos θ y = r sin ϕ sin θ z = r cos ϕ
且垂直于Oz轴的平面上的射影 为Q , 取 OQ = ρ , ∠xOQ = θ , QP = z , 那么, 有序数组( ρ , θ , z )
x
z
P(ρ,θ , z)
z
o
θ
ρ
Q
y
叫做点P的柱坐标。 柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐 又称半极坐标系 柱坐标系又称半极坐标系 它是由平面极坐 标系与空间直角坐标系中的部分建立起来的。 标系与空间直角坐标系中的部分建立起来的。
这里r是矢径 相当于经度, 称为余纬度. 这里 是矢径, φ相当于经度 θ称为余纬度 是矢径
x r y
θ
ϕ
球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的 应用，在测量实践中， 球坐标中的角ϕ 称为被 测 点 P ( r , θ , ϕ )的 方 位 角 ， 90 － θ 称 为 高 低 角 .
0
z
P(r ,θ ,ϕ )
4.1.3 球坐标系与柱坐 坐标系与柱 标系
第一讲
坐标系
第六课时 球坐标系与 柱坐标系
一、球坐标系 思考： 思考： 在航天领域，人们怎样确定航天器的 在航天领域， 准确位置呢？ 准确位置呢？
1.4 柱坐标系与球坐标系
1.8
z
A
1.8
17
12
x 302 O
根据坐标思想，我们可以建立空间坐标系可 以用数组A(302，17 ，1.8)表示点A的准确位置。
12
定义：建立空间直角坐标系
Oxyz.设P是空间任意Leabharlann 点，在oxy平面的射影为Q，
z P(ρ,θ,Z)
用(ρ ,θ )表示点Q在 平面oxy上的极坐标，
点P的位置可用有序数
解：r x2 y2 z2＝2,
cosj z ＝ 2 且0 j ,j＝3
r2
4
tan y ＝1且0 2，(且y>0)＝3
x
4
所以，C点的球坐标为 (2, 3 , 3 )
44
小结：
数轴
平面直角坐标系
坐标系是 联系形与数的
1、坐标系
平面极坐标系 桥梁,利用坐标
r —半径
— －纬度
2
—经度
z
P(r, j ,)
j
r o
θQ x
2、球坐标系
设P是空间任意一点， 在oxy平面的射影为Q，
z
P (r, j,θ)
连接OP，记| OP |=r，
jr
OP与Oz轴正向所
o
夹的角为 j .
θ
y
Ox轴按逆时针方向
x
Q
旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.
这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,j ,θ)表示.
34.已)，知O求点Q它N的的直球O角P坐坐标co标为s(.(2，x34j，)
o θ
r sin
j
Q
y
2
x OQ cos r sin j cos
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1.8.1 圆柱坐标系 坐标变量
1
CQU
ρ ,φ , z
r = eρ ρ + ez z
dl = eρ dρ + eφ ρ dφ + e z dz
坐标单位矢量 eρ , eφ , e z 位置矢量 线元矢量 面元矢量
dS ρ = eρ dlφ dlz = eρ ρ dφ dz dSφ = eφ dlρ dlz = eφ dρ dz dS z = e z dlρ dlφ = e z ρ dρ dφ
1.8 圆柱坐标系与球坐标系
CQU
三单位矢量e 有以下特点: 三单位矢量 ρ、eφ和ez有以下特点
三个单位矢量相互正交，且满足右手关系， 三个单位矢量相互正交，且满足右手关系，即 er× eθ= eφ； eθ× eφ = er ； eφ × er = er ∂ 1 ∂ 1 ∂ + eθ + eφ ∂r r ∂θ rsinθ ∂φ
= 0, ∂ρ ∂e z = 0, ∂ρ
= −eρ , ∂φ ∂e z = 0, ∂φ
1.8 圆柱坐标系与球坐标系
CQU
圆柱坐标系中的三度表达式
∇ = eρ
∇f =
∂ 1 ∂ ∂ + eφ + ez ∂ρ ρ ∂φ ∂z
∂f 1 ∂f ∂f eρ + eφ + ez ∂ρ ρ ∂φ ∂z
(ρ ≠ 0)
r = er r
dl = er dr + eθ rdθ + eφ rsinθ dφ
dSr = er dlθ dlφ = er r 2 sinθ dθ dφ
dSθ = eθ dlr dlφ = e z rsinθ drdφ dSφ = eφ dlr dlθ = eφ rdrdθ
体积元
dV = r 2 sinθ drdθ dφ
本章小结 本章小结
CQU
1、场的概念 标量场和矢量场的概念， 标量场和矢量场的概念，矢量场的分类以及每类矢量场的基本 特征。 特征。 2、场的三度计算 标量场的梯度 ∇f 、矢量场的散度 ∇ ⋅ F 和旋度 ∇ × F ； 要求牢记▽算符的矢量特性和微分特性； 要求牢记▽算符的矢量特性和微分特性； 牢固掌握在直角坐标系下的三度计算式，实施正确计算； 牢固掌握在直角坐标系下的三度计算式，实施正确计算； 在其它坐标系下，给定三度的计算式后， 计算场 在其它坐标系下，给定三度的计算式后，会计算场。 三度的计算式后 3、要会进行场的高阶计算 要做到此项，必须牢记矢量的点积、叉积，重要的矢量恒等式。 要做到此项，必须牢记矢量的点积、叉积，重要的矢量恒等式。 4、正确理解高斯散度定理和斯托克斯定理、正确认识赫姆 正确理解高斯散度定理和斯托克斯定理、 霍兹定理。 霍兹定理。
∇⋅F =
1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂Fφ (r Fr ) + (sinθ Fθ ) + r 2 ∂r rsinθ ∂θ r sinθ ∂φ
1 er 1 eθ rsinθ ∂ ∂θ rFθ 1 eφ r ∂ ∂φ rsinθ Fφ (r ≠ 0)
(r ≠ 0)
r 2sinθ ∂ ∇× F = ∂r Fr
1 ∂ 1 ∂Fφ ∂Fz ∇ ⋅ F (ρ ,φ ,z) = (ρ Fρ ) + + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z
1
ρ
eρ
eφ ∂ ∂φ ρ Fφ
1
ρ
ez
∇ × F (ρ ,φ ,z )
=
∂ ∂ρ Fρ
∂ ∂z Fz
1.8 圆柱坐标系与球坐标系
CQU
1.8.2 球面坐标系 坐标变量
r ,θ , φ
坐标单位矢量 er , eθ , eφ 位置矢量 线元矢量 面元矢量
e ρ = cos φ e x + sin φ e y eφ = −sin φ e x + cosφ e y
∂e ρ ∂ρ ∂eφ = 0, ∂e ρ ∂φ ∂eϕ = eφ , =0 ∂z ∂eφ = 0 ∂z ∂e z =0 ∂z ∂e ρ
eρ、eφ、ez对坐标ρ、φ、z求偏导 求偏导
体积元
dV = ρ dρ dφ dz
1.8 圆柱坐标系与球坐标系
CQU
三单位矢量e 有以下特点: 三单位矢量 ρ、eφ和ez有以下特点
三个单位矢量相互正交， ① 三个单位矢量相互正交，且满足右手关系 eρ × e φ = e z e φ × ez = eρ e z × eρ = e φ ② 除ez是常矢外，eρ和eφ 的方向都有可能随 点的不同 是常矢外， 的方向都有可能随P点的不同 而变化，它们是坐标函数: 而变化，它们是坐标函数