第四章 连续时间系统的频域分析

Sa
⎛ ⎜⎝
ωτ 2
⎞ ⎟⎠
=
ω
2Eα α2 +ω2
ωτ sin
2
幅频特性
V1(ω )
H (ω )
Eτ
V2 (ω )
o
ω
o
ω
o
ω
从幅频特性可见： 高频部分显著变小 ；低频部分变化不大。显示了网络的低通特性。
5．求 v2(t)略 方法 2：直接转化为频域模型 二、周期信号用傅里叶级数分析法
设e(t) = cosω0t,若 : H ( jω) = H ( jω) e jφ(ω)，求R( jω) → r(t)
1.理想滤波器是非因果系统。因而是物理不可实现的； 2.尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率特性是最佳的。但它们的时域特性并不是最 佳的。主瓣或旁瓣都有起伏，这表明理想滤波器的时域特性与频域特性并不兼容。 3.在工程应用中，当要设计一个滤波器时，必须对时域特性和频域特性作出恰当的折中。
三、非理想滤波器 由于理想滤波器是物理不可实现的，工程
∫ ∫ h(t)
=
1 2π
∞
H(
−∞
jω)e jω t dω
=
1 2π
ωC −ωC
e− jω t0
e jω tdω
=
ωC π
Sa[ωC (t − t0 )]
δ (t )
∞
(1)
h(t ) ωC π
几点认识
t
πt0
t
ωc
1．比较输入输出，可见严重失真: δ (t ) ↔ 1信号频带无限宽，而理想低通的通频带(系统频带)
1 2
e(t
)
⎡⎣e
jωc
t
+ e− jωct ⎤⎦ 根据频移性质得
A(
jω)
=
1 [E(
2
jω
−
jωc ) +
E(
jω
+
jωc )]
根据卷积定理得 F [cosωct] = πδ ( jω − jωc ) + πδ ( jω + jωc ) ，则
a(t)
=
e(t) cos (ωct )
↔
1 2π
第四章 连续时间系统的频域分析
本章主要内容：本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统中的几个主要方面——滤波、 调制。系统函数 H(jω)及傅里叶变换分析法；理想低通滤波器模型；系统的物理可实现条件； 调制／解调的原理与实现；频分复用与时分复用;无失真传输条件。 4.1 引言
实质上，在时域分析方法是把信号分解为无穷多个冲激信号分量的和；傅里叶分析法是
e(t) : 调制信号； a(t)：已调信号； cos (ωct )：载波信号
频谱结构 ω > ωm，E( jω) = 0
e(t)
O
cos ωc t
E( jω ) A
t
−
ω
O
m
ω
m
ω
F [cosωct ]
∞
∞
a(t) = e(t) ⋅ cos (ωct )
O
t
(π )
(π )
−ωc
O
ωc ω
A( jω)
3.求 V1 (jω)
v1
(t)
↔
V1
(
jω )
=
Eτ
Sa
⎛ ⎜⎝
ωτ 2
⎞ ⎟⎠
−
e
jω
τ 2
4.求 V2 (jω)
∴V2
(
jω )
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
H
(
jω )V1 (
jω )
=
α
α + jω
⋅ Eτ
Sa
⎛ ⎜⎝
ωτ 2
⎞ ⎟⎠
−
e
jω
τ 2
=
V2
(ω )
e jϕV2 (ω )
V2 (ω ) =
Eτα α2 +ω2
是有限的 (0 ~ ωc ) .当 δ (t ) 经过理想低通时， ωc 以上的频率成分都衰减为 0,所以失真。当
ωc → ∞ 时, h(t) ↔ δ (t) ，系统为全通网络，可以 无失真传输。 2．理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统, 原因：从 h(t)看，t<0 时已有值。 3. 信号边沿变缓——高频分量有损失。系统截止频率越高，边沿变化越陡峭。 4. 信号有延时——系统相频特性的影响。 小结
4.4 佩利—维纳准则 就时域特性而言，一个物理可实现系统的冲激响应 h(t)在 t < 0 时，必须为零。或者说
h(t)波形的出现，必须是有起因的，不能在冲激作 用于系统之前就产生响应。这就是所谓的 “因果条件”。上述为线性时不变系统为因果系统的一个时域判据，即 h(t)在 t < 0 时，必须 为零。
解:1.列方程 低通网络为一阶电路，其时域方程为
RC
d
v2 (t dt
)
+
v2
(t
)
=
v1
(t)
2. H ( jω), h(t) ，求两边同时取傅氏变换，利用微分性质
RCjω V2 ( jω ) +V2 ( jω ) = V1 ( jω )
系统函数：
H
(
jω
)
=
V2 V1
( (
jω ) jω )
=
2π −∞
2π −∞
R( jω) = H ( jω)E( jω)
频域分析法：
e(t ) h(t ) r(t)
H ( jω ) E ( jω )
(需要先介绍卷积定理，因为上次课忘记讲了： 卷积定理
1)时域卷积定理 若 f1(t) ↔ F1( jω)，f2 (t) ↔ F2 ( jω) ，则 f1(t) ∗ f2 (t) ↔ F1( jω) ⋅ F2 ( jω) 证明：
解：根据
∑ r(t)
=
a0 2
H (0) +
∞ n =1
An H (
jnΩ) cos (nΩt
+ ϕn
+ φ(nΩ))
则：
r(t) = 4 + 2 cos(t + π / 2) = 4 + 2sin t 。
4.3 理想低通滤波器 理想频率选择性滤波器 一. 滤波： 定义：通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过 程称为滤波。 滤波器可分为两大类：a.频率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位）；b.频率选择性滤波器 （去除某些频率分量）。 理想频率选择性滤波器的频率特性：理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个） 频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。 理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。 滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（pass band ），完全不允许信号通过的频 段称为阻带（stop band）。 连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性：
↔
F1 (
jω)，f2 (t)
↔
F2 (
jω)
，则
f1(t) ⋅
f2 (t)
↔
1 2π
F1 (
jω) ∗ F2 (
jω)
时域：r(t)=e(t)*h(t)，则依卷积定理有 R( jω) = E( jω) ⋅ H ( jω) 。
频率响应：H (jω) = R( jω) 。 H ( jω) = H ( jω) e jϕ(ω) 。H ( jω) ~ ω：系统的幅频特性；ϕ(ω) ~ ω： E( jω)
1
+
1 jω RC
=
1 RC
1 RC
+
jω
=
α jω + α
其反变换
h (t ) = α e−α tε (t ) =
1
−
e
1 RC
t
ε
(
t
)
；
RC
其中， α = 1 , τ = RC 称为时间常数。 RC
与第二章讨论的冲激响应一致。
系统的频域模型
R
+
+
1 V1( jω) jωC −
V2 ( jω)
−
应用中就必须寻找一个物理可实现的频率特 性去逼近理想特性，这种物理可实现的系统就 称为非理想滤波器。
对理想特性逼近得越精确，实现时付出的代 价越大，系统的复杂程度也越高。 非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。 通常将偏离单位增益的 ±δ1 称为通带起伏（或波纹）， δ2 称为阻带起伏（或波纹）， ωp 称为 通带边缘 ωs 为阻带边缘， ωs − ωp 为过渡带。 工程实际中常用的逼近方式有 1.Butterworth 滤波器：通带、阻带均呈单调衰减，也称通带最平伏逼近； 2.Chebyshev 滤波器：通带等起伏阻带单调，或通带单调阻带等起伏； 3.Cauer 滤波器：（椭圆函数滤波器）通带、阻带均等起伏。 它们都从幅频特性出发逼近理想低通的特性。
－维纳准则，是物理不可实现的系统。显然，理想低通，高通，带通和带阻都是物理不可实
现的系统。
例如：理想低通滤波器 | H ( jω ) |= 0,ω > ωc 时，因为 ln
H ( jω )
∫ → ∞, 于是 ∞ −∞
ln H ( jω )
1+ω2
dω 不
收敛。违反了佩利－维纳准则 ，则系统不可实现。
4.5 调制与解调 1．调制原理
在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现信号的传输，往往要进行调制和解 调： 调制的原因：高频信号容易以电磁波形式辐射出去；多路信号的传输——频分复用；改善电 波传播之衰减；利用模拟电话线路传送数据信号 1）调制 调制——将信号频谱搬移到较高频率范围的过程。 调制的分类 按载波：正弦型信号作为载波，脉冲串或一组数字信号作为载波。 连续性：模拟（连续）调制；数字调制。模拟调制是数字调制的基础。幅度调制（抑制载波 的振幅调制，AM-SC）。