高中物理竞赛(静力学)

力、物体的平衡

补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。

一、力学中常见的三种力

1.重力、重心

①重心的定义：

++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。 ②重心与质心不一定重合。如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。 如将质量均匀的细杆AC （AB =BC =1m ）的BC 部分对折,求重心。

以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）：

（0.5-x ）

2G =(x +0.25)2

G ,得x =0.125m （离B 点）. 或以A 点为转轴：0.5⨯2G +(1+0.5)2G =Gx ', 得x '=0.875m ，离B 点x =1-x '=0.125m.

2.巴普斯定理：

①质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积剩平面薄板重心通过和路程。 如质量分布均匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x ， 绕直径旋转一周，2321234R x R πππ⋅=，得π

34R x = ②质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度剩曲线的重心通过路程。

如质量分布均匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x ，

绕直径旋转一周，R x R πππ⋅=242，得π

R x 2= 1. （1）半径R =30cm 的均匀圆板上挖出一个半径r =15cm

的内切圆板，如图a 所示，求剩下部分的重心。

（2）如图b 所示是一个均匀三角形割去一个小三角形

AB 'C '，而B 'C '//BC ，且∆AB 'C '的面积为原三角形面积的

4

1，已知BC 边中线长度为L ，求剩下部分BCC 'B '的重心。 [答案：(1) 离圆心的距离6R ；(2)离底边中点的距离9

2L ] 解(1)分割法:在留下部分的右边对称处再挖去同样的一个圆,则它关于圆心对称,它的重心在圆心上,要求的重心就是这两块板的合重心,设板的面密度为η，重心离圆心的距离为x .

有力矩平衡: ),2()2(])2(2[222x R R x R R -=-ηπηπ得6

R x ==5cm. 填补法:在没挖去的圆上填上一块受”重力”方向向上的圆,相当于挖去部分的重力被抵

消,其重心与挖去后的重心相同,同理可得6R x =. 能量守恒法:原圆板的重力势能等于留下部分的重力势能和挖去部分的重力势能之和,可得6R x =. (2) ∆AB 'C '的面积为原三角形面积的1/4，质量为原三角形质量的

41，中线长度应为原三角形中线长度的2

1。 设原三角形BC 边的中线长为L 。原重心离BC 边的距离为

3L ，且在中线上。 类似于（1）的解法，可得重心离底边中点的距离9

2L x =，且在原三角形的中线上。 思考：三根均匀杆AB 、BC 、CA 组成三角形，其重心在哪？（内心，要用解析几何）

2. 完全相同的4块砖，每块砖的长都为0.3m ，叠放在水平桌

面上，如图所示。求它的最大跨度（即桌边P 点离最上面一

块砖右边的Q 点的水平距离）。（答案：0.3125m ）

解：16

5)4131211(2=++=

L L m m=0.3125m 3. 一薄壁圆柱形烧杯,半径为R ,质量为m ,重心位于中心线上,离杯底的高度为H ,今将水慢慢注入烧杯中,问烧杯连同杯中的水共同重心最低时水面离杯底的距离是多少？(设水的密度为

ρ)（答案：ρπρπ2222R mH R m m h ++-=）

解:开始注水时共同重心在水面之上,这时如果加水,就等于在共同重心下方加质量,所以重心将会随着水的注入而逐渐下降.

当重心下降到水面时,重心最低,因为此时如果再加水,就是在共同重心上方加质量,重心就会升高.

重心最低时水面离杯底的距离为h 应满足:ρπR 2hg

2

h +mgH =(πR 2h ρ+m )hg , 解得:ρπρπ2222R mH R m m h ++-=.

2.弹力、弹簧的弹力（F =kx ,或F =-kx ）

（1）两弹簧串联总伸长x ，F =？

由x 1+x 2=x ,k 1x 1=k 2x 2，得2

112k k x k x +=,所以kx k k x k k x k F =+===212122. （2）并联时F =(k 1+k 2)x .

(3)把劲度系数为k 的弹簧均分为10段，每段劲度系数k '=?(10k )

4. 一个重为G 的小环，套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆上。一个劲度系数

为k ，自然长度为L （L <2R ）的轻质弹簧,其上端固定在大圆环最高点,下端与小环相接,不考虑一切摩擦,小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为:

. （答案：G

kR kL 22cos 1--） 提示:力的平行四边形为等腰三角形.

3.摩擦力

（1）摩擦力的方向：

①静摩擦力的方向：跟运动状态与外力有关。

②滑动摩擦力的方向：跟相对运动方向相反。

5. 如图所示,在倾角θ=300的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为G ,现用

与斜面底边平行的水平作用力F (F =G /2)推物体,物体恰好在斜面上作

匀速直线运动,则物体与斜面的动摩擦因数为 . （答案：

3

6） 6. 如图所示，一个质量m =20kg 的钢件，架在两根完全相同的、平

行的直圆柱上。钢件的重心与两柱等距。两柱的轴线在同一水平

面内。圆柱的半径r =0.025m ，钢件与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20。

两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动，角速度ω=40rad/s ，

若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件作速度为v =0.050m/s 的匀

速运动，求推力的大小。设钢件左右受光滑导槽限制（图中未画出），不发生横向运动。（答案：2.0N ）

解：因滑动摩擦力的方向与相对滑动方向相反。

所以推力大小F =2f cos α=μmg cos α=2)

/(1v r mg ωμ+=2.0N 。 （2）摩擦角:f 和N 的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角（f 达到最大）叫摩

擦角，摩擦角ϕ=tan -1f /N =tan -1μ。摩擦角与摩擦力无关，对一定的接触面，ϕ是一定的。

7. 水平地面上有一质量为m 的物体,受斜向上的拉力F 作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦

因数为μ,则为使拉力F 最小,F 与水平地面间的夹角多

大?F 的最小值为多少?