利用几何知识求最值的几种方法

利用几何知识求最值的几种方法

最值问题在中学数学教材中占有相当重要的地位，而与“不等式”“函数值域”都有着密切联系。中学中我们学习了不少关于求最值的方法。本文利用我们学过的知识把复数,几何等知识融合在一起给出了求最值的几种巧妙方法，诣在归纳总结，给以后学习最值问题提供参考。

1.用比较半径法求最值。

此方法主要是从代换的角度出发，巧妙应用圆的半径来探索求最值。

这类题目的特点是所求函数和限制条件一般由一个是二次曲线形式的。利用坐标变换把二次曲线变成圆，再把目标函数变为直线，因在同一个坐标系内直线过圆，所以圆上的点到直线的距离小于等于半径。根据公式.

求得最值。

例1.已知求函数的最值。

分析:此题限制条件是一个二次曲线—椭圆。目标函数为一直线，若令：

则恰能得到一个圆的方程，而目标函数12X-5Y是一过圆心的直线,这些恰好符合我们给出的条件,所以我们不妨用此方法去解.

解：令圆: 。

如图：显然圆上任一点P(X,Y)到直

线：12X-5Y=0的距离

即

例2.已知x+3y-10=0,求函数的最小值。

解：设则

直线方程：

如图：圆：

从而本题变为求圆半径的最小值。

当直线与圆相切时圆的半径取得最小值。

即：故.

1.切线法求最值。

①利用“直线关系法”求最值。

这类题目的特点是点在平面上的二次曲线域（包括边界）上运动，求目标函数的最值。此解法关键是把约束条件恒等变形，化成二次曲线上或形内的适合条件，再令（为非零实数），转化成求的最值，则可求出的最值。

这种思路主要应用了斜率不变的直线系来解决问题。

例1. 若点的坐标适合求。

分析:由题我们可以看出所适合的条件是在这个圆形区域内,所求函数恰好为一直线,故我们可以用此方法去解.

解：变形为，适合条件的点为圆周上和圆内的点。

设目标函数，这是斜率为的平行直线系，如图：

此题转化为求斜率为的直线与圆相切的方程。

又因为我们有

代入则得

即：，解之得

所以的最大值是5，最小值是。

②斜率法求最值。

这类题的特点是所求目标函数一般为分式,如根据的关系我们把它写成是二次曲线上点,从而这个式子可以看做是点(a,b)到曲线上任一点的斜率的最值,在根据二次曲线的切线求得最值.此法能形象地说明该式最值的几何意义。解法关键是先把目标函数化成二次曲线上任意一点与曲线外一点（定点）连线的斜率k，再根据题意画出图形，构造切线，从而求得最值。

例1.若x为实数，求的最值。

解：目标函数可看作椭圆上任一点，与定点（4，3）连线的斜率。如图：

设切线为，则，

解得

所以

备注：１.直线与圆相切充要条件：

２.直线与椭圆相切的充要条件：

。

３.直线双曲线相切的充要条件：

。

４.直线与抛物线相切的充要条件：

3.用“动点求导法”求最值

这类题一般是以定线段为底某一曲线上的动点为顶点的三角形面积的最值问题.解此类提的一般步骤如下:

(1) 用导数法求出曲线到定线段距离的极值.

(2) 计算极值点和曲线端点到定线段的距离,并加以比较得出距离的最大值或最小值.

(3) 用三角形面积公式计算出三角形面积的最值.

例１.椭圆上有两点

及动点C，求椭圆内接的最大面积。

解：设椭圆上点到AB的距离取极值，

则过点C的切线AB平行，将方程

两边对y求导得：，

所以切线斜率

以此代入椭圆方程，求得C点的坐标和。

直线AB的方程为：,点和

到AB的距离：

所以，。

所以最大面积为。

4.令“坐标法”求最值

这类题目的特点是目标函数为若干个二次根式之和.解法关键是精心设计各点的坐标,使以原点为起点相邻两点的距离之和恰好构成目标函数,从而起点与终点间的距离正好是其最小值.

例1.若为非负实数，求的最小值。

解：设点，点，点则

，由图可看出从O 到C的线段中，

OC 为最短的，即：

所以

所以得：的最小值是。

5.利用“参数法”求最值。

此方法主要是利用圆锥曲线的参数方程把所求问题转化为三角函数,最后再利用三角函数的最值来求出所要求的问题.

这类题一般为求一个闭合的圆锥曲线的内接矩形的面积最值问题.如椭圆,圆等.

例1:求椭圆的内接矩形的最大面积

解:如图:令

则椭圆方程变为

将此方程转化为参数方程:

那么第一象限内椭圆上一点C的坐标

为则内接矩形的面积

是:

当时

又图一边为图二相当于对椭圆进行了平移变换,故椭圆的大小,形状完全没有变化,所以其内接矩形的面积也不变.

椭圆内界矩形的最大面积是

参考文献：

[1]吴高林等.双曲线切线存在性及引向[J].数学通报，1983，（9）

[2]何亚魂.一类最值问题的解法[J].湖南城市学院学报，1988，（5）

[3]益阳师专学院报（自然科学版）[J].1988，（1）

[4]陈进兴.解析几何最值问题的几种求法[J].数学教学通讯，1998，（3）

[5]山西广播电视大学学报[J].2003，（4）