随机过程的微分和积分

随机过程的微分和积分
在高等数学中，数列的收敛与极限是微积分的基础。在随机过 程中，随机序列的收敛与极限的概念则是随机过程微积分的基础。
举例：设一电压控制电路对外来的噪声电压信号进行控制，使 其稳定在某一水平。我们考察这一渐进过程。
设该试验共有三个结果Ω=( ξ1,ξ2, ξ3)，在t=1,2, …,n,…上采样, 随 时间变化得一串随机变量X1,X2,…,Xn… ← 称随机变量序列{X(n)}。
t2 T
t1 =t2 =t ∈T
0
T
t1
⑵－若X(t) 在t∈T上均方连续，则 RX (t1, t2 )
一般连续。
证明：
在t1=t2=t上
RX (t + Δt1, t + Δt2 ) − RX (t, t) = E[ X (t + Δt1 ) X (t + Δt2 )] − E[ X (t) X (t)] = E{[ X (t + Δt1 )⑴− X (t)]X (t + Δt2 )} + E{X (t)[ X (t + Δt2 ) ⑵− X (t)]}
则称：随机序列{X(n)} “均方收敛”于随机变量X。
记作：l ⋅i ⋅ m X (n) = X ， 或：X (n) ⎯M⎯⋅S⎯→ X n→∞
(2) 均方收敛的充要条件（柯西准则） 若随机序列{X(n)}和随机变量X的二阶矩均存在，则{X(n)}均方收
敛于X的充要条件是： lim E{ X (n) − X (m) 2} = 0
Fn
(x)
=
F ( x)
1
F(x)
Fn (x)
M
X (n) ⎯d⎯→ X
Fi (x)
M
M
0
x
5、均方收敛（平均意义下的收敛）Mean.square
设随机序列{X(n)}对所有 的n=1,2,…二阶矩存在，随机变量X的 二阶矩也存在。
若{X(n)}、X满足： lim E{ X (n) − X 2} = 0 n→∞
简写： {X (n)} ⎯e⎯→ X
在上述“处处收敛”的定义中，Ω中只要有“一个”ξi对应的样本
序列{xi (n)}不收敛，则随机序列{X(n)}就不是“处处收敛”的。这个条
件一般的随机序列都不容易满足。
下面介绍几种常用的“宽松的” 收敛定义。
2、以概率1收敛（“几乎处处收敛”）almost .every.where 若随机序列{X(n)}相对试验E的所有可能结果ξ ∈Ω
χξ
(t
+
Δt)
=
χξ
(t),................ξ
∈
Ω
则称：该过程X(t)在 t 上处处连续。
二、均方连续 1、定义
若二阶矩过程在t∈T上满足 lim E{[ X (t + Δt) − X (t)]2} = 0 Δt →0
则称X(t) 在t∈T上，“在均方意义下”连续。或称该二阶矩过程
用
lim
n−>∞
Sn
=
a
表示。
或用S1,S2,…,Sn → a 即称：数列{Sn}的极限为a. n−>∞
1 随机序列的收敛
一、随机序列收敛的几种定义 1、随机变量序列“处处收敛” (every ⋅ where)
若随机序列样本空间Ω={ξ1, ξ2, ξ3}中的“所有” 的样本序列(普
通数列)均收敛，即ζ：1：
x1
(1),
x
1
(2),L
,
x1
(n
)
→
n→∞
x1
ζ
：
2
x
2
(1),
x2
(2),L
,
x2
(n)
→
n→∞
x2
， (x1,x2 ,x3
)∈
X
ζ
：
3
x3
(1),
x3
(2),L
,
x3
(n)
→
n→∞
Leabharlann Baidu
x3
lim
n→∞
xi
(n)
=
xi，
∀ζ i ∈ Ω
则称：随机序列{X(n)} “处处收敛”于随机变量X。
记作： lim X (n) = X n→∞
对某次试验结果ζ i 而言，在样本函数xi (t) 上采样得到的{xi (n)} 是一
个普通数列称“样本序列”。
“数列收敛”的概念：
若有数列S1,S2,…,Sn,…对任意小的正实数ε>0，总能找到一
个正整数N，使得当n>N时，存在∣Sn-a∣< ε，对任意n>N ，则
称数列S1,S2,…,Sn,…收敛于常数a
n→∞ m→∞
只需要对随机序列{X(n)}的一个方差 E[ X (n) − X (m) 2] 进行检验，比 较方便。因此，在随机过程中运用的是均方收敛。
四种收敛模式之间的关系：
a⋅e
e
Pd
M ⋅S
a⋅e
eP d
M ⋅S
随机过程的连续性
在微积分中，一个函数要可微，该函数首先必须要连续。
一般确定函数的连续性：
则称：随机序列{X(n)}“依概率收敛”于随机变量X。 记：{X (n)} ⎯P⎯→ X
4、依分布收敛(distribution) 若存设在：：Fn(x)，n=1,2,…是随机序列{X(n)}的分布函数，F(x)是随机 变则量称X：的随分机布变函量数序。列{X(n)}“依分布收敛”于X。
记：
lim
n→∞
设函数χ(t)在 t 0 的t 0某个邻域内有定义，当自变量的增量△t→0
时，函数的增量也趋于→0，即
lim χ (t0 + Δt) = χ (t0 )
Δt → 0
则称：函数χ(t)在 t 0 上连续.
一、随机过程处处连续
对于随机过程X(t)而言，若它的每一个样本函数在 t 上都续：
lim
Δt →0
X(t)具有“均方连续性”。常表示为l ⋅ i ⋅ m X (t + Δt) = X (t)
或者简称过程m.s连续。
Δt →0
t ∈T
2、均方连续的准则（过程X(t) 在t∈T上均方连续的“充要条件”）
⑴—若X(t) 的自相关函数 RX (t1 , t2 ) 在t∈T (t1=t2=t)上连续，
则X(t)便在t∈T上均方连续。
满足：
P{lim X (n) = X } = 1 n→∞
则称：随机序列{X(n)} “以概率1收敛”于随机变量X。
简记： {X (n)} ⎯a⎯.e⎯→ X
3、依概率收敛(Probability)
若随机序列{X(n)} 对于任意给定小正数ε > 0 ，
有：lim P{ X (n) − X ≥ ε} = 0 n→∞
利用许瓦兹不等式
E{[X(t + Δt1)⑴− X(t)]⋅ X(t + Δt2)} ≤{E{[X(t + Δt1) − X(t)]2}⋅ E[X 2(t + Δt2)]}1/2
E{X
(t)
⋅[
X
(t
+
Δt 2
)− X ⑵
(t)]}
≤
{E[ X
2
(t)]
⋅
E{[
X
(t
+
Δt 2
)
−
X
(t )]2 }}1 /