重庆邮电大学 信号与系统 杨晓非版 课件

问题
t =0– 时，激励尚未接入，t =0– 时的值y(j)( 0–) 反映了系统过去的历史状况； t = 0+时，激励已接入，因而 y(j)(0+) 则已包含输入信号的作用。
解决方法 如何由已知的初始状态 y(j) ( 0–)，设法求得初始条件y(j) (0+)。
初始值确定的两种情况：
e 3yt
p(et)t
i1
C1e2t C2e3t et
C1 3,C2 2
齐次解
特解
6 4 7 4 48 }
y( t ) 13e42t2 24e33t e{t
齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的 特性，与激励f(t)的函数形式无关，称为 系统的自由响应或固有响应。但齐次解的
求微分方程 y(t) 5y(t) 6 y(t) f (t) 的全解 已知： y(0 ) 1, y(0 ) 2, f (t) 2et t>0
解：（1）求齐次解
特征方程为： 2 5 6 0
1 2 , 2 3
齐次解一般形式： yh ( t ) C1e1t C2e2t C1e2t C2e3t (2) 求特解
Q f (t) 2et yp (t) Pet
代入原微分方程 Pet 5 Pet 6Pet 2et
P 1 yp (t) et
(3) 求全解
h
p
i
p
n
i1
y( t
)
yh( t
)
yp( t
)
C
1e
C2 t
ie
Ci t 2
数学模型 f(t)
S ? y(t)
2.1 LTI连续系统的经典时域分析法
一、 微分方程的经典解
如果单输入一单输出系统的LTI连续系统激励为f(t)，响应为y(t)，则系统的数
学模型是n 阶线性常系数微分方程。
n
n
ai y( i )( t ) bj f ( j )( t )
i0
j0
ai 和bj 为常数，且an=1
齐次解yh(k)
Cλk Cr-1kr-1γk+Cr-2kr-2 γk+…+C1kγk+ C0γk
ρk[Ccos(βk)+Dsin(βk) ] 或Aρkcos(βk-θ) Aejθ=C+jD
r重共轭复根
Ar-1kr-1ρkcos(βk-θr-1)+……+A0ρkcos(βk-θ0)
2、差分方程的特解
若给定的是具体电路，根据电路分析中的换路定律来确定t=0+初始条件；
若给定的是微分方程和初始条件，根据激励信号的情况，利用微分方程两端 各奇异信号相平衡的方法来判断；
已知系统的微分方程为：
已知：
求
和
已知系统的微分方程为： 已知：
求
和
三、零输入响应和零状态响应
LTI系统的完全响应 y(t) ：可分解为零输入响应与零状态响应之和。 零输入响应yx(t) ：激励为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应； 零状态响应yf(t)：系统初始状态为零时，仅由输入信号 f(t) 所引起的响应；
零状态 系统
y f (k ) = h(k)
g(k)
单位序列响应h(k)：离散系统的激励信号为(k)时的零状态响应； 单位阶跃响应g(k)：离散系统的激励信号为ε(k)时的零状态响应；
二、h(k)的求取方法 1、利用单位阶跃响应与单位序列响应的关系求h(t)
ε(k)
g(k)
(k) = ▽ε(k)
3、差分方程的完全解
LTI差分方程的完全解： y(k) yh (k) yp (k) 已知某离散时间系统的差分方程为：
激励信号：
，y(0)=0，y(1)=2，求:系统的完全解。
二、零输入响应、零状态响应和全响应 LTI离散系统的全响应y(k)分为：
零输入响应yx(k) 和零状态响应yf (k) 。
n
n
n
其中，
Ci
k i

Cxi
k i

C
fi
k i
i 1
i 1
i 1
自由响应与零输入响应都是齐次解的形式，但它们的系数并不相同； Cxi仅由初始状态所决定； Cfi仅由输入激励f(t)所决定， Ci是由起始状态和激励共同决定。
某离散系统的差分方程为：
已知：
, 初始状态y(-1)=0， y(-2)=1/2，试求系统的全响应。
(3k1 2k1) (k 1) 3(3k1 2k1) (k 1) (k) 6(3)k1 2k1 (k 1)
注意两点： 1、初始值的确定：n阶差分方程
初始条件为：
2、差分方程的右端由序列f(k)及其各阶导数的线性组合时：
2、特解yp(t)
是t>0微分方程的一个解； 特解的函数形式与激励函数（f(t)）的形式有关，;
选定特解后，将其代入到微分方程，求出各待定系数Pi
3、完全解
微分方程的完全解是齐次解与特解之和。若微分方程的特征根 均为单实根，则其全解为：
n
y( t ) yh( t ) yp ( t ) Cieit y p( t ) i1
2、微分方程的右端由激励f(t)及其各阶导数的线性组合时：
设微分方程右端仅有f(t)时的冲激响应为h0(t)
2.4 LTI离散系统的单位序列响应
本节解决两个问题： 单位序列响应和单位阶跃响应的概念； h(k)的求取方法
一、单位序列响应和单位阶跃响应的概念
f (k) = (k)
ε(k)
2.3 连续系统的单位冲激响应
本节解决两个问题： 单位冲激响应和单位阶跃响应的概念； h(t)的求取方法
一、单位冲激响应h(t)
1、单位冲激响应和单位阶跃响应的概念
f (t )(t )
f(t)= ε(t)
零状态 系统
y f ( t ) h( t )
yf(t)= g(t)
➢ 零状态系统：在激励 f(t) 的作用下将产生零状态响应yf(t)；
解： 特征方程为 2 5 6 0
特征根为 1 2, 2 3
齐次解一般形式为: yh ( t ) C1e1t C2e2t C1e2t C2e3t
代入初始条件得:
C1=4 C2= -3
得到齐次解: yh ( t ) 4e2t 3C2e3t
第二章 LTI系统的时域分析法
2.1 LTI连续系统的经典时域分析法 2.2 LTI离散系统的经典时域分析法 2.3 LTI连续系统的单位冲激响应 2.4 LTI离散系统的单位序列响应 2.5 卷积 2.6 卷和
LTI连续系统的数学模型是：常系数线性微分方程； LTI离散系统的数学模型是：常系数线性差分方程； 时域分析法：不经变换，在时间域中直接求出系统的输响应； 两种时域分析方法：经典求解法和卷积（和）分析法；
已知系统的微分方程为：
已知：
求零输入响应
2、零状态响应yf(t)
微分方程式的初始状态为零，有输入信号，是非齐次方程； 零状态响应包含齐次解和特解两部分，由于要求齐次解中的待定系数，需 要确定微分方程的初始条件y(j)(0+)； 时域中求解零状态响应较麻烦，但对理解系统的物理概念有帮助；
➢ 如果激励是单位冲激信号δ(t)，产生的响应称为单位冲激响应，用h(t)表示。 ➢ 如果激励是单位阶跃信号ε(t)，产生的响应称为单位阶跃响应，用g(t)表示。
注意：为方便起见，对单一零状态系统进行讨论时常常仅用y(t)代表yf(t)。
y( t ) a0 y当( tf)(t b)0f (t()t )时 h( t ) a0h( t ) b0 ( t )
P0ak
a不等于特征根
P1kak+P0ak
a等于特征单根
Prkrak+ Pr-1kr-1ak-1+…+ P1kak+ P0ak
a是r重特征根
P1cos(βk)+P2sin(βk)
所有的特征根均不等于e±jβ
或Pcos(βk−θ) 其中， Pejθ=P2+jP2
k[P1cos(βk)+P2sin(βk)] 当特征根均等于e±jβ
y(k) yx (k) y f (k)
零输入响应yx(k) ：当激励为零时完全由初始状态所引起的系统响应； 零状态响应yf (k) ：当初始状态为零时完全由激励 f(t) 所引起的系统响应。
1、零输入响应yx(k)
用齐次解的经典求解方法求零输入响应 是齐次方程，yx(k)与 yh(k)具有相同的模式
自由响应
强迫响应 系数Ci的值是与激励f(t)有关。
特解的函数形式由激励信号f(t)确定，
称为强迫响应。
二、初始值的确定
要求
若输入f(t) 是在t=0 时刻接入，怎么确定求待定系数所需的一组初始条件？ 初始条件：指 t=0+ 时刻的值，即 y(j)(0+) (j = 0，1，…，n–1)。
2、h(t)的求解方法 （1） 利用阶跃响应与冲激响应的关系求解
此方法适用于简单电路，前提是阶跃响应g(t)简单易求。
（2）利用微分方程的经典求解法求h(t)
某二阶LTI系统的微分方程为： 试求其单位冲激响应h(t) 。
注意两点： 1、初始值的确定：n阶微分方程，右端只含有激励f(t)
t=0+的初始值为：
n n1 L a1 a0 0
➢ 齐次微分方程的特征根：特征方程的 n 个根λi (i=1，2，…，n) ； ➢ 齐次解yh(t)的函数形式由特征根确定；