圆幂定理讲义(带答案解析)

圆幂定理

STEP 1:进门考

理念：1. 检测垂径定理的基本知识点与题型。

2. 垂径定理典型例题的回顾检测。

3. 分析学生圆部分的薄弱环节。

（1）例题复习。

1.（2015夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN=cm．

【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．

【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E，首先求得CD的长，即OE的长，在直角△AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN即可求解．

【解答】解：作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E．

在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中，∠B=90°﹣∠A=60°，

∴CD=BCsinB=4×=2（cm），∴OE=CD=2，

在△AOE中，AE=AB=4cm，

则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4．

【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．

2.（2017阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）

A．2cm B．cm C．2cm D．2cm

【考点】M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）．

【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．

【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，

∵OA=2OD=2cm，∴AD===（cm），

∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．故选：D．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．

3.（2014泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）

A．4 B．C．D．

【考点】M2：垂径定理；F8：一次函数图象上点的坐标特征；KQ：勾股定理．

【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．

【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D 点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，

根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则

PD=PE=，所以a=3+．

【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，

∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，

把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，

∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，

∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，

∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：B．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．

4.（2013内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．

【考点】FI：一次函数综合题．

【专题】16 ：压轴题．

【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．

【解答】解：∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4，∴k（x﹣3）=y﹣4，

∵k有无数个值，∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得x=3，y=4，

∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，

∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，

∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，

∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24；故答案为：24．

【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．

STEP 2:新课讲解

1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。

2、熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。

3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。

4、通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分的知识。

一、相交弦定理

相交弦定理

（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．

几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD（相交弦定理）

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成

的两条线段的比例中项．

几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA•PB（相交弦定理推论）．基本题型：

【例1】（2014秋•江阴市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP=3，BP=4，CP=2，则CD长为（）

A．6 B．12 C．8 D．不能确定

【考点】M7：相交弦定理．

【专题】11 ：计算题．

【分析】由相交线定理可得出AP•BP=CP•DP，再根据AP=3，BP=4，CP=2，可得出PD的长，从而得出CD即可．

【解答】解：∵AP•BP=CP•DP，

∴PD=，

∵AP=3，BP=4，CP=2，

∴PD=6，

∴CD=PC+PD=2+6=8．

故选C．

【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

【练习1】（2015•南长区一模）如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）

A．B．5 C．+1 D．

【考点】M7：相交弦定理．

【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴AE===，

∵BC=3，BE=1，∴CE=2，

由相交弦定理得：AE•EF=BE•CE，

∴EF==，

∴AF=AE+EF=；