微专题4 空间角和距离的计算
《空间角与距离》课件
在这个PPT课件中，我们将探讨空间角与距离的概念、度量方法和应用。这些 是三维空间中重要的数学基础，对于物理、工程和计算机等领域有着重要的 意义。
空间角的概念
1 夹角定义
空间中两个射线之间的夹角被称为空间角。
2 计算方法
3 度量单位
空间角可以通过向量的内积和模长求得。
空间角的大小通常用弧度制来表示。
不同距离的应用
欧几里得距离
广泛应用于几何问题中的距离 计算，例如点之间的最短路径。
曼哈顿距离
常用于衡量城市街道间的距离， 尤其在导航和路径规划中得到 广泛应用。
向量的模长
被用于求解向量之间的距离， 例如判断两个向量的相似程度。
结语
空间角与距离的概念与应用是三维空间中重要的数学基础，对于物理、工程、计算机等领域都有着重要的意义。 掌握这些概念将有助于深入理解和解决相关问题。
空间角的度量方法
球面角
用于度量球面上两条射线之间的夹角。
平面角
用于度量平面上两条射线之间的夹角。
二面角
用于度量空间中两个平面的夹角。
空间中的距离
1Hale Waihona Puke 欧几里得距离用于测量空间中两点之间 的直线距离。
2 向量的模长
用于计算向量的长度，也 可以看作是起点与终点之 间的欧几里得距离。
3 曼哈顿距离
用于衡量城市街道等不规 则环境下的距离。
空间几何的距离与角度知识点总结
空间几何的距离与角度知识点总结空间几何是数学中研究物体形状和位置的一个分支，涉及到距离和角度的概念。
在空间几何中，距离用来衡量物体之间的长度或间隔，而角度则用来描述物体之间的夹角或转动程度。
本文将对空间几何中的距离与角度的知识进行总结。
一、距离的概念与计算距离是空间几何中最基本的概念之一，它用来描述两点之间的间隔长度。
在空间中，距离可以分为两维空间和三维空间。
在二维空间中，距离的计算可以使用勾股定理来求解，即d = √((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²)，其中d表示距离，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)表示两点的坐标。
在三维空间中，距离的计算可以使用三维勾股定理来求解，即d = √((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)²)，其中d表示距离，(x₁,y₁,z₁)和(x₂,y₂,z₂)表示两点的坐标。
二、角度的概念与计算角度是描述物体之间夹角或转动程度的概念，在空间几何中也是非常重要的。
角度的单位有度和弧度两种。
在二维空间中，角度的计算可以使用三角函数来求解。
两个向量的夹角可以使用点积的性质来计算，即θ = arccos((A·B)/(|A| |B|))，其中θ表示夹角，A和B分别为两个向量。
在三维空间中，角度的计算可以通过向量的叉积来求解，即θ = arcsin(|A×B|/(|A||B|))，其中θ表示夹角，A和B分别为两个向量。
三、常见几何体的距离与角度在空间几何中，有一些常见的几何体，如直线、平面、球体等，它们之间的距离和角度也有一些特殊的计算方法。
对于直线与直线之间的距离，可以寻找垂直于两条直线的公共垂线，然后计算垂足之间的距离。
对于平面与平面之间的距离，可以寻找垂直于两个平面的直线，然后计算这条直线与两个平面的交点之间的距离。
对于球体与球体之间的距离，可以寻找两个球体的球心连线，然后计算球心连线的长度减去两个球体半径之和。
高三数学空间角与空间距离的计算通用版知识精讲
高三数学空间角与空间距离的计算通用版【本讲主要内容】空间角与空间距离的计算 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小，直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离的求解【知识掌握】 【知识点精析】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 1. 空间的角的概念及计算方法（1）空间角概念——空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值X 围，如①两异面直线所成的角θ∈（0，2π） ②直线与平面所成的角θ∈[0，2π] ③二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈（0，π）．说明：对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步提高运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．（2）空间的角的计算方法①求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；②求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角； ③求二面角α－l －β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法： （ⅰ）根据定义； （ⅱ）过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面γ，设γ∩α＝OA ，γ∩β＝OB ，则∠AOB ＝θ（图1）；（ⅲ）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A ，分别作另一个平面β的垂线AB （垂足为B ），或棱l 的垂线AC （垂足为C ），连结AC ，则∠ACB ＝θ或∠ACB ＝π－θ（图2）；（ⅳ）设A 为平面α外任一点，AB ⊥α，垂足为B ，AC ⊥β，垂足为C ，则∠BAC ＝θ或∠BAC ＝π－θ（图3）；（ⅴ）利用面积射影定理，设平面α内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面β内的射影图形的面积为S ‘，则cos θ＝SS '．2. 空间的距离问题 （1）空间各种距离是对点、线、面组成的空间图形位置关系进行定量分析的重要概念．空间距离是指两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等，距离都要转化为两点间距离即线段长来计算，在实际题型中，这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离，因线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算出结果的外，都要转化为求点到平面的距离进行计算．（2）空间的距离问题主要是：求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．（3）求距离的一般方法和步骤是： 一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值． 此外，我们还常用体积法或向量法求点到平面的距离．【解题方法指导】例1. 三棱锥P-ABC 中，∠ABC ＝90，PA ＝1，AB ＝3，AC ＝2，PA ⊥平面ABC.（1）求直线AB 与直线PC 所成的角； （2）求PC 和面ABC 所成的角； （3）求二面角A-PC-B 的大小．PA BC解：（1）作矩形ABCD.∴AB 和PC 所成角即为CD 和PC 所成角，且CD ⊥PD ．CD ＝3，AD ＝1，PD ＝2，tanPCD ＝3632=.故AB 和PC 所成角为arctan 36（2）∵PA ⊥面ABC ，PC 和面ABC 所成角即为∠ACP ，求得tanACP ＝21， ∴∠ACP ＝arctan21 （3）∵PA ⊥面ABC ，∴面PAC ⊥面ABC ，过B 作BG ⊥AC 于G ，则BG ⊥面PAC.过G 作GH ⊥PC 于H ，连接BH ，则BH ⊥PC ． ∴∠BHG 为二面角A-PC-B 的平面角． 在Rt △ABC 与Rt △PBC 中，PB ＝2，BC ＝1，AC ＝2，AB ＝3∴PC ＝5∴BH ＝52，BG ＝23． ∴sinBHG ＝4155223==BH BG ∴∠BHG ＝arcsin 45．故二面角A-PC-B 的大小为arcsin 45．例2. 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，D 、E 分别是1AC 、1BB 的中点， （1）求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角C AC E --1的大小； （3）求点1C 到平面AEC 的距离．解：（1）取AC 中点F ，连接DF ．∵ D 是1AC 的中点，F∴DF ∥1CC ，且121CC DF =．又11//CC BB ，E 是1BB 的中点， ∴DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，DE ＝BF ．∵1BB ⊥面ABC ，⊂BF 面ABC ，∴1BB ⊥BF ．又∵F 是AC 的中点，△ABC 是正三角形，∴BF ⊥AC ，a BF 23=． ∵1BB ⊥BF ，1BB ∥1CC ，∴BF ⊥1CC ，∴BF ⊥面11A ACC ， 又∵⊂1AC 面11A ACC ，∴BF ⊥1AC ， ∵DE ∥BF ，∴DE ⊥1AC ，DE ⊥1BB ，∴DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，且a DE 23=． （2）∵11//CC BB ，DE ⊥1BB ， ∴DE ⊥1CC ， 又∵为DE ⊥1AC ，∴DE ⊥面11A ACC ． 又⊂DE 面1AEC ，∴面1AEC ⊥面1ACC ， ∴二面角C AC E --1的大小为90°．（3）连接CE ，则三棱锥1CEC A -的底面面积为221a S CEC =∆，高a h 23=．所以32123232311a a a V CEC A ==⋅⋅-．在三棱锥AEC C -1中，底面△AEC 中，a CE AE 25==，则其高为a ，所以22a S AEC =∆．设点1C 到平面AEC 的距离为d ，由AEC C CEC A V V --=11得32123231a a d =⋅， 所以a d 23=，即点1C 到平面AEC 的距离为a 23【考点突破】【考点指要】空间角是立体几何中的一个重要概念．它是空间图形中的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中，可以在填空题或选择题中出现，更多的在解答题中出现．空间中各种距离都是高考中的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点，考查题型多以选择题、填空题为主，有时渗透于解答题中，所以复习时应引起重视．【典型例题分析】例1. （2003全国卷文）如图，已知正四棱柱2,1,11111==-AA AB D C B A ABCD ，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；（2）求点1D 到平面BDE 的距离．解法1：（1）连结AC 交BD 于点O ，则点O 为BD 中点，连OF ，则可证OCEF 为矩形， 故EF ⊥CC 1 ，EF ∥AC ．又可证AC ⊥平面BD 1 ∴AC ⊥BD 1，∴EF ⊥BD 1， 故 EF 为BD 1与CC 1的公垂线．O（2）连结D 1E ，则有三棱锥D1-DBE 的高d 即为点1D 到平面BDE 的距离． 由已知可证三角形DBE 为边长为2的正三角形，故2331311⋅⋅=⋅⋅=∆-d S d V DBE DBE D ； 又31311111=⋅===∆---DBD DBD C DBD E DBE D S CO V V V∴3123=d ∴332=d ， 即1D 到平面BDE 的距离为332解法2：解（1）以D 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则 )0,0,0(D ，)2,0,0(1D)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)1,1,0(E ，)1,21,21(F ，∴)0,21,21(-=EF ，)2,1,1(1--=BD ，)2,0,0(1=CC∴01=⋅BD EF ，01=⋅CC EF ；∴1BD EF ⊥，1BD EF ⊥ 又EF 与CC 1、BD 1分别交于E 、F ，故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （2）由（1）)0,1,1(--=BD ，)1,0,1(-=BE ，)2,1,1(1--BD ， 设 平面BDE 的法向量为 ),,(z y x n =，则BD n ⊥，BE n ⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BD n ， ∴⎩⎨⎧=+-=--00z x y x ， 即 ⎩⎨⎧=-=z x y x ，∴ 不妨设 )1,1,1(-=n ，则点1D 到平面BDE 的距离为33232||1===n n BD d ， 即为所求．例2. （2006全国卷Ⅲ文20）如图，12l l ，是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A B ，在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==．（Ⅰ）证明AC NB ⊥；（Ⅱ）若60ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．Ｃ1l2解法一：（Ⅰ）由已知221l MN l l ⊥⊥，，1MNl M =，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN ⊥==，，可知AN NB =且AN NB ⊥． 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影， AC NB ∴⊥．（Ⅱ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB ∠=︒，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心， 连结BH ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ∠===．N1l l解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -．1l令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，．（Ⅰ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥， 2l ∴⊥平面ABN ．2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，．于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， ∵0011=+-=⋅NB AC AC NB ∴⊥． （Ⅱ）(11)AC m =，，，(11)BC m =-，，，AC BC ∴=．又已知60ACB ∠=︒，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===． 在Rt CNB △中，NB =NC =(0C ． 连结MC ，作NH MC ⊥于H ，设(0)(0)H λλ>，．(012)(01HN MC λλ∴=--=，，，，，．∵021=--=⋅λλMC HN ，∴31=λ1033H ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，，可得2033HN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 连结BH ，则1133BH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，∵092920=-+=⋅BH HN ，HN BH ∴⊥，又MC BH H =， HN ∴⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．又(110)BN =-，，， ∴3623234cos =⨯=⋅=∠BN BH BN BH NBH【综合测试】一、选择题1、已知AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，AB ＝2，a 与b 成30°，在直线a 上取AP ＝4，则点P 到直线b 的距离是（ ）A 、22B 、25C 、142D 、5 2、将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A 、a 43B 、a 43C 、a 23 D 、64a 3、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，P 是棱AB 上的垂足，则直线A 1M 与OP 所成的角（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 4、二面角α-AB-β大小为θ（0°≤θ≤90°），AC ⊂α，∠CAB ＝45o ，AC 与平面β所成角为30o ，则θ角等于（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 5、（2005某某卷文4）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ）A 、23 B 、22C 、21 D 、336、已知直线a 及平面α，a 与α间的距离为d ．a 在平面α内的射影为a '，l 为平面α内与a '相交的任一直线，则a 与l 间的距离的取值X 围为（ ）A 、[),d +∞B 、(),d +∞C 、(]0,dD 、{}d二、填空题 7、（2005某某卷理12）如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于____________．8、已知∠60o ，则以OC三、解答题：9. C 点到AB 1ABC DA 1E B 1C10.（2006理17）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：PB ∥平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小．B[参考答案]一、选择题1. 选A 提示：过P 做直线b 的垂线2. 选A 提示：用异面直线距离公式求解3. 选D 提示：过A 1做OP 的平行线4. 选B 提示：过C 做平面β的垂线5. 选B. 提示：转化为求B 1到平面AB C 1D 1的距离6. 选D 提示：转化为a 与α间的距离 二、填空题7.2. 提示：将三角形ABC 补成正方形ACBD. 8. 33- 提示：利用直线与直线所成角的大小求出边长，再求二面角平面角的大小三、解答题：9. 解：由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1，∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段∵CE ＝23，AC ＝1 ，∴CD ＝.22∴21)()(22=-=CD CE DEABC DA 1E B 1C 110. 解法一：（Ⅰ）（Ⅱ）（略 解见第45讲【达标测试】第9题）（Ⅲ）过O 作FG AB ∥，交AD 于F ，交BC 于G ，则F 为AD 的中点．CDAB AC ⊥，OG AC ∴⊥． 又由（Ⅰ），（Ⅱ）知，AC PB EO PB ，⊥∥，AC EO ∴⊥． EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．连接EF ，在EFO △中，1122EF PA FO AB ==，，word11 / 11 又PA AB EF FO =，⊥，45135EOF EOG ∴∠=∠=，，∴二面角E AC B --的大小为135．解法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系A xyz -，如图．y 设AC a PA b ==，，则有(000)(00)(00)(00)A B b C a P b ，，，，，，，，，，，，(00)(0)AC a PB b b ∴==-，，，，，，从而0=⋅PB AC ，AC PB ∴⊥．（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO ．由已知得(0)D a b -，，，002222ab b a E O ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 022b b EO ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，又(0)PB b b =-，，， 2PB EO ∴=，PB EO ∴∥，又PB ⊄平面AEC EO ，⊂平面AEC ， PB ∴∥平面AEC ．（Ⅲ）取BC 中点G ．连接OG ，则点G 的坐标为000222a b b OG ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 又0(00)22b b OE AC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，，00=⋅=⋅∴AC OG AC OE ，．OE AC OG AC ∴，⊥⊥．EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．22cos -=⋅<OGOE OG OE ．135EOG ∴∠=． ∴二面角E AC B --的大小为135．。
怎样求空间角、 空间距离
nPMdab2图npMdα1图MdP nβα4图MdP nα3图怎样求空间角、 空间距离求空间角、 空间距离高考的重点热点之一，属必考内容，同时也是最重要的得分点。
既是必考，就须反复操练，烂熟于心。
一、求空间距离方法方法一：用定义法做出相应的距离，转化为两点间的距离问题求解（通常转化为解三角形问题，有时也用等面积、等体积法求之）方法二： 向量坐标法 则d=||||n MP n ⋅（公式一）1、点P 到平面α的距离.如图1（M 为α内的点，n 为平面的法向量）2、异面直线a 与b 的距离如图2（P 为a 上一点，M 为b 上一点，n 为与两异面直线都垂直的向量）3、平行于平面α的直线l 到平面α的距离如图3（P 为线上一点，M 为面α内一点，n 为平面的法向量）4、平行平面α 、β间的距离如图4（P 为α内一点，M 为β内一点，n 为平面的法向量）二、求空间角的方法方法一：用定义法作角，转化为相交直线所成的角，然后求解. 1、异面直线a 与b 所成的角θ在一条直线上找一点作另一直线的平行线，构成三角形，或在具体图形中找另一点，过此点作两直线的平行线，构成三角形. 2、直线l 与平面α所成的角ϕ斜线上选点P ，过P 作PM ⊥α于M ，连 AM, ϕ=AMP ∠为所求;利用公式cos θb nam5图mαMPn6图=cos 1θ cos ϕ （θ为斜外角，1θ为面平角）3、二面角ϕ过二面角棱上一点分别在两个半平面内做垂线，从而得到所求的二面角（通常利用特殊图形法 、两垂一连法既三垂线定理去做）也可用射影面积公式求之 S ′=S cos ϕ方法二：向量法利用公式cos θ =||||||n m n m ⋅（公式二）求出θ= arccos||||||n m n m ⋅1、异面直线a 与b 所成的角θ如图5分别求出两条直线a 与b 的方向向量m 、n，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅2、直线l 与平面α所成的角ϕ如图6求与l 的方向向量m ,再求平面α的法向量n , m 与n 所在直线所成的角为θ，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅则ϕ＝2π－θ 3、求二面角ϕ如图7、8求两平面的法向量m 与n 或如图9、10找分别与两半平面平行且都垂直于棱的两向量m 与n .利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅，当ϕ为锐角时如图7、9ϕ=θ， 当ϕ为钝角时如图8、10 ϕ= π－θ三.、用向量求角，求距离典型例题分析（对我们而言，不能求出角和距离许多时候是因为我们不能找到或作出角和距离。
空间角与距离的计算与证明
() 在上取一点(，，), 则存在 使
NCMC,
NC (1x,1y,z),
MC (1 ,0 , 1 ), 2
x 1 , y 1, z 1 .
2
ANMC,只需 ANMC0
即x1z0,解得 4.
tan
OO 1 B
OB OO 1
3
ta nO1OCO O1CO 1
3 3
OO 1 B 60 ,
O 1 OC 30 ,
从而 OC BO 1 ,
由三垂线定理得
:
AC BO 1 .
(II )由 (I ) AC BO 1 , OC BO 1 知 : BO 1 平面 AOC .设 OC O 1 B E , 过点 E 作 EF AC 于 F , 连结 O 1 F (如图 ), 则 EF 是 O 1 F 在平 面 AOC 内的射影 , 由三垂线定理得 :
则相关各点的坐标: A是 (3,0,0)、
B ( 0 ,3 ,0 )C , ( 0 ,1 ,3 )O 1 ,( 0 ,0 ,3 )
从而 AC ( 3 ,1 , 3 ) BO 1 ( 0 , 3 , 3 ) AC BO 1 3 3 3 0, 所以 AC BO 1 .
2
5
可知当 4 时 ,
5
N 点坐标为 ( 1 ,1, 2 ), 55
能使 AN MC 0 .
此,时 AN (1,1,2),BN (1,1,2),
55
55
有BN MC 0
由AN MC 0,
BN MC 0得 : AN MC, BN MC. 所 以ANB为 所 求 二 面 角 的 平 面.角
核心考点四 空间角及空间距离的计算
核心考点四 空间角及空间距离的计算方向一：点到平面的距离解法突破：求点到平面的距离的常见方法有：（1）定义法：直接作出点到平面的垂线，垂线段的长度就是点到平面的距离（2）转化法：利用等体积法或者线面平行的位置关系进行转化例1、如图所示，在三棱锥ABC P -中，AB BP AP ACB BC AC ===∠==,90,20，AC PC ⊥，求点C 到平面APB 的距离。
变式1、如图所示，正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点，求点C 到平面BD A 1的距离。
⊥OA 底面ABCD ，2=OA ，求点B 到平面OCD 的距离。
例2、如图所示，三棱柱111C B A ABC -中，21====AA AB CB CA ，61=C A ，0160=∠BAA ，求三棱柱111C B A ABC -的体积。
已知6,2===PA PD PB ，若E 为PA 的中点，求三棱锥BCE P -的体积。
变式2、如图所示，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，F 为AB 上一点，该四棱锥的侧（左）视图如图所示，求四面体BFC P -的体积。
变式3、如图1所示，在边长为1的等边三角形ABC 中，E D ,分别是AC AB ,上的点，且32==AE AD ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥BCF A -，其中22=BC ，求三棱锥DEG F -的体积。
方向二：空间角计算（1）异面直线所成的角解法突破：通过“平移法”将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来完成，即异面成角问题转化为共面相交成角问题，这是解决异面直线所成角问题的基本思路和方法，其中平移法又包括中位线平移法、选点平移法、补形（体）平移法等具体方法，同时要注意两条一面直线所成的角的范围是]2,0(π。
例3、如图所示，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点O 是底面ABCD 的中心，F E ,分别是AD CC ,1的中点，求异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值。
求空间角和距离
求空间角和距离1.角：异面直线所成的角,直线和平面所成的角,二面角,都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。
异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。
直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。
二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。
2.距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。
异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。
线面距离，面面距离常化归为点面距离。
3.计算问题：（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角范围：0°＜θ≤90°方法：①平移法；②补形法.直线与平面所成的角范围：0°≤θ≤90°方法：关键是作垂线，找射影.二面角 范围：0°≤θ≤180°方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法.注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=S cosθ来计算（2）空间距离①两点之间的距离. ②点到直线的距离. ③点到平面的距离. ④两条平行线间的距离.⑤两条异面直线间的距离. ⑥平面的平行直线与平面之间的距离. ⑦两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长. (2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.注:在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决.②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.③补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.④利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.⑤平面图形的翻折，要注意翻折．．前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变。
空间几何中的角度与距离计算
空间几何中的角度与距离计算在空间几何中，角度与距离的计算是非常重要的。
通过正确计算角度和距离，我们能够准确描述和分析物体的位置、运动以及相互关系。
本文将介绍空间几何中常用的角度计算方法和距离计算方法。
一、角度计算在空间几何中，角度是表示物体之间相对方向关系的重要指标。
常见的角度计算方法有以下几种：1. 余弦定理余弦定理是计算三角形内角的常用方法之一。
在空间几何中，如果已知三点的坐标，可以通过余弦定理计算出这三个点所形成的夹角。
余弦定理的公式如下：cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)其中，A为夹角的大小，a、b、c为夹角对应的边长。
2. 矢量法矢量法是一种基于向量运算的角度计算方法。
通过将空间中的两个向量进行运算，可以得到它们之间的夹角。
常见的向量法角度计算包括点乘法和叉乘法。
（1）点乘法：两个向量的点乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的余弦值。
可以通过点乘法计算向量之间的夹角。
（2）叉乘法：两个向量的叉乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的正弦值。
可以通过叉乘法计算向量之间的夹角。
3. 三角函数在空间几何中，三角函数也是用于角度计算的常用方法之一。
通过正弦、余弦和正切等三角函数的运算，可以计算出角度的大小。
三角函数的计算方法需要先将坐标系进行转换，然后根据坐标的数值，利用相应的三角函数公式进行计算。
二、距离计算在空间几何中，距离是表示物体之间远近程度的重要指标。
常见的距离计算方法有以下几种：1. 欧几里得距离欧几里得距离是空间几何中最常用的距离计算方法。
对于二维或三维空间中的两个点，欧几里得距离可以通过计算它们在各坐标轴上的差值的平方和再开方的方式得到。
欧几里得距离的公式如下：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]其中，d为距离，(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)分别为两个点的坐标。
空间几何中的角和距离的计算
空间角和距离的计算(1)一 线线角1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值．2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角．（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；（2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小．二．线面角1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2．（1）求直线D 1F 和AB 和所成的角；（2）求D 1F 与平面AED 所成的角．B 1D12．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小．三．二面角1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点．（1）证明AB 1∥平面DBC 1；（2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小．2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5．（1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小；（2）求SC 与面ABCD 所成的角．3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小．B1B 1BC1空间角和距离的计算(2)四 空间距离计算（点到点、异面直线间距离）1.在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是BC 的中点，DP 交AC 于M ，B 1P 交BC 1于N ．（1）求证：MN 上异面直线AC 和BC 1的公垂线； （2）求异面直线AC 和BC 1间的距离．（点到线，点到面的距离）2．点P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，PA ⊥面ABCD ，Q 为线段AP 的中点，AB=3，CB=4，PA=2，求：（1）点Q 到直线BD 的距离；（2）点P 到平面BDQ 的距离．3．边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC=600，PC ⊥平面ABCD ，E 是PA 的中点，求E 到平面PBC 的距离．C1A（线到面、面到面的距离）4. 已知斜三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ． （1）求侧棱AA 1与底面ABC 所成角的大小；（2）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小； （3）求侧棱B 1B 和侧面A 1ACC 1距离．5．正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，且平面ABCD 、ABFE 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=NB=a （20<<a ）．（1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小．1。
空间角与距离的计算
由△PAD 为等腰直角三角形得 PN⊥AD. 由 DC⊥AD，BC∥AD，BC＝12AD，N 是 AD 的中点得 BN⊥AD.所以 AD⊥平面 PBN. 由 BC∥AD 得 BC⊥平面 PBN， 则平面 PBC⊥平面 PBN. 过点 Q 作 PB 的垂线， 垂足为 H，连接 MH，易知 QH⊥平面 PBC， 所以 MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影， 所以∠QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角．
令 y＝1，则 n＝(0,1，－1)，
BF＝1，EPPF＝2，所以 EP＝233，设 D 到面 PEA 的距离为 d，
因为 VA－EDP＝VD－AEP，即13·AD·S△EDP＝13·d·S△AEP，所以 d＝
AD·S△EDP＝ S△AEP
1×
3 3
＝
33× 2
2 2.
【通法指导】 诚如上文所说，求点面距问题可以采用等积转换和向量 法求解，除此之外个别问题也可采用垂面法(利用面面垂直性 质定理)和等价转移法(利用线面平行)求解．当然，一些求几 何体体积问题，也是对点面距问题的相应考查．
因为A→P＝－1，2
3
3，1，A→E＝(－1,0,1)
，
所以xy＝＝z0，， 令 z＝1，则 n＝(1,0,1)． 因为D→A＝(1,0,0)，
所以
D
到面
APE
的距离为
d＝|D→|An·|n|＝
|1| ＝ 2
2 2.
解法二：由(1)知，AD⊥平面 BFED，所以 AD⊥EP，
AD⊥ED.又因为 EP⊥ED，所以 EP⊥平面 ADE.BD＝ 3，
【题型分析】 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1， ∠BCD＝120°，四边形 BFED 为矩形，平面 BFED⊥平面 ABCD，BF＝1.
空间角及空间距离的计算知识点
__________________________________________________空间角及空间距离的计算1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。
如图：PA 是平面α的一条斜线，A为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。
3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。
二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。
（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。
如图PQ 是两异面直线间的距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线）5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。
如图：O 为P 在平面α上的射影，线段OP 的长度为点P 到平面α的距离长方体的“一角”模型在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ⊂⊂⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，，的平面角。
且则为二面角求法通常有：定义法和等体积法等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。
如图在三棱锥V ABC -中有：S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----===PCBAcba__________________________________________________,,PA a PB b PC c ===.①以P 为公共点的三个面两两垂直； ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心 ④三棱锥P ABC -的高h =即.111h 12222cb a ++= 证：设直线AH 交BC 于D 点，由于H 点一定在△ABC 内部，所以D 点一定在BC 上，连结PD.在△PAD 中，PH ==⑤体积：16V abc =;A。
高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法
高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法立体几何是数学中的一个分支，其重点研究的是三维空间中点、线、面和体之间的关系。
在立体几何中，空间角和空间距离是非常关键的概念。
本文将详细探讨高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法。
一、空间角的概念与计算方法1. 空间角的概念空间角指的是由两个非共面向量所张成的角度，在立体几何中具有重要的意义。
空间角的大小是依据两个向量的夹角计算得来的。
2. 空间角的计算方法在计算空间角时，我们首先需要求出两个向量的点积。
设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则它们的点积为a*b=a1b1+a2b2+a3b3。
接下来，我们可以利用余弦定理来计算角度，即cosθ=(a*b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
二、空间距离的概念与计算方法1. 空间距离的概念空间距离指的是三维空间中两个点之间的距离，也是立体几何中经常涉及到的一个概念。
2. 空间距离的计算方法我们可以借助勾股定理来计算空间距离。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，它们之间的距离为d，则d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
三、空间角和空间距离的应用空间角和空间距离在立体几何中的应用非常广泛，例如在计算棱台的侧面积、计算四面体内切圆半径、求解圆锥截面面积等问题中，我们都需要用到空间角和空间距离的知识。
比如，在计算棱台的侧面积时，我们需要首先求出两条棱所在的平面之间的空间角，然后根据棱长和计算出的角度，就可以快速计算出棱台的侧面积。
在计算四面体内切圆半径时，我们需要先计算出四面体各面的法线向量，然后根据法线向量计算面上的角度，最后用勾股定理求出四面体内切圆的半径。
在求解圆锥截面面积时，我们需要用到空间角和空间距离的知识，以找出圆锥截面的边界和计算截面的面积。
9.6 空间角与距离的运算
答案
2 4
3.已知两平面的法向量分别为 m=（0，1，0），n=（0， 1，1），则两平面所成的二面角为45°或135° .
mn 1 2 , 解析 cos〈m,n〉= | m || n | 2 2 ∵〈m,n〉∈［0°,180°］.
即〈m,n〉=45°,其补角为135°, ∴两平面所成的二面角为45°或135°.
解
如图所示.
∵ BA BA BB , AC AB BC, 1 1 ∴ BA AC (BA BB ) ( AB BC)
1 1
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴ AB BC =0，
BA AB BA BC BB 1 AB BB 1 BC.
的坐标为A（0，0，0）、B（ 3，0， 0）、C（ 3 ，1，0）、D（0，1， 0）、P（0，0，2）、
1 E(0， ，1)， 2
从而 AC=（ 3，1，0），PB =（ 3 ，0，-2）. 设 AC与 PB 的夹角为θ ，
AC PB 3 3 7 , 14 | AC | | PB | 2 7 ∴AC与PB所成角的余弦值为 3 7 14
深度剖析
BB1C1C 的对角线都
【例 1】BB1⊥平面 ABC ，且△ ABC 是∠ B=90°的等
ABB1A1 、 分别相互垂直且相等，若 AB=a ，求异面直线 BA1 求异面直线所成角的关键是求异面直线上
两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须
把所求向量用空间的一组基向量来表示 .如该题中 的AC AB BC, AB、BC 即为基向量.
∴点B到平面CMN的距离d= | n MB | 4 2 .
|n| 3
跟踪练习2
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微专题4空间角和距离的计算
一、单项选择题
1. 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2 3.若M是线段A1C1的中点，则直线BM与底面ABC所成角的正切值为()
(第1题)
A. 5
3 B.
4
3
C. 3
4 D.
4
5
2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2, AA1＝1，则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()
(第2题)
A.
6
3 B.
25
5
C. 15
5 D.
10
5
3. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB, E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()
A.
10
10 B.
1
5
C. 310
10 D.
3
5
4. 如图，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°，那么这个二面角的大小是()
(第4题)
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
二、多项选择题
5. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E, F分别为BB1, CD的中点，则下列说法中正确的有()
(第5题)
A. 异面直线AD1与BD所成角的大小为60°
B. 平面AED⊥平面A1FD1
C. 点C1到平面AB1D1的距离为
3 2
D. B1C∥平面A1BD
6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P, Q分别为棱BC, CC1的中点，则下列说法中正确的有()
A. BC1∥平面AQP
B. 平面APQ截正方体所得的截面为等腰梯形
C. A1D⊥平面AQP
D. 异面直线QP与A1C1所成角的大小为60°
三、填空题
7. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M, N分别是棱AA1和AB上的点．若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.
(第7题)
8. 如图，在长方形ABCD中，AB＝2, AD＝1, E是CD的中点，沿AE将△DAE向上折起，使D到D′的位置，且平面AED′⊥平面ABCE，则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为________．
(第8题)
9. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC 所成角的余弦值为________．
10. 已知二面角α-l-β是锐角，空间一点P到平面α，β和棱l的距离分别是22，4和42，则这个二面角的大小为________．
四、解答题
11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，△P AB是正三角形，四边形ABCD是正方形．
(第11题)
(1) 求证：PC＝PD；
(2) 若2PD＝5CD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
12. 如图，在Rt△AOB中，∠OAB＝π
6，斜边AB＝4. Rt△AOC可以通过旋
转Rt△AOB(以直线AO为轴)得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上．
(第12题)
(1) 求证：平面COD⊥平面AOB；
(2) 当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝33，BC＝3，沿对角线BD将△BCD 折起，使C到C′的位置，且点C′在平面ABD上的射影O恰好在AB上．
(1) 求证：BC′⊥平面AC′D；
(2) 求点A到平面BC′D的距离．
(第13题)。