空间角与距离知识点与题型归纳总结

空间角与距离知识点与题型归纳总结

知识点精讲

一、 空间角的定义和范围

（1） 两条异面直线所成角θ的范围是0]2π（，，当θ=2

π

时，这两条异面直线互相垂直。

（2） 斜线AO 与它在平面α内的射影AB 所成角θ叫做直线与平面所成的角。

平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成角中最小的角，如果直线

和平面垂直，那么直线与平面所成的角为

2

π

；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么就是直线和平面所成的角为0.直线和平面所成的角的范围为[0]2π，；斜线和平面所成的角的范围为(0,).2

π

（3） 从一条直线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平

面叫做二面角的面，棱为l ，两个平面分别为α，β的二面角记做α-l -β，二面角的范围是[0,]π （4） 一个平面垂直于二面角的公共棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA ，OB ，则∠AOB 叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。

二、 点到平面距离的定义

点到平面的距离即点到它在平面内的正射影的距离。

题型归纳及思路提示

题型1 空间角的计算

思路提示 求解空间角如异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的平面角的大小；常用的方法有：（1）定义法；（2）选点平移法；（3）垂线法：（4）垂面法；（5）向量法。 一、异面直线所成的角

方法一：通过选点平移法将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来求解，但要注意

两条异面直线所成角的范围是0]2π

（，。

方法二：向量法，设异面直线a 和b 的方向向量为a 和b ，利用夹角余弦公式可求得a 和b 的夹

角大小α，且||

cos cos ,||||

a b =|a b |a b α⋅<>=

。 例8.59 直三棱柱111ABC A B C -中，若∠BAC =90°，AB =AC =1AA ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

分析 通过选点平移法将异面直线所成的角转化为相交直线的夹角,在三角形中利用余弦定理来求解.

解析 如图8-218所示,连接1AB ,设11AB A B O =,过点O 作OD A ∥1OD AC ∥交11B C 于点D ,连接

1A D ,故1A OD ∠(或其补角)为异面直线1AB 与1AC 所成的角,设1,AB AC AA a ===1AB AC AA a ===,

则12AC a =,11222a OD AC =

=,11222A B a OA ==111222

a

A D

B

C ==１,故1A O

D ∆为正三角形, 160A OD ∠=︒,即异面直线1BA 与1AC 所成的角等于60°,故选C.

变式1 如图8-219所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2AB AD AA ===,M 是棱1CC 的中点,求异面直线1A M 和11C D 所成的角的正切值.

变式2 如图8-220所示,在三棱柱111ABC A B C -中,H 是正方形11AA B B 的中心,1122,AA C H =⊥平面11AA B B ,15C H =,求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值.

例8.60 如图8-221所示,四边形ABCD 是边长为1的正方形,MD ⊥平面ABCD ，且MD =NB ＝１，Ｅ

为ＢＣ的中点，求异面直线ＮＥ与ＡＭ所成角的余弦值．

分析 利用向量法求解异面直线所成的角．

解析 解法一：如图８－２２２所示，以Ｄ为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz ,依题意,得D (0,0,0),A (1,0,0),M (0,0,1),C (0,1,0),B (1,1,0),N (1,1,1),E (1

2

,1,0), 所以1(,0,1),(1,0,1)2

NE AM =--=-，

因为1102

cos ,10

||||

5

22

NE AM

NE AM NE AM -

<>=

=

=-

⨯

所以异面直线ＮＥ与ＡＭ所成角的余弦值为

1010

。

解法二：对几何体细心观察，正三棱锥B-AN 的三条侧棱两两垂直，它分明是正方体的一角，从这个视角出发，又联系到MD ⊥平面ABCD ，ABCD 又恰好是正方形（正方体的一个面），如此分析，应当想到已知形体是正方体的一部分，于是“补全”正方体是合乎情理的。 如图８－２２３所示，连接BQ ，易知BQ ∥AM ，设BQ ∩NE ＝F ，则∠NFQ 即为AM 与NE 所成的角，在正方体BC-QN 中，E 为BC 中点，NQ ＝１，由△BEF ∽△NQF ，从而

22210

cos 210

NF FQ NQ NFQ FN FQ +-∠==

⋅，即为所求。

变式１ 如图８－２２４所示，已知正方体1111ABCD A B C D -，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｇ是棱1AA 的中点，设11,E G 分别是Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影。求异面直线11E G 与ＥＡ所成角的正弦值。

变式2 如图8-225所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点。