上海市位育中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案

【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）
1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ．
2、直线1
2
y x =关于直线1x =对称的直线方程是 ．
3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．
4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=⋅+的倾斜角的取值范围是 ．
5、已知双曲线22
22:1x y C a b
-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程
为 ．
6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ．
7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨
=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ
为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ．
8、已知12,F F 分别为双曲线22
:
1927
x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ．
9、已知直线:90L x y +-=和圆2
2
:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．
10、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最
小值为 ．
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11、在复平面内，复数2334i
i
-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）
A ． 第一象限
B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限
12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）
A ．
B ． 4
C ．
D ．
13、设,mn R
∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆2
2
(1)(1)1x y -+-=相切，则m n
+的取值范围是（ ）
A ． 1⎡-+⎣
B ． (),113,⎡-∞++∞⎣
C ． 22⎡-+⎣
D ． (),2222,⎡-∞-++∞⎣
14、直线143x y
+=，与椭圆
221169
x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3．这样的点P 共有（ ）
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．） 15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4
z R z
+∈，求z ．
16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分
线交P 于点C 和D ，且CD =P 的方程．
17、（本题12分）已知椭圆2
2:14
x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．
（1）求椭圆G 的焦点坐标；
（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．
18、（本题12分）过抛物线2
2(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物
线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ． （1）当2
p
a =
时，求证：11AM AN ⊥； （2）记1111,,AMM AM N ANN ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的
0a >，都有2
213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
四、附加题
19设椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>过M N 两点，O 为坐标原点．是否存
在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且O
A O
B ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．
【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）
1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ． 【答案：1 】
2、直线1
2
y x =
关于直线1x =对称的直线方程是 ． 【答案：220x y +-= 】
3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．
解析：直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=的普通方程为21x =和22
(1)1x y -+=，圆心到
直线的距离为11122-=，所以弦长为=】
4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=⋅+的倾斜角的取值范围是 ． 【答案：30,
,44πππ⎡⎤
⎡⎫
⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
】 5、已知双曲线22
22:1x y C a b
-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程
为 ．
【答案：
22
1205
x y -= 解析：设双曲线22
22:1x y C a b
-=的半焦距为c ，则210,5c c ==．
又∵C 的渐近线为b y x a =±
，点(2,1)P 在渐近线上，∴12b
a
=⋅，即2a b =．
又2
2
2
c a b =+，∴a b ==C 的方程为
22
1205
x y -=． 】
6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ． 【答案：2 】
7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨
=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ
为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ． 【答案：
3
2
】 8、已知12,F F 分别为双曲线22
:
1927
x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ． 【答案：6
解析：∵12(6,0),(6,0)F F -，由角平分线的性质得112
2
8
24
AF MF AF MF =
=
=， 又122236,6AF AF AF -=⨯=∴=． 】
9、已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ． 【答案：[]3,6
解析：设(,9)A a a -，则圆心M 到直线AC 的距离sin45d AM =︒，由直线AC 与圆M
有公共点，则d r ≤
，即2
d ≤
36a ≤≤．】 10、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最
小值为 ．
【答案：22
22
2a b a b
+ 解析：设()
cos ,sin P OP OP θθ，cos ,sin 22Q OQ OQ ππθθ⎛⎫⎛
⎫
⎛
⎫±
± ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭，由于,P Q 在椭圆上，有
22222
1
cos sin a b OP θθ
=+ ①，
22222
1
sin cos a b OQ θθ=+ ②， ①＋②得
2
2
2
21111
a b
OP
OQ
+
=
+，
于是当OP OQ ==OP OQ ⋅达到最小值22222a b a b +． 】 二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论
是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11、在复平面内，复数2334i
i
-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）
A ． 第一象限
B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限
【答案：B 】
12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）
A ．
B ． 4
C ．
D ．
【答案：C
解析：设抛物线方程为2
2y px =，焦点F ，则23,22
p
MF p =+
=∴=，∴24y x =
，OM ===】
13、设,mn R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22
(1)(1)1x y -+-=相切，则m n
+的取值范围是（ ） A ．
1⎡⎣
B ．
(),113,⎡-∞++∞⎣
C ．
22⎡-+
⎣
D ． (),2222,⎡-∞-++∞⎣
【答案：D
圆心为(1,1)，半径为1．直线与圆相切，所以圆心到直线的
距离满足
1=，即2
12m n m n mn +⎛⎫
++=≤ ⎪
⎝⎭
，设m n z
+=，即2
1104
z z --≥，解得2
z ≤-2z ≥+】 14、直线143x y +=，与椭圆
22
1169
x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面
积等于3．这样的点P 共有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个
【答案：B
解析：直线与椭圆的交线长为5．直线方程34120x y +-=．
设点(4cos ,3sin )P θθ．点P 与直线的距离12cos sin 1
5
d θθ+-=，
当02π
θ≤≤
时，12
1)5
d ≤
，1)3PAB S ∆≤<，即此时没有三角形面积为3；
当22πθπ<≤
时，12
1)5
d ≤
，1)PAB S ∆≤，即此时有2个三角形面积为3．选
B ．】
三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．） 15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4
z R z
+∈，求z ． 【解：设,(,)z x yi x y R =+∈，则
222222444()44z x yi x y z z x yi x y i z x y x y x y zz ⎛⎫
-+
=+=++=++- ⎪+++⎝⎭
∵4z R z +
∈，∴2240y y x y
-=+，又22z -=，∴22(2)4x y -+=， 联立解得，当0y =时，4x =或0x =（舍去0x =，因此时0z =），
当0y ≠
时，1
1x z y =⎧⎪=±⎨
=⎪⎩
，综上所得1234,1,1z z z ===．】
16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交P 于点C 和D
，且CD =P 的方程． 【解：直线AB 的斜率为1k =，AB 中点坐标为(1,2)， 所以直线CD 的方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=． 设圆心(,)P a b ，则由P 在CD 上得30a b +-= ①．
又由直径CD =
2
2
(1)40PA a b =∴++= ②．
由①②解得36
a b =-⎧⎨
=⎩或5
2a b =⎧⎨=-⎩，∴圆心(3,6)P -或(5,2)P -，
∴圆P 的方程为22(3)(6)40x y ++-=或22(5)(2)40x y -++=．】
17、（本题12分）已知椭圆2
2:14
x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．
（1）求椭圆G 的焦点坐标；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值． 【解：（1）由已知得2,1a b ==，
∴c ==，∴椭圆G 的焦点坐标
为
(．
（2）由题意知，1m ≥．
当1m =时，切线l 的方程为1x =，点,A B
的坐标分别为,1,⎛⎛
⎝⎭⎝⎭
，此
时AB
当1m =-
时，同理可得AB 当1m >时，设切线方程为()y k x m =-，
由22
()
14
y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=． 设,A B 两点两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则
222121222
844
,1414k m k m x x x x k k
-+==++， 又由l 于圆2
2
1x y +=
1=，即2221m k k =+．
所以
AB === 由于当
1m =±时，AB =
所以(][),11,AB m =
∈-∞-+∞．
因为2AB m m
=
=≤+
，当且仅当m =2AB =，所以AB 的最大
值为2．】
18、（本题12分）过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ． （1）当2
p
a =
时，求证：11AM AN ⊥； （2）记1111,,AMM AM N ANN ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的
0a >，都有2
213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【解：依题意，可设直线MN 方程为1122,(,),(,)x m y a M x y N x y
=+，则有1112(,),(,)M a y N a y --．
由22x my a y px =+⎧⎨=⎩
消去x 可得2220y mpy ap --=，从而有121222y y mp y y ap +=⎧⎨=-⎩ ①
于是21212()22()x x m y y a m p a +=++=+ ②
又由22
11222,2y px y px ==可得()()2
2
12
212
2
2
244y y ap x x a p p -==
= ③
（1）如图1，当2p a =
时，点,02p A ⎛⎫
⎪⎝⎭
即为抛物线的焦点，l 为其准线2p x =-， 此时1112,,,22p p M y N y ⎛⎫⎛⎫
-
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，并由①可得212y y p =-． 证法1：1112(,),(,)AM p y AN p y =-=-，
∴22211120AM AN p y y p p ⋅=+=-=，即11AM AN ⊥． 证法2：∵1
112,AM AN y y k k p p =-=-，∴112
12221AM AN y y p k k p p
==-=-，即11AM AN ⊥．
（2）存在4λ=，使得对任意的0a >，都有2
2134S S S =成立，证明如下：
证明：记直线l 与x 轴的交点为1A ，则1OA OA a ==．于是有
11111121111231112211
(),221
,
211
(),
22S MM A M x a y S M N AA a y y S NN A N x a y =
⋅=+=⋅=-=⋅=+ ()222
2
21212122
2
131212121212
44()()()4a y y y y a y y S S S x x a x x a y y x a x a y y ⎡⎤+--⎣⎦==⎡⎤+++⎣⎦++， 由①、②、③代入上式化简可得2213
4S S S =，所以对任意的0a >，都有2
2134S S S =恒成立．
】 四、附加题
19设椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>
过M N 两点，O 为坐标原点．是否存
在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且O A O B ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．
【解：（1）因为椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>
过M N 两点，所以有
2222421611a b a b ⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩，解得2211
811
4
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即228
4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆E 的方程为22184x y +=． （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且
O A O B ⊥，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组2218
4y kx m
x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩得
222(12)4280k x kmx m +++-=，
则222222
164(12)(28)8(84)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，即2
2
840k m -+>，
122
2
1224122812km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，
2222222
2
2
12121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++．
要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=，即22
222
28801212m m k k k --+=++，所以22
3880m k --=，所以22
3808m k -=≥，又22
840k m -+>，所以2
2238
m m ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，所以283m ≥
，即m ≥
或3
m ≤-
． 因为直线y kx m =+
为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r =
，
2
22
22
8,38133
18
m m r r m k ==
==-++
，所求的圆为22
83x y +=，此时圆的切线方程
y kx m =+
都满足3m ≥
3m ≤-；而当切线斜率不存在时，
切线为3
x =±与椭圆
22
184x y +=
的两个交点为,33⎛± ⎝⎭
或⎛ ⎝
⎭满足OA OB ⊥． 综上，存在圆心在原点的圆2
2
8
3
x y +=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥．
AB ===
①当0k
≠时，AB =
因为2
21
448k k
+
+≥，所以2211
018
44k
k
<≤++
AB <≤，当且仅当
2
k =±
“=”；
②当0k =或k 不存在时，3
AB =
；
综上，AB 的取值范围是,3⎡⎢⎣．。