中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优 易错 难题篇附答案解析(1)

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．

（1）求证：AD=DE；

（2）若CE=2，求线段CD的长；

（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．

【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC

∵AB=BC，

∴△ABD≌CBD

∴∠ABD=∠CBD

在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦

∴AD=DE；

（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，

∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴，

∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，

∴CD= ；

（3）解：延长EF交⊙O于M，

在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，

∴BD=3 ，

∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴，

∴∠BEP=∠EDB，

∴△BPE∽△BED，

∴，

∴BP= ，

∴DP=BD-BP= ，

∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，

∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，

∴S△BDE=12，

∴S△DPE= ．

【解析】【分析】（1）根据已知条件AB是⊙O的直径得出∠ADB=90°，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。

（2）根据圆内接四边形的性质证得∠CED=∠CAB，再根据相似三角形的判定证出△CED∽△CAB，得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出CD的长。

（3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。

2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：

∴

代入，得

解得

∴抛物线对应二次函数的表达式为：

（2）解：如图，

设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作点．

由得对称轴为直线x=1，

∴

∴

∴为等腰直角三角形．

∴

∴

∴

∴为等腰三角形．

设

∴

在中，

∴

∴

整理，得

解得，

∴点P的坐标为或

（3）解：存在点M，使得∽．

如图，连结

∵

∴为等腰直角三角形，

∴

由（2）可知，

∴

∴分两种情况．

当时，

∴，解得．

∴

∴

当时，

∴，解得

∴

∴

综上，点M的坐标为或

【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）由（1）中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D（1，4），点C（0，3），由题意可设点P（1，m），计算易得△DCF为等腰直角三角形，△DEP为等腰三角形，在直角三角形PED和APQ中，用勾股定理可将PE、PA用含m的代数式表示出来，根据PA=PE可列方程求解；

（3）由△DCM∽△BQC所得比例式分两种情况：或，根据所得比例式即可

求解。

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA．

（1）求证：BC＝CD；

（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明：∵DC2＝CE·CA，

∴，

∵∠DCE=∠ACD，

∴△CDE~△CAD，

∴∠CDE=∠CAD，

又∵∠CBD=∠CAD，

∴∠CDE=∠CBD，

∴CD=CB.

（2）解：连结OC（如图），设⊙O的半径为r，

由（1）知CD=CB，

∴弧CD=弧CB，

∴∠CDB=∠CBD=∠CAB=∠CAD=∠BAD，∠BOC=2∠CAB，

∴∠BOC=∠BAD，

∴OC∥AD，

∴，

∵PB＝OB，

∴PB=OB=OA=r，PO=2r，

∴=2，

∵CD=2，

∴PC=4，PD=PC+CD=6，

又∵∠PCB=∠CDB+∠CBD，∠PAD=∠PACB+∠CAD，

∴∠PCB=∠PAD，

∵∠CPB=∠APD，

∴△PCB~△PAD，

∴，

即，

解得：r=4.

即⊙O的半径为4.

【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等可得△CDE~△CAD，再由相似三角形的性质：对应角相等，等量代换可得

∠CDE=∠CBD，根据等腰三角形的性质即可得证.

（2）连结OC，设⊙O的半径为r，根据圆周角定理可得∠BOC=∠BAD，由平行线的判定得OC∥AD，根据平行线所截线段成比例可得=2，从而求得PC、PD长，再根据相似三角形的判定可得△PCB~△PAD，由相似三角形的性质可得，从而求得半径.

4．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．

（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；

②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值。