求数列通项的常用方法

例1：数列9，99，999，9999，……
解：变形为：101－1，102―1，103―1， 104―1，……
∴通项公式为：an 10n 1
注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项
来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠
的，如2，4，8，……。可归纳成
者an n2 n 2两个不同的数列（a
a
4
n 2n 或
a3 a2 4 2 2
a4… a…3 4 3 2
an an1 4 (n 1)
2
an
a1 4[1 2 3 2(n 1)
∴ an 2n2
(n 1)]
4n 3
例10，已知 a1 2 ，an 0 ，
且 an1 an 2an1 • an (n N ) ，求 an 。
an an1 n
∴
1 an 2 n(n 1)
三、累积法（叠乘法） 当一个数列每依次相邻两项之商
构成一个等比数列时，就可用累积法
进行消元
例4、已知数列{an}中 a1 2 ，an1 3n an ，
求通项公式 an。
解：把由1，已2知…，a1 n分2 ，别an代1 入3n a上n ，式得得：：aann1 3n
求通项公式 an 。
解：∵ an2 2an1 an 4
∴ (an2 an1) (an1 an ) 4
令bn an1 an 则数列{bn}是以4为公差的等差数列
∴bn b1 (n 1)d b1 a2 a1 2
∴bn an1 an 4n 2 两边分别相加得：
∴a2 a1 4 1 2
数列通项公式的求法
数列的通项公式:是一个 数列的第n项（即an）与项数n 之间的函数关系
注： ① 有的数列没有通项公式， 如：3，π，e，6；②有的数列有 多个通项公式,如：
an 1n cosn
一、观察法（又叫猜想法，不完全 归纳法）：观察数列中各项与其序号间的
关系，分解各项中的变化部分与不变部分， 再探索各项中变化部分与序号间的关系，从 而归纳出构成规律写出通项公式.
解：∵ an1 an 2an1 • an 且an 0
∴ 令 bn 数列
1
an
1 an
1 2即
an 1
1 1 2 an1 an
，则数列 {bn} 是公差为-2的等差
因此 bn b1 (n 1)d
∴ 1 1 2(n 1) 5 4n
∴an
an
a1
2 5 4n
2
例7．已知下列两数列 {an} 的前n项和sn的 公式，求 {an} 的通项公式。
（1）sn n2 1 （2）sn 2n2 3n
六、 换元法
当给出递推关系求 an时，主要掌握通过引进
辅助数列能转化成等差或等比数列的形式。
例8，已知数列{an}的递推关系为an1 2an 1
，解且：∵a1
便不同）
二、累加法（又叫加减法，叠加法）
当所给数列每依次相邻两项之间的差
组成等差或等比数列时，就可用累加法
进行消元 .
例3，求数列：1，3，6，10，15，21，……
的解通：Biblioteka Baidu项2 公 a式1 {a2n}
a3 a2 3
∴两边相加得：
a4 a3 4 an a1 2 3 4 n
a…5 …a4 5
1 求通项公式 an1 2an 1
an
。
∴ an1 1 2(an 1)
令 bn b1qn1
则辅助数列 {bn} 是公比为2的等比数列
∴ bn an 1即 an 1 (a1 1)qn1 2n
∴ an 2n 1
例 9 ， 已 知 数 列 {an} 的 递 推 关 系
为 an2 2an1 an 4，且 a1 1，a2 3 ，
例 5 ． 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 sn Pn2 ( p 1)n p 3 ，若 {an} 为
等差数列，求p与 an 。
五、 已知数列的前n项和公式，求通项
公式的基本方法是： an
ss1n
(n sn 1
1) (n
2)
注意：要先分n=1和n 2两种情况分别进
行运算，然后验证能否统一。
a2 31，a3 32 ，…， an 3n 1
a1
a2
an 1
四、待定系数法：
用待定系数法解题时，常先假定通项公式 或前n项和公式为某一多项式，一般地，
若数列 {an}为等差数列：则 an pn q
数或或列是sn{snanA}q为Ann等2比A数B列(n（A，Aq 、则 B0为,aqn常数1c)）q。n，1若