第5章数组和稀疏矩阵

3.对称矩阵

若矩阵中的所有元素均满足aij=aji，则称此矩阵为 对称矩阵。 对于对称矩阵，因其元素满足aij=aji ，我们可以 为每一对相等的元素分配一个存储空间，即只存 下三角（或上三角）矩阵，从而将n2个元素压缩 到n（n+1）/2个存储空间中。

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5.2 稀疏矩阵

矩阵中大多数元素的值为零，只有少部分元素的值非零， 并且，这些非零元素在矩阵中的分布没有一定的规律性， 这种矩阵称为稀疏矩阵。 稀疏矩阵的抽象数据类型 （参见教材）
typedef struct
{
OLink * row_head，*col_head;//行、列链表的头指针 int m，n，len;//稀疏矩阵的行数、列数、非零元素数 }CrossList;
数组是一种特殊的数据结构，它用来表示有序的、相同类
型的数据的集合。作为一种静态的数据结构，数组必须在 声明时用常量指定大小。数组元素的访问是通过指定数组 名和下标进行的。
度的节省存储空间，但实现矩阵转置和乘法运算时，即使 借助于一些辅助数组，仍需要耗费较多的时间。十字链表 是三元组的链接表示，它的创建过程更加复杂。
1. C语言中数组下标从0开始，且C语言采用的是按行序为主 序的存储方式，请推导C语言中
1）一维数组元素地址的计算公式。
2）二维数组元素地址的计算公式。
◆为了节省存储空间，可以对这些特殊矩阵进行压缩 存储。
1.下三角矩阵

对于一个n阶矩阵来说，若当i＜j时，有，则称此 矩阵为下三角矩阵。

对于下三角矩阵的压缩存储，我们只存储下三角 中的元素，对于其余的零元素则不存。
若已知首元素的存储地址为Loc(1,1)，并且知道每 个元素所占的存储空间L，下三角中任意元素aij地 址的计算公式如下： Loc(i,j)=Loc(1,1)+(i*(i-1)/2+(j-1))*L ,i≥ j

2.上三角矩阵

对于一个n阶矩阵，若当i＞j时，有，则称此矩阵为上 三角矩阵。

对于上三角矩阵的压缩存储，同下三角矩阵类似，我 们只存储上三角中的元素，对于其余的零元素则不存 。
若已知首元素的存储地址为Loc(1,1)，并且知道每个 元素所占的存储空间L，上三角中任意元素aij地址的 计算公式如下： Loc(i,j)=Loc(1,1)+((2n-i+2）*(i-1)/2+(j-i))*L, i≤ j

5.2.1 稀疏矩阵的三元组表示

一个三元组（i，j，aij）便能唯一地确定矩阵中的一个非零 元素，其中,aij表示矩阵第i行第j列非零元素的值。
若以某种方式（如上，按行序为主序的顺序）将各个三元 组排列起来，则所形成的表就能唯一地确定稀疏矩阵，从 而得到稀疏矩阵的一种压缩存储方式，即三元组顺序表。

{ int row，col; //非零元素的行和列下标 data;
ElemType
struct OLNode * right，*down; //非零元素所在行表、列表的后继链域
}OLNode; *OLink;

在稀疏矩阵的十字链表表示中，行链表是由稀疏矩阵中 同行的非零元素组成的链表，列链表是同列的非零元素 组成的链表。一个m×n的矩阵包含m个行链表和n个列 链表。可以用两个一维数组分别存储每个行链表的头指 针和每个列链表的头指针，从而得到十字链表的结构类 型说明如下：
dst->m= src.n ; dst ->n= src.m ;
dst ->len= src.len ;
if(dst->len>0) { j=1; for(k=1; k<= src.n; k++)
for(i=1; i<= src.len; i++)
2.乘法运算

采用三元组顺序表来实现时，由于乘积矩阵的三元 组顺序表仍要按行序为主序的进行存储，可以采用 固定矩阵M的三元组顺序表中的元素（i，k，aik） （1≤i≤q，1≤k≤r），在矩阵N的三元组顺序表中找 所有行号为k的对应元素（k，j，akj）（1≤k≤s， 1≤j≤t）进行相乘、累加，从而得到，并且仅当时矩 阵P的三元组顺序表中才有元素（i，j，pij）。 注意：稀疏矩阵的乘积不一定是稀疏矩阵。 具体算法 （参见教材）


稀疏矩阵的三元组顺序表存储结构 //非零元素的个数最多为1000
＃define MAXSIZE 1000 typedef struct { int row，col; ElemType data; } Triple; typedef struct { Triple data［MAXSIZE+1］; int m，n，len;
数组中的元素是按照下标顺序连续存储的，特定元素的存
储位置可以根据数组首元素的地址及该元素相对于首元素 的偏移量进行计算。对于多维数组，不同语言采取的存储 主序是不同的。
特殊矩阵由于元素值呈现出一定的规律性，可以进行压缩
存储以节省存储空间，这就需要对特定元素存储位置的计 算公式进行调整。
稀疏矩阵采用三元组顺序表只存储非零元素虽然可以大幅
第五章 数组和稀疏矩阵
5.1数组的概念与表示 5.2 稀疏矩阵
5.1数组的概念与表示

数组可以看作线性表的推广，或者说是线性表的嵌套。
5.1.1 数组的概念

数组是有序排列的相同类型的数据元素的集合。 数组具有如下两个特征：
（1）数组中的元素是有序的。数组中的元素可以用数组名 和下标指定，下标指出了该元素在数组中的顺序。 （2）数组的元素是相同类型的。数组中存储的所有元素必 须是同一种数据类型，而不能是多种数据类型的混合。
2. 对于矩阵，其每个元素占六个存储单元，且的存储地址为 1500
1）如果是下三角矩阵，求元素的存储地址。
2）如果是上三角矩阵，求元素的存储地址。
3）如果是对称矩阵，保存为下三角矩阵，求元素的存储 地址。
3. 已知稀疏矩阵和如下图所示，试写出这两个矩 阵及其转置矩阵的三元组表示。
结束
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为了找到所有的非零元素，需要对其data域从第1 行起整个扫描一遍。具体算法描述如下。
void Transpose (SMatrix src, Smatrix* dst)
{ int i , j, k ;
if(src.data［i］.col==k) { dst->data［j］.row = src.data［i］.col; dst->data［j］.col = src.data［i］.row; dst->data［j］.data = src.data［i］.data; j++; } } }// Transpose

5.2.2 稀疏矩阵的十字链表表示

十字链表又称正交链表，是三元组的链接表示。稀疏矩阵的 每个非零元素仍由三元组表示，这些三元组通过链接方式相 互关联。十字链表的每个结点中除了矩阵元素的三元组信息 外，还包含指向同一行下一个非零元素的指针域(right)和指 向同一列下一个非零元素的指针域(down)。这样，整个矩阵 就构成了一个十字交叉的链表，故称之为十字链表。十字链 表结点的结构类型说明如下： typedef struct OLNode
//该非零元素的行下标和列下标 //该非零元素的值
//非零元素的三元组顺序表，data［0］未用 //矩阵的行数、 列数和非零元素的个数
}SMatrix;
1.转置运算

矩阵的转置：通过变换元素的位置，把位于（row ，col）位置上的元素换到（col，row）位置上， 得到一个新的矩阵。 在稀疏矩阵的三元组顺序表存储结构下，为了保 证转置后矩阵的三元组顺序表仍按行序为主序的 进行存储，需要按照col从小到大的顺序完成元素 位置的变换。

对数组的操作一般只有两类：
（1）获得特定位置的元素值； （2）修改特定位置的元素值。

数组的抽象数据类型（参见教材）
5.1.2 数组的顺序表示
◆对于多维数组，数组元素在一维结构的存储单元中 连续存储时，有个存储的次序问题。
◆对于二维数组，按行序为主序的存储方式和按列序 为主序的存储方式
5.1.3 特殊矩阵的压缩存储