余数性质及同余定理(B级)答案

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奥数讲义数论专题：余数及同余

华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。

（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。

同余定理答案版

第4讲同余定理同余定理是奥数考试中最常考的题型，同时也是数论知识中最具有代表性的知识之一。

本讲将带领大家一起领略巧妙的数论方法，相信大家一定会被同余的意想不到的魅力所吸引。

若a c ÷余数为m ，b c ÷余数为n ，则()a b c +÷的余数等于()m n c +÷的余数；()a b c -÷的余数等于()m n c -÷的余数（m n >）或()m c n c +-÷的余数（m n <）。

a b c ⨯÷的余数等于m n c ⨯÷的余数。

特别的，当m n =时，()a b -是c 的倍数。

若两个整数a 、b 被同一个非零自然数c 除，余数相同，那么称a 、b 对于m 同余，用式子表示为(mod )a b c ≡.编写说明知识要点【例1】有三个自然数a ，b ，c ，其中a 除以c 的余数是1，b 除以c 的余数是2，a b +恰好是c 的倍数，求c 的值。

【分析】根据同余定理，a b +除以c 的余数是3，而a b +恰好是c 的倍数，所以3c =。

【拓展】已知：6a b c -=，其中a 、b 、c 均为正整数，且b 除以6的余数是3，则a 除以6的余数是多少?【分析】 a b -是6的倍数，所以a 和b 除以6的余数相同，a 除以6的余数是3。

【温馨提醒】这边可以帮助学生总结出和（或差）的余数等于余数的和（或差）的余数。

【例2】 135********⨯⨯⨯⨯⨯的乘积除以8的余数是多少？【分析】 1，3，5，7，9，...，2007，2009除以8的余数分别为1，3，5，7，1，3，5，7， (1)3，5，7，1，1357⨯⨯⨯除以8的余数是1，所以135********⨯⨯⨯⨯⨯除以8的余数是1。

【温馨提示】这边可以帮助学生总结出积的余数等于余数的积的余数。

【拓展】 234199077777+++++的末两位是多少？【分析】要求末两位，可以转化为求其除以100的余数是多少，7除以100余数是7，27除以100余数是49，37343=除以100余数为43，472401=除以100余数是1，54777=⨯除以100的余数是7，依此类推，余数是以7，49，43，1循环的，199044972÷=，所以所有余数的和是(749431)497749497+++⨯++=，49756除以100的余数是56，所以和的末两位是56。

同余的概念与性质

同余的概念与性质同余：设m 是大于1的正整数，若用m 去除整数b a ,，所得余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ；否则称a 与b 关于模m 不同余记作)(mod m b a ≠。

性质1：)(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,，也即)(|b a m -。

性质2：同余关系满足下列规律：（1）自反律：对任何模m 都有)(mod m a a ≡；（2）对称律：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；（3）传递律：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则若)(mod m c a ≡。

性质 3:若,,,2,1),(mod s i m b a i i =≡则).(mod ),(mod 21212121m b b b a a a m b b b a a a s s s s ≡+++≡++推论：设k 是整数，n 是正整数，（1）若)(mod m c b a ≡+，则)(mod m b c a -≡。

（2）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a mk a ≡+；)(mod m bk ak ≡；)(mod m b a n n ≡。

性质4：设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则 ))(mod ()(m b f a f ≡。

性质5：若)(mod m bd ad ≡，且1),(=m d ，则)(mod m b a ≡。

性质6：若)(mod m b a ≡，且m d b d a d |,|,|，则)(mod d m d b d a ≡。

性质7：若)(mod m b a ≡，且m m |1，则)(mod 1m b a ≡。

性质8：若)(mod i m b a ≡，s i ,,2,1 =，则]),,,(mod[21s m m m b a ≡这里],,,[21s m m m 表示s m m m ,,,21 的最小公倍数。

同余定理(解析)同余定理(学生)-六年级数学思维拓展

2022-2023学年小学六年级思维拓展专题同余定理知识精讲同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。

同余的定义是这样的：两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。

记作：a≡b(mod　m)。

读做：a同余于b模m。

比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47(mod　5)。

同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个出书，两个数之和(或差)与它们的余数之和(或差)同余。

比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。

“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。

也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2 (mod　5)，19≡4(mod　5)，32+19≡2+4≡1(mod　5)性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。

应用同余性质的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。

把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。

典例分析【典例01】求1992×59除以7的余数。

应用同余性质(2)可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。

1992除以7余4，59除以7余3。

根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。

因为1992×59≡4×3≡5(mod7)所以1992×59除以7的余数是5。

同余定理知识点总结

同余定理知识点总结同余定理通常被描述为以下形式：如果整数a和b对于模m同余，即a ≡ b (mod m)，那么a和b除以模m的余数是相等的。

同余定理可以改写为a mod m = b mod m。

同余定理有两个基本的性质。

首先，它是一种等价关系，具有自反性、对称性和传递性。

其次，同余定理具有乘法和加法性质。

首先，我们来讨论同余定理的基本性质。

同余关系是一种等价关系，即它具有自反性、对称性和传递性。

自反性指的是对于任意的整数a，a ≡ a (mod m)。

这意味着任意整数都与自己对模m同余。

对称性指的是如果a ≡ b (mod m)，那么b ≡ a (mod m)。

传递性指的是如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，那么a ≡ c (mod m)。

这三种性质构成了同余关系的一个等价关系，可以将整数划分为同余类，使得具有相同除模m余数的整数在同一个同余类中。

其次，同余定理具有乘法和加法性质。

对于任意的整数a、b、c和模m，如果a ≡ b (mod m)和c ≡ d (mod m)，那么有以下性质：a + c ≡ b + d (mod m)和a * c ≡ b * d (mod m)。

这两个性质表明了同余定理在乘法和加法下的保持性。

同余定理在数论和代数中有广泛的应用。

首先，同余定理常常被用来简化计算。

通过使用同余定理，我们可以将复杂的计算转化为求余数的简单计算，从而节省时间和精力。

其次，同余定理在代数方程的求解中有着广泛的应用。

例如，对于一个模线性方程a * x ≡ b (mod m)，我们可以通过同余定理将其转化为x的一元一次同余方程，从而求解出x的取值范围。

此外，同余定理在密码学领域也有着重要的应用。

加密算法中常常使用同余定理来进行模运算，从而实现数据的加密和解密。

在数论中，同余定理还有一些重要的推论。

首先，费马小定理和欧拉定理是同余定理的重要推论。

费马小定理描述了素数模意义下的幂运算规律，欧拉定理描述了任意模意义下的幂运算规律。

同余的基本概念和性质

4 16，28 256，216 154，232 1 (mod 641)。
例3 说明是否被641整除。
因此 0 (mod 641)，
即641 。
第一节同余的基本性质
第一节同余的基本性质
设式(4)对于n = k成立，则有 1 (mod 2k + 2) = 1 q2k + 2，其中qZ，所以
=(1 q2k + 2)2=1 q 2k + 31(mod 2k + 3)，其中q 是某个整数。这说明式(4)当n = k 1也成立。由归纳法知式(4)对所有正整数n成立。
第一节同余的基本性质
a2 1 (mod p) pa2 1 = (a 1)(a 1)，
证明由
pa 1或pa 1，
所以必是
a 1或a 1 (mod p)。
例8 设p是素数，a是整数，则由a2 1(mod p)可以推出
即a 1 (mod p)或a 1 (mod p)。
解因为792 = 8911，故 792n 8n，9n及11n。我们有 8n 8 z = 6，
证明留作习题。
定理5 下面的结论成立： (ⅰ) a b (mod m), dm, d>0 a b (mod d); (ⅱ) a b (mod m), k > 0, kN ak bk (mod mk)； (ⅲ) a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk])； (ⅳ) a b (mod m) (a, m) = (b, m)； (ⅴ) ac bc(modm), (c, m) =1 a b (mod m).
定义1 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为 a b (mod m)，此时也称b是a对模m的同余

小学奥数同余定理与剩余定理B提高版

同余定理与剩余定理B知识点拨一、同余定理1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711（）能被3整除．（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．⑴ 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；⑴ 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；⑴ 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；⑴ 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑴ 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑴ 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．二、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

问问题同余定理

问问题同余定理一、余数等式的应用余数关系式：被除数÷除数＝商…余数由此关系式可以演变出两个有关余数的基本考点：(1)在余数问题中，余数的范围是(0≤余数＜除数)，这是一个非常重要的考点；(2)被除数－余数＝除数×商，这个公式常结合整除的方法来解题。

真题一：四位数5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

( )A. 80B. 79C. 64D. 67【答案及解析】本题答案选B。

此题涉及余数问题的两个基本考点，可以借助排除法和代入法来快速求出结果。

根据考点(1)，可知这个两位数一定大于66，故答案C排除；根据考点(2)5122－66＝5056，这个结果应该是这个两位数的整数倍，将其余3个选项带入，发现只有B符合。

故答案选B。

二、同余定理的考察定理证明：假设正整数A分别被5、6、7去除，余数为以下几种情况，求A的值。

(1)余数均为1。

则可知：(A－1)能同时被5、6、7整除，因此(A－1)可以表示为5、6、7的公倍数210n，所以A＝210n＋1；由此可以总结：若被除数一样，且余数也一样，则“被除数＝除数的公倍数＋余数”。

(2)余数分别为3、2、1。

则可知：(A－3)是5的倍数，(A－3－5)仍然是5的倍数，故(A－8)是5的倍数；同理(A－8)也是6和7的倍数，所以A＝210n＋8；由此可以总结：若被除数一样，且除数和余数的和一样，则“被除数＝除数的公倍数＋(除数＋余数)”。

(3)余数分别为1、2、3。

则可知：(A－1)是5的倍数，(A－1＋5)仍然是5的倍数，故(A ＋4)是5的倍数；同理(A＋4)也是6和7的倍数，所以A＝210n－4；由此可以总结：若被除数一样，且除数和余数的差一样，则“被除数＝除数的公倍数－(除数－余数)”。

根据以上证明出来的结论，下面我们结合一些真题来进行练习。

真题二：自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8的余数为7。

余数

余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质：①自身性：a≡a(mod m)；②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。

余数的性质：①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

小升初奥数余数同余要点总结

小升初奥数余数同余要点总结
小升初奥数余数同余要点总结
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的'余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M 的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

余数问题 (2)

【小升初奥数知识点讲解】余数问题
余数、同余与周期
一、同余的定义：
①假设两个整数a、b除以m的余数相同 ,那么称a、b对于模m同余。

②三个整数a、b、m ,如果m|a-b ,就称a、b对于模m同余 ,记作ab(mod m) ,读作a同余于b模m。

二、同余的性质：
①自身性：aa(mod m)；
②对称性：假设ab(mod m) ,那么ba(mod m)；
③传递性：假设ab(mod m) ,bc(mod m) ,那么a c(mod m)；
④和差性：假设ab(mod m) ,cd(mod m) ,那么a+cb+d(mod m) ,a-cb-d(mod m)；
⑤相乘性：假设a b(mod m) ,cd(mod m) ,那么ac bd(mod m)；
⑥乘方性：假设ab(mod m) ,那么anbn(mod m)；
⑦同倍性:假设a b(mod m) ,整数c ,那么ac bc(mod mc)；
三、关于乘方的预备知识：
①假设A=ab ,那么MA=Mab=〔Ma〕b
②假设B=c+d那么MB=Mc+d=McMd
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M ,n表示M的各个数位上数字的和 ,那么Mn(mod 9)或〔mod 3〕；
②一个自然数M ,X表示M的各个奇数位上数字的和 ,Y表示M的各个偶数数位上数字的和 ,那么MY-X或M11-〔X-Y〕(mod 11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数〔素数〕 ,a是自然数 ,且a不能被p 整除 ,那么ap-11(mod p)。

六年级下册数学试题-同余问题(含部分答案)全国通用

1．余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0)，若有a÷b＝q…r，或者a＝b×q＋r，0≤r＜b；当r＝0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商。

2．余数的性质①被除数＝除数×商＋余数；除数＝(被除数－余数)÷商；商＝(被除数－余数)÷除数；②余数小于除数。

③如果a，b除以c的余数相同，就称a，b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除。

(a，b，c均为自然数)例如：17与11除以3的余数都是2，所以17－11能被3整除。

④a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23＋16)除以5的余数等于3＋1＝4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23＋19)除以5的余数等于(3＋4)除以5的余数。

⑤a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23×16)除以5的余数等于3×1＝3。

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。

3．余数的四大判断法：⑴末位判断法——被4，25，8，125，16，625除的余数特征以4为例：一个数除以4的余数，等于它的末两位除以4的余数。

⑵数位和判断法——能被3，9整除的数特征以3为例：一个数除以3的余数，等于它的数位和除以3的余数。

⑶数位差判断法——能被11整除的数的特征一个数除以11的余数，等于它的奇位和减去偶位和之差(如不够减，奇位和加11后再减)除以11的余数(注意不要减反)。

余数与同余解析

六余数和同余1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法2.除法算式的特征:余数＜除数3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。

性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。

性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。

解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。

1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。

根据被除数﹦商×除法＋余数，算得：0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24；4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。

所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。

一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。

这个凑，可不是漫无目的的凑。

而是有理有据才行。

1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。

2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。

3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37.4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。

被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37.6、结果是17+22×37即为答案。

数论之余数三大定理

数论之余数三⼤定理第⼗四章数论之余数三⼤定理概念⼀般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a ＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上⾯的除法算式为⼀个带余除法算式。

这⾥：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完(2)当0全商三⼤余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

3.同余定理若两个整数a、b被⾃然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，⽤式⼦表⽰为：a≡b ( mod m )，左边的式⼦叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

由同余的性质，我们可以得到⼀个⾮常重要的推论：若两个数a，b除以同⼀个数m得到的余数相同，则a，b的差⼀定能被m 整除⽤式⼦表⽰为：如果有a≡b ( mod m )，那么⼀定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)例题1. ⽤某⾃然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。

2. 甲、⼄两数的和是1088，甲数除以⼄数商11余32，求甲、⼄两数。

3. ⼀个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

4. 有两个⾃然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？5. ⽤⼀个⾃然数去除另⼀个⾃然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个⾃然数各是多少？6. （真题）三个不同的⾃然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

7. ⼀个⾃然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个⾃然数是_________。

余数性质及同余定理B级答案

余数性质及同余定理B级答案Is the eternal love the truth. December 22, 2021一、带余除法的定义及性质1. 定义：一般地,如果a 是整数,b 是整数b ≠0,若有a ÷b =q ……r ,也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式;这里： 1当0r =时：我们称a 可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或完全商 2当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书,共有a 本,这个a 就可以理解为被除数,现在要求按照b 本一捆打包,那么b 就是除数的角色,经过打包后共打包了c 捆,那么这个c 就是商,最后还剩余d 本,这个d 就是余数;这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系;并且可以看出余数一定要比除数小; 2. 余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=被除数-余数÷商；商=被除数-余数÷除数； ⑵ 余数小于除数．二、余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数; 例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16＝39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数;知识框架余数性质及同余定理例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之差;例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23－16＝7除以5的余数等于2,两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时,补上除数再减;例如：23,14除以5的余数分别是3和4,23－14＝9除以5的余数等于4,两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数;例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1＝3;当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数;例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同,那么n a与n b除以m的余数也相同．一、同余定理1、定义整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同,就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余,即a≡bmodm2、同余的重要性质及举例;〈1〉a≡amodma为任意自然；〈2〉若a≡bmodm,则b≡amodm〈3〉若a≡bmodm,b≡cmodm则a≡cmodm；〈4〉若a≡bmodm,则ac≡bcmodm〈5〉若a≡bmodm,c≡dmodm,则ac=bdmodm；〈6〉若a≡bmodm则an≡bmmodm其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性",性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性,"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性",但是：如果：ac=bcmodm且c,m=1则a≡bmodm3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类,分为两类：1,3,5,7,9,……奇数；0,2,4,6,8,……偶数〈2〉用3来将整数分类,分为三类：0,3,6,9,12,……被3除余数是01,4,7,10,13,……被3除余数是12,5,8,11,14,……被3除余数是2〈3〉在模6的情况下,可将整数分成六类,分别是：0mod6：0,6,12,18,24,……1mod6：1,7,13,19,25,……2mod6：2,8,14,20,26,……3mod6：3,9,15,21,27,……4mod6：4,10,16,22,29,……5mod6：5,11,17,23,29,……重难点一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同;同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中,我们将深入理解同余的概念和性质,悟出它的一些运用技巧和方法．例题精讲【例1】一个两位奇数除1477,余数是49,那么,这个两位奇数是多少【巩固】2024除以一个两位数,余数是22．求出符合条件的所有的两位数．【例2】两数相除,商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于415,则被除数是_______．【巩固】用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少【例3】一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是100,父亲岁数最大,问：母亲是多少岁【巩固】有三所学校,高中A校比B校多10人,B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人,那么A校总人数是________人．【例4】求4373091993⨯⨯被7除的余数．【巩固】一个数被7除,余数是3,该数的3倍被7除,余数是 ;【例5】若2836,4582,5164,6522四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为_______．【巩固】一个大于1的数去除290,235,200时,得余数分别为a,2a+,则这个自然数是a+,5多少【例6】有这样一类2009位数,它们不含有数字0,任何相邻两位按照原来的顺序组成的两位数都有一个约数和20相差1,这样的2009位数共有________个．【巩固】在两位数10,11,…,98,99中,将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点,其余的数不变．问：经过这样改变之后,所有数的和是多少【例7】甲、乙、丙三数分别为603,939,393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少【巩固】已知60,154,200被某自然数除所得的余数分别是1a-,求该自然数的值．a-,2a,31【例8】答案29已知n是正整数,规定!12=⨯⨯⨯,n n令1!12!23!32007!2007m=⨯+⨯+⨯++⨯,则整数m除以2008的余数为多少【巩固】已知n 是正整数,规定!12n n =⨯⨯⨯,令3!34!45!52012!2012Q =⨯+⨯+⨯++⨯,则整数Q 除以2013的余数为多少【例 9】设n 为正整数,2004n k =,k 被7除余数为2,k 被11除余数为3,求n 的最小值．【巩固】试求不大于100,且使374n n ++能被11整除的所有自然数n 的和．【例 10】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是多少【巩固】两位自然数ab 与ba 除以7都余1,并且a b >,求ab ba ⨯．【随练1】已知2008被一些自然数去除,所得的余数都是10,那么这样的自然数共有多少个【随练2】20032与22003的和除以7的余数是________．【随练3】M 、N 为非零自然数,且20072008M N +被7整除;M N +的最小值为 ;课堂检测家庭作业【作业1】大于35的所有数中,有多少个数除以7的余数和商相等【作业2】一个三位数除以36,得余数8,这样的三位数中,最大的是__________;【作业3】三个数：23,51,72,各除以大于1的同一个自然数,得到同一个余数,则这个除数是 ;【作业4】学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班【作业5】修改31743的某一个数字,可以得到823的倍数;问修改后的这个数是几【作业6】科学家进行一项实验,每隔5小时做一次记录;做第十二次记录时,挂钟的时针恰好指向9,问做第一次记录时,时针指向几教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：。

初中数学重点梳理：同余式

同余式知识定位数论是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常发比例，其中同余理论是初等数论中的重要内容之一，其同余式概念及应用，剩余系概念要熟练掌握。

本文归纳总结了同余的若干性质，将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、同余概念定义1：给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m 同余，记作a≡b(modm)，并读作a同余b，模m。

（1）若a与b对模m同余，由定义1，有a=mq1＋r，b=mq2+r．所以a-b=m(q1-q2)，即m｜a-b。

反之，（2）若m｜a-b，设a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m-1，则有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即r1＝r2。

于是，我们得到同余的另一个等价定义：定义2：若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余．2、同余定理定理1：（1）a≡a(modm)．（2）若a≡b(modm)，则b≡a(modm)．（3）若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)．定理2：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．证：由假设得m｜a-b，m｜c-d，所以m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(a-b)＋b(c-d)，即a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．由此我们还可以得到：若a≡b(modm)，k是整数，n是自然数，则a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，a n≡b n(modm)．定理3：若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，则a≡b(modm)．定理4：若n ≥2，a ≡b(modm 1)，a ≡b(modm 2)，…………a ≡b(modm n )，且M=[m 1，m 2，…，m n ]表示m 1，m 2，…，m n 的最小公倍数，则a ≡b(modM)3、剩余类和完全剩余系全体整数集合可按模m 来划分：当且仅当()mod a b m ≡时，a 和b 属于同一类。

中国剩余定理(B级).

一、中国剩余定理——中国古代趣题1) 趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2) 趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=知识框架为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115++是a b c被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．3)核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

余数定理

定理1:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

〔1〕7÷3=…1,5÷3=…2,这样〔7+5〕÷3的余数就等于1+2=3,所以余0.〔2〕8÷3=…2,5÷3=…2,2+2=4>3,4÷3…1,这样〔8+5〕÷3的余数就等于1.定理1有一种常见的考察方式，在往年的考试中也曾经出现，充分利用了定理1在加法余数计算中的优势。

【例1】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，那么小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是〔〕。

解析：小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。

因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。

用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个余2 余4 余4 余3 余0 余1 余3 余42+4+4+3+0+1+3+4=21÷5=4…1,总数量除以5余1,因此小赵除以5也余1,而这些数字显然只有36除以3余1,小赵只能是36个，应选C.定理2:两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

〔1〕7÷3余1,5÷3余2,这样〔7×5〕÷3的余数就等于1×2=2,所以余2.〔2〕5÷3余2,8÷3余2,2×2=4>3,4÷3余1,这样〔5×8〕÷3的余数就是1.【例2】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，那么可能锯成41mm的钢管〔〕段。

小学奥数教程：同余问题_全国通用(含答案)

1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b ，模m 。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-（）能被3整除．（2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。