上海海事大学概率统计2011-2012下A卷及答案

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上 海 海 事 大 学 试 卷

2011 — 2012 学年第二学期期末考试 《 概率论与数理统计 》（A 卷）

班级 学号 姓名 总分

352

.0)3(,815.7)3(,711.0)4(,488.9)4(2

95

.02

05

.02

95

..02

05

.0====χχχχ,771.1)13(,753.1)15(,761.1)14(05

.005

..005

.0===t t t

,

160.2)13(,132.2)15(,145.2)14(025

.0025

..0025

.0===t

t t

,

,282.1,645.1,96.11

.005

..0025

.0===z z

z

一、选择题（共5题，每题3分，共15分）。

1. 设A 、B 为任意两个事件，且,()0A B P B ⊂>，则必然有( b )。 (a) ()(),P A P A B <； (b) ()(),P A P A B ≤； (c) ()(),P A P A B >； (d) ()(),P A P A B ≥.

2. 设随机变量X 的分布函数为(),F x 则随机变量21Y X =+的分布函数()G y 是( a )。

(a) 11()()22G y F y =-; (b) 1

()(1)2

G y F y =+;

(c) ()2()1G y F y =+; (d) 11

()()22

G y F y =-.

3.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为15

16,

则该射手的命中率为（ c ）。

(a) 14; (b) 116; (c) 12; (d) 1516

.

--------------------------------------------------------------------------------------

装

订

线------------------------------------------------------------------------------------

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4.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的方差是

（ d ）。

(a) 8; (b) 16; (c) 28; (d) 44. 5.设总体X 的数学期望为μ，12,,

n X X X 是取自总体X 的简单随机样本，则下列命题中正确

的是（ a ）。

(a) 1X μ是的无偏估计量; (b) 1X μ是的最大似然估计量; (c) 1X μ不是的估计量; (d)无法判断.

二、计算题（共8题，第8题8分，其余每题各11分,共85分）。

1. 已知在10个灯泡中坏灯泡的个数最多不超过2个，且坏灯泡个数从0到2是等可能的，（1）求从10个灯泡中取出的3个都是好灯泡的概率； （2）如果从10个灯泡中取出的3个都是好的，求这10个灯泡都是好灯泡的概率。 解：1）设A 表示“取出的3个都是好灯泡” ；

i B 表示“10个灯泡中有i 个坏灯泡”

， 0,1,2i = 由已知条件得：

1(),0,1,23i P B i ==；333

109801233310101077

(|)1,(|),(|)1015

c c c P A B P A B P A B c c c ======，则

001122()(|)()(|)()(|)()

17171131310315318

P A P A B P B P A B P B P A B P B =++=⨯+⨯+⨯=

2）0001

1(|)()6

3()13()

1318

P A B P B P B A P A ⨯

===

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2. 设随机变量X 服从[2,6]上的均匀分布，现对X 进行三次独立观察，求至少有两次观测值大于3 的概率。

X 的概率密度为1

,26

()40x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它

6

313

(3)44

P X dx >==⎰

令Y 表示三次独立试验中观测值大于3的次数，则Y~ b(3,3/4)

22330

33313127{2}()()()444432

P Y C C ≥=+=

3.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为，

(2),0,0

(,)0x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩

，其它

求：（1）常数A ；（2）X,Y 的边缘概率密度；

（3）X,Y 是否相互独立；（4）{01,02}P X Y <≤<≤. 解：（1）(2)

1x y Ae

dxdy +∞

+∞

-+=⎰

⎰

2A ⇒= 所以 (2)2,0,0

(,)0,

x y e x y f x y -+⎧>>=⎨

⎩其他 （2）()X f x =(2)02,0(,)0,0x y x e

dy e x f x y dy x +∞

-+-+∞

-∞

⎧=>⎪=⎨⎪≤⎩⎰⎰

()Y f y =(2)2022,0(,)0,0x y y e

dx e y f x y dx y +∞

-+-+∞-∞

⎧=>⎪=⎨

⎪≤⎩

⎰⎰ （3）()()(,)X Y f x f y f x y =，,X Y 相互独立

（4）1

2

(2)410

{01,02}2(1)(1)x y P X Y dx e dy e e -+--<≤<≤==--⎰⎰=0.62